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专题19 直线与方程
一、单选题
1．（2023·浙江温州·统考三模）已知直线，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．（2023·上海黄浦·统考二模）若直线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河北衡水·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．5
4．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）直线，直线，给出下列命题：
①，使得； ②，使得；
③，与都相交； ④，使得原点到的距离为.
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
5．（2023·安徽合肥·校联考三模）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，若直线与圆：相切，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．或
7．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知抛物线C：，（）的焦点为F，为C上一动点，若曲线C在点M处的切线的斜率为，则直线FM的斜率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·江西赣州·统考二模）已知双曲线的左、右焦点分别是，，直线分别经过双曲线的实轴和虚轴的一个端点，，到直线的距离和大于实轴长，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·辽宁·校联考二模）已知圆，直线l：，若l与圆O相交，则（ ）．
A．点在l上 B．点在圆O上
C．点在圆O内 D．点在圆O外
10．（2023·北京东城·统考二模）已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有（ ）
A．个 B．2个 C．个 D．无数个
11．（2023·北京东城·统考二模）已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·山东青岛·统考二模）已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与及其准线依次交于三点（其中点在之间），若，,则的面积是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知双曲线M：的焦距为2c，F为抛物线的焦点.以F为圆心，c为半径的圆过双曲线M的右顶点.若圆C：与双曲线M的渐近线有公共点，则半径r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知圆，圆心为的圆分别与圆相切.圆的公切线（倾斜角为钝角）交圆于两点，则线段的长度为（ ）
A． B． C．3 D．6
15．（2023·重庆·统考模拟预测）已知直线：上存在点A，使得过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N，且，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）设，函数，曲线的最低点为的面积为，则（ ）
A．是递增数列 B．是递减数列
C．是递增数列 D．是摆动数列
17．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）海面上有相距4公里的，两个小岛，在的正东方向，为守护小岛，一艘船绕两岛航行，已知这艘船到两个小岛距离之和为6公里.在岛的北偏西处有一个信号站，岛到信号站的距离为公里.若这艘船航行的过程中一直能接收到信号站发出的信号，则信号站的信号传播距离至少为（ ）
A．公里 B．5公里 C．公里 D．公里
18．（2023·全国·模拟预测）过三点，，的圆与直线交于，两点，则（ ）
A． B． C． D．
19．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线与圆相切，则满足条件的直线l的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
20．（2023·广东·统考二模）已知双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
21．（2023·广东广州·统考二模）已知椭圆C：（），过点且方向向量为的光线，经直线反射后过C的右焦点，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
22．（2023·广东梅州·统考二模）若直线l：将圆C：分成弧长之比为2：1的两部分，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
23．（2023·广东茂名·统考二模）已知平面内的动点，直线：，当变化时点始终不在直线上，点为：上的动点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
24．（2023·上海静安·统考二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
25．（2023·山西·统考二模）已知圆，过直线上的动点作圆的切线，切点为，则的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
26．（2023·福建泉州·统考模拟预测）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知，，则的最大值近似等于（ ）
（参考数据：，．）
A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948
二、多选题
27．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知圆是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ）
A．直线经过定点
B．的最小值为
C．点到直线的距离的最大值为
D．是锐角
28．（2023·江苏·统考二模）在平面直角坐标系中，已知直线：，椭圆：，则下列说法正确的有（ ）
A．恒过点
B．若恒过的焦点，则
C．对任意实数，与总有两个互异公共点，则
D．若，则一定存在实数，使得与有且只有一个公共点
29．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）如图，已知双曲线：的左右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点B，连接，，与双曲线左支交于点P，与渐近线分别交于点M，N，则（ ）
A．
B．
C．过的双曲线的弦的长度的最小值为8
D．点B到两条渐近线的距离的积为
30．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）已知分别为椭圆的左 右焦点，过的直线与交于两点，若，则（ ）
A． B．
C．椭圆的离心率为 D．直线的斜率的绝对值为
31．（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）已知圆，P为直线上一点，过点，分别作两条不同的直线，，与圆相交于A，B，与圆的另一个交点为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且点在轴上的射影为，则
B．圆上的点到直线的最大距离与最小距离之和为
C．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线，过定点
D．若，则的最大值为
32．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知、分别是双曲线的左、右焦点，过点作双曲线的切线交双曲线于点（在第一象限），点在延长线上，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．为的平分线 D．的角平分线所在直线的倾斜角为
33．（2023·广东·统考二模）在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为，则正方形ABCD四边所在直线中过点的直线的斜率可以是（ ）
A．2 B． C． D．
34．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知，是函数与的图像的两条公切线，记的倾斜角为，的倾斜角为，且，的夹角为（），则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．与的交点可能在第三象限
35．（2023·浙江·二模）已知抛物线：与抛物线：在第一象限交于点，过点的直线分别与，交于，两点，且为线段的中点，为坐标原点，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
36．（2023·四川自贡·统考三模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于B点，则的内切圆的半径为______．
37．（2023·浙江绍兴·绍兴一中校考模拟预测）从点射出两条光线的方程分别为：和，经轴反射后都与圆相切，则__________．
38．（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）已知是抛物线上一点，则的最小值为______.
39．（2023·广东深圳·统考二模）足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择.若选择线路，则甲带球_________码时，到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球_________码时，到达最佳射门位置.
40．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）如图，已知有公共焦点、的椭圆和双曲线相交于A、B、C、D四个点，且满足，直线AB与x轴交于点P，直线CP与双曲线交于点Q，记直线AC、AQ的斜率分别为、，若，则椭圆的离心率为___________.
41．（2023·浙江·统考二模）已知椭圆的左、右焦点分别为.若关于直线的对称点恰好在上，且直线与的另一个交点为，则__________.
