备考2023年中考数学压轴题训练——三角形

备考2023年中考数学压轴题训练——三角形
一、真题
1．（2022·鄂尔多斯）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是　 　，位置关系是　 　；
（2）如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M．
①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
②连接DM，求∠EMD的度数；
③若DM＝6，ED＝12，求EM的长．
【答案】（1）AE＝CF；AE⊥CF
（2）解：①（1）中的结论还成立，理由：同（1 ）可证△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠E＝∠F，∵∠F+∠ECF＝90°，∴∠E+∠ECF＝90°，∴∠EMC＝90°，∴AE⊥CF；②过点D作DG⊥AE于点G，DH⊥CF于点H，
∵∠E＝∠F，∠DGE＝∠DHF＝90°，DE＝DF，
∴△DEG≌△DFH（AAS），∴DG＝DH，又∵DG⊥AE，DH⊥CF，
∴DM平分∠EMC，又∵∠EMC＝90°，∴∠EMD＝∠EMC＝45°；
③∵∠EMD＝45°，∠DGM＝90°，∴∠DMG＝∠GDM，∴DG＝GM，
又∵DM∴DG＝GM＝6，∵DE＝12，
∴EG＝∴EM＝GM+EG＝6+6．
【知识点】三角形全等的判定；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线，∴AD＝BD＝CD，AD⊥BC，∴∠ADE＝∠CDF＝90°，又∵DE＝DF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，∵∠DAE+∠DEA＝90°，
∴∠DCF+∠DEA＝90°，∴∠EMC＝90°，∴AE⊥CF．
故答案为：AE＝CF，AE⊥CF；
【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）①先求出 AE＝CF，∠E＝∠F， 再求出 ∠EMC＝90°， 最后证明求解即可；
②先求出 △DEG≌△DFH（AAS）， 再求解即可；
③先求出DG＝GM，再利用勾股定理计算求解即可。
2．（2022·北部湾）已知 ，点A，B分别在射线 上运动， .
（1）如图①，若 ，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为 ，连接 .判断OD与 有什么数量关系 证明你的结论：
（2）如图②，若 ，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：
（3）如图③，若 ，当点A，B运动到什么位置时， 的面积最大 请说明理由，并求出 面积的最大值.
【答案】（1）解： ，证明如下：
，AB中点为D，
，
为 的中点， ，
，
，
（2）解：如图，取AB中点T，连接OT、CT、OC，
以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，
，
（当且仅当点T在线段OC上时，等号成立），
当O、T、C在同一直线上时，CO最大，
在 和 中，
，
，
，
，即 ，
，
，
（3）解：如图，当点A，B运动到 时， 的面积最大，证明如下：
以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，连接OC交AB于点T，在OT上取点E，使OE=BE，连接BE，
由（2）可知，当 时，OC最大， ，
当 时， ，
此时OT最大，
的面积最大，
，
，
，
综上，当点A，B运动到 时， 的面积最大， 面积的最大值为 .
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线的性质可得OD=AB，OD′=A′B′，然后结合AB=A′B′可得OD与OD′的数量关系；
（2）取AB中点T，连OT、CT、OC，则CT⊥AB，∠ACT=∠BCT=45°，AC=BC，CT=AT=BT=3，根据两点之间，线段最短的性质可得：当O、T、C在同一直线上时，CO最大，易证△ACO≌△BCO，得到∠AOC=∠BOC=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得OB=2BT=6，利用勾股定理求出OT，然后根据OC=OT+CT进行计算；
（3）以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，连接OC交AB于点T，在OT上取点E，使OE=BE，连接BE，由（2）可知：当OC⊥AB时，OC最大，BT=3，当OA=OB时，∠BOC=22.5°，此时OT最大，根据等腰三角形的性质可得∠OBE=∠BOC=22.5°，由外角的性质可得∠BET=45°，则ET=BT=3，利用勾股定理可得OE，由OT=OE+ET可得OT，然后根据三角形的面积公式进行计算.
3．（2022·重庆）在△ ABC中，∠BAC=90° ，AB=AC= ，D为 BC的中点，E，F分别为AC， AD 上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转 90°得到线段EG，连接FG， AG．
（1）如图1，点 E 与点 C 重合，且 GF 的延长线过点 B ，若点 P 为 FG 的中点，连接 PD，求 PD的长；
（2）如图 2，EF 的延长线交 AB 于点M，点N在 AC上， ∠AGN=∠AEG 且GN=MF，求证：AM+AF= AE
（3）如图3，F为线段 AD上一动点，E为 AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连接 EH，将△ BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△ B'EH'，连接 B'G，直接写出线段 B'G的长度的最小值
【答案】（1）解：如图，连接CP，
∵∠ABC=90°，AB=AC=2，
∴BC=4，
∵点P为FG的中点，线段EF绕点E顺时针旋转 90°得到线段EG，
∴△FEG为等腰直角三角形，EP⊥FG，
∵D为BC的中点，
∴PD=BC=×4=2；
（2）证明：如图，过点E作EH⊥AD的延长线于点H，
∴∠FEG=∠HEF=90°，
∴∠HEF+∠FEN=∠FEN+∠AEG，
∴∠HEF=∠AEG，
∵D为BC中点，∠ABC=90°，AB=AC=2，
∴∠HAE=∠H=45°，
∴AE=HE，
又∵FE=GE，
∴△FEH≌△GEA（SAS），
∴HF=AG，∠H=∠GAE，
∵HE∥BA，∠AGN=∠AEG
∴∠H=∠MAF=∠GAN，∠HEF=∠AMF=∠AEG=∠AGN，
又∵GN=MF，
∴△ANG≌△AFM（AAS），
∴AM=AG，
∴AM=HF，
∴AM+AF=HF+AF=AH=AE，
即AM+AF=AE；
（3）解： -
【知识点】三角形全等的判定；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质；等腰直角三角形；圆-动点问题
【解析】【解答】解：（3）∵E为AC的中点，D为BC中点，∠ABC=90°，AB=AC=2，
∴AE=，
∴BE==，
∵△ BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△ BEH'，
∴BE=B'E=，
∴B'的轨迹为以E为圆心，为半径的圆上运动，
又∵线段EF绕点E顺时针旋转 90°得到线段EG，
∴EF=EG，
∴G点的轨迹为以E为圆心，EG为半径的圆上运动，
如图所示，
∵B'G+EG≥B'E，
∴B'G≥B'E-EG，
∴当G与E、B'共线时，B'G=B'E-EG，
∵F在AD上运动，当F运动的A点或D点时，EF最大，最大为AE，即EFmax=，
∴EGmax=，
∴B'Gmin=B'E-EGmax=-.
