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专题22 双曲线
一、单选题
1．（2023·北京房山·统考二模）已知双曲线的方程为，点，分别在双曲线的左支和右支上，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）双曲线的一条渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·北京朝阳·二模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ）
A． B． C． D．3
4．（2023·天津南开·统考二模）已知拋物线的准线过双曲线的左焦点，点为双曲线的渐近线和拋物线的一个公共点，若到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·河北衡水·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，双曲线上的两点关于原点对称(其中点在双曲线的右支上)，且，双曲线上的点满足，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·四川成都·三模）已知双曲线经过点，且与双曲线具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知双曲线C的焦点分别为，虚轴为．若四边形的一个内角为120°，则C的离心率等于（ ）
A． B． C． D．3
8．（2023·北京昌平·统考二模）已知双曲线的一个焦点坐标为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．4
9．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点的直线分别与双曲线的渐近线平行，与渐近线的交点记为，若 为等边三角形，且面积为，则（ ）
A． B． C．3 D．2
10．（2023·全国·校联考三模）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
11．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线的离心率为．则C的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023·广西·统考模拟预测）已知分别是双曲线的左 右焦点，斜率为的直线过，交的右支于点，交轴于点，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·广西·统考模拟预测）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别是，，以线段为直径的圆在第一象限交双曲线于点，且的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·全国·校联考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交的左、右半支分别于点．若为线段的中点，且是等腰三角形，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·新疆·统考二模）已知A，B为双曲线E：的两个焦点，C，D在双曲线上，且四边形ABCD为正方形，则（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知双曲线的左焦点为，点M在双曲线C的右支上，，若周长的最小值是，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C． D．5
17．（2023·全国·校联考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，关于C的一条渐近线的对称点P恰好在C上，若直线交C的左半支于点Q，则（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·江西新余·统考二模）已知双曲线，过右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为点，与的另一条渐近线交于点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
19．（2023·安徽淮北·统考二模）已知，过斜率为的直线上存在不同的两个点满足：.则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
20．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，与的左支交于点.若，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．（2023·福建·统考模拟预测）已知双曲线C：（a>0，b>0）的离心率为，左，右焦点分别为，关于C的一条渐近线的对称点为P.若，则的面积为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
22．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点满足，过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
23．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）已知为双曲线的右焦点，A为双曲线虚轴的一个端点，直线与双曲线的一条渐近线在轴左侧的交点为，若，则此双曲线渐近线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
24．（2023·河南·校联考三模）已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，（不重合），的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
25．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）已知双曲线的离心率为，以坐标原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，若四边形的面积为，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
26．（2023·陕西商洛·统考三模）如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
27．（2023·天津·三模）已知O为坐标原点，双曲线C:的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（ ）
A． B． C． D．
28．（2023·全国·学军中学校联考模拟预测）已知空间中两条直线、异面且垂直，平面且，若点到、距离相等，则点在平面内的轨迹为（ ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
29．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知分别是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，圆，直线与圆相交于两点，直线与圆相交于两点，若四边形的面积为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
30．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）双曲线的左 右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
31．（2023·浙江·统考二模）人教版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线.现将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
32．（2023·海南·统考模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，设点P为C右支上一点，P点到直线的距离为d，过的直线l与双曲线C的右支有两个交点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2 B．
C．直线l的斜率的取值范围是 D．的内切圆圆心到y轴的距离为1
33．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）过双曲线的左焦点的直线交的左 右支分别于两点，交直线于点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
34．（2023·广东湛江·统考二模）已知双曲线的上焦点为，过焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，并与另一条渐近线交于点，若，则的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
35．（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知F是双曲线E：（，）的右焦点，直线与双曲线E交于A，B两点，M为双曲线E上异于A，B的一点，且MA，MB不与坐标轴垂直，O为坐标原点，P，Q分别为AF，BF的中点，且，记双曲线E的离心率为e，直线MA与MB的斜率分别为，.则（ ）
A． B． C． D．
36．（2023·广东·统考模拟预测）双曲线的左右焦点分别为，，P为双曲线右支上异于顶点的一点，的内切圆记为圆，圆的半径为，过作的垂线，交的延长线于，则（ ）
A．动点的轨迹方程为
B．的取值范围为（0，3）
C．若，则
D．动点的轨迹方程为
37．（2023·广东广州·统考二模）已知双曲线的左，右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于点、，与双曲线的渐近线交于点、（、在第一象限，、在第四象限），为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若轴，则的周长为
B．若直线交双曲线的左支于点，则
C．面积的最小值为
D．的取值范围为
38．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）已知AC为圆锥SO底面圆O的直径（S为顶点，O为圆心），点B为圆O上异于A，C的动点，，，平面α和直线SO所成的角为θ，该圆锥侧面与平面α的交线为曲线C，则（ ）．
A．过该圆锥顶点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为2
B．的取值范围为
C．若，E为线段AB上的动点，则的最小值为
D．若，则曲线C必为双曲线的一部分
39．（2023·湖南·校联考二模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（在第一象限），，为线段的中点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．双曲线的离心率为
C．的面积为 D．直线的斜率为
三、解答题
40．（2023·广东佛山·统考二模）双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形．
(1)求双曲线的方程；
(2)、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围．
41．（2023·浙江·二模）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，是上一点，线段与交于点.