四、解答题
42．（2023·四川成都·石室中学校考三模）已知椭圆的右焦点为，点M是椭圆C上异于左、右顶点，的任意一点，且直线与直线的斜率之积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与直线相交于点，且，求证：.
43．（2023·陕西咸阳·统考三模）直线（t为参数），圆（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同）．
(1)求圆心C到直线l的距离；
(2)若直线l被圆C截得的弦长为，求a的值．
44．（2023·陕西安康·陕西省安康中学统考模拟预测）已知椭圆的焦点分别别为的上 下顶点，过且垂直于的直线与交于两点，
(1)求椭圆的方程；
(2)已知原点，过的直线分别交于两点和两点，在轴的上方，若三点共线，证明：直线过定点.
45．（2023·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.
(1)求直线的普通方程，并说明曲线是哪种曲线；
(2)设，分别是和上的动点，求的最小值.
46．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考一模）已知抛物线C：的焦点F到准线l的距离为2，圆：
(1)若第一象限的点P，Q是抛物线C与圆的交点，求证：点F到直线PQ的距离大于1；
(2)已知直线l：与抛物线交于M，N两点，，若点N，G关于x轴对称，且M，A，G三点始终共线，求t的值.
47．（2023·甘肃武威·统考三模）已知椭圆的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的动点，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为直线上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点．
①证明：直线CD过椭圆右焦点；
②椭圆的左焦点为，求的周长是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
48．（2023·山东济宁·统考二模）已知双曲线的离心率为的右焦点到其渐近线的距离为．
(1)求该双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线在第一象限交于两点，直线交线段于点，且，证明：直线过定点.
49．（2023·广东深圳·统考二模）已知双曲线：，点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C的左、右顶点，直线与y轴交于点D，点Q在x轴正半轴上，点E在y轴上.
(1)若点，，过点Q作BM的垂线l交该双曲线C于S，T两点，求的面积；
(2)若点M不与B重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①；②；③.注:若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
50．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，直线的方程为，圆以为圆心且与相切.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆的极坐标方程；
(2)若射线与圆交于两点，且，求直线的直角坐标方程．
51．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知椭圆的离心率为，左 右焦点分别为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，连接并交椭圆于另一点，若的面积为，求直线的方程.
52．（2023·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为，（为参数）．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
(2)若是曲线上一点，是直线上一点，求的最小值．
53．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆E过，直线与椭圆E交于A、B．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线TA、TB的斜率分别为，，证明：；
(3)直线是过点T的椭圆E的切线，且与直线l交于点P，定义为椭圆E的弦切角，为弦TB对应的椭圆周角，探究椭圆E的弦切角与弦TB对应的椭圆周角的关系，并证明你的论．
54．（2023·北京朝阳·二模）已知点在椭圆E：上，且E的离心率为.
(1)求E的方程；
(2)设F为椭圆E的右焦点，点是E上的任意一点，直线PF与直线相交于点Q，求的值.
55．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知为椭圆：上两点，点满足，过点A与点的直线与直线交于点．
(1)当轴且A在轴上方时，求直线的斜率；
(2)已知，记的面积为，的面积为，求的取值范围．
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专题19 直线与方程
一、单选题
1．（2023·浙江温州·统考三模）已知直线，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据给定的条件，利用两直线的垂直关系列式计算作答.
【详解】因为直线，且，则，
所以.
故选：B
2．（2023·上海黄浦·统考二模）若直线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两条直线垂直的条件列出等量关系式，求得的值.
【详解】直线与直线垂直，
则，解得，
故选：B.
3．（2023·河北衡水·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【分析】求出圆心和半径，由垂径定理得到，从而求出的面积.
【详解】圆的方程为，故圆心坐标为，半径，
点到线段的距离为，
故，
的面积.
故选：B.
4．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）直线，直线，给出下列命题：
①，使得； ②，使得；
③，与都相交； ④，使得原点到的距离为.
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【答案】C
【分析】利用两直线平行可得出关于的等式与不等式，解之可判断①；利用两直线垂直可求得实数的值，可判断②；取可判断③；利用点到直线的距离公式可判断④.
【详解】对于①，若，则，该方程组无解，①错；
对于②，若，则，解得，②对；
对于③，当时，直线的方程为，即，此时，、重合，③错；
对于④，直线的方程为，
若，使得原点到的距离为，则，整理可得，
，方程有解，④对.
故选：C.
5．（2023·安徽合肥·校联考三模）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由方向向量的坐标得出直线的斜率，再求倾斜角即可.
【详解】由题意可得：直线的斜率，即直线的倾斜角为.
故选：A
6．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，若直线与圆：相切，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离公式，椭圆离心率公式，即可求得椭圆的离心率．
【详解】设，则直线的方程为，即，
圆心到直线的距离，
两边平方整理得，，
于是，解得或，
则或，
故选：D
7．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知抛物线C：，（）的焦点为F，为C上一动点，若曲线C在点M处的切线的斜率为，则直线FM的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用导数几何意义表示出M坐标，结合斜率公式计算即可.
【详解】∵，
∴，，
∴，
由题意知，，解得：，
又∵M在上，
∴，解得：，
∴，
∴.
故选：B.
8．（2023·江西赣州·统考二模）已知双曲线的左、右焦点分别是，，直线分别经过双曲线的实轴和虚轴的一个端点，，到直线的距离和大于实轴长，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用点到直线距离公式列出不等式，求出，得到离心率取值范围.
【详解】设直线经过，则直线的方程为，即，
则到直线的距离分别为，，
故，解得，
故离心率，故双曲线的离心率的取值范围是.
故选：B
9．（2023·辽宁·校联考二模）已知圆，直线l：，若l与圆O相交，则（ ）．
A．点在l上 B．点在圆O上
C．点在圆O内 D．点在圆O外
【答案】D
【分析】根据l与圆O相交，可知圆心到直线的距离小于半径，列出不等式，再判断点与直线和圆的关系.
