资中二中高2024届2022-2023学年下学期开学考试数学（理科）
一、选择题
1. 已知三维数组，，且，则实数k的值为（ ）
A -2 B. 2 C. D. -9
2. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A. 至少有一个黑球与都是红球
B. 至少有一个红球与都是红球
C. 至少有一个红球与至少有1个黑球
D. 恰有1个红球与恰有2个红球
3. 设、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，且，，下列命题正确的是（ ）
A. 如果，那么 B. 如果，那么
C. 如果，那么 D. 如果，那么
4. 设，若直线与直线平行，则的值为（ ）
A. B. C. 或 D.
5. 过点可以向圆引两条切线，则的范围是（ ）
A. B.
C D.
6. 如图所示，在三棱柱中，是等边三角形，平面，，，，分别是，，的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D. 0
7. 甲 乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：下列说法错误的是（ ）
A. 从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定
B. 从折线统计图上两人射击命中环数走势看，甲更有潜力
C. 从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好
D 从平均数和中位数相结合看，乙成绩较好
8. 图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3．若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为（ ）
A. B. 600 C. D.
9. 已知三棱锥所有顶点都在球球面上，且平面，若，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
10. 若直线与圆的两个交点关于直线对称，则，的值分别为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
11. 已知直线，点、，若直线上存在点满足，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12. 在正方体中，P为线段上的动点（不包含端点），若正方体棱长为1，则下列结论正确的有（ ）
①直线与AC所成角的取值范围是
②存在P点，使得平面平面
③三棱锥的体积为
④平面截正方体所得的截面可能是直角三角形
A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ②③
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为01，02，…，80的80个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本中的个体编号依次为03，13，…则样本中的最后一个个体编号是_______.
14. 若实数x、y满足约束条件 ，则的最小值是______．
15. 如图所示，在棱长为3的正方体中，E在棱上，，是侧面上的动点，且平面，则在侧面上的轨迹的长度为__________．
16. 若是圆上两点，且，若存在，使得直线与的交点恰为的中点，则实数的取值范围为______.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知直线，.
（1）证明直线l过定点A，并求出点A的坐标；
（2）在（1）的条件下，若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的，求直线的方程.
18. 某小型企业甲产品生产的投入成本x（单位：万元）与产品销售收入y（单位：万元）存在较好的线性关系，下表记录了最近5次该产品的相关数据.
x（万元） 3 5 7 9 11
y（万元） 8 10 13 17 22
（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）根据（1）中的回归方程，判断该企业甲产品投入成本12万元的毛利率更大还是投入成本15万元的毛利率更大（毛利率）？
相关公式：，
19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，点在线段上且.
（1）证明直线平面;
（2）证明直线平面.
20. 某中学举行了一次诗词竞赛.组委会在竞赛后，从中抽取了部分选手的成绩（百分制）作为样本进行统计，作出了茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：
（1）求样本容量n、抽取样本成绩的中位数及分数在内的人数；
（2）若从分数在和内的学生中任选两人进行调研谈话，求至少有一人分数在内的概率．
21. 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为.
（1）求A到平面的距离；
（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的大小.
22. 已知点，设直线l：y=kx+b（b，）与圆相交于异于点P的A，B两点.
（1）若，求b的值；
（2）若，且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的斜率k的值；
（3）当时，是否存在一定圆M，使得直线l与圆M相切 若存在，求出该圆的标准方程；若不存在，请说明理由.资中二中高2024届2022-2023学年下学期开学考试数学（理科）
一、选择题
1. 已知三维数组，，且，则实数k的值为（ ）
A. -2 B. 2 C. D. -9
【答案】B
【解析】
【分析】根据两个向量垂直可得其数量积为，然后解方程即可
【详解】根据，可得：
则有：
解得：
故选：
2. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A. 至少有一个黑球与都是红球
B. 至少有一个红球与都是红球
C. 至少有一个红球与至少有1个黑球
D. 恰有1个红球与恰有2个红球
【答案】D
【解析】
【分析】A. 至少有一个黑球与都是红球,是对立关系，因此能判断A不符合要求；B. 至少有一个红球包括两球都是红球，二者不互斥，不符合要求；C. 至少有一个红球与至少有1个黑球，含有同时发生的情况，不符合要求；D. 恰有1个红球与恰有2个红球，二者符合题目要求.
