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专题23 抛物线
一、单选题
1．（2023·广西玉林·统考二模）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，设出抛物线的标准方程，代入点的坐标求出即可得解.
【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
依题意可得的坐标为．
设抛物线的标准方程为，则，解得．
故该抛物线的焦点到准线的距离为．
故选：C
2．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知抛物线上的点到其焦点的距离为4，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】先利用点在抛物线上，得到，再结合条件和抛物线的定义即可得出结果.
【详解】因为点在上，所以，得到，又点到其焦点的距离为4，根据抛物线定义知，，得到,
故选：D.
3．（2023·北京房山·统考二模）已知圆的圆心在抛物线上，且此圆过定点，则圆与直线的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定
【答案】A
【分析】根据抛物线的定义求得正确答案.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
根据抛物线的定义可知，到焦点的距离等于到准线的距离，
所以圆与直线相切.
故选：A
4．（2023·陕西商洛·统考三模）设为坐标原点，直线与抛物线C:交于两点，若正三角形，则点到抛物线的焦点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设点，由对称性求出点，进一步求出的值，再利用定义求解即可.
【详解】设，由对称性可知，，
则，解得，
故点A到抛物线C的焦点的距离为．
故选：B.
5．（2023·江西赣州·统考二模）已知抛物线与圆交于A，两点，且的焦点在直线上，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】求出焦点坐标，进而得到点坐标，代入圆中，求出答案.
【详解】由题意得，
抛物线中，当时，，不妨设，
则，解得，负值舍去.
故选：C
6．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）过抛物线：焦点的直线与交于，两点，过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则（ ）
A． B． C．18 D．20
【答案】B
【分析】依题意抛物线的准线为，即可求出，从而求出抛物线方程，再由，求出，从而求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，求出，再根据焦半径公式计算可得.
【详解】依题意抛物线的准线为，即，解得，
所以抛物线方程为，则焦点为，又，所以，解得，
所以，
所以，所以直线的方程为，
由，消去整理得，解得、，
即，
所以.
故选：B
7．（2023·内蒙古乌兰察布·统考二模）已知为抛物线上第一象限的一点，以点B为圆心且半径为12的圆经过C的焦点F，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的方程结合抛物线的定义列式求解.
【详解】由题意可得：抛物线的焦点坐标，准线，
则，解得.
故选：D.
8．（2023·河南新乡·统考三模）已知抛物线的焦点为F，C上一点满足，则抛物线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据点为抛物线上一点，代入抛物线方程，再由，利用抛物线的定义求解.
【详解】解：依题意得 ，
因为，所以.
又，解得，
所以抛物线的方程为.
故选：D
9．（2023·全国·模拟预测）已知点为抛物线C：上一点，为抛物线的焦点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用点在抛物线上及抛物线的定义即可求解.
【详解】将代入，得，
所以抛物线C：，焦点，准线方程为，
由抛物线的定义知.
故选：D.
10．（2023·河南新乡·统考三模）已知抛物线的焦点为F，C上一点满足，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】点代入抛物线方程，得，再利用等于点到准线距离求值.
【详解】依题意得 ，因为，所以.
由，解得.
故选：D
11．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，，是C上两点，若则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】根据抛物线定义计算即可.
【详解】由抛物线定义可得，则.
故选：D
12．（2023·北京西城·统考二模）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的准线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据两个抛物线的对称性，即可求抛物线的准线方程.
【详解】抛物线的准线方程为，因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以两个抛物线的准线也关于轴对称，所以的准线方程是.
故选：D
13．（2023·福建宁德·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一个动点，，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】利用抛物线的定义，结合抛物线的性质，转化求解即可．
【详解】由题意可知抛物线的焦点坐标为，准线的方程为，过作于，
由抛物线定义可知，所以，
则当共线时取得最小值，所以最小值为．
故选：B．
14．（2023·海南海口·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（ ）
A．10 B．16 C．11 D．26
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义转化为到抛物线准线的距离求解即可.
【详解】记抛物线的准线为，作于，由抛物线的定义知，
所以，当，，三点共线时，有最小值，最小值为．
故选：C
15．（2023·福建莆田·统考模拟预测）若抛物线的焦点到准线的距离为3，且的开口朝左，则的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据开口设抛物线标准方程，利用p的几何意义即可求出.
【详解】依题意可设的标准方程为，
因为的焦点到准线的距离为3，所以，
所以的标准方程为.
