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专题21 椭圆
一、单选题
1．（2023·浙江宁波·统考二模）设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用中点弦问题，结合点差法可得，即可求离心率.
【详解】
如图，取的中点为，连接，
则由题意可得，，
所以相似，所以,
因为直线PQ，PF的斜率之积为，
所以,
设，
则有，两式相减可得，
即，即，
即，所以椭圆的离心率为，
故选:B.
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆的左焦点为，若椭圆上存在点P，使得线段与直线垂直垂足为Q，若，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用余弦定理和椭圆定义，建立方程，然后求解椭圆的离心率即可.
【详解】设C的右焦点为，线段与直线垂直，
所以的斜率为，所以，
设，则，故，
在中，由余弦定理得，，
所以
所以，
所以，
又因为，
所以椭圆C的离心率为.
故选:A．
3．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【分析】根据椭圆的离心率求出的值，对椭圆的焦点位置进行分类讨论，求出的值，即可求得椭圆的长轴长.
【详解】因为，所以，.
①若椭圆的焦点在轴上，则，可得，则，
此时，椭圆的长轴长为；
②若椭圆的焦点在轴上，则，可得，则，
此时，椭圆的长轴长为.
综上所述，椭圆的长轴长为或.
故选：D.
4．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）一名木匠准备制作一张椭圆形的餐桌台面，如图，他先将一根细绳（无弹性）的两端固定在钉子上，然后用笔撑直绳子，转圈画出的图形就是一个椭圆．如果图中的两个钉子之间的距离为，细绳长为，将绳子与钉子固定所用的绳长忽略不计，则过该椭圆的中心的弦中，最短弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合椭圆的定义求解即可.
【详解】解：根据题意，结合椭圆定义得：椭圆的长轴长为，焦距为，
所以，椭圆的短半轴长为,
因为过椭圆中心的弦中，最短的弦为椭圆的短轴，即为，
所以，过该椭圆的中心的弦中，最短弦长为米.
故选：B
5．（2023·四川宜宾·统考三模）已知p：，q：表示椭圆，则p是q的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由椭圆方程的定义化简命题，根据充分条件和必要条件的定义即可判断结论.
【详解】若方程表示椭圆，
则，
解得或，
故：或，又p：，
所以p是q的必要不充分条件，
故选：C.
6．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆C交于A，B两点，若，则的面积等于（ ）
A．18 B．10 C．9 D．6
【答案】C
【分析】四边形是矩形，设，，由椭圆的定义及勾股定理可求得，则的面积是，又的面积与的面积相等，即可得出答案.
【详解】据题意，四边形是矩形，设，，
则有，，由此可得，
所以的面积是，
又的面积与的面积相等，所以的面积等于9.
故选：C．
7．（2023·北京东城·统考二模）已知椭圆的一个焦点的坐标是，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的标准方程，结合，即可求解.
【详解】由条件可知，，，，
所以，得，
故选：C
8．（2023·广西·校联考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，若已知过点且与椭圆相切的切线方程为，垂直于直线且与轴交于点，若为的中点，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据求出直线的方程，令，得点的横坐标，再根据为的中点，求出，，再根据离心率公式可求出结果.
【详解】因为在椭圆上，所以，
若，则，不符合题意，所以.
由切线的方程得切线斜率，
由得的斜率，
所以直线的方程为，
令，得，因为，所以，
因为为的中点，且，
所以，又，联立可得，，
所以该椭圆的离心率．
故选：C．
9．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知，是椭圆的上、下顶点，为的一个焦点，若的面积为，则的长轴长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
【答案】B
【分析】依题意可得且，即可求出，从而求出，即可得解.
【详解】由题可知，则，所以，所以，
故的长轴长为．
故选：B
10．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）已知椭圆的左 右焦点分别为、，过作直线与椭圆相交于、两点，，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，则，利用椭圆的定义及勾股定理解得，
表示出，，再利用锐角三角函数表示出，由余弦定理表示出，即可得到方程，解得，即可求出离心率.
【详解】如图所示，设，，设，则，
在中，，
由椭圆定义可知，，
，解得，
所以，，
在中，可得，
在中，由余弦定理可得，
，
，即0，
解得，所以椭圆离心率.
故选：D.
11．（2023·山东日照·统考二模）古希腊亚历山大时期一位重要的几何学家帕普斯（Pappus，公元3世纪末）在其代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题：即到两条已知直线距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线．今有平面内三条给定的直线，且，均与垂直．若动点M到的距离的乘积是M到的距离的平方的4倍，则动点M在直线之间（含边界）的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】B
【分析】根据题意得到三条直线的关系，不妨设为，直线为，为， 进而可根据条件表示出动点M的轨迹方程，从而得出结论.
【详解】因为在平面内三条给定的直线，，，且，均与垂直，所以，平行，记为，直线为，为，
设，且动点M在直线之间，所以，所以M到的距离为，M到的距离为，M到的距离为，
又因为动点M到的距离的乘积与到的距离的平方4倍相等，
所以，
所以，即，故动点M的轨迹为椭圆.
故选：B.
12．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的一个焦点在函数的图像上．若椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，上顶点为，则到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的图像与x轴的交点求得椭圆焦点，结合离心率求得，继而求出直线的方程，根据点到直线的距离公式即可求得答案.
【详解】椭圆的一个焦点在函数的图像上,
即椭圆的一个焦点为函数的图像与x轴的交点，
即，即，，
又椭圆的离心率为，故，
故，所以直线的方程为，即，
故到直线的距离为，
故选：C
13．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的离心率求出值，再同蒙日圆的定义，利用特殊位置求出蒙日圆上的一点，即可求出椭圆的蒙日圆方程.
【详解】因为椭圆：的离心率为，则，解得，即椭圆的方程为，
于是椭圆的上顶点，右顶点，经过两点的椭圆切线方程分别为，，
则两条切线的交点坐标为，显然这两条切线互相垂直，因此点在椭圆的蒙日圆上，
圆心为椭圆的中心O，椭圆的蒙日圆半径，
所以椭圆的蒙日圆方程为.
故选：B
14．（2023·四川成都·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆相交于两点．有下列结论：
①四边形为平行四边形；
②若轴，垂足为，则直线的斜率为；
③若（为坐标原点），则四边形的面积为；
④若，则椭圆的离心率可以是．
其中错误结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】A
【分析】根据椭圆的对称性，得到为的中点，也是的中点，可判定①正确；设，则，不妨设，联立方程组，求得的坐标，结合斜率公式，可判定②正确；由，得到，结合勾股定理和椭圆的定义，得到，求得，可判定③错误；求得， ，得到，求得，即可求解.