【详解】A. 至少有一个黑球与都是红球,二者不会同时发生，是互斥关系，任取2个球时，这两个事件又一定会有一个发生，因此二者又是对立事件，不符合题目要求；
B. 至少有一个红球包括两球都是红球，因此二者会同时发生，不是互斥关系，不符合要求；
C. 至少有一个红球与至少有1个黑球，二者都含有恰有一个红球和一个黑球的情况，会有同时发生的可能，不是互斥关系，不符合要求；
D. 恰有1个红球与恰有2个红球，二者不会同时发生，是互斥事件，但二者有可能都不会发生，比如取到的两球都是黑球，故二者不是对立事件，符合题目要求.
故选：D
3. 设、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，且，，下列命题正确的是（ ）
A. 如果，那么 B. 如果，那么
C. 如果，那么 D. 如果，那么
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件判断线线、线面以及面面位置关系，可判断ABD选项的正误，利用面面垂直的判定定理可判断C选项的正误.
【详解】对于A选项，因为，，，则、平行或相交，A错；
对于B选项，因为，，，则、平行或异面，B错；
对于C选项，因为，，，由面面垂直的判定定理可知，C对；
对于D选项，因为，，，则或或与相交，D错.
故选：C.
4. 设，若直线与直线平行，则的值为（ ）
A. B. C. 或 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线的一般式判断平行的条件进行计算.
【详解】时，容易验证两直线不平行，当时，根据两直线平行的条件可知：，解得或.
故选：C.
5. 过点可以向圆引两条切线，则的范围是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点可以向圆引两条切线，即点在圆外，即到圆心的距离大于圆的半径，则把圆的方程化为标准方程后，找出圆的圆心和半径，利用两点间的距离公式求出点到圆心的距离，由且，即可求解.
【详解】把圆的方程化为标准方程得，即圆心坐标为，半径为
，
点到圆心的距离为，
∵在圆外时，过点可以向圆引两条切线，
∴，即,且，
解得，
故选：.
6. 如图所示，在三棱柱中，是等边三角形，平面，，，，分别是，，的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】方法一：根据异面直线夹角的定义，延长，使 ，连接，分析图形结合余弦定理可求直线与所成角的余弦值；方法二：将三棱柱补成四棱柱，结合异面直线夹角的定义确定夹角，根据余弦定理与勾股定理可求得直线与所成角的余弦值；方法三：根据三棱柱的几何性质，建立空间直角坐标系，按照空间坐标运算求解直线与所成角的余弦值即可.
【详解】解：方法一：延长，使 ，连接，如图所示．
在三棱柱中，是等边三角形，平面，，
易知，
．
设直线与所成角为，
易知，
∴直线与所成角的余弦值为 0．
故选：D．
方法二：如图，将三棱柱补成四棱柱，其中两个三棱柱全等．
取中点，连接，由棱柱性质易知 ，
∴为与所成角或其补角．连接，
由题知，∴，又，
∴在中由余弦定理可得
∴
在中，，∴
∴直线与所成角的余弦值为 0．
故选：D．
方法三：如图，取中点为，连接，在三棱柱中，是等边三角形，平面，，
易得平面，则，又，为中点，所以，
则以为原点，以为轴建立空间直角坐标系．
所以，
则，所以
∴直线与所成角的余弦值为 0．
故选：D．
7. 甲 乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：下列说法错误的是（ ）
A. 从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定
B. 从折线统计图上两人射击命中环数走势看，甲更有潜力
C. 从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好
D. 从平均数和中位数相结合看，乙成绩较好
【答案】D
【解析】
【分析】由图找出甲乙打靶的成绩，分别计算出甲乙的平均数、方差、中位数，结合折线图逐项分析可得答案.