故选：A
16．（2023·河南·校联考三模）已知抛物线的焦点为，准线与坐标轴交于点是抛物线上一点，若，则的面积为（ ）
A．4 B． C． D．2
【答案】D
【分析】根据抛物线的定义和标准方程即可求解.
【详解】由，
得，
则，
根据抛物线的定义知2，
解得，
代入，
得，
所以的面积为.
故选：D.
17．（2023·上海普陀·统考二模）设P为曲线C:上的任意一点，记P到C的准线的距离为d．若关于点集和，给出如下结论：
①任意，中总有2个元素；②存在，使得．
其中正确的是（ ）
A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立
C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立
【答案】B
【分析】根据题意可得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，的圆心，证明当点在原点处时，点在点的轨迹圆外，即可得出结论.
【详解】曲线C:的焦点，
则，
由得，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
的圆心，
当点在原点处时，，此时，
此时点的轨迹方程为，
因为，所以点在圆外，
则存在，使得两圆相离，即，
故①错误，②正确.
故选：B.
18．（2023·四川泸州·统考三模）已知抛物线C：y =8x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为（ ）
A．8 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义分析可得为正三角形，进而可求直线的方程，与抛物线的方程联立求交点纵坐标，即可得结果.
【详解】由题意得：抛物线C：y =8x的焦点为，准线为，
设准线l与x轴的交点为，
由抛物线定义知，而，故为正三角形，可得，
不妨令直线，设，
联立方程，消去x得，解得或，
即，可得，
所以．
故选：C.
19．（2023·四川乐山·统考三模）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【分析】根据给定的条件，求出直线的方程，与抛物线方程联立求出PF，QF的长即可求解作答.
【详解】依题意，由于H，得，即是正三角形，，
而，则直线的方程为，
由，消去y并整理，得，
令，解得，又准线，
因此，
所以与的面积之比.
故选：C.
20．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）“米”是象形字．数学探究课上，某同学用抛物线和构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线，的焦点分别为，，点P在抛物线上，过点P作x轴的平行线交抛物线于点Q，若，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【分析】根据抛物线的对称性求出P点横坐标，再由抛物线定义求出即可.
【详解】因为，即，由抛物线的对称性知，
由抛物线定义可知，，即，解得，
故选：D
21．（2023·天津·校联考二模）抛物线上的点到其焦点的距离是到y轴距离的2倍，过双曲线的左右顶点A、B作C的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由抛物线定义及点在抛物线上求得，进而可得，结合双曲线渐近线性质及列方程求双曲线参数，即可得离心率.
【详解】由题设，，可得，故，
所以，渐近线为，不妨令P、Q在上，
若（为倾斜角），则，
所以，则，故.
故选：D
22．（2023·全国·模拟预测）已知，是抛物线上两个不同的点，为抛物线的焦点，为的重心.若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，设，，，根据抛物线的定义及重心坐标公式得到，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则，根据抛物线的定义计算可得.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
设，，，所以，，
因为，所以，所以，
因为为的重心，所以，
过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则，
所以，当且仅当、、三点共线（在右侧）时取等号.
故选：B
23．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点是上一点，过点作垂直于轴的直线.若截所得弦长为2，则（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】D
【分析】由条件求点的坐标，直线的方程，由此可求截所得弦长，列方程求，由此可求抛物线方程，再求点的坐标，结合抛物线定义求.
【详解】抛物线的焦点的坐标为，
由已知直线的方程为，
联立，可得或，
即抛物线与直线的交点坐标为或，
所以直线截抛物线所得弦长为，解得，
所以抛物线的方程为，
抛物线的准线方程为，
因为点是抛物线上一点，所以，解得，
所以点的坐标为
由抛物线定义可得
故选：D.
24．（2023·全国·模拟预测）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点（点在第一象限）．若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据已知条件作出图形，利用抛物线的定义及相似三角形的性质即可求解.
【详解】设抛物线的准线为，过点作于点,过点作于点,过点作于点,交轴于点，如图所示，
由，得，解得，
所以，.
设，
因为，
所以,
又,
故，解得，
所以.
故选：A.
25．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，若在轴正方向上的投影为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，依题意可得，即可求出，从而求出三角形面积.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
因为在轴正方向上的投影为，则点在第一象限内，且，
则，所以，
所以.
故选：B.
26．（2023·全国·校联考三模）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，过点作准线的垂线，垂足为，点为准线与轴的交点，若，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由抛物线的定义可得是正三角形，设，根据几何性质求得点坐标，从而可得直线的方程，联立直线与抛物线可求得点坐标，按照面积分割即可得四边形的面积.