【详解】解：对于①中，如图（1）所示，根据椭圆的对称性，可得为的中点，且也是的中点，所以与互相平分，四边形为平行四边形，所以①正确；
对于②中，如图（2）所示，设，则，不妨设，
联立方程组，可得，则，
可得，即
所以直线的斜率为，所以②正确；
对于③中，如图（3）所示，不妨设点位于第一象限，
因为，所以三点共圆，所以，
可得，
又由椭圆的定义得，所以，
可得，
所以的面积为，
所以的面积为，所以③错误；
对于④中，设，可得，可得，
又由，
可得，同理可得，
要使得，则满足，即，
因为，所以，解得，
又因为，所以，所以离心率可能为，所以④正确.
故选：A.
15．（2023·全国·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上异于的一点．若椭圆的离心率的取值范围是，则直线，斜率之积的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先设点的坐标，然后将的坐标代入方程中，相减，构造出直线，的斜率，相乘转化只含有的表达式，再根据的关系以及椭圆的离心率的取值范围是建立不等式，求出直线，斜率之积的取值范围即可.
【详解】设，
由直线与椭圆交于两点可知两点关于原点对称，
所以且，
由题意知：，两式相减得：
，
即，
又，
由椭圆的离心率的取值范围是，
即，
所以，
即，
故选：D.
16．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知是椭圆的左焦点，过作斜率为的直线交椭圆于，两点，若线段MN的长等于椭圆短轴长的，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，，直线MN的方程为，联立椭圆方程可得，利用韦达定理和弦长公式可求，由于线段MN的长等于椭圆短轴长的，列出方程，即可求解，进而根据得到椭圆的离心率.
【详解】解：令，则直线MN的方程为，设，，
联立得，，
则，，
所以，
已知线段MN的长等于椭圆短轴长的，则，
整理得，即，解得（舍）或，
则椭圆的离心率，
故选：A.
17．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽，在另一活动木条的处钻一个小孔，可以容纳笔尖，各在一条槽内移动，可以放松移动以保证与的长度不变，当各在一条槽内移动时，处笔尖就画出一个椭圆.已知，且在右顶点时，恰好在点，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，则，由题意可得，，根据离心率公式即可求解.
【详解】解：由题意知与的长度不变，已知，
设，则，
当滑动到位置处时，点在上顶点或下顶点，则短半轴长，
当在右顶点时，恰好在点，则长半轴长，
故离心率为.
故选：D.
18．（2023·江苏南京·统考二模）已知椭圆，为其左焦点，直线与椭圆交于点，，且．若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设椭圆的右焦点为，连接，，设，根据余弦定理得到，计算得到离心率.
【详解】设椭圆的右焦点为，连接，，故四边形为平行四边形，
设，，则，，
，，
中，，
整理得到，即，故.
故选：A
19．（2023·江苏·统考三模）已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则PQ＋PF的最大值为（ ）
A．3 B．6
C． D．
【答案】D
【分析】由椭圆的定义结合题意可得，即可求出PQ＋PF的最大值.
【详解】圆M：的圆心为，
设椭圆的左焦点为，如下图，由椭圆的定义知，，
所以，所以
，
当且仅当三点在一条直线上时取等，
，，，.
故选：D．
20．（2023·浙江温州·统考三模）如图，是椭圆的左 右顶点，是上不同于的动点，线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，得到和，两式相除即可求解.
【详解】设 ，
则，
，
两式相乘得,①
因为直径所对的角是直角,所以
所以 ,②
①除以②得，故，
故选：D
21．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知是椭圆的左，右焦点，过点的直线与椭圆交于A，B两点，设的内切圆圆心为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义、余弦定理、均值不等式求出的最小值即可求解作答.
【详解】因为为的内切圆圆心，则，
显然是锐角，当且仅当最大时，最大，且最大，
又，即有最小，
在椭圆中，，
在中，
，当且仅当时取等号，
因此当，即为正三角形时，取得最大值，取最大值，
所以的最大值为.
故选：B
22．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知M，N是椭圆上关于原点O对称的两点，P是椭圆C上异于M，N的点，且的最大值是，则椭圆C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量运算可得，结合椭圆性质可得的最大值是，列式运算求解即可.
【详解】由题意可得：，
则，
由椭圆可知，则的最大值为，
即，整理得椭圆C的离心率.
故选：B.
23．（2023·安徽合肥·校联考三模）已知为坐标原点，椭圆：，平行四边形的三个顶点A，，在椭圆上，若直线和的斜率乘积为，四边形的面积为，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用三角换元设，，代入椭圆方程可得，再根据三角形面积的向量公式及斜率之积计算即可.
【详解】先证三角形面积公式的向量形式：在中，，
则 ，而
设，，由题意可知;，
所以，
将坐标代入椭圆方程有
，
则
所以四边形的面积为，
即，又根据和的斜率乘积为知，
所以，解之得：，．
故选：B
二、多选题
24．（2023·云南·校联考二模）已知椭圆，为C的左、右焦点，P为C上一点，且，若交C点于点Q，则（ ）
A．周长为8 B．
C．面积为 D．
【答案】AD
【分析】根据椭圆方程，求出对应的，利用几何性质即可得出正确的选项
【详解】由题意，在椭圆中，，不妨设在轴上方，
则，，
所以，故B错；
的周长为，A正确；
设，
在中，
得，
所以，D正确；
，
所以，
故C不正确，
故选：AD．
25．（2023·广东汕头·统考二模）已知曲线，，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C可能是圆，也可能是直线
B．曲线C可能是焦点在轴上的椭圆
C．当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆
D．当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为
【答案】ABD
【分析】设，由的符号和取值结合对应方程的特点，结合条件逐项判断可得答案.
【详解】设，故曲线C的方程可表示为，
对A，当时，曲线C的方程为，可得，此时曲线C为两条直线；
当时，曲线C的方程为，此时曲线C是一个圆；故A正确；
对B，当时，，曲线C的方程为，此时曲线C为焦点在y轴上的椭圆，故B正确；
对C，当曲线C表示椭圆时，离心率为，则越大，椭圆越扁，故C错误；
对D，当时，，曲线C的方程为，此时曲线C为焦点在x轴上的双曲线，
此时离心率为，由，可得，
即它的离心率有最小值，且最小值为，故D正确.