【详解】由图可知，
甲打靶的成绩为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，
甲的平均数为，
甲的方差为
乙打靶的成绩为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，
乙的平均数为，
乙的方差为，
所以，从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定，故A正确；
从两人射击命中环数折线统计图走势看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，甲更有潜力，故B正确；
甲打靶的成绩为2，4，6， 7，7，8，8，9，9，10，中位数为7.5，
乙打靶的成绩为5，6，6，7， 7，7，7，8，8， 9，中位数为7，
甲9环及9环以上的次数3次，甲9环及9环以上的次数1次，甲乙二人的打靶命中环数的平均数相同，故从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好，故C正确；
甲乙二人的打靶命中环数的平均数相同，甲的中位数7.5大于乙的中位数7，
从平均数和中位数相结合看，甲成绩较好，故D错误.
故选：D.
8. 图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3．若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为（ ）
A. B. 600 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，结合已知可得半径为20，由弧长公式求得底面周长，进而可求得结果.
【详解】莱洛三角形由三段半径为20，圆心角为的圆弧构成，所以该零件底面周长为，故其侧面积为．
故选：C.
9. 已知三棱锥所有顶点都在球的球面上，且平面，若，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设为的外接圆的圆心，取的中点，求得的外接圆的半径，且，得到三棱锥外接球的半径，结合球的表面积公式，即可求解.
【详解】如图所示，设为的外接圆的圆心，取的中点，
分别连接和，则平面，，
因为平面，若，
可得的外接圆的半径，且，
在直角中，可得，
即三棱锥外接球的半径为，
所以球的表面积为.
故选：D.
10. 若直线与圆的两个交点关于直线对称，则，的值分别为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】由题意分析得知直线经过圆心求出b；由直线与直线垂直求出k即可.
【详解】因为直线与圆的两个交点关于直线对称，
所以直线经过圆心，
且直线与直线垂直，
所以解得：，
故选：A.
11. 已知直线，点、，若直线上存在点满足，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设点，由勾股定理可得出，则直线与圆有公共点，利用点到直线的距离公式可求得实数的取值范围.
【详解】设点，因为，则，
即，整理可得，
所以，点既在直线上，又在圆上，
所以，直线与圆有公共点，
因为，且圆的圆心为原点，半径为，所以，，
可得，故实数的取值范围为.
故选：B.
12. 在正方体中，P为线段上的动点（不包含端点），若正方体棱长为1，则下列结论正确的有（ ）
①直线与AC所成角的取值范围是
②存在P点，使得平面平面
③三棱锥的体积为
④平面截正方体所得的截面可能是直角三角形
A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ②③
【答案】D
【解析】
【分析】①建立平面直角坐标系，利用异面直线所称角的向量坐标法，即可求解；②当点为中点时，即可判断面面平行；③结合等体积转化，即可求解；④讨论点的位置，作出截面，即可判断.
【详解】①如图，连结，以点为原点，建立空间直角坐标系，则
，，，，，，
则有，设，
，，
所以，
令，，则，
所以在上单调递减，因为，，
设直线与AC所成角为，所以，又,
故直线与AC所成角的取值范围是，故①错误；
②当点为中点时，有，平面，平面，
所以平面，同理，平面，且，平面，
所以平面，故②正确；
③三棱锥的体积，故③正确；
④设的中点为，连结，当点在线段（不包括端点）上时，此时平面截正方体所得的截面为梯形，如图，
当点在点时，此时平面截正方体所得的截面为正三角形,如图，
当点在线段（不包括端点）时，此时平面截正方体所得的截面为等腰三角形，如图，，，所以，为锐角，该等腰三角形不可能为直角三角形，
综上，可得④错误.