【详解】如图，不妨设点在轴上方，
由抛物线的定义可知，因为，所以，所以是正三角形.
由可知，设，因为，
所以.所以.
所以点的坐标为，所以直线的方程为，整理得.
由，得，解得.
将代入直线的方程，得，所以点的坐标为.
所以.
故选：.
27．（2023·河北·统考模拟预测）抛物线：的准线与轴交于点，过的焦点作斜率为2的直线交于、两点，则（ ）
A． B． C． D．不存在
【答案】C
【分析】由得出，再由同角三角函数的基本关系得出，最后根据倍角公式求解即可.
【详解】作轴于，分别过，作准线的垂线，垂足分别为，，
则，∴
∴
由，可得.
又∵．∴．
∴
.
故选：C
28．（2023·四川成都·石室中学校考三模）已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于，两点（点C和点A在点B的两侧），则下列命题中正确的有
①若BF为的中线，则；②若BF为的平分线，则；
③存在直线l，使得；④对于任意直线l，都有.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】设直线，，都在第一象限，如图，联立抛物线方程，利用韦达定理表示、、、.根据中线的性质可得，求出A、B的坐标即可判断①；根据角平分线的性质和相似三角形的性质，结合抛物线的定义计算求出，即可判断②；根据题意可得，列出方程求出即可判断③；根据抛物线的定义和，即可判断④.
【详解】由题意，设直线，令，都在第一象限，
由，得，如图所示.
，得，且，即，
所以，，则，.
①若BF为的中线，则，所以，所以，故，
所以，则，故①正确；
②若BF为的平分线，则，
分别作AD，BE垂直准线于点D，E，则且，
所以，即，则，
将代入整理，得，即，
则，所以，故②正确；
③若，即，即为等腰直角三角形，
此时，则，所以，所以，
所以，所以，此时A，B为同一点，不合题设，故③错误；
④，
而，结合，得，
即恒成立，故④正确.
故选：C.
【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；涉及有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
二、多选题
29．（2023·河北·统考模拟预测）已知抛物线C：的焦点为点在上，且弦的中点到直线的距离为5，则（ ）
A． B．线段的长为定值
C．两点到的准线的距离之和为14 D．的最大值为49
【答案】CD
【分析】根据抛物线的焦点即可判断选项A，根据抛物线的定义及性质求线段的长即可判断选项B，利用抛物线定义即可判断选项C，利用基本不等式的性质即可判断选项D.
【详解】由抛物线的焦点为，
所以，则，A错误；
设，，
则由弦的中点到直线的距离为5，可得，
所以，当过点时，由抛物线的定义可得；
当时，，
所以的长不是定值，B错误；
两点到的准线的距离之和与相等，值为14，C正确；，当且仅当时等号成立，
故的最大值为49，D正确．
故选：CD．
30．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）已知抛物线的顶点为，准线为，焦点为，过作直线交抛物线于两点（顺序从左向右），则（ ）
A．
B．若直线经过点，则
C．的最小值为1
D．若，则直线的斜率为
【答案】ABD
【分析】根据题意，得到抛物线的标准方程，然后联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理，对选项逐一判断即可得到结果.
【详解】抛物线方程化为，准线为
，所以，
准线为，所以，故A正确；
又，过作直线交抛物线于两点，显然的斜率存在，
设的方程为，与联立消去整理得0恒成立.
设，则，.
直线经过点，，则，故正确；
时，最小为，故C错误；
由得，又，
解得：，故D正确.
故选：ABD.
31．（2023·浙江绍兴·绍兴一中校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．以为直径的圆与准线相交
C．设，则
D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条
【答案】ACD
【分析】根据焦点弦公式即可判断A；求出线段的中点坐标及圆的半径，从而可判断B；根据抛物线的定义可得，即可判断C；分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合根的判别式即可判断D.
【详解】抛物线焦点，准线，
由题意，故A正确；
因为，则以为直径的圆的半径，
线段的中点坐标为，则线段的中点到准线的距离为，
所以以为直径的圆与准线相切，故B错误；
抛物线的焦点为，，
当且仅当三点共线时，取等号，所以，故C正确；
对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个交点，
当直线斜率存在时，设直线方程为，联立，消得，
当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个交点，
当时，则，解得，
综上所述，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条，故D正确．
故选：ACD．
32．（2023·广东佛山·统考二模）如图拋物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为6．和交于、两点，分别过、作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过的直线与封闭曲线交于、两点，则（ ）
A． B．四边形的面积为100
C． D．的取值范围为
【答案】ACD
【分析】根据抛物线的定义可得判断A，以为原点建立平面直角坐标系，根据条件可得抛物线的方程为，可得，进而判断B，利用抛物线的定义结合条件可得可判断C，利用抛物线的性质结合焦点弦的性质可判断D.