故选：ABD.
26．（2023·全国·模拟预测）已知曲线为焦点在x轴上的椭圆，则（ ）
A． B．的离心率为
C．m的值越小，C的焦距越大 D．的短轴长的取值范围是
【答案】AC
【分析】由曲线为焦点在x轴上的椭圆，得出和，根据即可判断A；根据椭圆离心率即可判断B；表示出椭圆的焦距，由函数的单调性即可判断C；由的范围即可得出的短轴长的取值范围，从而判断D．
【详解】对于A：根据题意知椭圆的标准方程为，
因为C的焦点在x轴上，
所以，即，故A正确；
对于B：由A可得，，
所以椭圆的离心率，故B错误；
对于C：椭圆的焦距，
因为函数，在上都是单调递减的，
所以m的值越小，的焦距越大，故C正确；
对于D：椭圆的短轴长，
因为当时，，
所以，
所以，故D错误，
故选：AC．
27．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，，分别是的左 右焦点，过的直线与交于，两点，过的直线与交于，两点，当时，，则（ ）
A．椭圆的标准方程为
B．椭圆的短轴长为2
C．若，则直线的斜率的平方大于2
D．当时，
【答案】BCD
【分析】根据椭圆的定义以及椭圆的有关性质，对下列各项逐一判断，即可得到本题答案.
【详解】选项A：由题意可知，，当时，直线与直线平行或直线与直线关于轴对称，由对称性可知，，
则，根据椭圆的定义可知，，所以，所以，所以，因此椭圆的标准方程为，故A错误；
选项B：由A知，椭圆的短轴长为，故B正确；
选项C：由知，直线的斜率存在且不为0，
设，，直线的方程为，
由，得，所以，
由可知，，
则，即，
将其代入，得，，
则，得，
所以直线的斜率的平方大于2，故C正确；
选项D：由对称性不妨令，，
则
，
当时，，所以，故D正确.
故选：BCD
28．（2023·河北保定·统考一模）椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点．假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程可能为（ ）
A．2 B．8 C．10 D．12
【答案】ACD
【分析】根据已知，光线自出发，可以沿方向传播，也可以沿方向传播，也可以不沿轴传播.根据椭圆的光学性质，分别得出光线传播的路径，结合椭圆的定义，即可得出答案.
【详解】设抛物线左焦点为，右焦点为，左顶点为，右顶点为.
由已知可得，，，所以.
①当光线从出发，沿方向传播，到达后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿方向传播，第一次经过，此时所经过的路程为，故A项正确；
②当光线从出发，沿方向传播，到达后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿方向传播，过点后，继续传播第一次经过，此时所经过的路程为，故C项正确；
③当光线从出发后，不沿轴传播，如图2
光线开始沿传播，到达点后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿方向传播，过点后，继续传播到达点后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿方向传播，第一次经过，此时所经过的路程为.
根据椭圆的定义可知，，，
所以，故D项正确.
故选：ACD.
29．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知是圆上任意一点，定点在轴上，线段的垂直平分线与直线相交于点，当在圆上运动时，的轨迹可以是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】ABC
【分析】分点A在圆外，圆内（非原点），原点，圆上四种情况，结合图形可得答案.
【详解】当点A在圆外，如下图所示：设AP中点为B，过B作AP垂线交直线OP为Q，连接AQ，则，则，又，则此时Q轨迹为以为焦点的双曲线；
当点A在圆内（非原点），如下图所示，此时，又，则此时Q轨迹为以为焦点的椭圆；
当A在坐标原点，如下图所示，此时B，Q重合，则，则此时Q轨迹为以O为原点，半径为2的圆；
当在圆上，由垂径定理，可知Q点与O重合，此时的轨迹为点O.
故选：ABC
30．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）已知分别为椭圆的左 右焦点，过的直线与交于两点，若，则（ ）
A． B．
C．椭圆的离心率为 D．直线的斜率的绝对值为
【答案】ABD
【分析】A选项，由线段比例求出面积比；B选项，由椭圆的定义得到，，，由勾股定理逆定理得到，进而求出正切值；C选项，根据为直角三角形，由勾股定理列出方程，求出离心率；D选项，作辅助线，由线段比例结合离心率得到，求出答案.
【详解】A选项，由题意得：，A正确；
B选项，设，则，
由椭圆定义可知：，，所以，，
因为，所以，解得，
故，，，
因为，所以，
故，B正确；
C选项，在中，，
由勾股定理得，解得，
椭圆的离心率为，C错误；
D选项，过点作于点，过点作于点，
则，
其中，故，
由勾股定理得，
则
故直线的斜率的绝对值为.
故选：ABD
31．（2023·湖北武汉·统考二模）椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的可能取值有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】首先求圆与坐标轴的交点坐标，再分情况，求椭圆的离心率的取值.
【详解】，圆与轴的交点坐标为或，与轴的交点为，
而椭圆的焦点在轴，
当焦点是，右顶点，此时，离心率，
当焦点是，上顶点，此时，那么，离心率，
当焦点是，上顶点，此时，那么，离心率
故选：BCD
32．（2023·浙江·统考二模）已知正方形中，，是平面外一点.设直线与平面所成角为，设三棱锥的体积为，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则的最大值是 B．若，则的最大值是
C．若，则的最大值是 D．若，则的最大值是
【答案】AC
【分析】根据椭圆的定义和旋转体的概念可知当时点P的轨迹是一个椭球，当时点P的轨迹是以AD为直径的球，结合图形分析，即可求解.
【详解】由题意知，点P为动点，A、C为定点，，
由椭圆的定义知，点P的轨迹是以为焦距，长轴为的椭圆，
将此椭圆绕AC旋转一周，得到一个椭球，即点P的轨迹是一个椭球，
而椭球面为一个椭圆，由，
即，得，
当点P运动到椭球的上、下顶点时，取到最大值，
此时；
设点P在平面ABCD上的射影为Q，则，
又，且，
所以当且仅当时最大，即取到最大值；
当时，由，得，
则点P的轨迹是以AD为直径的球，设AD的中点为O，则O为球心，
当即时，取到最大值，
此时；
当直线BP与球相切于点P即时，取到最大值，
此时，则.
故选：AC.
三、填空题
33．（2023·浙江台州·统考二模）已知椭圆经过点和，则椭圆的离心率为___________.
【答案】/0.5
【分析】通过已知两个点求出椭圆方程即可得到离心率.
【详解】将两个点代入椭圆方程得：，解得，故.