(1)证明：；
(2)若的面积为8，求直线的斜率.
42．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知双曲线：（，）的右焦点为，的渐近线与抛物线：（）相交于点．
(1)求，的方程；
(2)设是与在第一象限的公共点，不经过点的直线与的左右两支分别交于点，，使得．
（ⅰ）求证：直线过定点；
（ⅱ）过作，垂足为．是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
43．（2023·浙江·统考二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，且到的一条渐近线的距离为.
(1)求的方程；
(2)过的左顶点且不与轴重合的直线交的右支于点，交直线于点，过作的平行线，交直线于点，证明：在定圆上.
44．（2023·浙江·统考二模）已知双曲线，点是双曲线的左顶点，点坐标为.
(1)过点作的两条渐近线的平行线分别交双曲线于，两点.求直线的方程；
(2)过点作直线与椭圆交于点，，直线，与双曲线的另一个交点分别是点，.试问：直线是否过定点，若是，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
45．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知双曲线的离心率为，左 右焦点分别为，点坐标为，且.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的动直线与的左 右两支分别交于两点，若点在线段上，满足，证明：在定直线上.
46．（2023·河北邯郸·统考二模）已知双曲线（，）过，，，四个点中的三个点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于，两点，且，求证：直线经过一个不在双曲线上的定点，并求出该定点的坐标.
47．（2023·山西·统考二模）已知双曲线经过点，直线、分别是双曲线的渐近线，过分别作和的平行线和，直线交轴于点，直线交轴于点，且（是坐标原点）
(1)求双曲线的方程；
(2)设、分别是双曲线的左、右顶点，过右焦点的直线交双曲线于、两个不同点，直线与相交于点，证明：点在定直线上.
48．（2023·山东聊城·统考二模）已知点M为双曲线右支上除右顶点外的任意点，C的一条渐近线与直线互相垂直．
(1)证明：点M到C的两条渐近线的距离之积为定值；
(2)已知C的左顶点A和右焦点F，直线与直线相交于点N．试问是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
49．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）过点的动直线与双曲线交于两点，当与轴平行时，，当与轴平行时，．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)点是直线上一定点，设直线的斜率分别为，若为定值，求点的坐标．
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专题22 双曲线
一、单选题
1．（2023·北京房山·统考二模）已知双曲线的方程为，点，分别在双曲线的左支和右支上，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线渐近线的斜率求得直线的斜率的取值范围.
【详解】双曲线的渐近线方程为，斜率为，
依题意，点，分别在双曲线的左支和右支上，
所以直线的斜率的取值范围是.
故选：A
2．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）双曲线的一条渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用给定的双曲线方程，求出双曲线的实半轴、虚半轴长即可求出渐近线的方程作答.
【详解】双曲线的实半轴长，虚半轴长，且焦点在x轴上，
所以双曲线的渐近线方程为，即，则D正确，ABC错误.
故选：D
3．（2023·北京朝阳·二模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】根据双曲线的方程写出渐近线方程，对照条件可求答案.
【详解】因为双曲线为，所以它的一条渐近线方程为；
因为渐近线方程为，所以.
故选：C.
4．（2023·天津南开·统考二模）已知拋物线的准线过双曲线的左焦点，点为双曲线的渐近线和拋物线的一个公共点，若到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由抛物线的标准方程求出准线方程即可求出双曲线的左焦点，即可求；由为双曲线的渐近线和拋物线的一个公共点，到抛物线焦点的距离为5，可求出点的坐标，把点代入双曲线的渐近线方程即可得出与相等，再根据即可求解.
【详解】
由题意知，拋物线的准线方程为，所以双曲线的左焦点坐标为，所以双曲线的.
又因为点为双曲线的渐近线和拋物线的一个公共点，若到抛物线焦点的距离为5，所以，所以，代入抛物线方程即可得.
因为在双曲线的渐近线方程上，所以，又因为双曲线中，，所以，
所以双曲线的方程为：.
故选：D
5．（2023·河北衡水·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，双曲线上的两点关于原点对称(其中点在双曲线的右支上)，且，双曲线上的点满足，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用双曲线的定义、平面几何的性质和余弦定理解决本题.
【详解】如图所示，为双曲线右焦点，则由，
得四边形为平行四边形，又由，可得，可得四边形为矩形.
设，则,
，
在中，由余弦定理得，
即，
即 ①，
在Rt中，，
即②，
联立①②解得，
代人② ，得，解得.
故选：A.
6．（2023·四川成都·三模）已知双曲线经过点，且与双曲线具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先利用共渐近线方程的设法设出双曲线的方程，再代入点，即可求解.
【详解】由题意设双曲线的标准方程为，代入点，
得，得，
所以双曲线的标准方程为.
故选：A
7．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知双曲线C的焦点分别为，虚轴为．若四边形的一个内角为120°，则C的离心率等于（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】根据双曲线的性质分析可得，结合之间的关系分析运算即可去.
【详解】因为，
由对称性可得：四边形为菱形，且，
所以，即，
可得，整理得，
即C的离心率.
故选：A.
8．（2023·北京昌平·统考二模）已知双曲线的一个焦点坐标为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】把双曲线方程化成标准形式，求出m即可求出离心率作答.
【详解】双曲线化为：，依题意，，解得，
因此双曲线的实半轴长为1，所以双曲线的离心率为2.