【详解】由已知l与圆O相交，,可知圆心到直线的距离小于半径，
则有，故，
把代入，所以点不在直线l上，故A错误；
又，则点在圆O外，故D正确.
故选：D．
10．（2023·北京东城·统考二模）已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有（ ）
A．个 B．2个 C．个 D．无数个
【答案】C
【分析】考虑三条直线交于一点或与或平行时，满足条件，求出答案.
【详解】当三条直线交于一点时，可将平面分为六个部分，
联立与，解得，
则将代入中，，解得，
当与平行时，满足要求，此时，
当与平行时，满足要求，此时，
综上，满足条件的的值共有3个.
故选：C
11．（2023·北京东城·统考二模）已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据点在圆上，求出，考虑的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离列出方程，求出斜率和倾斜角.
【详解】由题意得，
当的斜率不存在时，此时直线方程为，与圆相交，不合题意，
当的斜率存在时，设切线的方程为，
则，解得，
设的倾斜角为，
故的倾斜角为.
故选：D
12．（2023·山东青岛·统考二模）已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与及其准线依次交于三点（其中点在之间），若，,则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，利用抛物线定义可得，则，继而可求出，即可得到的值，从而得到抛物线的标准方程，由可得到直线的斜率，得到直线的方程，联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理、抛物线的定义，并利用点到直线距离公式，即可求解的面积.
【详解】过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，
设准线与轴相交于点，
如图，
则，，
在中，，所以，所以，
在中，，
所以，所以.
又轴，，所以.
又抛物线，则,
所以，所以抛物线，点.
因为，所以直线的斜率，
则直线，
与抛物线方程联立,消并化简得,
设点，则，
则.
又直线可化为，
则点到直线的距离,
所以.
故选:B.
13．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知双曲线M：的焦距为2c，F为抛物线的焦点.以F为圆心，c为半径的圆过双曲线M的右顶点.若圆C：与双曲线M的渐近线有公共点，则半径r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由抛物线的方程得，写出以F为圆心，c为半径的圆的方程，由题意可得，即，取其中一条渐近线，根据到直线的距离小于等于即可求解.
【详解】由抛物线的方程可得，则以F为圆心，c为半径的圆的方程为.
又过双曲线M的右顶点,所以,
所以.
因为圆C：与双曲线M的渐近线有公共点，
双曲线M的渐近线方程为，即，
由对称性可取其中一条渐近线，
所以到直线的距离小于等于，即，即.
故选：A.
14．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知圆，圆心为的圆分别与圆相切.圆的公切线（倾斜角为钝角）交圆于两点，则线段的长度为（ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】B
【分析】判断圆与需外切，求出的方程，进而求得圆的公切线方程，再根据弦长的几何求法，即可求得答案.
【详解】如图，由已知的圆心为，半径为，
设的半径为，
由题意知圆与需外切，否则圆无公切线或公切线（倾斜角为钝角）与圆无交点；
由题意知，即；
，即，
故圆，圆，
设圆的公切线方程为，
则，解得，即，
故到的距离为，
故，
故选：B
15．（2023·重庆·统考模拟预测）已知直线：上存在点A，使得过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N，且，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意求出，转化为直线上存在与C距离为2的点，利用点到直线距离建立不等式求解即可.
【详解】由可得，
圆心，半径，
过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N，
连接，如图，
由知，，又，
所以，
由题意，只需直线上存在与圆心距离为的点即可，
即圆心到直线的距离，
解得，
故选：C
16．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）设，函数，曲线的最低点为的面积为，则（ ）
A．是递增数列 B．是递减数列
C．是递增数列 D．是摆动数列
【答案】B
【分析】先由曲线的最低点为，曲线的最低点为，得到曲线的最低点为 ，再求得 和点到直线的距离d，由判断.
【详解】解：因为函数，所以，
当时，，当时，，
所以曲线的最低点为，
因为函数，所以，
当时，，当时，，
所以曲线的最低点为，
由此得曲线的最低点为 ，
则，
所以 ，
直线 的方程为 ，即 ，
所以点到直线的距离为 ，
所以 ，
令 ，
因为，
所以单调递减，
故选：B
17．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）海面上有相距4公里的，两个小岛，在的正东方向，为守护小岛，一艘船绕两岛航行，已知这艘船到两个小岛距离之和为6公里.在岛的北偏西处有一个信号站，岛到信号站的距离为公里.若这艘船航行的过程中一直能接收到信号站发出的信号，则信号站的信号传播距离至少为（ ）
A．公里 B．5公里 C．公里 D．公里
【答案】D
【分析】由椭圆定义船的航行轨迹是在一个长轴长为6焦距为4的椭圆上，求出椭圆的标准方程、点坐标，设椭圆上一点，根据的范围求出的范围可得答案.
【详解】由题意，船的航行轨迹是在一个长轴长为6焦距为4 的椭圆上，可设焦点坐标分别为，椭圆的标准方程为，
所以，，所以椭圆的方程为，
因为，，所以，
设椭圆上一点，
所以，
因为，所以，
所以，即，
故选：D.
18．（2023·全国·模拟预测）过三点，，的圆与直线交于，两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出圆的方程，再利用弦长公式求解作答.
【详解】依题意，设圆的方程为：，，
于是，解得，
则圆的方程为，即，其圆心为，半径，
点到直线的距离为，
所以.
故选：B
19．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线与圆相切，则满足条件的直线l的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据点到直线的距离公式和两圆位置关系即可求解.
【详解】由已知直线，
则原点到直线l的距离为，
由直线l与圆相切，
则满足条件的直线l即为圆和圆的公切线，
因为圆和圆外切，
所以这两个圆有两条外公切线和一条内公切线，
所以满足条件的直线l有3条．
故选: B．
20．（2023·广东·统考二模）已知双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用双曲线的性质，求出，求出双曲线的渐近线方程，进而得解.
