4.2两角和与差的三角函数公式 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
两角和与差的三角函数公式
4课时 授课人：孙迎港
目
标
1
输入标题名称
2
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3
输入标题名称
4
输入标题名称
目
标
1
掌握两角和与差的正弦余弦正切公式
2
掌握积化和差和差化积公式
3
掌握相关公式的变形及应用
4
掌握常见问题的求解过程
情景导入
某主题公园有一半经为的摩天轮，如图，有一游客在摩天轮的点，此时与水平线的夹角为，现摩天轮转动了该游客来到了摩天轮的点，问该游客从点到点的水平距离是多少米？
新知概念
一、两角和与差的三角函数公式
1、两角和与差的余弦公式
（1）公式：
（2）推导：
（距离公式+余弦定理或者向量的坐标运算）
方法一：距离公式+余弦定理
连接，
则线段
在中，，由余弦定理可得：
即：
所以：
所以：
方法二：
如果，由向量数量积的概念
结合向量数量积的坐标运算得到：
即
如果，那么是与的夹角。
所以
由以上的讨论可知：对于任意角都有
在公式中，令代替，
则有：
2、两角和与差的正弦公式
（1）公式：，
，
（2）推导过程：由和诱导公式，可得：
即
所以
在公式中用代替可以得到
3、两角和与差的正切公式
（1）公式：， ，
（2）推导：当时，依据可知：
当时，分子分母同时除以
得
在中以代替，可得：
（3）公式适用条件：
需满足：
需满足：
当：或得值不存在时，不能使用该公式。
公式变形：
两角和与差正切公式的变形
①
②
③
④
1、利用两角和与差的正弦公式、余弦公式、正切公式求解的相关取值。
2、已知为第三象限角，求的值。
3、已知，，求的取值。
4、已知，其中，求，的值。
对点练习
二、三角函数叠加公式与积化和差和差化积公式
1、三角函数叠加公式（辅助角公式）（重点掌握）
（1）公式：
（不同时为0）
其中：或
（2）推导：
,引入辅助角或：
令：，
则
令：
则
上述各式中，不同时为0
2、积化和差，和差化积公式
（1）积化和差公式：
推导：
利用：
两式子相加或相减
2、积化和差，和差化积公式
（2）和差化积公式：
；
；
；
；
推导：将积化和差中的和看成一个整体，从右向左看，即可得到
令
5、化简：
（1）； （2）
6、（1）求的最大值和周期。
（2）求的单调区间。
（3）求的对称轴。
7、求的取值；
8、求证：；
对点练习
典例剖析
题型一 两角和与差的余弦公式和正弦公式的应用
例1、（1）已知均为锐角，，求；（2）已知，，，求与的值;
例2、（1）求的值。
（2）化简：
例3、（1）已知，且，求角的值。
（2）已知角的终边落在直线上，且，求的值；
若，求的值。
题型二 辅助角公式的应用
例4、已知函数，从下面两个条件中任选其中一个：①；②若且的最小值为，。求解下列问题：
（1）化简的表达式并求的单调递增区间。
（2）已知，求的值。
例5、已知函数，
（1）当时，求的取值；
（2）当函数图像的两条相邻对称轴之间的距离是时，若，求的取值范围。
题型三 积化和差和差化积公式的简单应用
例6、求函数的最大值。
例7、已知是一元二次方程的两个根，求。
题型四 角的拼凑
例8、（1）已知求的取值。
（2）已知求的取值。
（3）已知，求的取值。
题型五 三角函数式的化简与证明
例9、（1）化简：
（2）化简：
题型六 两角和与差的正弦公式余弦公式在三角形中的应用
例10、从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答。
已知的内角所对的边分别是，若_______，；
（1）求角；（2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积。
例11、从①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面的横线上并解答问题。
已知的内角所对的边分别是，且满足_________；
（1）求；（2）若的面积为，为的中点，求的最小值。
课堂小结
1、掌握正弦定理余弦定理的公式及推导
2、掌握三角函数的叠加公式（辅助角公式的应用）
3、熟悉积化和差和差化积
4、掌握常见的公式的使用及习题的处理
C组
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B组
例1 例2 例3
例5 例6 例8
例10
A组
课本162页A组
课后分层作业
下节再见