故选：D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为01，02，…，80的80个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本中的个体编号依次为03，13，…则样本中的最后一个个体编号是_______.
【答案】73
【解析】
【分析】以系统抽样抽取样本规则解之即可.
【详解】由抽取样本中的个体编号依次为03，13，…，可知抽取的两个相邻号码之差为10.说明样本以10个为一组，被分成了8组.抽出的编号依次为：3，13，23，33，43，53，63，73.
则样本中的最后一个个体编号是73.
故答案为：73
14. 若实数x、y满足约束条件 ，则的最小值是______．
【答案】４
【解析】
【分析】按照简单的线性规划步骤逐步进行即可.对于可行域为封闭三角形，目标函数为截距型时，可用交点代入法求解.
【详解】作出可行域，令Z=0，作直线l0：，易知，将直线l0平移过点A时Z取得最小值，将A点坐标代入目标函数得.
故答案为：4
15. 如图所示，在棱长为3的正方体中，E在棱上，，是侧面上的动点，且平面，则在侧面上的轨迹的长度为__________．
【答案】
【解析】
【分析】设在棱上，且，在棱上，且，在棱上，且，根据面面平行的判定定理，可得平面平面，结合已知中平面，可得落在线段上，则答案可求.
【详解】解：设在棱上，且，在棱上，且，在棱上，且
连接，，IH，，EG，BG，则，
所以，B，E，G四点共面，
由，平面，平面，所以平面，
同理平面，又，平面，所以平面平面，
又因为平面，所以F落在线段HI上，
因为正方体的棱长为3，所以，
即F在侧面上的轨迹的长度是．
故答案为：.
16. 若是圆上两点，且，若存在，使得直线与的交点恰为的中点，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】由直线与圆相交以及弦长，可得点的轨迹方程，又直线与相交，可得交点的轨迹方程，由已知可得圆与圆有公共点，根据圆与圆的位置关系列出不等式，解出实数的取值范围．
【详解】圆的半径，
为的中点，且，解得，
点的轨迹方程为，
又直线过定点，即过定点，且，
则点是两垂线的交点，所以点在以为直径的圆上，圆心为，半径为，
的轨迹方程为，由于的斜率存在，所以点的轨迹要去掉点，
由已知可得：圆与圆有公共点，，即，又，所以，解得，
故答案为：
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知直线，.
（1）证明直线l过定点A，并求出点A的坐标；
（2）在（1）的条件下，若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的，求直线的方程.
【答案】（1）定点A的坐标为
（2）或
【解析】
【分析】（1）整理方程为，然后解方程组可得答案；
（2）设出直线方程，求出截距，利用截距之间的关系列方程求解.
【小问1详解】
直线可化为，
则，解得，
直线l过定点，且定点A的坐标为；
【小问2详解】
直线过点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的，
则当直线过坐标原点时，符合题意，此时直线方程为，即；
当直线的横纵截距均不为零时，设直线的方程为，
代入点，得，解得，
此时直线的方程为，即，
综上，直线的方程为或.
18. 某小型企业甲产品生产的投入成本x（单位：万元）与产品销售收入y（单位：万元）存在较好的线性关系，下表记录了最近5次该产品的相关数据.
x（万元） 3 5 7 9 11
y（万元） 8 10 13 17 22
（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）根据（1）中的回归方程，判断该企业甲产品投入成本12万元的毛利率更大还是投入成本15万元的毛利率更大（毛利率）？
相关公式：，.
【答案】（1）；（2）12万元的毛利率更大
【解析】
【分析】（1）根据题意代入数值分别算出与即可得解；
（2）分别把与代入线性回归方程算出再算出毛利率即可得解.
【详解】（1）由题意，.
，
，
，
故y关于x的线性回归方程为.