【详解】设双曲线的半焦距为，
因为双曲线的离心率为，
所以，解得，
由，得，
所以，
所以渐近线方程为，
所以两条渐近线的倾斜角分别为和，
因为，
所以，两条渐近线所夹的锐角为；
即双曲线的两条渐近线的夹角为.
故选：C.
21．（2023·广东广州·统考二模）已知椭圆C：（），过点且方向向量为的光线，经直线反射后过C的右焦点，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设过点且方向向量为的光线，经直线的点为，右焦点为C，根据方向向量的直线斜率为，结合反射的性质可得，再结合等腰直角三角形的性质列式求解即可.
【详解】设过点且方向向量为的光线，经直线的点为，右焦点为C.
因为方向向量的直线斜率为，则，，又由反射光的性质可得，故，所以为等腰直角三角形，且到的距离为，又，故，，则，故，离心率.
故选：A
22．（2023·广东梅州·统考二模）若直线l：将圆C：分成弧长之比为2：1的两部分，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令直线与圆交于点，根据已知求出，进而求出点到直线的距离作答.
【详解】令直线与圆交于点，依题意，，而圆的圆心，半径，
，因此点到直线的距离，于是，
整理得，所以直线的斜率.
故选：D
23．（2023·广东茂名·统考二模）已知平面内的动点，直线：，当变化时点始终不在直线上，点为：上的动点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可分析出点P在：，问题转化为两圆上两动点距离的取值范围即可得解.
【详解】由原点到直线：的距离为，
可知直线是：的切线，又动直线始终没有经过点，所以点在该圆内，
因为点为：上的动点，且，，
∴，又，
即的取值范围为，
故选：D
24．（2023·上海静安·统考二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线上一点，即可求解.
【详解】联立，得，
取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：，
直线的斜率，所以直线的方程为，
整理为：.
故选：A
25．（2023·山西·统考二模）已知圆，过直线上的动点作圆的切线，切点为，则的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据题意易知当圆心到直线上点的距离最小时，最小，利用点到直线的距离公式计算即可.
【详解】圆，圆心，半径，
设圆心到直线：的距离为，则，
易得，则，
故当圆心到直线上点的距离最小时，即圆心到直线的距离，此时最小，
因为，所以，
故最小值是．
故选：D.
26．（2023·福建泉州·统考模拟预测）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知，，则的最大值近似等于（ ）
（参考数据：，．）
A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948
【答案】B
【分析】根据题意分析可得在正方形的边上运动，结合图象分析的最大值，即可得结果.
【详解】设，
由题意可得：，即，
可知表示正方形，其中，
即点在正方形的边上运动，
因为，由图可知：
当取到最小值，即最大，点有如下两种可能：
①点为点A，则，可得；
②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取，
则；
因为，
所以的最大值为.
故选：B.
【点睛】方法定睛：在处理代数问题时，常把代数转化为几何图形，数形结合处理问题.
二、多选题
27．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知圆是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ）
A．直线经过定点
B．的最小值为
C．点到直线的距离的最大值为
D．是锐角
【答案】AB
【分析】由两圆方程相减可得交点弦，即可可判断A，根据直线经过的定点即可求解C,由勾股定理即可判断CD.
【详解】设，则以为直径的圆的方程为
，
化简得，与联立，
可得所在直线方程：，即，
故可知恒过定点A正确；
到过定点的直线距离的最大值为：，
，故最小值为.B正确，
当点与定点的连线与直线垂直时，此时点到直线
的距离最大，且最大值为，故C错误；
圆心到的距离为，
由于,在直角三角形中，
当点运动到正好时，此时最小，的张角最大，
此时，
当点位于其它点时均为锐角，故，不恒为锐角，D错误.
故选：AB
28．（2023·江苏·统考二模）在平面直角坐标系中，已知直线：，椭圆：，则下列说法正确的有（ ）
A．恒过点
B．若恒过的焦点，则
C．对任意实数，与总有两个互异公共点，则
D．若，则一定存在实数，使得与有且只有一个公共点
【答案】ACD
【分析】结合点斜式判断A，由直线过点列关系式判断B，根据直线与椭圆的位置关系判断CD.
【详解】方程可化为，
所以直线恒过点，A正确；
设椭圆的半焦距为，则点的坐标可能为或，
若直线恒过点，则，故，矛盾，
直线恒过点，则，故，所以，B错误；
联立，消可得，
，
由对任意实数，与总有两个互异公共点，
可得方程有个不相等的实数解，
所以，
所以，
所以，C正确；
因为，
所以时，则，即时，
可得，此时方程组有且只有一组解，
故与有且只有一个公共点，D正确.
故选：ACD.
29．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）如图，已知双曲线：的左右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点B，连接，，与双曲线左支交于点P，与渐近线分别交于点M，N，则（ ）
A．
B．
C．过的双曲线的弦的长度的最小值为8
D．点B到两条渐近线的距离的积为
【答案】AD
【分析】由，若结合已知可得，设且，应用点在双曲线上、两点距离公式求坐标，写出直线求出坐标，进而判断各项的正误即可.
【详解】由题设，若，则，
，即，可得，
若且，则，可得，故，
所以，直线为，即，而渐近线为，
所以，，则，
又，可得（舍）或，故，
所以，即，A正确；而，B错误；
令，则，可得，故过垂直于x轴所得弦长为8，
而过和两顶点的直线，所得弦长为2，所以过的双曲线的最短弦为2，C错误；
由到的距离为，到的距离为，
所以B到两条渐近线的距离的积为，D正确.
