5.1.2导数的概念及其几何意义 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
§2 导数的概念及其几何意义
随着17世纪天体物理学的迅速发展，迫切需要解决4个问题:
①求曲线的切线问题;
②求非匀速运动的瞬时速度.
③求函数的最大值和最小值;
④求曲线长、曲边梯形面积.
导数产生的背景：
导数是微积分的核心概念之一
为了解决这些科学问题，许多著名的科学家,如法国的费马、笛卡尔、柯西；德国的开普勒，英国的牛顿和德国莱布尼茨等人，都为微积分的创立做出了贡献。
牛 顿
从运动学角度研究微积分.
英国物理学家、数学家.
1643―1727
莱布尼茨
1646－1716
德国数学家.
从几何学角度研究微积分.
数形结合
①平均变化率：
函数y=f(x)的定义域为D,x1,x2∈D,f(x)从x1到x2平均变化率为:
复习引入
求平均变化率的步骤：
(2)求平均变化率：
(1)求函数的增量：
牛顿
例 一小球从高空自由下落，其走过的路程 与时
间t(单位:s)的关系为
其中， 为重力加速度 .试估计小球在t=5s这个时刻
的瞬时速度
复习引入
△t<0时, 在[ 5+△t, 5 ] 这段时间内的平均速度 △t>0时, 在[5, 5 +△t ]
这段时间内的平均速度
△t = – 0.01
△t = 0.01
△t = – 0.001
△t =0.001
△t = –0.0001
△t =0.0001
△t = – 0.00001
△t = 0.00001
△t = – 0.000001
△t =0.000001
……
……
△t = – 0.1
△t = 0.1
固定的值
新知学习：
一差、二商、三极限
9
例：一条水管中流过的水量y（单位：
）是时
。求函数
在x=2处的导数
，并解释它的实际意义。
间x（单位：s）的函数
解：当x从2变到2＋Δx时，函数值从3×2变到3（2+Δx），函数值y关于x的平均变化率为
（
当x趋于2，即Δx趋于0时，平均变化率趋于3，
所以
（ /s）.
导数
表示当x=2s时水流的瞬时变化率，即水流的瞬时速度。也就是如果水管的中的水以x=2s时的瞬时速度流动的话，每经过1s，水管中流过的水量为3
列举生活中的实例
β
A
B
M
Δ
Δ
O
x
y
β
M
Δx
Δy
O
x
y
C
探究新知
导数的几何意义
莱布尼茨
割线定义
曲线在某一点处的切线的定义
设曲线C是函数y=f(x)的图象，
在曲线C上取一点P(x0,y0)
及邻近一
点Q(x0+△x,y0+△y)
,过P,Q两点作割
线，
当点Q沿着曲线无限接近于点P
点P处的切线。
即△x→0时, 如果割线PQ有一个极
限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在
割线
切线
T
o
x
y
o
x
y
割线
切线
T
莱布尼茨
导数的几何意义
割线
切线
T
o
x
y
莱布尼茨
牛顿
导数的几何意义
切线求法
课堂小结:
一个框图
2. 导数的几何意义
课堂小结:
二个定义
函数y=f(x)在点 处的导数就是函数在该点处切线的斜率.
布置作业
优化设计第14页 A组题(必做题)
第15页 B组题(选做题)