【分析】（1）如图，连接CP，由等腰三角形性质可求出BC=4，再由旋转性质推得△FEG为等腰直角三角形，EP⊥FG，又D为BC的中点，进而求得PD=BC，代入数据计算即可求解；
（2）如图，过点E作EH⊥AD的延长线于点H，则∠FEG=∠HEF=90°，推出∠HEF=∠AEG，由D为BC中点，∠ABC=90°，AB=AC=2，推出AE=HE，证得△FEH≌△GEA，即得HF=AG，∠H=∠GAE，再由平行线性质得∠H=∠MAF=∠GAN，∠HEF=∠AMF=∠AEG=∠AGN，进而证得△ANG≌△AFM，由全等性质及线段等量代换可得AM+AF=HF+AF=AH，进而得出AM+AF=AE；
（3）由等腰直角三角形性质求得AE=，BE，再由翻折性质得BE=B'E=，即点B'的轨迹为以E为圆心，为半径的圆上运动，由旋转性质得EF=EG，即G点的轨迹为以E为圆心，EG为半径的圆上运动，由B'G+EG≥B'E，即B'G≥B'E-EG，当G与E、B'共线时，B'G=B'E-EG，根据F点的运动情况得EF最大为AE，即EFmax=，可求得EGmax=，进而由B'Gmin=B'E-EGmax代入数据计算即可求解.
4．（2022·陕西）
（1）【问题提出】
如图1，是等边的中线，点P在的延长线上，且，则的度数为　 　.
（2）【问题探究】
如图2，在中，.过点A作，且，过点P作直线，分别交于点O、E，求四边形的面积.
（3）【问题解决】
如图3，现有一块型板材，为钝角，.工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，并要求.工人师傅在这块板材上的作法如下：
①以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D，连接；
②作的垂直平分线l，与于点E；
③以点A为圆心，以长为半径画弧，交直线l于点P，连接，得.
请问，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？请证明你的结论.
【答案】（1）75°
（2）解：如图1，连接.
图1
∵，
∴四边形是菱形.
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
（3）解：符合要求.
由作法，知.
∵，
∴.
如图2，以为边，作正方形，连接.
图2
∴.
∵l是的垂直平分线，
∴l是的垂直平分线.
∴.
∴为等边三角形.
∴，
∴，
∴.
∴裁得的型部件符合要求.
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1），
，
，
，
解得：，
，
.
故答案为：；
【分析】（1）以得∠ACP=∠APC，结合内角和定理得2(∠ACD+∠PCD)+∠CAP=180°，根据等边三角形的性质得∠ACD=60°，∠CAP=30°，代入可得∠PCD=15°，则∠ACP=∠ACD+∠PCD=75°，据此可得∠APC的度数；
（2）连接BP，易得四边形ACBP是菱形，则BP=AC=6，∠ACB+∠PBE=180°，则∠PBE=60°，根据三角函数的概念可得BE、PE、OE，利用三角形的面积公式求出S△ABC，S△OBE，然后根据S四边形OECA=S△ABC-S△OBE进行计算；
（3）由作法知AP=AC，易得∠ACD=90°，以AC、AD为边，作正方形ACDF，连接PF，则AF=AC=AP，根据垂直平分线的性质可得PF=PA，推出△AFP为等边三角形，得到∠FAP=60°，则∠PAC=30°，∠BAP=15°，据此判断.
5．（2022·宁夏）综合与实践
（1）知识再现
如图，中，，分别以、、为边向外作的正方形的面积为、、．当，时，　 　．
（2）问题探究
如图，中，．
如图，分别以、、为边向外作的等腰直角三角形的面积为、、，则、、之间的数量关系是　 　．
（3）如图，分别以、、为边向外作的等边三角形的面积为、、，试猜想、、之间的数量关系，并说明理由．
（4）实践应用
如图4，将图中的绕点逆时针旋转一定角度至，绕点顺时针旋转一定角度至，、相交于点．求证：；
（5）如图5，分别以图中的边、、为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，、、为直径的半圆柱的体积分别为、、．若，柱体的高，直接写出的值．
【答案】（1）64
（2）
（3）解：中，，
，
过点作交于，
在等边三角形中，，，
，
，
同理可得，，
，
；
（4）证明：设，，，
，，，
是等边三角形，是等边三角形，
，，
，
是等边三角形，四边形是平行四边形，
，，
是直角三角形，
，
，
；
（5）解：设，，，以为直径的圆的面积为、以为直径的圆的面积为、以为直径的圆的面积为，
是直角三角形，
，
，
，
，，，
，
，，
，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；圆柱的体积
【解析】【解答】（1）解：中，，
，
，
，，
，
故答案为：64；
（2）解：中，，
，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）利用勾股定理可证得，代入可求出S2的值；
（2）利用勾股定理可证得，利用三角形的面积公式可推出S1+S2=S3，即可求解；
（3）利用勾股定理可证得AB2=AC2+BC2，过点D作DG⊥BC于点G，利用等边三角形的性质及勾股定理，可表示出DG的长，利用三角形的面积公式分别表示出S4，同理表示出S5，S6，由此可推出S4，S5，S6之间的关系；
（4）设AB=c，BC=a，AC=b，可表示出HN，FG，MF，利用等边三角形的性质可得∠HPN=60°，同时可证得△HNP是等边三角形，四边形MFGP是平行四边形，由此可表示出△PMN的面积及四边形PMFG的面积，利用勾股定理可得到c2=b2+a2，由此可证得结论；
（5）设AB=c，BC=a，AC=b，以AB为直径的圆的面积为S3，以BC为直径的圆的面积为S1，以AC为直径的圆的面积为S2，利用勾股定理可证得c2=b2+a2，两边同时乘以，可推出S1+S2=S3；再理由圆柱体的体积可证得V2+V1=V3，然后结合已知条件求出V2+V1=V3的值.
6．（2022·新疆）如图，在△ABC中，∠ABC=30°，AB=AC，点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将△ACD沿AD折叠得到三角形AED，连接BE.
（1）当时，　 　；
（2）探究与之间的数量关系，并给出证明；
（3）设，的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式.
【答案】（1）60
（2）解：，理由如下：
将沿折叠得到，
，，
，，
，
，
，
；
（3）如图，连接，
，点是的中点，
，
，，
，，
，
，
，
，
.
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1），，，
，
将△ACD沿AD折叠得到△AED，
，
，
∴△ABE是等边三角形，
.
故答案为：60；
【分析】（1）易得∠BAE=90°-∠ABC=60°，根据折叠的性质可得AC=AE，结合AB=AC可得AB=AE，然后判断出△ABE是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出答案；
（2）根据折叠的性质可得AE=AC，∠CAD=∠EAD，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠BAC=120°，则∠BAE=120°-2∠CAD，然后根据AB=AE=AC结合等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算；
（3）连接OA，根据等腰三角形的性质可得OA⊥BC，根据含30°角的直角三角形的性质可得AO，利用勾股定理求出OC、OD，然后根据S△ADC=S△AOC-S△AOD进行解答.