故选：AD
30．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）已知分别为椭圆的左 右焦点，过的直线与交于两点，若，则（ ）
A． B．
C．椭圆的离心率为 D．直线的斜率的绝对值为
【答案】ABD
【分析】A选项，由线段比例求出面积比；B选项，由椭圆的定义得到，，，由勾股定理逆定理得到，进而求出正切值；C选项，根据为直角三角形，由勾股定理列出方程，求出离心率；D选项，作辅助线，由线段比例结合离心率得到，求出答案.
【详解】A选项，由题意得：，A正确；
B选项，设，则，
由椭圆定义可知：，，所以，，
因为，所以，解得，
故，，，
因为，所以，
故，B正确；
C选项，在中，，
由勾股定理得，解得，
椭圆的离心率为，C错误；
D选项，过点作于点，过点作于点，
则，
其中，故，
由勾股定理得，
则
故直线的斜率的绝对值为.
故选：ABD
31．（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）已知圆，P为直线上一点，过点，分别作两条不同的直线，，与圆相交于A，B，与圆的另一个交点为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且点在轴上的射影为，则
B．圆上的点到直线的最大距离与最小距离之和为
C．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线，过定点
D．若，则的最大值为
【答案】CD
【分析】由条件证明为等边三角形，由此可求，判断A，求圆心到直线 距离，由此求圆上一点到直线的最大距离与最小距离，由此判断B，由条件证明四点共圆，求该圆与圆的公共弦，可得方程，由此判断C，结合弦长公式求，再求其最大值，判断D.
【详解】连接， 因为，，
所以为等边三角形，
因为点在轴上的射影为，
所以，为的中点，
所以，A错误；
圆的圆心为，半径，
因为圆心到直线的距离，
所以圆上一点到直线的最大距离为，
圆上一点到直线的最大距离为，
所以圆上一点到直线的最大距离与最小距离之和为，B错误；
设点的坐标为，
由已知，
所以四点共圆，设的中点为，
则该圆的圆心为，半径为，
所以该圆的方程为，
圆与圆的圆心距为，
因为，
故圆心距小于两圆半径和，大于两圆的半径差的绝对值，
所以圆和圆相交，又为两圆的公共弦，
由方程与方程相减可得
，即直线的方程为，
化简可得，
所以直线过定点，C正确；
当直线的斜率存在，且不为0时，
设直线的方程为，则的方程为，
所以点到直线的距离，
点到直线的距离，
所以，，
所以，
又，
所以，
当直线的斜率为时，，
直线的方程为，所以，
，
当直线的斜率不存在时，直线与圆只有一个交点，与已知矛盾，
所以的最大值为，D正确；
故选：CD.
32．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知、分别是双曲线的左、右焦点，过点作双曲线的切线交双曲线于点（在第一象限），点在延长线上，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．为的平分线 D．的角平分线所在直线的倾斜角为
【答案】ACD
【分析】先根据题意设出切线方程，与双曲线方程联立求出点的坐标，然后即可求出，，从而可以判断AB两项；再根据角平分线性质定理的逆定理可以判断C项；最后根据条件求出的角平分线所在直线的斜率即可求出倾斜角.
【详解】由题意知点为切点，且切线斜率大于零，
设切线方程为，
联立消得，
由得，所以切线方程为.
把代入，解方程得
将代入切线方程得，所以，所以，故选项A正确.
因为,所以，故选项B错误.
因为,所以，
又因为，所以，
所以为的平分线，故选项C正确.
又因为，且与的角平分线所在直线垂直，
所以的角平分线所在直线的斜率为，
所以的角平分线所在直线的倾斜角为，故选项D正确.
故选：ACD.
33．（2023·广东·统考二模）在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为，则正方形ABCD四边所在直线中过点的直线的斜率可以是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】ABD
【分析】假设所在的直线过点，分类讨论所在的直线所过的点，结合图象分析运算.
【详解】因为选项斜率均为正值，不妨假设所在的直线过点，
设直线的倾斜角为，斜率为，
①若所在的直线过点，如图，可得，
因为，即，则；
②若所在的直线过点，如图，可得，
因为，即，则；
③若所在的直线过点，如图，可得，
因为，即，则；
综上所述：的可能值为.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：假设所在的直线过点，分类讨论所在的直线所过的点，数形结合处理问题.
34．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知，是函数与的图像的两条公切线，记的倾斜角为，的倾斜角为，且，的夹角为（），则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．与的交点可能在第三象限
【答案】ABC
【分析】根据反函数的性质可得公切线关于对称，即可得到，利用诱导公式证明A，利用诱导公式及基本不等式证明B，利用导数的几何意义说明C，结合函数图象说明D.
【详解】如图，因为与互为反函数，
故两函数的图象关于直线对称，则，关于对称，
故，，故A正确；
由题意，，均为锐角，，，，
当且仅当，即时取等号，故B正确；
设与两个函数图象分别切于，两点，，则，
即，解得或（舍去），
故，
对于，则，令，解得，所以切点为，
所以曲线的斜率为的切线方程为，
故曲线的斜率为的切线方程为，
同理可得的斜率为的切线方程为，
故曲线的斜率为的切线方程为，
所以，则，则，故C正确；
由图可知点必在第一象限，故D错误.
故选：ABC.