故选：C
9．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点的直线分别与双曲线的渐近线平行，与渐近线的交点记为，若 为等边三角形，且面积为，则（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】C
【分析】作图，分析几何关系得到四边形OABF是菱形，利用条件即可求出 .
【详解】
由题意作上图，显然四边形 是平行四边形，又 是等边三角形， 是菱形，
由于 ， 的AB边上的高 ，即 ，
的方程为： ，A在上， ， ；
故选：C.
10．（2023·全国·校联考三模）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】利用待定系数法，分焦点在轴上和焦点在轴上两种情况，分别设出双曲线的标准方程，再利用条件建立方程，即可求出结果.
【详解】因为和有相同的焦距，又双曲线的焦距为，所以双曲线的焦距，又过点，
当的焦点在x轴上，设双曲线的方程为，
若将点代入，得①，
又②，联立①②两式得，，所以双曲线的标准方程为.
当的焦点在y轴上，设双曲线的方程为，将点代入，得③，又④，
联立③④两式得，，所以双曲线的标准方程为，
综上所述，双曲线的标准方程为或.
故选：C.
11．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线的离心率为．则C的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由离心率计算得关系即可.
【详解】由题意知C的渐近线方程为，因为，所以，所以C的渐近线方程为．
故选：B．
12．（2023·广西·统考模拟预测）已知分别是双曲线的左 右焦点，斜率为的直线过，交的右支于点，交轴于点，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意画出图形，利用双曲线定义求出，再利用三角形相似，即可求解.
【详解】如图，由题可知，
又因为，所以，
因为直线的斜率为，所以，
设为的中点，连接，易知，
所以，则，解得，
所以双曲线的离心率为．
故选：A.
13．（2023·广西·统考模拟预测）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别是，，以线段为直径的圆在第一象限交双曲线于点，且的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据为等腰三角形计算的面积，结合题目所给的条件得，从而求出，再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得，从而求出，相减得到，代入离心率公式消去即可求出离心率.
【详解】如图，
根据题意可得为等腰三角形，
，
∴.，∴，
∴，，，
所以，
所以离心率为.
故选：A
14．（2023·全国·校联考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交的左、右半支分别于点．若为线段的中点，且是等腰三角形，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，结合双曲线定义确定等腰的腰，再利用勾股定理列式计算作答.
【详解】依题意，令，由双曲线的定义知，，
显然，否则，有，，，，矛盾，
若，即，则，，满足条件，
过作，垂足为，则为线段的中点，于是，，
设双曲线的焦距为，在中，，即，解得，
所以的离心率．
故选：B
15．（2023·新疆·统考二模）已知A，B为双曲线E：的两个焦点，C，D在双曲线上，且四边形ABCD为正方形，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用已知条件列出方程组，求解得关于，的等式关系，转化为离心率的式子，即可求得．
【详解】解：如图，
正方形的顶点A，B为双曲线的焦点，顶点C，D在双曲线上
则，故
由正方形得：，所以，则
即：，两边同除得：，
解得：或（舍），
，则.
故选：A.
16．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知双曲线的左焦点为，点M在双曲线C的右支上，，若周长的最小值是，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【分析】设双曲线C的右焦点为，连接，线段交双曲线C于点，由三角形两边之和大于第三边得，再由双曲线的定义得，从而得到，所以周长的最小值可表示为，结合条件可求出关于的方程，即可解出离心率.
【详解】如图，
设双曲线C的右焦点为，连接，线段交双曲线C于点，
则．
由双曲线的定义可得，则．
因为，所以，
则周长的最小值为，
整理得，即，
解得．
故选：B
17．（2023·全国·校联考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，关于C的一条渐近线的对称点P恰好在C上，若直线交C的左半支于点Q，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设与渐近线交于点，得到，进而得到，根据焦点到渐近线的距离求得，再由双曲线的定义得到，在直角中，利用勾股定理求得，得到，设，在直角中，求得，结合，即可求解.
【详解】如图所示，设与渐近线交于点，O为坐标原点，则为线段的中点，
又由为的中点，可得，
因为，所以，
由渐近线的方程为，即，
可得焦点到渐近线的距离为，所以，
又由双曲线的定义，可得，所以，
在直角中，可得，
解得，所以，
设，则，，
在直角中，可得，即，
解得，所以，
在直角中，可得.
故选：B.
18．（2023·江西新余·统考二模）已知双曲线，过右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为点，与的另一条渐近线交于点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出图形，计算出，设，可得出，由二倍角的正切公式可得出关于的等式，求出的值，利用双曲线的离心率公式可求得该双曲线的离心率的值.
【详解】如下图所示：
双曲线的渐近线方程为，即，
所以，，则，
因为，则，
设，则，所以，，
，，
由二倍角的正切公式可得，即，可得，
因此，.
故选：A.
19．（2023·安徽淮北·统考二模）已知，过斜率为的直线上存在不同的两个点满足：.则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义可得，是以、为焦点的双曲线的右支上的两点，即过斜率为的直线与双曲线的右支有两个交点，求出双曲线方程，联立直线与双曲线，消元，根据及韦达定理得到不等式组，解得即可.
【详解】因为，
所以，是以、为焦点的双曲线的右支上的两点，
且，，所以，
双曲线方程为，
则过斜率为的直线方程为，
由，消去整理得，
所以，解得，即的取值范围为.