【详解】设直线与直线分别交于，由题可知，
所以，，故A正确；
如图以为原点建立平面直角坐标系，则，，
所以抛物线的方程为，
连接，由抛物线的定义可知，又，
所以，代入，可得，
所以，又，故四边形的面积为，故B错误；
连接，因为，所以，
所以，
故，故C正确；
根据抛物线的对称性不妨设点在封闭曲线的上部分，设在直线上的射影分别为，
当点在抛物线，点在抛物线上时，，
当与重合时，最小，最小值为，
当与重合，点在抛物线上时，因为，直线，
与抛物线的方程为联立，可得，设，
则，，
所以；
当点在抛物线，点在抛物线上时，设，
与抛物线的方程为联立，可得，设，
则，，当，
即时取等号，故此时；
当点在抛物线，点在抛物线上时，根据抛物线的对称性可知，；
综上，，故D正确.
故选：ACD.
33．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知抛物线：的焦点为，点为坐标原点，点在抛物线上，直线与抛物线交于点，则（ ）
A．的准线方程为 B．
C．直线的斜率为 D．
【答案】CD
【分析】首先根据抛物线上的点的坐标，求抛物线方程，再根据直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理判断选项.
【详解】由题意可知，，得，则抛物线方程为，所以抛物线的准线方程为，故A错误；
抛物线的焦点，，则直线的方程为，与抛物线方程联立，得，
设，，
，则，故B错误，C正确；
，得或，
当时，，当时，，
即，，，故D正确.
故选：CD
34．（2023·山西·统考二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．
C．的面积为 D．
【答案】AB
【分析】先根据抛物线方程得出的坐标，即的值，进而求出，得出双曲线的方程.即可得出A项；联立双曲线与抛物线的方程，求出点坐标，即可求得的值，判断B项、得出的面积，判断C项、求得的值，根据余弦定理，得出的值，判断D项.
【详解】
由已知，抛物线的焦点坐标为，所以双曲线右焦点，即.
又，所以，
所以，双曲线的方程为.
对于A项，双曲线的的渐近线方程为，故A项正确；
对于B项，联立双曲线与抛物线的方程，
整理可得，，解得或（舍去负值），
所以，代入可得，.
设，又，所以，故B项正确；
对于C项，易知，故C项错误；
对于D项，因为，
所以，由余弦定理可得，，故D项错误.
故选：AB.
35．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）已知F是抛物线的焦点．设，是抛物线C上一个动点．P在C的准线l上的射影为M，M关于点P的对称点为N，曲线C在P处的切线与准线l交于点T，直线NF交准线l于点Q，则（ ）
A． B．是等腰三角形
C．PT平分 D．的最小值为2
【答案】ABC
【分析】A选项，由抛物线的定义的，，所以；B选项，，从而，又是线段中点，所以是线段的中点，又，所以，所以是等腰三角形；C选项，因为，所以，所以平分；D选项，直线的方程为，令，得，根据坐标表示出，最后利用基本不等式求最值即可.
【详解】
对于A，由抛物线的定义的，，所以，故A正确．
对于B，因为，则，，
点处的切线斜率，而，所以，
从而，又是线段中点，所以是线段的中点，又，
所以，所以是等腰三角形，故B正确．
对于C，因为，所以，所以平分，故选项C正确；
对于D，直线的方程为，令，得，
所以，当且仅当时，最小值为1，故D错误．
故选：ABC．
三、填空题
36．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知抛物线的顶点为，经过点，且为抛物线的焦点，若，则的面积为_________．
【答案】
【分析】根据抛物线焦半径的求解可得，进而得，由面积公式即可求解.
【详解】设，由，可得，所以，
则，即，所以的面积为．
故答案为：
37．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上，若三点共线，且的外接圆交于点的外接圆交于点，则___________.
【答案】1
【分析】根据，得到为外接圆的直径，为外接圆的直径，，从而有，再结合抛物线得到求解.
【详解】解：如图所示：
因为，所以为外接圆的直径，为外接圆的直径，
所以，
由抛物线的定义得，
则，
所以，
所以，
则，
所以，
故答案为：1
38．（2023·上海闵行·统考二模）已知抛物线：，圆：，点M的坐标为，P、Q分别为、上的动点，且满足，则点P的横坐标的取值范围是_____________．
【答案】
【分析】求出圆的圆心、半径，设出点P的坐标，利用圆的性质得出，结合已知建立不等式，求解作答.