35．（2023·浙江·二模）已知抛物线：与抛物线：在第一象限交于点，过点的直线分别与，交于，两点，且为线段的中点，为坐标原点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】由的方程得出必过点和，结合的方程得出和的交点为和，且，当直线斜率不存在时，不合题意，当直线斜率存在时设直线的方程为，与和方程联立，得出，两点的坐标，再结合点为线段的中点，得出，对于A：由即可得出判断；对于B：通过比较与的大小关系，根据三角形中大角对大边，即可得出判断；对于C和D：由的范围，即可得出判断．
【详解】由，得必过点和，
又因为和在上，
所以和的交点为和，即，
当直线的斜率不存在时，不存在，两点，故不成立，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由得，
因为直线与有两个不同的交点，
所以，
即，
则，
所以，
由得，
因为直线与有两个不同的交点，
所以，
所以，
则，
所以，
因为为线段的中点，
所以，即，
所以，
对于A：设，
则，，
所以，
即，
所以，故A正确；
对于B：，，
所以，
当时，，
所以，
所以，
在中，为钝角，则为锐角，
所以，
所以，故B正确；
对于C，D：因为为锐角，
所以，
所以，故C正确；
所以，故D错误；
故选：ABC．
三、填空题
36．（2023·四川自贡·统考三模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于B点，则的内切圆的半径为______．
【答案】
【分析】先根据直线的交点结合两点间距离公式求出三角形的边长，再由三角形面积等于周长与内切圆半径的积的一半，计算求解即可.
【详解】
双曲线C：的左焦点为，到渐近线的距离,
联立方程组，
解得
可得，
设的内切圆的半径为，在中，，
故答案为：.
37．（2023·浙江绍兴·绍兴一中校考模拟预测）从点射出两条光线的方程分别为：和，经轴反射后都与圆相切，则__________．
【答案】
【分析】根据光学性质求出反射光线所在直线方程，再根据直线与圆相切列式，解方程组可得结果.
【详解】依题意知关于轴的对称点在反射光线所在直线上.
因为入射光线经轴反射，所以反射光线所在直线的斜率与入射光线所在直线的斜率互为相反数，
因为的斜率为，所以与其对应的反射光线所在直线的斜率为，
所以与其对应的反射光线所在直线方程为，即.
因为的斜率为，所以与其对应的反射光线所在直线的斜率为，
所以与其对应的反射光线所在直线方程为，即.
依题意有,且圆在轴上方，所以，且，
若，即，则，得或，均不符合题意；
若，即，则，得或（舍去），则.
则.
故答案为：.
38．（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）已知是抛物线上一点，则的最小值为______.
【答案】/
【分析】根据已知条件将问题转化为抛物线上的动点到直线和轴的距离之和的最小值，作出图形，利用抛物线的定义及点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由题可知， 过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点.
由，得，所以，如图所示
则动点到轴的距离为
所以,
当且仅当三点共线时，有最小值，即,( 为点到直线的距离).
所以到直线的距离为
所以，
所以.
所以的最小值为.
故答案为：.
39．（2023·广东深圳·统考二模）足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择.若选择线路，则甲带球_________码时，到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球_________码时，到达最佳射门位置.
【答案】
【分析】若选择线路，设，利用两角差的正切公式可得出关于的表达式，利用基本不等式可求得的值及的长；若选择线路，若选择线路，以线段的中点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，利用斜率公式、两角差的正切公式以及基本不等式可求得结果.
【详解】若选择线路，设，其中，，，
则，，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，此时，
所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置；
若选择线路，以线段的中点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，，
直线的方程为，设点，其中，
，，
所以，
，
令，则，
所以，
，
当且仅当时，即当，即当时，等号成立，
所以，，
当且仅当时，等号成立，
此时，，
所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置.
故答案为：；.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
40．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）如图，已知有公共焦点、的椭圆和双曲线相交于A、B、C、D四个点，且满足，直线AB与x轴交于点P，直线CP与双曲线交于点Q，记直线AC、AQ的斜率分别为、，若，则椭圆的离心率为___________.
【答案】/
【分析】设椭圆的方程为，双曲线的方程为，联立方程组求的坐标，再求点的坐标，由条件列方程求椭圆的离心率.
【详解】设椭圆的方程为，
双曲线的方程为，
因为椭圆和双曲线有公共焦点、，
所以，
因为，
联立，可得，
所以，
所以点的坐标分别为，，，，
所以直线的斜率，直线的方程为，
所以点的坐标为，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
联立，消得，
，
设点的坐标为，
则，
所以，，
所以直线的斜率，又，，
所以，又，
所以，
因为点，，
所以，
故，故
所以.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
41．（2023·浙江·统考二模）已知椭圆的左、右焦点分别为.若关于直线的对称点恰好在上，且直线与的另一个交点为，则__________.
【答案】
【分析】由点的对称性求出点坐标，和线段、，从而发现为直角，再由椭圆标准定义找到关系，并求出、的长度，最后在直角三角形中，求出的值.
【详解】
设关于直线的对称点，
由，得，
可知，，又知，
所以，则为直角，
由题意，点恰好在上，根据椭圆定义，得，
，设，则，
在直角三角形中，，
解得，从而，，
所以.
故答案为：
四、解答题
42．（2023·四川成都·石室中学校考三模）已知椭圆的右焦点为，点M是椭圆C上异于左、右顶点，的任意一点，且直线与直线的斜率之积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与直线相交于点，且，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据焦点坐标及斜率关系列式求解，写出椭圆标准方程即可；
（2）根据向量关系得出是线段的中点，再应用点到直线距离证明角平分即证.
【详解】（1）因为点是椭圆上异于左、右顶点，的任意一点，
且直线与直线的斜率之积为，设，椭圆的左、右顶点坐标分别为，，
故，
又因为，，所以，，故椭圆的标准方程为.
（2）设直线的方程为，.
由得.
因为，所以点是线段的中点，即.
设.由得，则
①当轴时，，此时 ，所以，，.
此时，点在的平分线所在的直线或上，
即.
②当时，直线MF的斜率为，
所以直线MF的方程为，
则点E到直线MF的距离为
，
所以点E在的平分线上，即.
综上所述，.
43．（2023·陕西咸阳·统考三模）直线（t为参数），圆（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同）．
(1)求圆心C到直线l的距离；
(2)若直线l被圆C截得的弦长为，求a的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先得到直线的普通方程与的直角坐标方程，进而根据点到直线的距离求解即可；
（2）根据垂径定理列式求解即可.