故选：C.
20．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，与的左支交于点.若，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由双曲线的定义可得，结合余弦定理及双曲线性质可得，化简求范围即可.
【详解】
由题意易得：，所以
设，，由余弦定理可得，
则
设点，则，
即
所以，故.
故选：C
21．（2023·福建·统考模拟预测）已知双曲线C：（a>0，b>0）的离心率为，左，右焦点分别为，关于C的一条渐近线的对称点为P.若，则的面积为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】D
【分析】设与渐近线交于，由对称性知且，在直角中可求得，再由求得的面积.
【详解】
设与渐近线交于，则，，，
所以，，
由分别是与的中点，知且，即，
由得，所以，
故选：D
22．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点满足，过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先确定P点在双曲线的右支上，再根据点到直线距离公式和条件求出a与b的关系.
【详解】依题意，，故点在双曲线的右支上；
设，则，即；渐近线方程为 ，即 ，
，则，
则 ，，故双曲线的渐近线方程为；
故选：D.
23．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）已知为双曲线的右焦点，A为双曲线虚轴的一个端点，直线与双曲线的一条渐近线在轴左侧的交点为，若，则此双曲线渐近线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，得直线解析式，与渐近线联立得，再根据向量关系可得，解之可得，即得结果.
【详解】设，则直线的方程为，
因为B在轴左侧，所以渐近线方程为，
由，得，故.
，
∴双曲线的渐近线方程为，
故双曲线渐近线的夹角为，
故选：.
24．（2023·河南·校联考三模）已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，（不重合），的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出的垂直平分线的方程，即可求出的中点坐标，设，，利用点差法得到，最后利用离心率公式计算可得.
【详解】因为直线，所以，
由题可知的垂直平分线的方程为，
将与联立可得，即的中点坐标为．
设，，则，且，，
两式作差可得，
即，所以，
则双曲线的离心率为．
故选：D
25．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）已知双曲线的离心率为，以坐标原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，若四边形的面积为，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据离心率求出，得渐近线方程为，设直线的倾斜角为，则，求出，利用面积求出即可得解.
【详解】因为双曲线的离心率为，所以，得，
所以双曲线的渐近线方程为，
设直线的倾斜角为，则，
由对称性不妨令点A，B分别在第一、四象限，坐标原点为O，则，
于是得，
而双曲线的虚半轴长为b，即，
显然四边形为矩形，其面积，得，所以，
所以双曲线的方程为．
故选：B．
26．（2023·陕西商洛·统考三模）如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取的中点，连接，利用两角和的正切公式求出，即直线的斜率为，再设，，利用点差法得到，从而求出离心率.
【详解】如图，取的中点，连接，则，所以，
设直线的倾斜角为，则，
所以，
所以直线的斜率为，
设，，则，
由，得到，
所以，所以，则.
故选：C
27．（2023·天津·三模）已知O为坐标原点，双曲线C:的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由双曲线的定义，结合双曲线的离心率，得双曲线的方程及渐近线的方程，
再设，由双曲线的方程求点到两条渐近线的距离之和.
【详解】
设半焦距为c，延长交于点N，由于PM是的平分线，，
所以是等腰三角形，所以，且M是NF2的中点.
根据双曲线的定义可知，即，由于是的中点，
所以MO是的中位线，所以，
又双曲线的离心率为，所以，，所以双曲线C的方程为.
所以，，双曲线C的渐近线方程为，
设，T到两渐近线的距离之和为S，则，
由，即，
又T在上，则，即，解得，，
由，故，即距离之和为.
故选：A.
【点睛】由平面几何知识，，依据双曲线的定义，可将转化为用a表示，进而的双曲线的标准方程.
28．（2023·全国·学军中学校联考模拟预测）已知空间中两条直线、异面且垂直，平面且，若点到、距离相等，则点在平面内的轨迹为（ ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】C
【分析】设在内的射影为，以与的交点为原点，为轴，为轴，与的公垂线为轴，建立空间直角坐标系. 设，利用空间向量坐标法表示距离，列出方程，求解结果.
【详解】设在内的射影为，到的距离为，
以与的交点为原点，为轴，为轴，与的公垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则到的距离为.
过点作于点，过点作于点，
又在内的射影为，则，连结,
又，，
所以平面，又平面，
所以，所以，
所以则到的距离为,
因为点到、距离相等，
所以，即，
所以点在平面内的轨迹为双曲线.
故选：C.
【点睛】方法点睛：
关于立体几何中的轨迹问题，一般要建立适当的空间直角坐标系，根据已知信息列出的等量关系，化简得出轨迹方程，结合方程特征找到轨迹曲线.
29．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知分别是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，圆，直线与圆相交于两点，直线与圆相交于两点，若四边形的面积为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意结合双曲线的定义可得，进而可得，利用垂径定理求，结合面积运算求解即可.
【详解】由题意可得：，
可得，整理得，
过点分别作的垂线，垂足分别为，
则为的中点，为的中点，则，
所以，
由题意可得：，
因为圆的半径为，
可得，
所以四边形的面积
，
可得，则，整理得，
所以的离心率.
故选：A.
【点睛】方法点睛：双曲线离心率(离心率范围)的求法
求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．
30．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）双曲线的左 右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，求出及，由三角形面积及三角函数值得到，由双曲线定义得到，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到离心率.