【详解】圆：的圆心，半径，设点，有，
依题意，，当且仅当三点共线时取等号，而，
即有，于是，
即，整理得，解得，
所以点P的横坐标的取值范围是.
故答案为：
39．（2023·四川雅安·统考三模）已知拋物线恰好经过圆的圆心，则拋物线的焦点坐标为__________．
【答案】
【分析】将圆M的圆心代入抛物线的方程可求得，进而可求焦点坐标.
【详解】由圆可得，
故圆的圆心为，代入得，
将抛物线的方程化为标准方程得，
故焦点坐标为.
故答案为：.
40．（2023·辽宁·校联考二模）点A，B是抛物线上的两点，F是抛物线C的焦点，若，中点D到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】由抛物线几何性质可得，再由勾股定理和基本不等式可得.
【详解】在中，，
，
由抛物线几何性质可得，
所以，即，，
当且仅当时等号成立.
故答案为：.
41．（2023·湖南·校联考二模）已知抛物线C：，O为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），且，直线AO交抛物线的准线于点C，△AOF与△ACB的面积之比为4：9，则p的值为________．
【答案】4
【分析】首先证明，求出，则，再利用证明的结论，得到，利用焦点弦公式求出值即可.
【详解】设，，则，
设直线的方程为，联立抛物线方程有
，，，
则，直线的方程为，
令，则，则，
则得，
∴，∴，，又，
则，∴点，，解得．
故答案为：4.
42．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）函数的最大值为________．
【答案】
【分析】将给定的函数表达式变形为，问题转化为求点到点与距离之差的最大值，画出图象，数形结合即得解.
【详解】将给定的函数表达式变形为，
问题转化为求点到点与距离之差的最大值，
而点的轨迹为抛物线，如图所示，
由A、B的位置知直线必交抛物线于第二象限的一点C，
由三角形两边之差小于第三边可知P位于C时，才能取得最大值.
.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：将给定的函数表达式变形为，问题转化为求点到点与距离之差的最大值，是解决本题的关键.
43．（2023·辽宁·校联考二模）点是抛物线上的点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】先求得焦点坐标，然后根据抛物线的定义以及点到直线的距离公式求得正确答案.
【详解】设抛物线为，
，
其中的值为，表示点到直线的距离，
所以的最小值为到直线的距离，
即的最小值为，
所以的最小值为.
故答案为：
四、解答题
44．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）设抛物线，过轴上点的直线与相切于点，且当的斜率为时，.
(1)求的方程；
(2)过且垂直于的直线交于两点，若为线段的中点，证明：直线过定点.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设直线的方程为，联立抛物线的方程根据相切求出即得解；
（2）设直线的方程为，联立抛物线的方程求出，设直线的方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理求出，写出直线的方程即得解.
【详解】（1）当l的斜率为时，设直线的方程为，
与的方程联立消去，得，
当与相切时，，整理有，
此时或（舍去）.
故，
所以，
故 所以的方程为.
（2）证明：设直线的方程为，
与的方程联立，得，
当与相切时，，则，故，
设直线的方程为，与的方程联立有，
设，则
，
所以，
所以，所以的方程为
令，则，
所以，所以直线过定点.
【点睛】方法点睛：定点问题：对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，证明直线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.
（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式，（一般地，为关于的二元一次关系式）由上述原理可得方程组，从而求得该定点.
45．（2023·北京东城·统考二模）已知焦点为的抛物线经过点．
(1)设为坐标原点，求抛物线的准线方程及△的面积；
(2)设斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，若以为直径的圆与抛物线的准线相切，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1)准线为，
(2)证明见解析，定点．
【分析】（1）由点在抛物线上代入求参数，写出抛物线方程，进而得准线方程，最后求△的面积；
（2）设为，联立抛物线并应用韦达定理、中点公式得的中点N点横坐标，根据到准线的距离等于列方程得，即可证结论并确定定点坐标.
【详解】（1）因为抛物线过点，所以，即．
故抛物线的方程为，焦点，准线方程为.
所以
（2）
设直线的方程为．
由 得：，又有．
设则，．
设的中点为，则.