（2）当时，，对应的毛利率为，
当时，，对应毛利率为，
故投入成本12万元的毛利率更大.
【点睛】本题考查了线性回归方程的求解和应用，考查了计算能力，属于基础题.
19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，点在线段上且.
（1）证明直线平面;
（2）证明直线平面
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）作辅助线，即连接交于点，连接,利用△∽△及，证明，利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）通过计算证明，由平面得到，利用线面垂直的判定定理证明即可.
【小问1详解】
证明：连接交于点，连接
∵，,
∴△∽△ ,即，
又∵，
∴
∴
又∵、
∴
【小问2详解】
∵平面，平面，
∴，
又∵，且是直角梯形，
∴，即，
∴，
又∵，且平面，
∴平面.
20. 某中学举行了一次诗词竞赛.组委会在竞赛后，从中抽取了部分选手的成绩（百分制）作为样本进行统计，作出了茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：
（1）求样本容量n、抽取样本成绩的中位数及分数在内的人数；
（2）若从分数在和内的学生中任选两人进行调研谈话，求至少有一人分数在内的概率．
【答案】（1），中位数为73，4人
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图可知组的频率等于该组的频数除以总的样本量，各个组的频率之和为，根据茎叶图的特点直接可获得中位数所在位置；
（2）总的事件总数是从分数在和内的学生中任选两人，待求的是至少有一人分数在内，则分别计算出总的基本事件个数和至少有一人分数在内的基本事件个数即可，然后根据概率的定义求出即可.
【小问1详解】
分数在内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，分数在内同样有2人.
由
解得：
根据茎叶图可知：抽测成绩的中位数为
分数在之间的人数为：
综上可得：样本容量，中位数为73，分数在内的人数为人
【小问2详解】
设“若从分数在和内的学生中任选两人进行调研谈话，至少有一人分数在内”为事件.
将内的人编号为；内的2人编号为
则在和内的任取两人的基本事件为：，共15个
其中，至少有一人分数在内的基本事件：，共9个.
故所求的概率得：
21. 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为.
（1）求A到平面的距离；
（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的大小.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由等体积法运算即可得解；
（2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.
【小问1详解】
在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，
则，
解得，
所以点A到平面的距离为；
【小问2详解】
取的中点E,连接AE，如图，因为，所以,
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
在直三棱柱中，平面，
由平面，平面可得，，
又平面且相交，所以平面，
所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，
由（1）得，所以，，所以，
则，则的中点，
所以,，，
设平面的法向量为，
则，解得，取，
则平面的一个法向量为，
由平面可知，为平面的一个法向量，
设二面角为，
则，
且观察图可知，二面角为锐二面角，
所以，则，
所以二面角的大小为.
22. 已知点，设直线l：y=kx+b（b，）与圆相交于异于点P的A，B两点.
（1）若，求b的值；
（2）若，且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的斜率k的值；
（3）当时，是否存在一定圆M，使得直线l与圆M相切 若存在，求出该圆的标准方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）或
（3）存在，定圆.
【解析】
【分析】（1）根据可知直线过圆的圆心，可得；
（2）由得原点到直线的距离为，得，再根据面积得，联立消去可得的值；
（3）联立直线与圆，化为关于的一元二次方程，设，，根据韦达定理可得和，利用和，将化为，利用求出点到直线的距离为，由此可得结果.
【小问1详解】
因为，又在圆上，
所以直线过圆的圆心，所以.
【小问2详解】
因为，圆的半径为，
所以圆心到直线的距离，
由点到直线的距离公式可得，得，
当时，直线与坐标轴不能围成三角形，故，
在中，令，得；令，得，
所以，得，
所以，解得或，
所以或.
【小问3详解】
联立，消去并整理得，
，即，
设，，
则，，
所以，
，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，即，
所以点到直线的距离为，
所以直线与以为圆心，为半径的圆相切，
所以存在一个定圆，使得直线与圆相切.