故答案为：
34．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知椭圆的左顶点为，上顶点为为坐标原点，椭圆上的点分别在第一 二象限内，若与的面积相等，且，则的离心率为__________.
【答案】
【分析】根据题意，由两个三角形面积相等可得，将点的坐标代入椭圆方程，结合条件化简即可得到关系，再根据离心率公式即可得到结果.
【详解】
因为与的面积相等，且，
则，即，所以，
将坐标代入，可得，
化简可得，即，
所以，且，
所以，即，
则离心率为，
故答案为:
35．（2023·山东青岛·统考二模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于点、，直线为在点处的切线，点关于的对称点为.由椭圆的光学性质知，、、三点共线.若，，则__________.
【答案】/
【分析】作出图形，由题意可得出，利用椭圆的定义结合已知条件可求出、的值，即可得解.
【详解】如下图所示：
因为点关于的对称点为，则，
因为，且，
所以，，所以，，
可得，则，
所以，，故.
故答案为：.
36．（2023·河北衡水·模拟预测）勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，若椭圆的一个焦点把长轴分成长度分别为的两段，且恰好为一组勾股数，则的一个标准方程为_________. (写出满足条件的一个即可)
【答案】或或或(答案不唯一，写出一个即可)
【分析】首先列举含10的勾股数，再根据条件求，即可求椭圆方程.
【详解】含10的勾股数有，不妨令，则有或，
解得或当时，;
当时，.
故椭圆的标准方程为或或或.
故答案为：或或或(答案不唯一，写出一个即可)
37．（2023·广东佛山·统考二模）已知、分别为椭圆的左、右焦点，是过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点，则的最大值为______．
【答案】/
【分析】设点在直线上，设点，当时，求出的值，当点不为长轴端点时，设，设直线、的倾斜角分别为、，可求出关于的表达式，利用基本不等式可求得的最大值，可得出的最大值，即可求得的最大值.
【详解】不妨设点在直线上，
若点为，则，
当点不为长轴端点时，由对称性，不妨设点在第一象限，设点，
在椭圆中，，，，则点、，
设直线、的倾斜角分别为、，则，，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，所以，的最大值为，
所以，.
故答案为：
38．（2023·辽宁锦州·统考二模）椭圆的离心率为，分别为的左 右焦点，若，是上轴上方的两点且，则___________.
【答案】3
【分析】根据离心率得到椭圆方程，根据椭圆的性质和勾股定理得到，再利用余弦定理得到，得到答案.
【详解】，解得，故椭圆，，
连接，如图所示：
则，，解得，
则，，
故，即，
解得，故.
故答案为：
39．（2023·浙江·统考二模）已知椭圆的左、右焦点分别为.若关于直线的对称点恰好在上，且直线与的另一个交点为，则__________.
【答案】
【分析】由点的对称性求出点坐标，和线段、，从而发现为直角，再由椭圆标准定义找到关系，并求出、的长度，最后在直角三角形中，求出的值.
【详解】
设关于直线的对称点，
由，得，
可知，，又知，
所以，则为直角，
由题意，点恰好在上，根据椭圆定义，得，
，设，则，
在直角三角形中，，
解得，从而，，
所以.
故答案为：
40．（2023·山西·统考二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是上一点，点是直线与轴的交点，的内切圆与相切于点，若，则椭圆的离心率__________．
【答案】
【分析】设内切圆与AM切于Q，与切于P，由切线性质知，结合椭圆定义建立的关系求得.
【详解】
设内切圆与AM切于Q，与切于P，由切线性质知，，，
由对称性知，
所以，即，
所以，
所以.
故答案为：
41．（2023·河北邯郸·统考二模）已知为坐标原点，椭圆的右焦点为，上顶点为，线段的中垂线交于、两点，交轴于点，，的周长为16，则椭圆的标准方程为_________.
【答案】
【分析】由及勾股定理可得，再证明过椭圆的另一个焦点，从而求出的周长，又由的周长等于的周长，解得，即可求出椭圆的标准方程.
【详解】如图，
由题意可得 ，可得 ，
连接，在中，由勾股定理得，
所以，整理得，
所以即，
所以椭圆的离心率.
在中 ，所以.
设直线交轴于点，交于点，
在中，有，所以为椭圆的左焦点.
又，所以的周长等于的周长.
又的周长为，所以.解得.
所以，.
故答案为：
四、解答题
42．（2023·广西·统考模拟预测）已知分别为椭圆的左，右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过的直线与椭圆交于两点，且与以为直径的圆交于两点，证明：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由以及即可求解的值，
（2）联立直线与椭圆的方程，由弦长公式以及点到直线的距离公式即可化简求解.
【详解】（1）由，可得，解得，
又因为，所以，
因为点在椭圆上，所以，
解得，，，所以椭圆的标准方程为．
（2）证明：当与轴重合时，，所以
当不与轴重合时，设，直线的方程为，
由整理得，
则，
故
圆心到直线的距离为，则，
所以，即为定值．
43．（2023·广东湛江·统考二模）设椭圆方程为，，分别是椭圆的左、右顶点，直线过点，当直线经过点时，直线与椭圆相切．
(1)求椭圆的方程．
(2)若直线与椭圆交于，（异于，）两点．
（i）求直线与的斜率之积；
（ii）若直线与的斜率之和为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）由直线的两点式方程可得的方程，联立椭圆方程，利用直线与椭圆的位置关系求出b，即可求解；
（2）设，，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示，根据两点表示斜率公式化简计算可得、，则，由求得直线的方程，联立椭圆方程求出点Q的坐标即可求解.
【详解】（1）依题意可得，
当直线经过点时，的方程为，
代入，整理得，
，
解得，所以椭圆的方程为．
（2）（i）依题意可得直线的斜率不为0，
设，，．
由得，
则
则
；
（ii）因为，
所以，又因为，所以，
则直线的方程为，与联立得．
所以的方程为，即．
44．（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）在平面直角坐标系中，已知点，，动点P满足：.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设曲线C的右顶点为D，若直线l与曲线C交于A，B两点（A，B不是左右顶点）且满足，求原点O到直线l距离的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用向量的线性运算及椭圆的定义即可求解；
（2）根据已知条件作出图形，利用向量的数量积运算及直线的斜截式方程设出直线，联立直线方程与椭圆方程，利用直线与椭圆的位置关系及韦达定理，结合点到直线的距离公式即可求解.