【详解】设切点为，，连接，则，，
过点作⊥轴于点E，则，故，
因为，解得，
由双曲线定义得，所以，
在中，由余弦定理得，
化简得，又，
所以，方程两边同时除以得，
解得，所以离心率.
故选：A
【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围).
31．（2023·浙江·统考二模）人教版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线.现将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先确定的两条渐近线分别为，也为旋转前双曲线的渐近线，再设两条渐近线夹角（锐角）角平分线且，根据斜率与倾斜角关系、差角正切公式求双曲线渐近线斜率，进而求双曲线离心率.
【详解】由的两条渐近线分别为，
所以该函数对应的双曲线焦点在夹角（锐角）的角平分线上，
设且，若分别是，的倾斜角，故，
故为双曲线旋转后其中一条渐近线的倾斜角，
由，即，
整理得，可得（负值舍去），
所以绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线一条渐近线斜率为，
故.
故选：D
【点睛】关键点点睛：求出的渐近线，利用正切差角公式求其旋转后渐近线斜率是关键.
二、多选题
32．（2023·海南·统考模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，设点P为C右支上一点，P点到直线的距离为d，过的直线l与双曲线C的右支有两个交点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2 B．
C．直线l的斜率的取值范围是 D．的内切圆圆心到y轴的距离为1
【答案】BD
【分析】数形结合判断A；令且，应用两点距离、点线距离及点在双曲线上列式化简判断B；结合双曲线渐近线及直线与双曲线交点情况确定直线斜率范围判断C；利用双曲线定义及内切圆性质确定圆心横坐标，即为双曲线右顶点横坐标判断D.
【详解】A：由题设及下图知：当与右顶点重合时，最小为，错；
B：令且，则，对；
C：由渐近线方程为，过的直线l与双曲线C的右支有两个交点，
结合图知：直线l的斜率的取值范围为，错；
D：若内切圆与三边相切于，如下图，则，，，
又，即，
由，即与右顶点重合，易知的内切圆圆心到y轴的距离为1，对.
故选：BD
33．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）过双曲线的左焦点的直线交的左 右支分别于两点，交直线于点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据双曲线中的极线是可得判断C，再由及比例的性质可判断B，由B的结论根据比例性质可推出判断A，再由及比例性质可判断D.
【详解】如图，
点的极线是，故成调和点列，即，故C正确；
又，所以，所以，
所以，故B正确；
，故A错误；
，故D正确.
故选：BCD
34．（2023·广东湛江·统考二模）已知双曲线的上焦点为，过焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，并与另一条渐近线交于点，若，则的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】利用直线的垂直关系及，分情况讨论得到关于的方程，化为的方程，即可求得离心率.
【详解】当时，直线与另一条渐近线平行，所以．
当时，如图1，过作另一条渐近线的垂线，垂足为，则，
由，得，则，所以，
则，，所以，
则，．
当时，如图2，过作另一条渐近线的垂线，垂足为，则，
由，得，则，则，
所以，则，，
所以，则，．
综上，的离心率为或．
故选:AC.
35．（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知F是双曲线E：（，）的右焦点，直线与双曲线E交于A，B两点，M为双曲线E上异于A，B的一点，且MA，MB不与坐标轴垂直，O为坐标原点，P，Q分别为AF，BF的中点，且，记双曲线E的离心率为e，直线MA与MB的斜率分别为，.则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】设，利用直线斜率与倾斜角关系则有，将其代入双曲线方程即可得到关于的方程，解出即可；设，根据对称性得，将代入双曲线方程，利用点差法得，而.
【详解】根据题意作出如下图形：
依题意得直线与双曲线两交点关于原点对称，
,分别为,的中点，则，，
，，则有，
设，由直线斜率为可知，
则，，
则，代入双曲线方程有，
即，化简得，
化简得，，解得，则，故B正确，A错误；
根据，则，则双曲线方程可化为，
设，根据对称性得，
根据点在双曲线上则有，
①②得，即，
，故C正确，D错误，
故选：BC.
36．（2023·广东·统考模拟预测）双曲线的左右焦点分别为，，P为双曲线右支上异于顶点的一点，的内切圆记为圆，圆的半径为，过作的垂线，交的延长线于，则（ ）
A．动点的轨迹方程为
B．的取值范围为（0，3）
C．若，则
D．动点的轨迹方程为
【答案】ABD
【分析】由双曲线的定义和切线长的性质即可判定A的正误；根据双曲线渐近线的性质，可知B的正误，利用，可求出点坐标，从而可得C的正误； 由过内切圆的圆心和，得为的中点，再根据双曲线的定义得，从而可得动点的轨迹方程.
【详解】设，设的内切圆分别与边，，切于，，三点，如图所示.
A选项：由题知，,，
，
所以，，显然，故A正确；
B选项：根据对称性，不妨假设点在轴上方，根据A选项可设，
双曲线的一条渐近线为，考虑点在无穷远时，直线的斜率趋近于，此时的方程为，
此时圆心到直线的距离为，解得，
所以的取值范围为（0，3），故B正确；
C选项：时，，，此时，
所以，，因为，，所以，故C错误；.
D选项：分别延长，交于点，
因为过内切圆圆心，所以为角平分线，且 ，
所以，且为的中点，所以.
