东北师大附中
2022-2023学年下学期期中考试
高二年级数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生须将自己的班级、姓名、学号填写在答题卡指定的位置上．
2．选择题的每小题选出答案后，涂在答题卡指定的位置上．
3．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．
本卷分第I（选择愿）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分120分，考试用时120分钟．
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．
1. 某运动物体的位移与时间满足，则它在时的瞬时速度等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数的物理含义，对求导，即可求得答案.
【详解】由可得，
故，即物体在时瞬时速度等于，
故选：B
2. 已知等差数列中，，，则为（ ）
A. 20 B. 30 C. 45 D. 50
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差中项性质即可求得答案.
【详解】由题意等差数列中，有，
故选：A
3. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求导，由导数求解斜率，由点斜式即可求解.
【详解】由得，所以处的切线斜率为，
所以在点处的切线方程为 ，
故选：D
4. 某班开展一次小组探究活动，需要从3个男生和2个女生中选取2个人作为代表发言，则不同选法的种数是（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】根据组合的含义以及组合数的计算，可得答案.
【详解】由题意知从3个男生和2个女生中选取2个人作为代表发言，
则不同选法的种数是,
故选：C
5. 下列函数中，在上为增函数的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的导函数，利用导数研究函数的单调性，即可判断.
【详解】对于A：，则，则在定义域上单调递减，故A错误；
对于B：，则，所以当时，当时，
即函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
对于C：，则，当时，所以函数在上单调递增，故C正确；
对于D：，则，当时，当时，
即函数上单调递减，在上单调递增，故D错误；
故选：C
6. 若数列的前项和为，且满足，，则（ ）
A. 61 B. 253 C. 1021 D. 4092
【答案】B
【解析】
【分析】通过给出的关系式求出数列的通项公式，即可求出的值.
【详解】由题意，，
在数列中，前项和为，，，
∴，即，
∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴即，
∴，
故选：B.
7. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用定义域可排除AB，用导数讨论函数在上的单调性可排除D.
【详解】易知函数的定义域为，在x<0时，f（x)>0,故AB错误；
当时，，所以
所以函数在上单调递增，故D错误.
故选：C
8. 函数的定义城为，，对任意，，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知条件构造函数，由的单调性可得的解集.
【详解】令，则，
因为，所以，所以在上单调递减.
又因为，所以即的解集为.
故选：D.
二、多选题：本题共4小愿，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知数列的首项，且满足，下列结论中正确的是（ ）
A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列
C. D. 数列的前6项的和为120
【答案】BCD
【解析】
【分析】计算数列前三项可判断A；利用，构造等比数列，可判断B，C；结合C的结果以及等比数列前n项和公式可判断D.
【详解】由题意数列的首项，且满足，则，
则，故数列不是等比数列，A错误；
由得，，否则与矛盾，
则，则数列是等比数列，B正确；
由B分析知数列是等比数列，首项为，公比为，
则，C正确；
数列的前6项的和为，D正确，
故选：BCD
10. 已知等比数列的前项和为，下列选项中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】CD
【解析】
【分析】根据等比数列通项公式、前项和公式，对选项逐一分析，由此判断出正确选项.
【详解】对于A：若，，则，故A错误；
对于B：若，又，所以与同号，
当，时，
当时，，
若，时，，所以，故B错误；
对于C：因为，，所以，故C正确；
对于D：若，即，则，，当时，
当时，由于，，所以，故D正确；
故选：CD
11. 已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A. 是奇函数 B. 在上单调递增
C. 在上单调递减 D. 的最大值为
【答案】AB
【解析】
【分析】根据奇函数定义判断A选项，根据函数的导函数正负判断单调性可以判断B,C选项，再根据最值判断D选项.
【详解】,是奇函数,A选项正确;
,
,单调递增,B选项正确; 单调递减,C选项错误;
,D选项错误.
故选:AB.