所以到准线的距离，
，
依题意有，即，
整理得，解得，满足．
所以直线过定点．
46．（2023·安徽合肥·校联考三模）已知点，动点在直线：上，过点且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的标准方程；
(2)过的直线与曲线交于A，两点，直线，与圆的另一个交点分别为，，求与面积之比的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用抛物线定义即可求得曲线的标准方程；
（2）先求得的表达式，再利用均值定理即可求得其最大值.
【详解】（1）过点且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，
则，则点到直线和定点距离相等，
则的轨迹为以为焦点以直线为准线的抛物线，
则曲线的方程为：
（2）设A，，，坐标分别为，，，，
因为
令直线：，，：，，
由得：，
由得：
所以
令：，与联立得：，
所以，，，则
所以，代入得：
又因为，
所以，当且仅当，时取等号
所以与面积之比的最大值为
47．（2023·广东汕头·统考二模）如图，、为双曲线的左、右焦点，抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，设与在第一象限的交点为，且，，为钝角.
(1)求双曲线与抛物线的方程；
(2)过作不垂直于轴的直线l，依次交的右支、于A、B、C、D四点，设M为AD中点，N为BC中点，试探究是否为定值.若是，求此定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值
【分析】（1）由双曲线及抛物线定义先得，，再得代入双曲线方程解方程即可；
（2）设l及A、B、C、D四点纵坐标依次为，
将转化为，利用韦达定理计算即可.
【详解】（1）由双曲线的定义可知：，
设抛物线方程为：，则由题意可得，即.
由抛物线定义可得：，代入抛物线方程得：，代入双曲线方程得：，
故双曲线方程为：；抛物线方程为：
（2）由题意可设，点A、B、C、D的纵坐标依次为，
分别联立直线l与双曲线、抛物线方程可得：得：
，
由双曲线性质可得：，故有，
因为M、N分别为AD、BC的中点，故其纵坐标依次为：
所以
是定值.
【点睛】本题考察直线与双曲线的位置关系综合，属于压轴题.关键在于将转化为几个点纵坐标的关系，结合韦达定理计算可得结果.需要较高的计算能力，认真仔细方可解决问题.
48．（2023·上海长宁·统考二模）已知抛物线：的焦点为，准线为，直线经过点且与交于点、.
(1)求以为焦点，坐标轴为对称轴，离心率为的椭圆的标准方程；
(2)若，求线段的中点到轴的距离；
(3)设为坐标原点，为上的动点，直线、分别与准线交于点、.求证：为常数.
【答案】(1)
(2)1
(3)证明过程见解析
【分析】（1）已知焦点，就确定了椭圆的实轴所在的坐标轴和焦距，通过离心率就可以解出，，的值，进而写出椭圆的标准方程.
（2）因为是焦点弦，所以能求出值，设出直线方程与抛物线联立，解出直线方程，把中点横坐标代入求出纵坐标即为所求.
（3）设，利用点斜式写出，方程，进而表示出、两点坐标，用数量积表示出，再进行化简出常数即可.
【详解】（1）
解：根据题意设椭圆方程为，焦距为，
因为抛物线：的焦点为，且椭圆以为焦点，
所以，因为离心率为，所以，
因为，所以，
所以椭圆标准方程为.
（2）
解：因为直线经过点且与交于点、，设，，
因为，所以直线斜率一定存在，设方程为，组成方程组，则有，
则，，
因为，所以，则，
当时，直线方程为，且，所以中点纵坐标为，
此时中点到轴的矩离为.
根据对称性，当时，中点到轴的矩离也为.
（3）
由题意设直线方程为，与抛物线组成方程组：
，则，
有，，，
根据题意设，，，
则直线方程为，即，
因为点横坐标为，所以，即，
同理点坐标为，
所以，
化简得
因为，，
所以，即为常数.