又因为点为的中点，为的中点，所以 ，
所以动点的轨迹方程为，显然，
又考虑点在无穷远时，此时直线趋近于渐近线，直线为，
联立方程组，解得，所以点的横坐标，
动点的轨迹方程为.故D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：解析几何中三角形内切圆的转化方法：
（1）圆外一点向圆引切线，切线长相等；
（2）圆心与三角形三个顶点的连线分割成的三个三角形的面积和等于大三角形的面积；
（3）圆心是三角形内角平分线的交点，利用角平分线的性质进行转化.
37．（2023·广东广州·统考二模）已知双曲线的左，右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于点、，与双曲线的渐近线交于点、（、在第一象限，、在第四象限），为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若轴，则的周长为
B．若直线交双曲线的左支于点，则
C．面积的最小值为
D．的取值范围为
【答案】BD
【分析】利用双曲线的定义可判断A选项；利用平行四边形的几何性质可判断B选项；设直线的方程为，求出、，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可判断C选项；由双曲线的定义，求出关于的函数关系式，利用函数的单调性可求得的取值范围，可判断D选项.
【详解】双曲线的标准方程为，则，
易知点、，双曲线的渐近线方程为.
对于A选项，当轴，直线的方程为，
联立，可得，此时，，
则，
此时，的周长为，A错；
对于B选项，因为双曲线关于原点对称，则点关于原点的对称点也在双曲线上，
因为若直线交双曲线的左支于点，则点、关于原点对称，
即、的中点均为原点，故四边形为平行四边形，
所以，，即，B对；
对于C选项，易知的方程为，的方程为，所以，，
因为直线与双曲线的右支交于点、，则直线不与轴重合，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，
则，解得，
由韦达定理可得，，可得，
联立可得，即点，
联立可得，，即点，
所以，，，
所以，，当且仅当时，等号成立，C错；
对于D选项，
，
当时，，
当时，，
因为函数在上单调递减，
此时，
当时，因为函数在上单调递减，
此时，
综上所述，的取值范围是，D对.
故选：BD.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围
38．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）已知AC为圆锥SO底面圆O的直径（S为顶点，O为圆心），点B为圆O上异于A，C的动点，，，平面α和直线SO所成的角为θ，该圆锥侧面与平面α的交线为曲线C，则（ ）．
A．过该圆锥顶点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为2
B．的取值范围为
C．若，E为线段AB上的动点，则的最小值为
D．若，则曲线C必为双曲线的一部分
【答案】ACD
【分析】A选项，设，表达出截面面积，利用基本不等式求出最大值；B选项，可举出反例得到；C选项，将立体图形展开，得到三点共线时，取得最小值，利用余弦定理求出最小值；D选项，由二倍角公式得到，根据得到，D正确.
【详解】对选项A：如图1，设截面为为中点，连接，设，则，当，即时等号成立，A正确；
对选项B：如图2，中，，则当时，，B错误；
对选项C：如图3，为等腰直角三角形，，将放平得到，当三点共线时最小，为中点，连接，则，
，C正确；
对选项D：由，可解得或者，而，
所以，从而该圆锥侧面与平面的交线为曲线，则必为双曲线的一部分，D正确.
故选:ACD.
【点睛】思路点睛：
（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；
（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；
（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；
（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.
39．（2023·湖南·校联考二模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（在第一象限），，为线段的中点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．双曲线的离心率为
C．的面积为 D．直线的斜率为
【答案】AD
【分析】利用双曲线的定义求出、，可判断A选项；在中，应用余弦定理可得出关于、的齐次等式，可求得双曲线的离心率，可判断B选项；利用三角形的面积公式可判断C选项；利用点差法求出直线的斜率，可判断D选项.
【详解】如下图所示：
对于A选项，因为，所以，，
由双曲线的定义可得，所以，，A对；
对于B选项，设直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则为锐角且，
由可得，则，
在中，由余弦定理得，
即，
等式两边同时除以可得，
因为，解得，B错；
对于C选项，因为，则为钝角，
所以，，
，C错；
对于D选项，设，，则，可得，
因为，则，
由得，
所以，，则，
则直线的斜率为，D正确．
故选：AD．
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
三、解答题
40．（2023·广东佛山·统考二模）双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形．
(1)求双曲线的方程；
(2)、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，转化为的方程，即可求解；
（2）首先设直线的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示，并根据的取值范围，求点到直线的距离的取值范围.
【详解】（1）依题意，，焦半径，
由，得，得，
解得：（其中舍去），
所以，
故双曲线的方程为；
（2）显然直线不可能与轴平行，故可设直线的方程为，
联立，消去整理得，
在条件下，设，，
则，，
由，得，
即，
整理得，
代入韦达定理得，，
化简可消去所有的含的项，解得：或（舍去），
则直线的方程为，得，
又都在双曲线的右支上，故有，，
此时，，
所以点到直线的距离的取值范围为.
41．（2023·浙江·二模）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，是上一点，线段与交于点.
(1)证明：；
(2)若的面积为8，求直线的斜率.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意在双曲线左支上，在右支上，设且得中点为，代入双曲线判断与双曲线的位置关系，即可证结论；
（2）令得，设联立双曲线，应用韦达定理，结合已知求，即可得直线斜率.