二、模拟预测
7．（2023·海曙模拟）已知 E在△ABC内部(如图①)，等边三角形ABC的边长为6，等边三角形BDE的边长为4，连结AE和DC
（1）求证AE=DC；
（2）当AE⊥BD时，求CD的长；
（3）将△BDE绕点B旋转一周，F为DC的中点(如图②)，求旋转过程中EF的取值范围．
【答案】（1）证明：在正，正中，
∴∠ABC-∠1=∠EBD-∠1，即∠2=∠3
∴ΔABE ΔCBD(SAS)
∴AE=CD
（2）解：延长AE交BD于点H，
∵AE⊥BD，
∴∠AHB=90°，
∵△BDE为正三角形，
∴BH=BD-2
∴EH=BH=2
∴
∴
（3）解：取BD中点P，连结PE，PF，
∵P为BD中点，△BED为正三角形，
∴PE⊥BD，PD=BD=2
∴PE=PD=2
∵F为CD中点
∴PF=BC=3
∴中，当P、E、F共线时取等号
∴
另解：倍长DE到点P，连结BP，CP
则EF为△PDC的中位线，
∴EF=1/2PC，△BPD中，∠PBD=90°，∠BDP=60°，
∴PB=4
∴点P在以B为圆心，4为半径的圆上，
∴
∴
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；解直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质，可证得AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°，由此可证得∠2=∠3，利用SAS证明△ABE≌△CBD，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（2）延长AE交BD于点H，利用垂直的定义可证得∠AHB=90°，利用等边三角形的性质可求出BH的长，利用解直角三角形求出EH的长，然后利用勾股定理求出AH的长，根据AE=AH-EH，代入计算求出AE的长.
（3）方法一：取BD中点P，连结PE，PF，利用等边三角形的性质可求出PD的长，利用解直角三角形求出PE的长，利用线段中点的定义求出PF的长，当P、E、F共线时取等号，即可得到EF的取值范围；方法二：倍长DE到点P，连结BP，CP，可证得EF为△PDC的中位线，利用解直角三角形求出PB的长，点P在以B为圆心，4为半径的圆上，据此可求出PC的取值范围，即可得到EF的取值范围.
8．（2023·柳州模拟）综合与实践
小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围.
小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决
请回答：
（1）小明证明用到的判定定理是：____；（填入你选择的选项字母）
A． B． C． D．
（2）的取值范围是　 　.
（3）小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造.
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在正方形中，E为边的中点，G、F分别为，边上的点，若，，，求的长.
【答案】（1）A
（2）
（3）解：如图，延长交的延长线于点H，
四边形是正方形，
，
为边的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）如图，延长到E，使，连接，
点D为的中点，
，
在和中，
，
，
故答案为：A；
（2），，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）延长AD到E，使DE=AD，连接BE，由中点的概念可得BD=CD，然后根据全等三角形的判定定理进行解答；
（2）由全等三角形的性质可得BE=AC=5，在△ABE中，根据三角形的三边关系可求出AE的范围，结合AE=2AD可得AD的范围；
（3）延长GE交CB的延长线于点H，根据正方形的性质可得∠A=∠ABC=90°，由中点的概念可得AE=BE，利用ASA证明△EAG≌△EBH，得到AG=BH=2，EG=EH，则FH=BF+BH=6，根据∠AEG+∠BEF=90°结合对顶角的性质可得∠BEH+∠BEF=90°=∠HEF，推出FE⊥GH，据此求解.
9．（2023·宾阳模拟）综合与探究
问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板中，，D为的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点D上，得到，将绕点D旋转，射线，分别与边交于E，F两点，如图1所示.
（1）操作发现：如图2，当E，F分别是的中点时，试猜想线段与的数量关系是　 　；
（2）类比探究：如图3，当E，F不是的中点，但满足时，求证；
（3）拓展应用：如图4，将两根小木棒构建的角，放置于边长为4的正方形纸板上，顶点和正方形对角线的中点O重合，射线分别与交于E，F两点，且满足，请求出四边形的面积.
【答案】（1）相等
（2）证明：∵，
∵D是中点，
平分，
，
，
，
在，
；
（3）解：连接，
∵四边形是正方形，
，
在和中，
，
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）相等；
∵，D为的中点，
，，
∵E，F分别是的中点，
∴，
∴，
，
∴；
故答案为：相等；
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠B=∠C=45°，BD=CD，由中点的概念可得BE=AB，CF=AC，推出BE=CF，利用SAS证明△BDE≌△CDF，据此可得结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质可得∠B=∠C=45°，由角平分线的概念可得∠BAD=∠DAC=45°，进而推出BD=AD，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（3）连接OD，由正方形的性质可得OD=OC，∠ODE=∠ACB=45°，利用SAS证明△ODE≌△OCF，得到S四边形OFCE=S△OCF+S△OCE=S△ODE+S△OCE=S△ODC结合三角形的面积公式进行计算.
10．（2023·黑龙江模拟）在中，，，D是射线上一动点，连接，以为边作，在右侧，与过点A且垂直于的直线交于点E，连接．
（1）当都在的左侧时，如图①，线段之间的数量关系是　 　；
（2）当在的两侧时，如图②，线段之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；
（3）当都在AC的右侧时，如图③，线段之间有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不必证明．
【答案】（1）BD+AE=DE
（2）解：图②的猜想：．
证明：过点C作，交AB于点F，如图②．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
（3）解：．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形的综合
【解析】【解答】（1）过点C作，交AB延长线于点F，如图．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
(3)过点C作，交AB于点F，如图
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）先求出，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出 ，再求出 ，最后利用全等三角形的性质证明求解即可；
（3）根据题意先求出，再求出，最后证明求解即可。
11．（2023·利津模拟）综合运用．
（1）如图（），已知：在中，，，直线经过点，，，垂足分别为点，．证明：．
（2）如图（），将（）中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（），，是，，三点所在直线上的两动点（，，三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试判断的形状并说明理由．
【答案】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，，
．
（2）解：，
，
，
在 和 中，
，
，，
．
（3）解：由（）可知，，
，，
和 均为等边三角形，
，，
，
，
在 和 中，
，
，，
，
为等边三角形．
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后证明求解即可；
（3）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
12．（2023·温州模拟） 如图1，在中，，，点为的中点，过点作射线交于点，点为射线上一动点，过点作于点，点为边上一点，连结，且满足，设，.
（1）求线段的长；
（2）求关于的函数表达式；
（3）如图2，连结.
①当为等腰三角形时，求的值.
②以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转得线段，当点落在边上时，求的值.
【答案】（1）解：过点作于点.
，
，
，
，
在中，，，点为的中点，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
∽，
，
，，
.
（3）解：①分三种情形：
当时，，
.
当时，过点作于点，则，，
，
，
.
当时，过点作于点，则，.
，
，
.