【详解】（1）直线（为参数）化为普通方程为，
，即，即，即，
圆心到直线的距离．
（2）圆的半径为，弦的一半为，
∴，
即，解得或
44．（2023·陕西安康·陕西省安康中学统考模拟预测）已知椭圆的焦点分别别为的上 下顶点，过且垂直于的直线与交于两点，
(1)求椭圆的方程；
(2)已知原点，过的直线分别交于两点和两点，在轴的上方，若三点共线，证明：直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据结合椭圆的特征得出，在应用弦长公式计算可得椭圆方程；
（2）设点应用点差法，消元可得定点.
【详解】（1）设，则，所以.
设椭圆的方程为，即，
，
为正三角形，
过且垂直于的直线与交于两点，为线段的垂直平分线，
直线的斜率为，斜率倒数为，
直线的方程：，代入椭圆方程，
整理化简得到：，
判别式，
.
，所以.
故椭圆的方程为.
（2）设因为，
所以，即①，
又因为点均在椭圆上，所以，
两式整理，可得，②，
由②除以①可得，消元可得，
同理可得，
所以直线的方程为，
又，
所以直线的方程为，故直线过定点.
45．（2023·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.
(1)求直线的普通方程，并说明曲线是哪种曲线；
(2)设，分别是和上的动点，求的最小值.
【答案】(1),曲线C是焦点在x轴上的椭圆;
(2)
【分析】（1）消参得到直线的普通方程和曲线的方程，即得解；
（2）设，求出即得解.
【详解】（1）由题得直线，曲线，即，
所以曲线C是焦点在x轴上的椭圆．
（2）设，则就是点B到直线的距离，
（的终边在第一象限且）
当时，．
46．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考一模）已知抛物线C：的焦点F到准线l的距离为2，圆：
(1)若第一象限的点P，Q是抛物线C与圆的交点，求证：点F到直线PQ的距离大于1；
(2)已知直线l：与抛物线交于M，N两点，，若点N，G关于x轴对称，且M，A，G三点始终共线，求t的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由抛物线的方程可得焦点到准线的距离即可得p的值，进而求出抛物线的方程，联立抛物线的方程与圆的方程，求出P，Q的坐标，求出直线PQ的方程，求点F到直线PQ的距离，可证得焦点F到直线PQ的距离大于1；（2）设M，N的坐标，由题意可得G的坐标，联立直线l与抛物线的方程，表示出直线MG，MA的斜率，利用韦达定理和斜率相等，联立方程即可求得
【详解】（1）由抛物线的方程可得焦点，准线方程为：，
所以焦点到准线的距离，
所以抛物线的方程为：，即，P，Q在第一象限，
联立，解得，，
所以直线PQ的方程：，即，
所以焦点F到直线PQ的距离，
即证得点F到直线PQ的距离大于1；
（2）设，，由题意，
直线l的方程为，，
联立，整理可得，
可得，，，
要使M，G，A三点共线，则，
即恒成立，
即，
整理可得，
整理可得，而，
所以，
所以
47．（2023·甘肃武威·统考三模）已知椭圆的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的动点，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为直线上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点．
①证明：直线CD过椭圆右焦点；
②椭圆的左焦点为，求的周长是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②定值为8.
【分析】（1）由题意可得，，，设，可得，进而根据题意即可求解；
（2）①设，联立直线和椭圆方程，求得，，进而得到，，再根据向量共线的定义即可得证；②根据椭圆的定义即可求解.
【详解】（1）由已知得：，，，
设，因为M在椭圆上，所以①
因为，
将①式代入，得，得，
所以椭圆．
（2）①证明：设，则，，
同理可得，，
联立方程，得，，
则．
同理联立方程，可得，，
则.
又椭圆的右焦点为，
所以，，
因为，
说明C，D，三点共线， 即直线CD恒过点．
②周长为定值．因为直线CD恒过点，
根据椭圆的定义，所以的周长为．
48．（2023·山东济宁·统考二模）已知双曲线的离心率为的右焦点到其渐近线的距离为．
(1)求该双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线在第一象限交于两点，直线交线段于点，且，证明：直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用条件直接求出，从而求出双曲线的方程；
（2）利用三角形面积公式可得，结合韦达定理可得出结果.
【详解】（1）因为双曲线的渐近线为，
又因为双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，所以，
又，，联立解得，
所以双曲线的方程为.
（2）由已知有，双曲线的右焦点为，直线过双曲线的右焦点．
则
直线与直线的倾斜角互补，．
显然直线的斜率存在，设直线的方程为．
联立得，
所以，
因为，所以．所以，
所以，整理得．
所以，化简得，即，
所以直线的方程为，恒过点．所以直线过定点．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
49．（2023·广东深圳·统考二模）已知双曲线：，点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C的左、右顶点，直线与y轴交于点D，点Q在x轴正半轴上，点E在y轴上.
(1)若点，，过点Q作BM的垂线l交该双曲线C于S，T两点，求的面积；
(2)若点M不与B重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①；②；③.注:若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先根据已知，得出的方程，然后联立与双曲线的方程，根据韦达定理得出坐标的关系，表示出弦长，最后根据面积公式，即可得出答案；
（2）①②为条件，③为结论：易得.又，.然后根据直线的斜率可得出.设点，则，即可得出坐标；①③为条件，②为结论：易得，.又，即可的得出，，求解，整理即可得出证明；②③为条件，①为结论：易得，平方整理可得.根据，得.进而根据，即可求出，平方整理，即可得出证明.
【详解】（1）由已知可得，，.
因为点，直线的斜率为，
所以直线的垂线的方程为，
整理可得，.
设点，，
联立直线与双曲线的方程可得，，
则，且，
所以，.
原点到直线的距离为，
所以，的面积为.