【详解】（1）由题意在双曲线左支上，在右支上，令且，
而，则线段中点为，又，则，
所以，则中点在双曲线上或外部，
即，仅当重合时等号成立，故.
（2）若，则，
令，，联立双曲线，
则，而，则，，
所以，故，可得（负值舍），
所以，故直线斜率为.
42．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知双曲线：（，）的右焦点为，的渐近线与抛物线：（）相交于点．
(1)求，的方程；
(2)设是与在第一象限的公共点，不经过点的直线与的左右两支分别交于点，，使得．
（ⅰ）求证：直线过定点；
（ⅱ）过作，垂足为．是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)：，
(2)（i）证明见解析；（ii）存在，，为定值.
【分析】（1）根据题意，结合待定系数法求解即可；
（2）（i）先联立抛物线与双曲线的方程得，进而结合题意设直线方程为，进而与双曲线联立方程，结合向量垂直的坐标表示，韦达定理整理得，进而得直线过定点，即可证明；
（ii）由题知，进而点在以线段为直径的圆上，线段的中点为，，为定值.
【详解】（1）解：因为双曲线的右焦点为，渐近线过点，
所以，，解得，
所以，双曲线的方程为：.
因为抛物线：（）经过点
所以，，解得，
所以，抛物线.
（2）解：（i）由解得，故，
因为不经过点的直线与的左右两支分别交于点，，
所以，直线斜率存在，设方程为，
由得，
所以，，解得，
，
因为，所以，
所以，
所以，
即，
所以，
即，
所以，整理得，
因为直线不经过点，
所以，，
所以，，故，
所以，直线的方程为：.
所以，直线过定点.
（ii）记，又，，
因为，即，
所以，点在以线段为直径的圆上，线段的中点为，即为圆心.
所以，，为定值.
所以，存在点，使得，为定值..
【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于结合韦达定理，向量垂直的坐标关系求解得直线方程为满足，进而得定点.
43．（2023·浙江·统考二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，且到的一条渐近线的距离为.
(1)求的方程；
(2)过的左顶点且不与轴重合的直线交的右支于点，交直线于点，过作的平行线，交直线于点，证明：在定圆上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据焦点到渐近线的距离求出即可得解；
（2）由题意可设PA，的斜率分别为，设直线AP的方程为，联立双曲线方程，求出，由三角函数可得，即化为得证.
【详解】（1）根据题意可知C的一条渐近线方程为，
设到渐近线的距离为，
所以，
所以的方程为.
（2）设C的左顶点为A，则,
故直线为线段的垂直平分线.
所以可设PA，的斜率分别为，故直线AP的方程为.
与C的方程联立有，
设B），则，即，
所以
当轴时，，是等腰直角三角形，
且易知
当不垂直于x轴时，直线的斜率为，故
因为，
所以
所以
因为
所以
所以为定值，
所以点Q在以为圆心且半径为4的定圆上.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
44．（2023·浙江·统考二模）已知双曲线，点是双曲线的左顶点，点坐标为.
(1)过点作的两条渐近线的平行线分别交双曲线于，两点.求直线的方程；
(2)过点作直线与椭圆交于点，，直线，与双曲线的另一个交点分别是点，.试问：直线是否过定点，若是，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】(1)
(2)直线过定点
【分析】（1）根据题意求出与渐近线平行的直线方程，再求出与双曲线的交点坐标后求解即可；
（2）设直线，，的方程，因为直线，分别与椭圆和双曲线相交，故可以利用，，建立方程，化简得出直线斜率与截距之间的关系，求出直线所过定点.
【详解】（1）由题意，得双曲线的渐近线方程为，
过与平行的直线方程为，由，解得，
过与平行的直线方程为，由，解得，
∴直线的方程为.
（2）直线过定点.
由已知，易知过的直线斜率存在且不为，直线，斜率存在且不为，
设直线，的直线方程分别为和，.
由，得，解得，则.
同理，则.
又，，三点共线，而，
故，解得.
设，，则，，
∴，
即
化简整理，得（*），
易知直线斜率存在，设直线的方程，
由，消去整理，得，
∴当且时，
有，，
代入（*）化简，解得，
即，故或.
当时，，经过点，不合题意，
当时，，经过点，满足题意.
因此直线过定点.
【点睛】求解定点问题的常用方法有：
（1）从特殊入手，求出定点（通常为特殊位置，如轴上的点），再证明这个点与变量无关；
（2）直接通过题目中的几何关系进行推理、计算、化简，消去变量，从而得到定点.
45．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知双曲线的离心率为，左 右焦点分别为，点坐标为，且.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的动直线与的左 右两支分别交于两点，若点在线段上，满足，证明：在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据离心率设，代入得到，得到答案.
（2）设，联立方程得到根与系数的关系，根据得到，代入数据整理得到，得到答案.
【详解】（1）设，因为双曲线的离心率为，
设，
所以，
所以，解得或（舍），
所以双曲线的方程为，
（2）设，当直线斜率不存在时不成立，设，
即，
由，可得，
由于点在双曲线内部，易得，所以.
设，根据题意，，又，可得，
整理得：，
即，化简得
又，消去，得，
所以点在定直线上.
【点睛】关键点睛：本题考查了求双曲线方程，定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.