49．（2023·上海青浦·统考二模）如图，已知是抛物线上的三个点，且直线分别与抛物线相切，为抛物线的焦点．
(1)若点的横坐标为，用表示线段的长；
(2)若，求点的坐标；
(3)证明：直线与抛物线相切．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）求出抛物线的准线方程，利用抛物线定义将的长度转化成点到准线的距离即可；
（2）设与直线，根据直线直线分别与抛物线相切，可将直线与抛物线方程联立得到判别式为0，进而得出的两根，结合韦达定理与可得即可求解；
（3）根据题设，直线分别与抛物线相切，可将直线分别与抛物线联立得到等量关系，要证明直线与抛物线相切，最后再将直线与抛物线联立证明判别式为0即可．
【详解】（1）设，且在抛物线上，故满足
为抛物线的焦点，，抛物线的准线为 ，
线段的长等于点到准线的距离，即．
（2）设，显然直线的斜率存在且不为0，设直线，
联立，化简得：，
直线与抛物线相切，，即 ①，
又直线均与抛物线相切，
为方程①的两根，且有，
，，解得，
将代入得：，故的坐标为．
（3）设，，，
，直线，
联立，化简可得：，
又直线与抛物线相切，，即 ②，
同理，直线与抛物线相切，可得③，
由方程②③可得，为方程的两根，
，，
又，，故直线，
联立，化简得：，
，
直线与抛物线相切，故得证．
50．（2023·江苏常州·常州市第三中学校考模拟预测）已知过点的直线l与抛物线相交于A，B两点，当直线l过抛物线C的焦点时，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点，连接QA，QB分别交抛物线C于点E，F，且与的面积之比为，求直线AB的方程．
【答案】(1)方程为．
(2)方程为．
【分析】（1）直线AB的方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理和弦长公式求出的值，即可得解；
（2）设直线AB的方程为，与抛物线联立可得，直线AQ的方程与抛物线联立，设，则，设，同理可得，利用三角形面积公式可得，求解即可.
【详解】（1）设，因为抛物线C的焦点为，
所以当直线l过C的焦点时，直线AB的方程为，
由得．
则，
，
整理得，
所以，故抛物线C的方程为．
（2）易知直线AB的斜率在且不为零，设直线AB的方程为，
由得，
则，即或，．
易知直线AQ的方程为，
由得，
设，则，
设，同理可得，
则
，
得，故直线AB的方程为．
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专题23 抛物线
一、单选题
1．（2023·广西玉林·统考二模）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知抛物线上的点到其焦点的距离为4，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023·北京房山·统考二模）已知圆的圆心在抛物线上，且此圆过定点，则圆与直线的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定
4．（2023·陕西商洛·统考三模）设为坐标原点，直线与抛物线C:交于两点，若正三角形，则点到抛物线的焦点的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·江西赣州·统考二模）已知抛物线与圆交于A，两点，且的焦点在直线上，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）过抛物线：焦点的直线与交于，两点，过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则（ ）
A． B． C．18 D．20
7．（2023·内蒙古乌兰察布·统考二模）已知为抛物线上第一象限的一点，以点B为圆心且半径为12的圆经过C的焦点F，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·河南新乡·统考三模）已知抛物线的焦点为F，C上一点满足，则抛物线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全国·模拟预测）已知点为抛物线C：上一点，为抛物线的焦点，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·河南新乡·统考三模）已知抛物线的焦点为F，C上一点满足，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
11．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，，是C上两点，若则（ ）
A． B． C． D．2
12．（2023·北京西城·统考二模）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的准线方程是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2023·福建宁德·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一个动点，，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
14．（2023·海南海口·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（ ）
A．10 B．16 C．11 D．26
15．（2023·福建莆田·统考模拟预测）若抛物线的焦点到准线的距离为3，且的开口朝左，则的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·河南·校联考三模）已知抛物线的焦点为，准线与坐标轴交于点是抛物线上一点，若，则的面积为（ ）
A．4 B． C． D．2
17．（2023·上海普陀·统考二模）设P为曲线C:上的任意一点，记P到C的准线的距离为d．若关于点集和，给出如下结论：
①任意，中总有2个元素；②存在，使得．
其中正确的是（ ）
A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立
C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立
18．（2023·四川泸州·统考三模）已知抛物线C：y =8x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为（ ）
A．8 B．4 C．3 D．2
19．（2023·四川乐山·统考三模）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
20．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）“米”是象形字．数学探究课上，某同学用抛物线和构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线，的焦点分别为，，点P在抛物线上，过点P作x轴的平行线交抛物线于点Q，若，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
21．（2023·天津·校联考二模）抛物线上的点到其焦点的距离是到y轴距离的2倍，过双曲线的左右顶点A、B作C的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
22．（2023·全国·模拟预测）已知，是抛物线上两个不同的点，为抛物线的焦点，为的重心.若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
23．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点是上一点，过点作垂直于轴的直线.若截所得弦长为2，则（ ）