（2）
①②为条件，③为结论
令点，，且，
因为三点共线，所以.
又，所以点的坐标为，
所以直线的斜率为.
又，所以.
设点，
因为直线的斜率，
所以，
所以；
①③为条件，②为结论
令点，，且，
因为三点共线，所以.
又，所以点的坐标为，
又，点Q在x轴正半轴上，所以，
所以.
又，
所以，
所以，；
②③为条件，①为结论
令点，，且，不妨设.
因为三点共线，
所以，且.
因为，点Q在x轴正半轴上，所以.
因为，所以.
又，
所以，，且，
所以，，即.
【点睛】思路点睛：①②为条件，③为结论：先得出的斜率，根据，得出..然后根据两点坐标，表示出斜率，即可推出点的坐标.
50．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，直线的方程为，圆以为圆心且与相切.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆的极坐标方程；
(2)若射线与圆交于两点，且，求直线的直角坐标方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先由题意得出圆的标准方程，再化为一般式，根据普通方程化为极坐标方程的公式，即可得到结果；
（2）根据题意，把代入圆的极坐标方程，结合韦达定理即可得到，，结合，即可求出，从而得到，再得到直线的方程．
【详解】（1）因为圆以为圆心且与相切，所以其半径为，
所以圆的普通方程为，展开得，
由，得圆的极坐标方程为．
（2）把代入，得，
则是的两个根，
所以，，
则，解得，
因为，所以，
所以，即直线的直角坐标方程为．
51．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知椭圆的离心率为，左 右焦点分别为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，连接并交椭圆于另一点，若的面积为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意可得，结合离心率和即可求解；
（2）根据题意可设直线AC的方程为，，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出，根据弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出点O到直线AC的距离，结合三角形面积公式计算求出t，即可求解.
【详解】（1）联立得，由题意得，所以.
因为椭圆的离心率，所以.
因为，所以，
故椭圆的方程为.
（2）由题意知，直线不垂直于轴.
设直线的方程为，
联立方程组，消去并整理得，
所以，
所以
因为点到直线的距离，且是线段的中点，
所以点到直线的距离为，
所以.
由，解得或（舍去），
所以，
故直线的方程为，即或.
52．（2023·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为，（为参数）．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
(2)若是曲线上一点，是直线上一点，求的最小值．
【答案】(1)直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为
(2)
【分析】（1）根据题意，由普通方程与参数方程以及极坐标方程的互化，代入计算即可得到结果；
（2）根据题意，由点到直线的距离公式结合辅助角公式即可得到结果.
【详解】（1）由直线的参数方程，得直线的普通方程为．
将代入曲线的极坐标方程，
化简得曲线的直角坐标方程为．
（2）由（1），设点，
由题知的最小值为点到直线的距离的最小值．
又点到直线的距离，其中．
当时，的最小值为．
的最小值为．
53．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆E过，直线与椭圆E交于A、B．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线TA、TB的斜率分别为，，证明：；
(3)直线是过点T的椭圆E的切线，且与直线l交于点P，定义为椭圆E的弦切角，为弦TB对应的椭圆周角，探究椭圆E的弦切角与弦TB对应的椭圆周角的关系，并证明你的论．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据题意可得，，解出a、b即可求解；
（2）设，将直线l方程联立椭圆方程，利用韦达定理表示、，结合两点表示斜率公式对化简计算，即可求解；
（3）设切线方程，由直线与椭圆的位置关系求出k，得出倾斜角，可得，由，得，结合三角形的外角和即可下结论.
【详解】（1）由题意知，，所以，
又椭圆经过T（2,1），所以，
解得，，所以椭圆方程为；
（2）联立直线与椭圆方程，得，
所以，∴，
则，解得，
设，则，，
所以
，
即；
（3）椭圆E的弦切角与弦TB对应的椭圆周角相等.证明如下：
设切线方程为，即，
由，得，
所以，
，解得，
则，又，所以，所以，
设切线与x轴交点为Q，TA、TB分别与x交于C，D，
因为，所以，又，
，，
所以.
【点睛】求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
54．（2023·北京朝阳·二模）已知点在椭圆E：上，且E的离心率为.
(1)求E的方程；
(2)设F为椭圆E的右焦点，点是E上的任意一点，直线PF与直线相交于点Q，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题意得求出即可得椭圆方程；
（2）由题意可得，当时，求出的值；当时，联立直线PF与直线的方程求出点的坐标，根据求解即可.
【详解】（1）由题意得 解得
所以椭圆E的方程为.
（2）因为点是E上的任意一点，所以.
①当时，点或.
当点时，直线PF与直线相交于点，此时.
当点时，直线PF与直线相交于点，此时.
②当时，直线的方程为，
由，可得，所以.
所以
，
所以.
综上所述，.
【点睛】总结点睛：
(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
55．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知为椭圆：上两点，点满足，过点A与点的直线与直线交于点．
(1)当轴且A在轴上方时，求直线的斜率；
(2)已知，记的面积为，的面积为，求的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）设，根据题意求点，进而求斜率；
（2）方法一：分类讨论直线斜率的斜率是否存在，结合韦达定理可得//，根据平行关系运算求解即可；方法二：根据平面向量共线结合椭圆方程可得，再根据面积关系分析运算即可.
【详解】（1）设，则，
直线的方程为：，
令，得，
所以直线的斜率为．
（2）当直线斜率不存在时，由（1）知，则//；
当直线斜率存在时，设直线的方程为：（），，
联立方程，消去y得：，
则，，
直线的方程为：，
令，得，
可得
，
因为，即，
所以，则//；
综上所述：//.
可得，
因为，则，所以．
法二：设，则，
因为，则，整理得①，
由，得②，
联立①②得：，
由，整理得，
所以，
因为，则，所以．
【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法
一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线 上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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