12. 已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A. B. 方程的实数根为0，，
C. 是的极小值点 D. 方程有四个实数根
【答案】ABD
【解析】
【分析】直接化简可判断A；求导，将的实数根问题转化为的图象交点问题可判断B；利用的图象判断符号，从而可得的单调性，可判断C；根据极值和单调性作出的图象，结合图象可判断方程解得个数，判断D.
【详解】因为
，
所以，A正确；
令，即，
作函数的图象如图，由图可知有3个交点，
，故B正确；
由图可知，或时，，所以，单调递增，
当或时，，所以，单调递减，
所以在处有极大值，C错误；
因为，
结合单调性可得的草图如图，
所以由可得或
解得或，
因为，
所以存在，使得
即存在连个解
所以有四个实数根，D正确.
故选：ABD
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．
13. 在的展开式中，含项的系数是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，得到其通项公式，即可得到结果.
【详解】由题意可得，其通项公式为，
令，则，
所以含项的系数是.
故答案为:
14. 已知数列为等比数列，若，且与的等差中项为，则的值为________．
【答案】##0.125
【解析】
【分析】设公比,首项为，列出方程求得，即可求得答案.
【详解】由题意数列为等比数列，设公比为,首项为,
故，即,
解得，则，故，
故答案为：
15. 若，设表示的整数部分，表示的小数部分，如，．已知数列的各项都为正数，，且，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据， 表示的含义，即可代入求解 ，通过规律即可归纳求解.
【详解】由得，
，
，
依次类推知，所以，
故答案为：
16. 已知函数，对任意的，且，恒有，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】不等式变形为，将问题转化为在区间上单调递增，进而转化为问题，然后参变分离转化为求函数最值问题可得.
【详解】对任意的，且，恒有，
等价于对任意的，且，恒有，
等价于在区间上单调递增，
等价于，即在区间上恒成立，
记，则，
易知，当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，
所以，即.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共56分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
17. 已知等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由等差数列的性质计算即可求解公差，进而可求通项，
（2）由裂项相消即可求解.
【小问1详解】
由，可得公差，所以
【小问2详解】
，
所以
18. 已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求的极值．
【答案】（1）
（2）极大值，极小值
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案；
（2）利用导数求得极值点，代入计算，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意 可得,
则，，
则切线方程为，即.
【小问2详解】
令或，
当时，，当时，，当时，，
故在单调递增，在单调递减，在单调递增，
故在处取得极大值，在处取得极小值
19. 如图，已知六面体ABCDPE的面ABCD为梯形，，，，，棱平面ABCD，，，，F为PD的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
【解析】
【小问1详解】
解：建立如图所示的空间直角坐标系，则
所以
设平面法向量为，
则，令，解得，故，
又，又平面,所以平面.
【小问2详解】
由(1)得
设平面的法向量为，
则，令，解得，故，
设平面的法向量为，
则，令，解得，故，
所以，
又二面角为钝角，故二面角的大小为.
20. 已知各项均为正数的数列的前项和为，且，，成等差数列．
（1）证明：数列是等比数列，并写出数列的通项公式；
（2）若，设，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见详解，
（2）
【解析】
【分析】（1）首先通过求出，再利用得到，进而证明为以为首项，以2为公比的等比数列，从而得到其通项公式．
（2）通过和得到，然后利用错位相减法化简可得．
【小问1详解】
由题可得 ，当时，，
当时，，整理得，即
∴数列是以为首项，以2为公比的等比数列，
∴
【小问2详解】
由题意可得：
所以，则有
由错位相减得
所以
21. 椭圆：的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的方程：
（2）若直线与椭圆交于异于点A的两点M，N，且，求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用椭圆过点代入，求出，根据离心率的公式，求出，结合的关系式，从而求出椭圆的方程.