【详解】（1）由题意可知，为线段的点，
所以，
由，得，即,
所以，
由椭圆的定义知，动点P的轨迹是以，为焦点，实轴长为的椭圆.
可设方程为，
所以，，解得，
所以，
所以动点P的轨迹C的方程为.
（2）由（1）知，,如图所示
设,.
由，得，即于是有
当直线的斜率不存在时，此时直线垂直于轴，直线的方程为，
且所以解得或（舍），
此时原点O到直线l距离为，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，消去，得
因为直线与椭圆相交，
所以解得
由得
把代入上式得即
所以
所以，或（舍），
显然，则原点O到直线l距离为
，
综上所述，原点O到直线l距离的最大值为.
45．（2023·北京西城·统考二模）已知椭圆的短轴长为，一个焦点为．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)设直线与椭圆交于两点，点在线段上，点关于点的对称点为．当四边形的面积最大时，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据求椭圆方程和离心率；
（2）首先直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示四边形的面积，并利用基本不等式求最值.
【详解】（1）由题设
解得
所以椭圆的方程为．
的离心率为．
（2）设椭圆的另一个焦点为，则直线过点．
由 得．
设，则，．
由题设，点为线段的中点，所以点和点到直线的距离相等．
所以四边形的面积为面积的倍．
又，
所以
．
所以．
设，则．
所以．
当且仅当，即时，．
所以四边形的面积最大时，．
46．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知椭圆：与椭圆：的离心率相等，的焦距是．
(1)求的标准方程；
(2)P为直线l：上任意一点，是否在x轴上存在定点T，使得直线PT与曲线的交点A，B满足？若存在，求出点T的坐标．若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在x轴上定点，使得
【分析】（1）由已知求出的离心率为，又，即可得出.根据的关系，即可得出答案；
（2）设，，，，先求出直线与轴重合时，满足条件的点坐标；当直线与轴不重合时，设直线AB方程为.根据已知可推得，代入坐标整理可得（*）.联立直线与的方程可得，根据韦达定理得出坐标关系，代入（*）式，整理化简可得，求出，检验即可得出答案.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为，
又椭圆与椭圆的离心率相等，
的焦距是，所以，，
所以，，所以，，
所以，的标准方程为.
（2）
设，，，.
当直线与轴重合时，设，，，
则，，，，
由已知，可得，解得或（舍去），
所以，；
当直线与轴不重合时，设直线AB方程为，则有.
四点共线，由结合图象可知，，
于是有，，
化简得：，
变形得：（*）.
联立直线与椭圆的方程可得，，
当时，
由韦达定理可得，
将上式与共同代入（*），
化简得：，即，且此时成立，
故存在x轴上定点，使得．
【点睛】方法点睛：设直线AB方程为，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理得出坐标之间的关系.然后根据已知，化简可得出.因为的任意性，所以必有，即可得出答案.
47．（2023·四川乐山·统考三模）已知椭圆C：的右焦点为，短轴长等于焦距．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线交C于P，Q，交直线于点N，记OP，OQ，ON的斜率分别为，，，若，求的值．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）求出可得椭圆方程；
（2）设，，，直线PQ的方程为，其中,直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理得,代入得，利用已知得，用分别表示出的坐标，计算可得结论．
【详解】（1）由题意，从而，
于是C的方程为．
（2）设，，，直线PQ的方程为，其中．
由得，
故，．
从而
．
因为，所以．
从而，
即，于是，
由得．
设，．
由得：，即．
同理可得．
故
．
【点睛】方法点睛：直线与椭圆相交中定值问题的处理方法，设交点坐标，，设直线方程，由韦达定理得出（或），把此结论代入已知条件后可得出参数间的关系结论，利用新结论（有时是韦达定理的结论）代入待求定值的式子化简可得定值．
48．（2023·河南·校联考三模）已知椭圆的右焦点为，且是椭圆上一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过且斜率不为0的直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据焦点坐标及点在椭圆上列方程求解即可；
（2）联立方程组得到韦达定理，再应用弦长公式，计算求解即可得直线.
【详解】（1）由已知可得为的左焦点，
所以，即，
所以，
故椭圆的方程为.
（2）
设直线的方程为，
由得，
显然，于是.
由，可得，，
解得，即，所以直线的方程为.
【点睛】关键点睛：把已知弦长关系转化为同一直线上两点弦长，进而转化为韦达定理解题是解题关键点关键.
49．（2023·四川自贡·统考三模）已知椭圆C：的离心率，设，，，其中A，B两点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P的直线交椭圆C于M，N两点（M在线段AB上方），在AN上取一点H，连接MH交线段AB于T，若T为MH的中点，证明：直线MH的斜率为定值．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题意可知，求解即可；
（2）当PN斜率不存在时,求得；当PN斜率存在时, 设PN的方程为，联立消元得，设, 则，利用韦达定理可得，求得，由三点共线 可得，从而求得，代入，可得， 从而求得，进而可证.
【详解】（1）由题知，得，
所以椭圆的方程为：.
（2）当PN斜率不存在时, 此时, 设为MH的中点，故
AN的方程：，将代入得到，故H，
故.
当PN斜率存在时, 设PN的方程为，
联立，得，
则，即
设, 则
根据韦达定理可得，，
所以，
因为，
又因为三点共线, 所以，
即
解得
则
，
所以
，
综上所述，直线MH的斜率为定值.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
50．（2023·天津南开·统考二模）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A，，上顶点为，坐标原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过A点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件列方程组求得得椭圆方程；
（2）设的直线方程为，，，直线方程代入椭圆方程得，由垂直求得，再把代入，换元后利用基本不等式得最大值．
【详解】（1）由已知可得，解得，，，，
所以椭圆的方程为.
（2）设的直线方程为，，，
联立方程整理得，
所以，
因为，
所以，
即.
所以.
整理得，解得或（舍去），
所以
所以，
令，
则，
此时最大值为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值求法：
引入参数设出动直线方程，代入圆锥曲线方程后应用韦达定理，用点的坐标表示出待求最值的量的表达式，如果只有一个参数，则直接代入韦达定理的结果后，利用函数知识、不等式知识或导数知识求得最值，如果有两个参数，则利用韦达定理的结果和题中条件求出一个参数值或两个参数关系，消去一个参数，然后再求得最值．
51．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知椭圆的焦距为2，且经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C内接四边形MNQP的对角线交于点，满足，试问：直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)为定值
【分析】（1）易得，再根据椭圆过点，求出即可得解；
（2）设，根据，求出及的关系，再根据都在椭圆上，可求得的关系，同理可求出的关系，进而可得出结论.