综上所述，满足条件的的值为6或或；
②如图，过点作交的延长线于点.
，
，，
，
，
≌，
，
，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）过点D作DF⊥BC于点F，则DF∥NM，MN=DF，然后根据三角函数的概念以及中点的概念进行计算；
（2）根据三角函数的概念可得，由对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△CAB∽△CPN，然后根据相似三角形的性质进行解答；
（3）①当MN=NP时，代入求解可得x的值；当MN=MP时，过点M作MQ⊥PN于点Q，则NQ=NP，∠MNP=∠C，然后结合三角函数的概念进行计算；当NP=MP时，过点P作PR⊥MN于点R，同理进行求解；
②过点P作PHMN交NM的延长线于点H，根据同角的余角相等可得∠MPH=∠NMP′，利用AAS证明△MNP′≌△PHM，得到MN=PH，然后根据PH=NP可得x的值，据此求解.
13．（2023·绿园模拟）如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿AB以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动．同时，动点Q从点A出发，沿AC以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动，连接PQ，将绕点P顺时针旋转90°得到，设点P的运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示线段的长度为　 　．
（2）当点N落在直线BC上时，求t的值．
（3）连接QN，线段QN的中点记为点E，连接PE，当线段PE与的某条边的长度相等时，求t的值．
（4）当与重叠部分为四边形时，是否存在一点O，使点O到这个四边形的各个顶点的距离都等于？若存在，直接写出t的值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）6-3t
（2）解：如图，
∵，，，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
由题意得，则，
点N落在直线BC上时，
则，
∴，即，
解得；
（3）解：∵，∴，
∵由（2）得，，
∴，
∵线段QN的中点记为点E，
∴，
由题意得①，解得；
②，解得，舍去；
③，解得，舍去；
∴；
（4）解：当与重叠部分为四边形时，存在两个临界点，
①当点N落在直线BC上时，；
②当点M落在直线BC上时，同理求得；
∴；
如图，
∵，要使点O到这个四边形的各个顶点的距离都相等，则P、M、F、G四点共圆，且为直径，
∴直径，
在中，，
同理得，，
由旋转的性质知，，
∴，
∴，即，
解得，
∵，即，
解得，．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴线段的长度为6-3t，
故答案为：6-3t；
(4)当与重叠部分为四边形时，存在两个临界点，
①当点N落在直线BC上时，；
②当点M落在直线BC上时，同理求得；
∴；
如图，
∵，要使点O到这个四边形的各个顶点的距离都相等，则P、M、F、G四点共圆，且为直径，
∴直径，
在中，，
同理得，，
由旋转的性质知，，
∴，
∴，即，
解得，
∵，即，
解得，．
【分析】（1）根据求解即可；
（2）利用勾股定理先求出BC和PQ的值，再求出PQ//BC，最后利用相似三角形的性质计算求解即可；
（3）先求出 ， 再求出 ， 最后列方程求解即可；
（4）分类讨论，利用相似三角形的判定与性质，勾股定理计算求解即可。
14．（2023·灯塔模拟）在中，，，是的角平分线，于点．
（1）如图1，连接，求证：是等边三角形；
（2）点是线段上的一点（不与点，重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点．请你在图2中画出完整图形，并直接写出，与之间的数量关系；
（3）如图3，点是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点．试探究，与数量之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：如图1所示：
在中，，，
，，
平分，
，
，
于点，
，
，
是等边三角形
（2）解：如图：
；
结论：．
（3）解：结论：．
证明：如图3所示，延长至，使得，
由（1）得，，
于点，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定；三角形的综合
【解析】【解答】（2）证明：如图2所示：延长使得，连接，
，，是的角平分线，于点，
，，
又，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
．
【分析】（1）先求出DA=DB，再求出BC=BE，最后证明即可；
（2）先求出MW=DM，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（3）根据题意先求出∠H=∠2，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
15．（2023·邗江模拟）翻开数学发展史，我们就知道数学不仅是抽象、严谨的，还有另外一面，人类从结绳计数开始就在进行着数学实验，并且通过实验不断发展数学，可见，数学实验不仅是数学家研究数学的方式，也是学生学习数学的一种重要方式，在某次数学社团活动中，几位同学利用三角板进行了如下的实数学验，请大家在这一数学实验的基础上思考并回答相关问题：几位同学把两块完全相同的等腰直角三角板按图1方式摆放，已知，，，，，线段在直线上，点F在线段上，点A与点D重合．
（1）　 　，　 　；
（2）将三角板的直角顶点F沿方向滑动，同时顶点D沿方向在射线上滑动，如图2．
①当点F恰好是线段中点时，求的度数；
②当点F从初始位置滑动到点A处时，请直接写出点E所经过的路径长；
（3）在（2）的条件下，过点D，F分别作，的垂线，两条垂线相交于点P，连接，线段的长度是否为定值？如果是，请求出结果；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）90°；
（2）解：①过点F作，垂足为点G，
∵，，，
∴，
∵点F是线段中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②点E所经过的路径长为；
（3）解：∵过点D，F分别作AN，AB的垂线，
∴，
∴A，D，P，F四点共圆，设圆心为点O，
∴是的直径，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
故答案为：90°，；
(2)②如图，当点F沿方向下滑时，从得到，点E下滑到过点，的长即为点E所经过的路径长；如图，
，，
∴，
故点E所经过的路径长为；
【分析】（1）结合图形，利用勾股定理计算求解即可；
（2）①利用勾股定理先求出AB的值，再求出 ， 最后计算求解即可；
②先求出，，再计算求解即可；
（3）根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
16．（2023·济南模拟）已知在等腰直角三角形中，，，．
（1）如图1，请直接写出点C的坐标　 　，若点C在反比例函数上，则　 　；
（2）如图2，若将延x轴向右平移得到，平移距离为m，当，都在反比例函数上时，求，m；
（3）如图3，在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使得的面积是面积的一半．若存在，请求出点P；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（3，1）；3
（2）解：由平移可得：，，
∵，都在反比例函数上，
∴，
解得：，
即，，
∴；
（3）解：存在，理由是：由平移可得，
设中点为D，则，即，
设的表达式为，
则，解得：，
∴的表达式为，
令，则，
∴直线与y轴交点为；
∵的面积是面积的一半，
∴作交y轴于点P，
设的表达式为，将D代入，
得，解得：，
∴的表达式为，
令，则，
∴，
∴点关于直线的对称直线与y轴交点为，
即，
综上：点P的坐标为或．
【知识点】平移的性质；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】（1）解：如图，过C作轴，垂足为D，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
又，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，代入中，
得；
【分析】（1）先求出，再利用AAS证明，最后计算求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出m=3，最后求解即可；
（3）利用待定系数法求出 的表达式为， 再求出 的表达式为， 最后求解即可。
1 / 1备考2023年中考数学压轴题训练——三角形
一、真题
1．（2022·鄂尔多斯）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是　 　，位置关系是　 　；
（2）如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M．
①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
②连接DM，求∠EMD的度数；
③若DM＝6，ED＝12，求EM的长．
2．（2022·北部湾）已知 ，点A，B分别在射线 上运动， .