A．3 B． C． D．5
24．（2023·全国·模拟预测）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点（点在第一象限）．若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
25．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，若在轴正方向上的投影为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．6
26．（2023·全国·校联考三模）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，过点作准线的垂线，垂足为，点为准线与轴的交点，若，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
27．（2023·河北·统考模拟预测）抛物线：的准线与轴交于点，过的焦点作斜率为2的直线交于、两点，则（ ）
A． B． C． D．不存在
28．（2023·四川成都·石室中学校考三模）已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于，两点（点C和点A在点B的两侧），则下列命题中正确的有
①若BF为的中线，则；②若BF为的平分线，则；
③存在直线l，使得；④对于任意直线l，都有.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、多选题
29．（2023·河北·统考模拟预测）已知抛物线C：的焦点为点在上，且弦的中点到直线的距离为5，则（ ）
A． B．线段的长为定值
C．两点到的准线的距离之和为14 D．的最大值为49
30．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）已知抛物线的顶点为，准线为，焦点为，过作直线交抛物线于两点（顺序从左向右），则（ ）
A．
B．若直线经过点，则
C．的最小值为1
D．若，则直线的斜率为
31．（2023·浙江绍兴·绍兴一中校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．以为直径的圆与准线相交
C．设，则
D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条
32．（2023·广东佛山·统考二模）如图拋物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为6．和交于、两点，分别过、作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过的直线与封闭曲线交于、两点，则（ ）
A． B．四边形的面积为100
C． D．的取值范围为
33．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知抛物线：的焦点为，点为坐标原点，点在抛物线上，直线与抛物线交于点，则（ ）
A．的准线方程为 B．
C．直线的斜率为 D．
34．（2023·山西·统考二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．
C．的面积为 D．
35．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）已知F是抛物线的焦点．设，是抛物线C上一个动点．P在C的准线l上的射影为M，M关于点P的对称点为N，曲线C在P处的切线与准线l交于点T，直线NF交准线l于点Q，则（ ）
A． B．是等腰三角形
C．PT平分 D．的最小值为2
三、填空题
36．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知抛物线的顶点为，经过点，且为抛物线的焦点，若，则的面积为_________．
37．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上，若三点共线，且的外接圆交于点的外接圆交于点，则___________.
38．（2023·上海闵行·统考二模）已知抛物线：，圆：，点M的坐标为，P、Q分别为、上的动点，且满足，则点P的横坐标的取值范围是_____________．
39．（2023·四川雅安·统考三模）已知拋物线恰好经过圆的圆心，则拋物线的焦点坐标为__________．
40．（2023·辽宁·校联考二模）点A，B是抛物线上的两点，F是抛物线C的焦点，若，中点D到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为__________．
41．（2023·湖南·校联考二模）已知抛物线C：，O为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），且，直线AO交抛物线的准线于点C，△AOF与△ACB的面积之比为4：9，则p的值为________．
42．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）函数的最大值为________．
43．（2023·辽宁·校联考二模）点是抛物线上的点，则的最小值为______．
四、解答题
44．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）设抛物线，过轴上点的直线与相切于点，且当的斜率为时，.
(1)求的方程；
(2)过且垂直于的直线交于两点，若为线段的中点，证明：直线过定点.
45．（2023·北京东城·统考二模）已知焦点为的抛物线经过点．
(1)设为坐标原点，求抛物线的准线方程及△的面积；
(2)设斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，若以为直径的圆与抛物线的准线相切，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
46．（2023·安徽合肥·校联考三模）已知点，动点在直线：上，过点且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的标准方程；
(2)过的直线与曲线交于A，两点，直线，与圆的另一个交点分别为，，求与面积之比的最大值．
47．（2023·广东汕头·统考二模）如图，、为双曲线的左、右焦点，抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，设与在第一象限的交点为，且，，为钝角.
(1)求双曲线与抛物线的方程；
(2)过作不垂直于轴的直线l，依次交的右支、于A、B、C、D四点，设M为AD中点，N为BC中点，试探究是否为定值.若是，求此定值；若不是，请说明理由.
48．（2023·上海长宁·统考二模）已知抛物线：的焦点为，准线为，直线经过点且与交于点、.
(1)求以为焦点，坐标轴为对称轴，离心率为的椭圆的标准方程；
(2)若，求线段的中点到轴的距离；
(3)设为坐标原点，为上的动点，直线、分别与准线交于点、.求证：为常数.
49．（2023·上海青浦·统考二模）如图，已知是抛物线上的三个点，且直线分别与抛物线相切，为抛物线的焦点．
(1)若点的横坐标为，用表示线段的长；
(2)若，求点的坐标；
(3)证明：直线与抛物线相切．
50．（2023·江苏常州·常州市第三中学校考模拟预测）已知过点的直线l与抛物线相交于A，B两点，当直线l过抛物线C的焦点时，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点，连接QA，QB分别交抛物线C于点E，F，且与的面积之比为，求直线AB的方程．
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