【详解】（1）由题意，可得，则，即，
又椭圆过点，则，解得，
所以椭圆C的方程为；
（2）设，
，
故，所以，
因为都在椭圆上，
所以，即，
两式相减，得，即，
同理可得，两式相减可得，
所以为定值.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
52．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知椭圆C的下顶点M，右焦点为F，N为线段MF的中点，O为坐标原点，，点F与椭圆C任意一点的距离的最小值为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l：与椭圆C交于A，B两点，若存在过点M的直线，使得点A与点B关于直线对称，求的面积的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）设椭圆C的标准方程为，由题意可得，再根据即可得椭圆C的标准方程；
（2）根据题意得：的中垂线过点，联立，根据韦达定理可得的中点坐标为，从而可求的中垂线方程，代入点的坐标得
.由弦长公式求出，由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，故可得，根据函数的单调性即可求解.
【详解】（1）由题设椭圆C的标准方程为，其中，
由题意可得，又N为线段MF的中点，，
所以，即.
因为点F与椭圆C任意一点的距离的最小值为，
所以，解得，，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）根据题意得：的中垂线过点，
由，消去并化简得，
.
设，
则，
所以，
所以的中点坐标为.
因为，所以的中垂线方程为，
代入点的坐标得：，即，
所以且，解得.
所以， .
又点到直线的距离为，
所以
.
因为在上单调递减，
所以，所以.
【点睛】思路点睛：直线与圆锥曲线求三角形的面积：
1.设出交点的坐标：；
2.联立方程组，根据已知，得出关于或的方程，根据韦达定理，得出两根之和以及两根之积；
3.根据点到直线的距离公式求出；
4.根据弦长公式，整理化简得出弦长；
5.代入面积公式，整理即可得出面积.
53．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：与椭圆C2：，且椭圆C2过椭圆C1的焦点，过点的直线l与椭圆C1交于A，B两点，与椭圆C2交于C，D两点.
(1)求椭圆C1的标准方程；
(2)若存在直线l，使得，求t的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据顶点与焦点坐标公式代入求解即可；
（2）设l：，分别联立两椭圆的方程，根据弦长公式结合可得，先讨论当时，再根据当时可得.
【详解】（1）因为椭圆过点（±1，0），所以，
所以，即椭圆的标准方程为.
（2）易知直线l的斜率存在，设l：，A（x1,y1），B（x2,y2），C（x3,y3），D（x4,y4），联立直线l与椭圆，，
消去y，整理得，
则，，
，即，
联立直线l与椭圆，，消去y，整理得，
则，，
，即，
所以，
，
因为，所以，
即，平方整理得，
当时，对均成立，当时，
因为，所以，即t的取值范围为.
综上，t的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥曲线弦长公式的运用，同时也考查了函数取值范围的问题，需要根据题意列出等式，再将所求用斜率参数表示，结合函数的单调性求解取值范围即可，重在化简技巧，属于难题.
54．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知椭圆的一个顶点为，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线与椭圆C交于不同的两点，点D在第二象限，直线分别与x轴交于，求四边形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）根据已知条件结合可求得，即得答案；
（2）设直线直线的方程并联立椭圆方程，设，，可得根与系数的关系式，利用，代入化简，并结合基本不等式，即可求得答案.
【详解】（1）由已知，，结合，∴，，
故椭圆方程为；
（2）由过点的直线与椭圆C交于不同的两点，
可知直线的斜率一定存在，
设直线的方程为，，
联立方程组，可得，
需满足，
设，，，，
，
又，直线AE交x轴于点N，同理，
故
，
当且仅当即时，等号成立，
此时，符合题意，
故四边形面积的最大值为4.
【点睛】方法点睛：解决四边形面积的最大值问题，要求得四边形面积的表达式，因此作图分析，利用直线方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，从而可得，将根与系数的关系式代入化简，再结合基本不等式，解决问题.
55．（2023·广西·统考模拟预测）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，是椭圆上异于左、右顶点的动点，的周长为6，椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若圆与的三边都相切，判断是否存在定点，，使为定值.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在定点，
【分析】（1）结合数量积的坐标表示求及其最小值表达式，由条件列关于的方程，解方程求可得椭圆方程；
（2）设圆的半径为，，由内切圆的性质确定的关系，再结合点到直线的距离公式确定的关系，由此确定点的轨迹方程，结合椭圆定义完成证明.
【详解】（1）周长为，
椭圆的离心率为，则，
所以
所以椭圆的标准方程为；
（2）设圆的半径为，，由（1）不妨设，
则的面积，
所以，，所以，
由，，得直线的方程为，
则点到直线的距离为，
整理，得，
把代入上式，得，
即，
由题意得，，，
所以，则，
把，代入椭圆的方程，得，
所以点在椭圆上，
所以存在定点，，使为定值2.
【点睛】关键点点睛：本题第二小问解决的关键在于由条件确定点的轨迹方程，再由椭圆定义证明结论.先通过内切圆和等面积法建立点坐标和半径及点坐标的关系，再由相关点法得出轨迹方程即可.
56．（2023·湖北·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A在C上，当轴时，；当时，.
(1)求C的方程；
(2)已知斜率为-1的直线l与椭圆C交于M，N两点，与直线交于点Q，且点M，N在直线的两侧，点．若，是否存在到直线l的距离的P点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）利用通径公式和椭圆定义，结合余弦定理即可建立方程，从而可求解椭圆方程；
（2）由点M，N在直线的两侧可得，设直线l：，点，，联立椭圆方程，消元，利用韦达定理可得，．根据，得到．代入斜率公式，得到，再由，求出的取值范围即可.
【详解】（1）当轴时，，即①，
当时，，
在中，，由余弦定理可知，
，
即，
整理，可得，即②，
由①②，解得，．
所以C的方程为．
（2）
设直线l：，点，，
令，则，，
由点M，N在直线的两侧，可得，
联立，消去x，可得，
则恒成立，
所以，．
因为，所以，
由正弦定理，得，
而，即，
所以，而，则，
所以，则，即，
即，
整理，得，所以，
因为，所以，
又，所以，
所以．
令，
结合，解得，则．
所以时，点P到直线l的距离．
【点睛】关键点睛：第二问中的关键是能把转化为，由正弦定理，得，从而得到，即，从而利用斜率公式和韦达定理求解.