（1）如图①，若 ，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为 ，连接 .判断OD与 有什么数量关系 证明你的结论：
（2）如图②，若 ，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：
（3）如图③，若 ，当点A，B运动到什么位置时， 的面积最大 请说明理由，并求出 面积的最大值.
3．（2022·重庆）在△ ABC中，∠BAC=90° ，AB=AC= ，D为 BC的中点，E，F分别为AC， AD 上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转 90°得到线段EG，连接FG， AG．
（1）如图1，点 E 与点 C 重合，且 GF 的延长线过点 B ，若点 P 为 FG 的中点，连接 PD，求 PD的长；
（2）如图 2，EF 的延长线交 AB 于点M，点N在 AC上， ∠AGN=∠AEG 且GN=MF，求证：AM+AF= AE
（3）如图3，F为线段 AD上一动点，E为 AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连接 EH，将△ BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△ B'EH'，连接 B'G，直接写出线段 B'G的长度的最小值
4．（2022·陕西）
（1）【问题提出】
如图1，是等边的中线，点P在的延长线上，且，则的度数为　 　.
（2）【问题探究】
如图2，在中，.过点A作，且，过点P作直线，分别交于点O、E，求四边形的面积.
（3）【问题解决】
如图3，现有一块型板材，为钝角，.工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，并要求.工人师傅在这块板材上的作法如下：
①以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D，连接；
②作的垂直平分线l，与于点E；
③以点A为圆心，以长为半径画弧，交直线l于点P，连接，得.
请问，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？请证明你的结论.
5．（2022·宁夏）综合与实践
（1）知识再现
如图，中，，分别以、、为边向外作的正方形的面积为、、．当，时，　 　．
（2）问题探究
如图，中，．
如图，分别以、、为边向外作的等腰直角三角形的面积为、、，则、、之间的数量关系是　 　．
（3）如图，分别以、、为边向外作的等边三角形的面积为、、，试猜想、、之间的数量关系，并说明理由．
（4）实践应用
如图4，将图中的绕点逆时针旋转一定角度至，绕点顺时针旋转一定角度至，、相交于点．求证：；
（5）如图5，分别以图中的边、、为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，、、为直径的半圆柱的体积分别为、、．若，柱体的高，直接写出的值．
6．（2022·新疆）如图，在△ABC中，∠ABC=30°，AB=AC，点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将△ACD沿AD折叠得到三角形AED，连接BE.
（1）当时，　 　；
（2）探究与之间的数量关系，并给出证明；
（3）设，的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式.
二、模拟预测
7．（2023·海曙模拟）已知 E在△ABC内部(如图①)，等边三角形ABC的边长为6，等边三角形BDE的边长为4，连结AE和DC
（1）求证AE=DC；
（2）当AE⊥BD时，求CD的长；
（3）将△BDE绕点B旋转一周，F为DC的中点(如图②)，求旋转过程中EF的取值范围．
8．（2023·柳州模拟）综合与实践
小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围.
小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决
请回答：
（1）小明证明用到的判定定理是：____；（填入你选择的选项字母）
A． B． C． D．
（2）的取值范围是　 　.
（3）小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造.
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在正方形中，E为边的中点，G、F分别为，边上的点，若，，，求的长.
9．（2023·宾阳模拟）综合与探究
问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板中，，D为的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点D上，得到，将绕点D旋转，射线，分别与边交于E，F两点，如图1所示.
（1）操作发现：如图2，当E，F分别是的中点时，试猜想线段与的数量关系是　 　；
（2）类比探究：如图3，当E，F不是的中点，但满足时，求证；
（3）拓展应用：如图4，将两根小木棒构建的角，放置于边长为4的正方形纸板上，顶点和正方形对角线的中点O重合，射线分别与交于E，F两点，且满足，请求出四边形的面积.
10．（2023·黑龙江模拟）在中，，，D是射线上一动点，连接，以为边作，在右侧，与过点A且垂直于的直线交于点E，连接．
（1）当都在的左侧时，如图①，线段之间的数量关系是　 　；
（2）当在的两侧时，如图②，线段之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；
（3）当都在AC的右侧时，如图③，线段之间有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不必证明．
11．（2023·利津模拟）综合运用．
（1）如图（），已知：在中，，，直线经过点，，，垂足分别为点，．证明：．
（2）如图（），将（）中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（），，是，，三点所在直线上的两动点（，，三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试判断的形状并说明理由．
12．（2023·温州模拟） 如图1，在中，，，点为的中点，过点作射线交于点，点为射线上一动点，过点作于点，点为边上一点，连结，且满足，设，.
（1）求线段的长；
（2）求关于的函数表达式；
（3）如图2，连结.
①当为等腰三角形时，求的值.
②以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转得线段，当点落在边上时，求的值.