46．（2023·河北邯郸·统考二模）已知双曲线（，）过，，，四个点中的三个点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于，两点，且，求证：直线经过一个不在双曲线上的定点，并求出该定点的坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点的坐标为
【分析】(1)根据双曲线的对称性可知，在双曲线上，而不可能在双曲线上，从而可知也在双曲线上，即可求双曲线的方程；(2)分类讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，由韦达定理可用含有的式子表示、，再由得到含有的方程，把、代入化简即可求出的值，从而求出定点坐标.当直线的斜率不存在时，设的方程为，同理可求出定点坐标.
【详解】（1）根据双曲线的对称性可知，关于轴对称，
所以，必同时在双曲线上，而不可能在双曲线上.
则双曲线还经过点，则，
将点代入，可得.
所以双曲线的方程为.
（2）(ⅰ)当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，，，
联立，整理得，.
由得（*），
且，，
因为，所以，，
因为，所以，即，
所以，
即，
所以，
化简得，即，
所以或，且均满足（*），
当时，直线的方程为，
直线过定点，即点，不符合题意，舍去；
当时，直线的方程为，
直线过定点，符合题意.
(ⅱ)当直线的斜率不存在时，设的方程为，
由，解得，
依题意，因为，，
所以，即，
所以，即，
解得（舍）或，
所以直线的方程为，直线过点，
综上所述，直线经过一个不在双曲线上的定点，定点的坐标为.
47．（2023·山西·统考二模）已知双曲线经过点，直线、分别是双曲线的渐近线，过分别作和的平行线和，直线交轴于点，直线交轴于点，且（是坐标原点）
(1)求双曲线的方程；
(2)设、分别是双曲线的左、右顶点，过右焦点的直线交双曲线于、两个不同点，直线与相交于点，证明：点在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出点、的坐标，根据题中条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出双曲线的方程；
（2）分析可知直线不与轴重合，设、，直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出直线与的方程，将这两条直线联立，求出点的横坐标，即可得出结论.
【详解】（1）解：由题意得，，
不妨设直线的方程为，则直线的方程为，
在直线的方程中，令可得，即点，同理可得，
，
由可得，因此，双曲线的方程为.
（2）证明：由（1）得、、，
若直线与轴重合，则、为双曲线的顶点，不合乎题意，
设、，直线的方程为，
联立可得，
所以，，解得，
，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与的方程，可得，
所以，
，
因为，解得，
因此，点在定直线上.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
48．（2023·山东聊城·统考二模）已知点M为双曲线右支上除右顶点外的任意点，C的一条渐近线与直线互相垂直．
(1)证明：点M到C的两条渐近线的距离之积为定值；
(2)已知C的左顶点A和右焦点F，直线与直线相交于点N．试问是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）根据垂直关系得到渐近线的斜率，得到方程，求出双曲线方程，进而设出点M的坐标为，，利用点到直线距离公式得到点M到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值；
（2）先考虑时，再考虑，当M在x轴上方时，设出点的坐标，表达出，结合正切二倍角公式得到，故，当M在x轴下方时，同理可得结论.
【详解】（1）因为双曲线C的一条渐近线与直线互相垂直，
所以其中一条渐近线的斜率为，则，则．
所以双曲线C的方程为．
设点M的坐标为，则，即．
双曲线的两条渐近线，的方程分别为，
则点M到两条渐近线的距离分别为，
则．
所以点M到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值．
（2）存在．
①当时，，又N是的中点，
所以，所以，此时．
②当时．
ⅰ）当M在x轴上方时，由，可得，
所以直线的直线方程为，
把代入得．
所以，则．
由二倍角公式可得．
因为直线的斜率及，
所以，则．
因为，
所以．
ⅱ）当M在x轴下方时，同理可得．
故存在，使得．
【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
49．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）过点的动直线与双曲线交于两点，当与轴平行时，，当与轴平行时，．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)点是直线上一定点，设直线的斜率分别为，若为定值，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与坐标轴平行的情况可得双曲线上的点的坐标，代入双曲线方程即可求得结果；
（2）方法一：由三点共线可整理得到，代入双曲线方程可整理得到，结合两点连线斜率公式可化简得到，根据为常数可构造方程求得，进而得到点坐标，验证可知符合题意；
方法二：设，与双曲线方程联立可得一元二次方程，根据该方程的根可化简得到，同理可得，由此可化简得到，由为常数可构造方程求得点坐标，验证可知当直线斜率为和斜率不存在时依然满足题意，由此可得结论.
【详解】（1）由题意可知：双曲线过点，，
将其代入方程可得：，解得：，
双曲线的标准方程为：.
（2）方法一：设，
点与三点共线，，
（其中，），，
，又，
整理可得：，
当时，，，不合题意；
当时，由得：，
设，则，
，
若为定值，则根据约分可得：且，解得：；
当时，，此时；
当时，为定值.
方法二：设，直线，
由得：，
为方程的两根，
，
则，
由得：，
由可得：，
同理可得：，
则，
若为定值，则必有，
解得：或或，
又点在直线上，点坐标为；
当直线斜率为时，坐标为，若，
此时；
当直线斜率不存在时，坐标为，若，
此时；
综上所述：当时，为定值.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线中的定点定值问题的求解，本题求解的基本思路是能够利用直线与双曲线相交的位置关系确定两交点横纵坐标所满足的等量关系，进而通过等量关系化简所求的，根据为常数来构造方程求得定点的坐标.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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