（2）分类讨论直线斜率直线存在与否的情况，联立方程，利用韦达定理及向量数量积的公式，弦长公式和点到直线的距离公式，求出面积，利用求函数最值的方法，即可求出面积的最大值．
【小问1详解】
因为椭圆：过点，把代入椭圆方程得，所以，
又因为椭圆：的离心率为，所以，
则，所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
设点直线的距离为，，
因为，所以，
因为，所以，
①当直线斜率不存在时，设直线为：，代入可得，
即，，，
代入可得，
化简得，解得或，
直线：与椭圆交于异于点A，则（舍去），所以，
,
点直线：的距离，
所以.
②当直线斜率存在时，设直线为：，
联立可得，
则，
，；
因为，即，
又，
所以
，
所以，即，
解得或，
当时，直线过点A（不合题意，舍去），
当时，符合题意.
因为
；
点直线：的距离；
所以；
因为，即，所以，
因为，令，则，
所以
，
因为，所以，
，即.
综上①②面积的最大值为．
【点睛】
关键点点睛：本题求解的关键是：一是考虑斜率存在与否，分类讨论；二是利用韦达定理结合点线距表示出面积表达式.
22. 已知函数．
（1），恒成立，求实数的取值范围．
（2）若存在两个不等正实数，，，且，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分类讨论解决恒成立问题，恒成立及反例否定解题；
（2）根据题意，化简变形已知，构造新函数，利用导数再应用零点存在定理求解即可.
【小问1详解】
，定义域为，
则，
当单调递增, ,故恒成立.
当
当时，单调递增；当时，单调递减，
,不合题意舍；
当 单调递减；,不合题意舍.
所以，.
【小问2详解】
设，由得，则，，
又，，
设，则，
令，则，且，
由题意可知，函数在区间上有零点，
函数在上有一个实根，，解得.
当单调递增，，当单调递减，，应用零点存在定理
综上，实数的取值范围为.东北师大附中
2022-2023学年下学期期中考试
高二年级数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生须将自己的班级、姓名、学号填写在答题卡指定的位置上．
2．选择题的每小题选出答案后，涂在答题卡指定的位置上．
3．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．
本卷分第I（选择愿）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分120分，考试用时120分钟．
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．
1. 某运动物体的位移与时间满足，则它在时的瞬时速度等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知等差数列中，，，则为（ ）
A. 20 B. 30 C. 45 D. 50
3. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 某班开展一次小组探究活动，需要从3个男生和2个女生中选取2个人作为代表发言，则不同选法的种数是（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 20
5. 下列函数中，在上为增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 若数列的前项和为，且满足，，则（ ）
A. 61 B. 253 C. 1021 D. 4092
7. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
8. 函数的定义城为，，对任意，，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小愿，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知数列的首项，且满足，下列结论中正确的是（ ）
A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列
C. D. 数列的前6项的和为120
10. 已知等比数列的前项和为，下列选项中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C 若，则 D. 若，则
11. 已知函数，下列结论中正确是（ ）
A. 是奇函数 B. 在上单调递增
C. 在上单调递减 D. 最大值为
12. 已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A. B. 方程的实数根为0，，
C. 是的极小值点 D. 方程有四个实数根
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．
13. 在的展开式中，含项的系数是________．
14. 已知数列为等比数列，若，且与的等差中项为，则的值为________．
15. 若，设表示的整数部分，表示的小数部分，如，．已知数列的各项都为正数，，且，则________．
16. 已知函数，对任意的，且，恒有，则实数的取值范围是_________．
四、解答题：本题共6小题，共56分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
17. 已知等差数列中，，．
（1）求数列通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
18. 已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求极值．
19. 如图，已知六面体ABCDPE的面ABCD为梯形，，，，，棱平面ABCD，，，，F为PD的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小．
20. 已知各项均为正数的数列的前项和为，且，，成等差数列．
（1）证明：数列是等比数列，并写出数列的通项公式；
（2）若，设，求数列的前项和．
21. 椭圆：的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的方程：
（2）若直线与椭圆交于异于点A的两点M，N，且，求面积的最大值．
22. 已知函数．
（1），恒成立，求实数的取值范围．
（2）若存在两个不等正实数，，，且，求实数的取值范围．