13．（2023·绿园模拟）如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿AB以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动．同时，动点Q从点A出发，沿AC以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动，连接PQ，将绕点P顺时针旋转90°得到，设点P的运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示线段的长度为　 　．
（2）当点N落在直线BC上时，求t的值．
（3）连接QN，线段QN的中点记为点E，连接PE，当线段PE与的某条边的长度相等时，求t的值．
（4）当与重叠部分为四边形时，是否存在一点O，使点O到这个四边形的各个顶点的距离都等于？若存在，直接写出t的值，若不存在，说明理由．
14．（2023·灯塔模拟）在中，，，是的角平分线，于点．
（1）如图1，连接，求证：是等边三角形；
（2）点是线段上的一点（不与点，重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点．请你在图2中画出完整图形，并直接写出，与之间的数量关系；
（3）如图3，点是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点．试探究，与数量之间的关系，并说明理由．
15．（2023·邗江模拟）翻开数学发展史，我们就知道数学不仅是抽象、严谨的，还有另外一面，人类从结绳计数开始就在进行着数学实验，并且通过实验不断发展数学，可见，数学实验不仅是数学家研究数学的方式，也是学生学习数学的一种重要方式，在某次数学社团活动中，几位同学利用三角板进行了如下的实数学验，请大家在这一数学实验的基础上思考并回答相关问题：几位同学把两块完全相同的等腰直角三角板按图1方式摆放，已知，，，，，线段在直线上，点F在线段上，点A与点D重合．
（1）　 　，　 　；
（2）将三角板的直角顶点F沿方向滑动，同时顶点D沿方向在射线上滑动，如图2．
①当点F恰好是线段中点时，求的度数；
②当点F从初始位置滑动到点A处时，请直接写出点E所经过的路径长；
（3）在（2）的条件下，过点D，F分别作，的垂线，两条垂线相交于点P，连接，线段的长度是否为定值？如果是，请求出结果；如果不是，请说明理由．
16．（2023·济南模拟）已知在等腰直角三角形中，，，．
（1）如图1，请直接写出点C的坐标　 　，若点C在反比例函数上，则　 　；
（2）如图2，若将延x轴向右平移得到，平移距离为m，当，都在反比例函数上时，求，m；
（3）如图3，在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使得的面积是面积的一半．若存在，请求出点P；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】（1）AE＝CF；AE⊥CF
（2）解：①（1）中的结论还成立，理由：同（1 ）可证△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠E＝∠F，∵∠F+∠ECF＝90°，∴∠E+∠ECF＝90°，∴∠EMC＝90°，∴AE⊥CF；②过点D作DG⊥AE于点G，DH⊥CF于点H，
∵∠E＝∠F，∠DGE＝∠DHF＝90°，DE＝DF，
∴△DEG≌△DFH（AAS），∴DG＝DH，又∵DG⊥AE，DH⊥CF，
∴DM平分∠EMC，又∵∠EMC＝90°，∴∠EMD＝∠EMC＝45°；
③∵∠EMD＝45°，∠DGM＝90°，∴∠DMG＝∠GDM，∴DG＝GM，
又∵DM∴DG＝GM＝6，∵DE＝12，
∴EG＝∴EM＝GM+EG＝6+6．
【知识点】三角形全等的判定；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线，∴AD＝BD＝CD，AD⊥BC，∴∠ADE＝∠CDF＝90°，又∵DE＝DF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，∵∠DAE+∠DEA＝90°，
∴∠DCF+∠DEA＝90°，∴∠EMC＝90°，∴AE⊥CF．
故答案为：AE＝CF，AE⊥CF；
【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）①先求出 AE＝CF，∠E＝∠F， 再求出 ∠EMC＝90°， 最后证明求解即可；
②先求出 △DEG≌△DFH（AAS）， 再求解即可；
③先求出DG＝GM，再利用勾股定理计算求解即可。
2．【答案】（1）解： ，证明如下：
，AB中点为D，
，
为 的中点， ，
，
，
（2）解：如图，取AB中点T，连接OT、CT、OC，
以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，
，
（当且仅当点T在线段OC上时，等号成立），
当O、T、C在同一直线上时，CO最大，
在 和 中，
，
，
，
，即 ，
，
，
（3）解：如图，当点A，B运动到 时， 的面积最大，证明如下：
以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，连接OC交AB于点T，在OT上取点E，使OE=BE，连接BE，
由（2）可知，当 时，OC最大， ，
当 时， ，
此时OT最大，
的面积最大，
，
，
，
综上，当点A，B运动到 时， 的面积最大， 面积的最大值为 .
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线的性质可得OD=AB，OD′=A′B′，然后结合AB=A′B′可得OD与OD′的数量关系；
（2）取AB中点T，连OT、CT、OC，则CT⊥AB，∠ACT=∠BCT=45°，AC=BC，CT=AT=BT=3，根据两点之间，线段最短的性质可得：当O、T、C在同一直线上时，CO最大，易证△ACO≌△BCO，得到∠AOC=∠BOC=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得OB=2BT=6，利用勾股定理求出OT，然后根据OC=OT+CT进行计算；
（3）以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，连接OC交AB于点T，在OT上取点E，使OE=BE，连接BE，由（2）可知：当OC⊥AB时，OC最大，BT=3，当OA=OB时，∠BOC=22.5°，此时OT最大，根据等腰三角形的性质可得∠OBE=∠BOC=22.5°，由外角的性质可得∠BET=45°，则ET=BT=3，利用勾股定理可得OE，由OT=OE+ET可得OT，然后根据三角形的面积公式进行计算.
3．【答案】（1）解：如图，连接CP，
∵∠ABC=90°，AB=AC=2，
∴BC=4，
∵点P为FG的中点，线段EF绕点E顺时针旋转 90°得到线段EG，
∴△FEG为等腰直角三角形，EP⊥FG，
∵D为BC的中点，
∴PD=BC=×4=2；
（2）证明：如图，过点E作EH⊥AD的延长线于点H，
∴∠FEG=∠HEF=90°，
∴∠HEF+∠FEN=∠FEN+∠AEG，
∴∠HEF=∠AEG，
∵D为BC中点，∠ABC=90°，AB=AC=2，
∴∠HAE=∠H=45°，
∴AE=HE，
又∵FE=GE，
∴△FEH≌△GEA（SAS），
∴HF=AG，∠H=∠GAE，
∵HE∥BA，∠AGN=∠AEG
∴∠H=∠MAF=∠GAN，∠HEF=∠AMF=∠AEG=∠AGN，
又∵GN=MF，
∴△ANG≌△AFM（AAS），
∴AM=AG，
∴AM=HF，
∴AM+AF=HF+AF=AH=AE，
即AM+AF=AE；
（3）解： -
【知识点】三角形全等的判定；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质；等腰直角三角形；圆-动点问题
【解析】【解答】解：（3）∵E为AC的中点，D为BC中点，∠ABC=90°，AB=AC=2，
∴AE=，
∴BE==，
∵△ BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△ BEH'，
∴BE=B'E=，
∴B'的轨迹为以E为圆心，为半径的圆上运动，
又∵线段EF绕点E顺时针旋转 90°得到线段EG，
∴EF=EG，
∴G点的轨迹为以E为圆心，EG为半径的圆上运动，
如图所示，
∵B'G+EG≥B'E，
∴B'G≥B'E-EG，
∴当G与E、B'共线时，B'G=B'E-EG，
∵F在AD上运动，当F运动的A点或D点时，EF最大，最大为AE，即EFmax=，
∴EGmax=，
∴B'Gmin=B'E-EGmax=-.
【分析】（1）如图，连接CP，由等腰三角形性质可求出BC=4，再由旋转性质推得△FEG为等腰直角三角形，EP⊥FG，又D为BC的中点，进而求得PD=BC，代入数据计算即可求解；
（2）如图，过点E作EH⊥AD的延长线于点H，则∠FEG=∠HEF=90°，推出∠HEF=∠AEG，由D为BC中点，∠ABC=90°，AB=AC=2，推出AE=HE，证得△FEH≌△GEA，即得HF=AG，∠H=∠GAE，再由平行线性质得∠H=∠MAF=∠GAN，∠HEF=∠AMF=∠AEG=∠AGN，进而证得△ANG≌△AFM，由全等性质及线段等量代换可得AM+AF=HF+AF=AH，进而得出AM+AF=AE；
（3）由等腰直角三角形性质求得AE=，BE，再由翻折性质得BE=B'E=，即点B'的轨迹为以E为圆心，为半径的圆上运动，由旋转性质得EF=EG，即G点的轨迹为以E为圆心，EG为半径的圆上运动，由B'G+EG≥B'E，即B'G≥B'E-EG，当G与E、B'共线时，B'G=B'E-EG，根据F点的运动情况得EF最大为AE，即EFmax=，可求得EGmax=，进而由B'Gmin=B'E-EGmax代入数据计算即可求解.