57．（2023·福建·统考模拟预测）已知圆，直线过点且与圆交于点B，C，BC中点为D，过中点E且平行于的直线交于点P，记P的轨迹为Γ
(1)求Γ的方程；
(2)坐标原点O关于，的对称点分别为，，点，关于直线的对称点分别为，，过的直线与Γ交于点M，N，直线，相交于点Q.请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明.
①的面积是定值；②的面积是定值：③的面积是定值.
【答案】(1)
(2)结论③正确，证明见解析
【分析】（1）由几何性质知P到，两点的距离之和为定值可得P的轨迹为椭圆；
（2）解法一、二：设直线，，，表示出直线，的方程并联立求得Q的横坐标为定值，因此的面积是定值.
解法三：当直线垂直于x轴时求得Q横坐标为4，当直线不垂直于x轴时，设直线，，，表示出直线，的方程并联立求得Q的横坐标为定值，因此的面积是定值.
解法四：设直线，，，表示出直线，的方程，利用在椭圆上得，将直线的方程化为，与直线联立求得Q的横坐标为定值，因此的面积是定值.
【详解】（1）由题意得，，.
因为D为BC中点，所以，即，
又，所以，
又E为的中点，所以，
所以，
所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆（左 右顶点除外）.
设，其中，.
则，，，.
故.
（2）解法一：结论③正确.下证：的面积是定值.
由题意得，，，，，且直线的斜率不为0，
可设直线，，，且，.
由，得，
所以，，
所以.
直线的方程为：，直线的方程为：，
由，得，
，
解得.
故点Q在直线，所以Q到的距离，
因此的面积是定值，为.
解法二：结论③正确.下证：的面积是定值.
由题意得，，，，，且直线的斜率不为0，
可设直线，，，且，.
由，得，
所以，，
所以.
直线的方程为：，直线的方程为：，
由，
得
，
故点Q在直线，所以Q到的距离，
因此的面积是定值，为.
解法三：结论③正确.下证：的面积是定值.
由题意得，，，，，且直线的斜率不为0.
（i）当直线垂直于x轴时，，由，得或.
不妨设，，
则直线的方程为：，直线的方程为：，
由，得，所以，
故Q到的距离，此时的面积是.
（ii）当直线不垂直于x轴时，设直线，，，且，.
由，得，
所以，.
直线的方程为：，直线的方程为：，
由，得
.
下证：.
即证，即证，
即证，
即证，
上式显然成立，
故点Q在直线，所以Q到的距离，
此时的面积是定值，为.
由（i）（ii）可知，的面积为定值.
解法四：结论③正确.下证：的面积是定值.
由题意得，，，，，且直线的斜率不为0，
可设直线，，，且，.
由，得，
所以，.
直线的方程为：，直线的方程为：，
因为，所以，
故直线的方程为：.
由，得
，
解得.
故点Q在直线，所以Q到的距离，
因此的面积是定值，为.
【点睛】方法点睛：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：，则称点P(，)和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(，)对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点P(，)对应的极线方程为；对于双曲线，与点P(，)对应的极线方程为；对于抛物线，与点P(，)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
（二）极点与极线的基本性质 定理
①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；
②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；
③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.
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专题21 椭圆
一、单选题
1．（2023·浙江宁波·统考二模）设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆的左焦点为，若椭圆上存在点P，使得线段与直线垂直垂足为Q，若，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A． B．或
C． D．或
4．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）一名木匠准备制作一张椭圆形的餐桌台面，如图，他先将一根细绳（无弹性）的两端固定在钉子上，然后用笔撑直绳子，转圈画出的图形就是一个椭圆．如果图中的两个钉子之间的距离为，细绳长为，将绳子与钉子固定所用的绳长忽略不计，则过该椭圆的中心的弦中，最短弦长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·四川宜宾·统考三模）已知p：，q：表示椭圆，则p是q的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆C交于A，B两点，若，则的面积等于（ ）
A．18 B．10 C．9 D．6
7．（2023·北京东城·统考二模）已知椭圆的一个焦点的坐标是，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·广西·校联考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，若已知过点且与椭圆相切的切线方程为，垂直于直线且与轴交于点，若为的中点，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知，是椭圆的上、下顶点，为的一个焦点，若的面积为，则的长轴长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
10．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）已知椭圆的左 右焦点分别为、，过作直线与椭圆相交于、两点，，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·山东日照·统考二模）古希腊亚历山大时期一位重要的几何学家帕普斯（Pappus，公元3世纪末）在其代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题：即到两条已知直线距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线．今有平面内三条给定的直线，且，均与垂直．若动点M到的距离的乘积是M到的距离的平方的4倍，则动点M在直线之间（含边界）的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
12．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的一个焦点在函数的图像上．若椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，上顶点为，则到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·四川成都·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆相交于两点．有下列结论：
①四边形为平行四边形；
②若轴，垂足为，则直线的斜率为；
③若（为坐标原点），则四边形的面积为；
④若，则椭圆的离心率可以是．
其中错误结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
15．（2023·全国·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上异于的一点．若椭圆的离心率的取值范围是，则直线，斜率之积的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知是椭圆的左焦点，过作斜率为的直线交椭圆于，两点，若线段MN的长等于椭圆短轴长的，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽，在另一活动木条的处钻一个小孔，可以容纳笔尖，各在一条槽内移动，可以放松移动以保证与的长度不变，当各在一条槽内移动时，处笔尖就画出一个椭圆.已知，且在右顶点时，恰好在点，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·江苏南京·统考二模）已知椭圆，为其左焦点，直线与椭圆交于点，，且．若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
19．（2023·江苏·统考三模）已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则PQ＋PF的最大值为（ ）
A．3 B．6
C． D．
20．（2023·浙江温州·统考三模）如图，是椭圆的左 右顶点，是上不同于的动点，线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
21．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知是椭圆的左，右焦点，过点的直线与椭圆交于A，B两点，设的内切圆圆心为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
22．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知M，N是椭圆上关于原点O对称的两点，P是椭圆C上异于M，N的点，且的最大值是，则椭圆C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
23．（2023·安徽合肥·校联考三模）已知为坐标原点，椭圆：，平行四边形的三个顶点A，，在椭圆上，若直线和的斜率乘积为，四边形的面积为，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
24．（2023·云南·校联考二模）已知椭圆，为C的左、右焦点，P为C上一点，且，若交C点于点Q，则（ ）
A．周长为8 B．
C．面积为 D．
25．（2023·广东汕头·统考二模）已知曲线，，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C可能是圆，也可能是直线
B．曲线C可能是焦点在轴上的椭圆
C．当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆
D．当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为
26．（2023·全国·模拟预测）已知曲线为焦点在x轴上的椭圆，则（ ）
A． B．的离心率为
C．m的值越小，C的焦距越大 D．的短轴长的取值范围是
27．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，，分别是的左 右焦点，过的直线与交于，两点，过的直线与交于，两点，当时，，则（ ）
A．椭圆的标准方程为
B．椭圆的短轴长为2
C．若，则直线的斜率的平方大于2
D．当时，
28．（2023·河北保定·统考一模）椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点．假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程可能为（ ）
A．2 B．8 C．10 D．12
29．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知是圆上任意一点，定点在轴上，线段的垂直平分线与直线相交于点，当在圆上运动时，的轨迹可以是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
30．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）已知分别为椭圆的左 右焦点，过的直线与交于两点，若，则（ ）
A． B．
C．椭圆的离心率为 D．直线的斜率的绝对值为
31．（2023·湖北武汉·统考二模）椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的可能取值有（ ）
A． B． C． D．
32．（2023·浙江·统考二模）已知正方形中，，是平面外一点.设直线与平面所成角为，设三棱锥的体积为，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则的最大值是 B．若，则的最大值是
C．若，则的最大值是 D．若，则的最大值是
三、填空题
33．（2023·浙江台州·统考二模）已知椭圆经过点和，则椭圆的离心率为___________.