4．【答案】（1）75°
（2）解：如图1，连接.
图1
∵，
∴四边形是菱形.
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
（3）解：符合要求.
由作法，知.
∵，
∴.
如图2，以为边，作正方形，连接.
图2
∴.
∵l是的垂直平分线，
∴l是的垂直平分线.
∴.
∴为等边三角形.
∴，
∴，
∴.
∴裁得的型部件符合要求.
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1），
，
，
，
解得：，
，
.
故答案为：；
【分析】（1）以得∠ACP=∠APC，结合内角和定理得2(∠ACD+∠PCD)+∠CAP=180°，根据等边三角形的性质得∠ACD=60°，∠CAP=30°，代入可得∠PCD=15°，则∠ACP=∠ACD+∠PCD=75°，据此可得∠APC的度数；
（2）连接BP，易得四边形ACBP是菱形，则BP=AC=6，∠ACB+∠PBE=180°，则∠PBE=60°，根据三角函数的概念可得BE、PE、OE，利用三角形的面积公式求出S△ABC，S△OBE，然后根据S四边形OECA=S△ABC-S△OBE进行计算；
（3）由作法知AP=AC，易得∠ACD=90°，以AC、AD为边，作正方形ACDF，连接PF，则AF=AC=AP，根据垂直平分线的性质可得PF=PA，推出△AFP为等边三角形，得到∠FAP=60°，则∠PAC=30°，∠BAP=15°，据此判断.
5．【答案】（1）64
（2）
（3）解：中，，
，
过点作交于，
在等边三角形中，，，
，
，
同理可得，，
，
；
（4）证明：设，，，
，，，
是等边三角形，是等边三角形，
，，
，
是等边三角形，四边形是平行四边形，
，，
是直角三角形，
，
，
；
（5）解：设，，，以为直径的圆的面积为、以为直径的圆的面积为、以为直径的圆的面积为，
是直角三角形，
，
，
，
，，，
，
，，
，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；圆柱的体积
【解析】【解答】（1）解：中，，
，
，
，，
，
故答案为：64；
（2）解：中，，
，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）利用勾股定理可证得，代入可求出S2的值；
（2）利用勾股定理可证得，利用三角形的面积公式可推出S1+S2=S3，即可求解；
（3）利用勾股定理可证得AB2=AC2+BC2，过点D作DG⊥BC于点G，利用等边三角形的性质及勾股定理，可表示出DG的长，利用三角形的面积公式分别表示出S4，同理表示出S5，S6，由此可推出S4，S5，S6之间的关系；
（4）设AB=c，BC=a，AC=b，可表示出HN，FG，MF，利用等边三角形的性质可得∠HPN=60°，同时可证得△HNP是等边三角形，四边形MFGP是平行四边形，由此可表示出△PMN的面积及四边形PMFG的面积，利用勾股定理可得到c2=b2+a2，由此可证得结论；
（5）设AB=c，BC=a，AC=b，以AB为直径的圆的面积为S3，以BC为直径的圆的面积为S1，以AC为直径的圆的面积为S2，利用勾股定理可证得c2=b2+a2，两边同时乘以，可推出S1+S2=S3；再理由圆柱体的体积可证得V2+V1=V3，然后结合已知条件求出V2+V1=V3的值.
6．【答案】（1）60
（2）解：，理由如下：
将沿折叠得到，
，，
，，
，
，
，
；
（3）如图，连接，
，点是的中点，
，
，，
，，
，
，
，
，
.
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1），，，
，
将△ACD沿AD折叠得到△AED，
，
，
∴△ABE是等边三角形，
.
故答案为：60；
【分析】（1）易得∠BAE=90°-∠ABC=60°，根据折叠的性质可得AC=AE，结合AB=AC可得AB=AE，然后判断出△ABE是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出答案；
（2）根据折叠的性质可得AE=AC，∠CAD=∠EAD，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠BAC=120°，则∠BAE=120°-2∠CAD，然后根据AB=AE=AC结合等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算；
（3）连接OA，根据等腰三角形的性质可得OA⊥BC，根据含30°角的直角三角形的性质可得AO，利用勾股定理求出OC、OD，然后根据S△ADC=S△AOC-S△AOD进行解答.
7．【答案】（1）证明：在正，正中，
∴∠ABC-∠1=∠EBD-∠1，即∠2=∠3
∴ΔABE ΔCBD(SAS)
∴AE=CD
（2）解：延长AE交BD于点H，
∵AE⊥BD，
∴∠AHB=90°，
∵△BDE为正三角形，
∴BH=BD-2
∴EH=BH=2
∴
∴
（3）解：取BD中点P，连结PE，PF，
∵P为BD中点，△BED为正三角形，
∴PE⊥BD，PD=BD=2
∴PE=PD=2
∵F为CD中点
∴PF=BC=3
∴中，当P、E、F共线时取等号
∴
另解：倍长DE到点P，连结BP，CP
则EF为△PDC的中位线，
∴EF=1/2PC，△BPD中，∠PBD=90°，∠BDP=60°，
∴PB=4
∴点P在以B为圆心，4为半径的圆上，
∴
∴
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；解直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质，可证得AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°，由此可证得∠2=∠3，利用SAS证明△ABE≌△CBD，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（2）延长AE交BD于点H，利用垂直的定义可证得∠AHB=90°，利用等边三角形的性质可求出BH的长，利用解直角三角形求出EH的长，然后利用勾股定理求出AH的长，根据AE=AH-EH，代入计算求出AE的长.
（3）方法一：取BD中点P，连结PE，PF，利用等边三角形的性质可求出PD的长，利用解直角三角形求出PE的长，利用线段中点的定义求出PF的长，当P、E、F共线时取等号，即可得到EF的取值范围；方法二：倍长DE到点P，连结BP，CP，可证得EF为△PDC的中位线，利用解直角三角形求出PB的长，点P在以B为圆心，4为半径的圆上，据此可求出PC的取值范围，即可得到EF的取值范围.
8．【答案】（1）A
（2）
（3）解：如图，延长交的延长线于点H，
四边形是正方形，
，
为边的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）如图，延长到E，使，连接，
点D为的中点，
，
在和中，
，
，
故答案为：A；
（2），，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）延长AD到E，使DE=AD，连接BE，由中点的概念可得BD=CD，然后根据全等三角形的判定定理进行解答；
（2）由全等三角形的性质可得BE=AC=5，在△ABE中，根据三角形的三边关系可求出AE的范围，结合AE=2AD可得AD的范围；
（3）延长GE交CB的延长线于点H，根据正方形的性质可得∠A=∠ABC=90°，由中点的概念可得AE=BE，利用ASA证明△EAG≌△EBH，得到AG=BH=2，EG=EH，则FH=BF+BH=6，根据∠AEG+∠BEF=90°结合对顶角的性质可得∠BEH+∠BEF=90°=∠HEF，推出FE⊥GH，据此求解.
9．【答案】（1）相等
（2）证明：∵，
∵D是中点，
平分，
，
，
，
在，
；
（3）解：连接，
∵四边形是正方形，
，
在和中，
，
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）相等；
∵，D为的中点，
，，
∵E，F分别是的中点，
∴，
∴，
，
∴；
故答案为：相等；
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠B=∠C=45°，BD=CD，由中点的概念可得BE=AB，CF=AC，推出BE=CF，利用SAS证明△BDE≌△CDF，据此可得结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质可得∠B=∠C=45°，由角平分线的概念可得∠BAD=∠DAC=45°，进而推出BD=AD，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（3）连接OD，由正方形的性质可得OD=OC，∠ODE=∠ACB=45°，利用SAS证明△ODE≌△OCF，得到S四边形OFCE=S△OCF+S△OCE=S△ODE+S△OCE=S△ODC结合三角形的面积公式进行计算.
10．【答案】（1）BD+AE=DE
（2）解：图②的猜想：．
证明：过点C作，交AB于点F，如图②．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
（3）解：．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形的综合
【解析】【解答】（1）过点C作，交AB延长线于点F，如图．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
(3)过点C作，交AB于点F，如图
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）先求出，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出 ，再求出 ，最后利用全等三角形的性质证明求解即可；
（3）根据题意先求出，再求出，最后证明求解即可。
11．【答案】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，，
．
（2）解：，
，
，
在 和 中，
，
，，
．
（3）解：由（）可知，，
，，
和 均为等边三角形，
，，
，
，
在 和 中，
，
，，
，
为等边三角形．
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后证明求解即可；
（3）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
12．【答案】（1）解：过点作于点.
，
，
，
，
在中，，，点为的中点，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
∽，
，
，，
.
（3）解：①分三种情形：
当时，，
.
当时，过点作于点，则，，
，
，
.
当时，过点作于点，则，.
，
，
.
综上所述，满足条件的的值为6或或；
②如图，过点作交的延长线于点.
，
，，
，
，
≌，
，
，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）过点D作DF⊥BC于点F，则DF∥NM，MN=DF，然后根据三角函数的概念以及中点的概念进行计算；
（2）根据三角函数的概念可得，由对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△CAB∽△CPN，然后根据相似三角形的性质进行解答；
（3）①当MN=NP时，代入求解可得x的值；当MN=MP时，过点M作MQ⊥PN于点Q，则NQ=NP，∠MNP=∠C，然后结合三角函数的概念进行计算；当NP=MP时，过点P作PR⊥MN于点R，同理进行求解；
②过点P作PHMN交NM的延长线于点H，根据同角的余角相等可得∠MPH=∠NMP′，利用AAS证明△MNP′≌△PHM，得到MN=PH，然后根据PH=NP可得x的值，据此求解.
13．【答案】（1）6-3t
（2）解：如图，
∵，，，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
由题意得，则，
点N落在直线BC上时，
则，
∴，即，
解得；
（3）解：∵，∴，
∵由（2）得，，
∴，
∵线段QN的中点记为点E，
∴，
由题意得①，解得；
②，解得，舍去；
③，解得，舍去；
∴；
（4）解：当与重叠部分为四边形时，存在两个临界点，
①当点N落在直线BC上时，；
②当点M落在直线BC上时，同理求得；
∴；
如图，
∵，要使点O到这个四边形的各个顶点的距离都相等，则P、M、F、G四点共圆，且为直径，
∴直径，
在中，，
同理得，，
由旋转的性质知，，
∴，
∴，即，
解得，
∵，即，
解得，．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴线段的长度为6-3t，
故答案为：6-3t；
(4)当与重叠部分为四边形时，存在两个临界点，
①当点N落在直线BC上时，；
②当点M落在直线BC上时，同理求得；
∴；
如图，
∵，要使点O到这个四边形的各个顶点的距离都相等，则P、M、F、G四点共圆，且为直径，
∴直径，
在中，，
同理得，，
由旋转的性质知，，
∴，
∴，即，
解得，
∵，即，
解得，．
【分析】（1）根据求解即可；
（2）利用勾股定理先求出BC和PQ的值，再求出PQ//BC，最后利用相似三角形的性质计算求解即可；
（3）先求出 ， 再求出 ， 最后列方程求解即可；
（4）分类讨论，利用相似三角形的判定与性质，勾股定理计算求解即可。
14．【答案】（1）证明：如图1所示：
在中，，，
，，
平分，
，
，
于点，
，
，
是等边三角形
（2）解：如图：
；
结论：．
（3）解：结论：．
证明：如图3所示，延长至，使得，
由（1）得，，
于点，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定；三角形的综合
【解析】【解答】（2）证明：如图2所示：延长使得，连接，
，，是的角平分线，于点，
，，
又，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
．
【分析】（1）先求出DA=DB，再求出BC=BE，最后证明即可；
（2）先求出MW=DM，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（3）根据题意先求出∠H=∠2，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
15．【答案】（1）90°；
（2）解：①过点F作，垂足为点G，
∵，，，
∴，
∵点F是线段中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②点E所经过的路径长为；
（3）解：∵过点D，F分别作AN，AB的垂线，
∴，
∴A，D，P，F四点共圆，设圆心为点O，
∴是的直径，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
故答案为：90°，；
(2)②如图，当点F沿方向下滑时，从得到，点E下滑到过点，的长即为点E所经过的路径长；如图，
，，
∴，
故点E所经过的路径长为；
【分析】（1）结合图形，利用勾股定理计算求解即可；
（2）①利用勾股定理先求出AB的值，再求出 ， 最后计算求解即可；
②先求出，，再计算求解即可；
（3）根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
16．【答案】（1）（3，1）；3
（2）解：由平移可得：，，
∵，都在反比例函数上，
∴，
解得：，
即，，
∴；
（3）解：存在，理由是：由平移可得，
设中点为D，则，即，
设的表达式为，
则，解得：，
∴的表达式为，
令，则，
∴直线与y轴交点为；
∵的面积是面积的一半，
∴作交y轴于点P，
设的表达式为，将D代入，
得，解得：，
∴的表达式为，
令，则，
∴，
∴点关于直线的对称直线与y轴交点为，
即，
综上：点P的坐标为或．
【知识点】平移的性质；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】（1）解：如图，过C作轴，垂足为D，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
又，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，代入中，
得；
【分析】（1）先求出，再利用AAS证明，最后计算求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出m=3，最后求解即可；
（3）利用待定系数法求出 的表达式为， 再求出 的表达式为， 最后求解即可。
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