34．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知椭圆的左顶点为，上顶点为为坐标原点，椭圆上的点分别在第一 二象限内，若与的面积相等，且，则的离心率为__________.
35．（2023·山东青岛·统考二模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于点、，直线为在点处的切线，点关于的对称点为.由椭圆的光学性质知，、、三点共线.若，，则__________.
36．（2023·河北衡水·模拟预测）勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，若椭圆的一个焦点把长轴分成长度分别为的两段，且恰好为一组勾股数，则的一个标准方程为_________. (写出满足条件的一个即可)
37．（2023·广东佛山·统考二模）已知、分别为椭圆的左、右焦点，是过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点，则的最大值为______．
38．（2023·辽宁锦州·统考二模）椭圆的离心率为，分别为的左 右焦点，若，是上轴上方的两点且，则___________.
39．（2023·浙江·统考二模）已知椭圆的左、右焦点分别为.若关于直线的对称点恰好在上，且直线与的另一个交点为，则__________.
40．（2023·山西·统考二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是上一点，点是直线与轴的交点，的内切圆与相切于点，若，则椭圆的离心率__________．
41．（2023·河北邯郸·统考二模）已知为坐标原点，椭圆的右焦点为，上顶点为，线段的中垂线交于、两点，交轴于点，，的周长为16，则椭圆的标准方程为_________.
四、解答题
42．（2023·广西·统考模拟预测）已知分别为椭圆的左，右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过的直线与椭圆交于两点，且与以为直径的圆交于两点，证明：为定值．
43．（2023·广东湛江·统考二模）设椭圆方程为，，分别是椭圆的左、右顶点，直线过点，当直线经过点时，直线与椭圆相切．
(1)求椭圆的方程．
(2)若直线与椭圆交于，（异于，）两点．
（i）求直线与的斜率之积；
（ii）若直线与的斜率之和为，求直线的方程．
44．（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）在平面直角坐标系中，已知点，，动点P满足：.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设曲线C的右顶点为D，若直线l与曲线C交于A，B两点（A，B不是左右顶点）且满足，求原点O到直线l距离的最大值.
45．（2023·北京西城·统考二模）已知椭圆的短轴长为，一个焦点为．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)设直线与椭圆交于两点，点在线段上，点关于点的对称点为．当四边形的面积最大时，求的值．
46．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知椭圆：与椭圆：的离心率相等，的焦距是．
(1)求的标准方程；
(2)P为直线l：上任意一点，是否在x轴上存在定点T，使得直线PT与曲线的交点A，B满足？若存在，求出点T的坐标．若不存在，请说明理由．
47．（2023·四川乐山·统考三模）已知椭圆C：的右焦点为，短轴长等于焦距．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线交C于P，Q，交直线于点N，记OP，OQ，ON的斜率分别为，，，若，求的值．
48．（2023·河南·校联考三模）已知椭圆的右焦点为，且是椭圆上一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过且斜率不为0的直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程.
49．（2023·四川自贡·统考三模）已知椭圆C：的离心率，设，，，其中A，B两点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P的直线交椭圆C于M，N两点（M在线段AB上方），在AN上取一点H，连接MH交线段AB于T，若T为MH的中点，证明：直线MH的斜率为定值．
50．（2023·天津南开·统考二模）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A，，上顶点为，坐标原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过A点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值.
51．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知椭圆的焦距为2，且经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C内接四边形MNQP的对角线交于点，满足，试问：直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
52．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知椭圆C的下顶点M，右焦点为F，N为线段MF的中点，O为坐标原点，，点F与椭圆C任意一点的距离的最小值为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l：与椭圆C交于A，B两点，若存在过点M的直线，使得点A与点B关于直线对称，求的面积的取值范围.
53．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：与椭圆C2：，且椭圆C2过椭圆C1的焦点，过点的直线l与椭圆C1交于A，B两点，与椭圆C2交于C，D两点.
(1)求椭圆C1的标准方程；
(2)若存在直线l，使得，求t的取值范围.
54．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知椭圆的一个顶点为，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线与椭圆C交于不同的两点，点D在第二象限，直线分别与x轴交于，求四边形面积的最大值．
55．（2023·广西·统考模拟预测）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，是椭圆上异于左、右顶点的动点，的周长为6，椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若圆与的三边都相切，判断是否存在定点，，使为定值.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
56．（2023·湖北·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A在C上，当轴时，；当时，.
(1)求C的方程；
(2)已知斜率为-1的直线l与椭圆C交于M，N两点，与直线交于点Q，且点M，N在直线的两侧，点．若，是否存在到直线l的距离的P点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由.
57．（2023·福建·统考模拟预测）已知圆，直线过点且与圆交于点B，C，BC中点为D，过中点E且平行于的直线交于点P，记P的轨迹为Γ
(1)求Γ的方程；
(2)坐标原点O关于，的对称点分别为，，点，关于直线的对称点分别为，，过的直线与Γ交于点M，N，直线，相交于点Q.请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明.
①的面积是定值；②的面积是定值：③的面积是定值.
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