备考2023年中考数学压轴题训练 ——四边形（1）
一、真题
1．（2022·赤峰）同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
（1）【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为 ；
（2）【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为8，求四边形的面积；
（3）【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．
【答案】（1）AE=BF
（2）解：过点O作交AD于点M，交BC于点N，作交AB于点T，交CD于点R，如图，
∵点O是正方形ABCD的中心，
∴
又∠A=90°
∴四边形ATOM是正方形，
∴
同（1）可证△
∴
（3）解：∵四边形均为正方形，
∴∠
∵CG在CD上，
∴
又CE在BC的延长线上，
∴
设则
在中，
在中，
延长AD，CE交于点Q，则四边形是矩形，
∴
∴，
在中，
若△为直角三角形，则有，
即
整理得，
解得，
∴或
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠
∵是对角线，
∴∠，
∴∠，
∵四边形是正方形，
∴∠，
∴∠
又∠
∴，
∴
∴
故答案为： AE=BF
【分析】（1）利用ASA判断出，即可得答案；
（2）过点O作交AD于点M，交BC于点N，作交AB于点T，交CD于点R， 证明四边形ATOM是正方形， 同（1）可证△则；
（3）根据正方形的性质可得设则根据勾股定理可得， 延长AD，CE交于点Q，则四边形是矩形，，在中，若△为直角三角形，则有即解之可得答案。
2．（2022·龙东）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程的两个根，，动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线向点B运动，到达B点停止．设运动时间为t秒，的面积为S．
（1）求点C的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：，解得，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴点C坐标为；
（2）解：当时，，
当时，过点A作交CB的延长线于点F，如图，
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：存在点P，使是等腰三角形，理由如下：
根据题意得：当点P在CD上运动时，可能是等腰三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠BAD，BC=AD=5，
∴，
∵点M为BC的中点，
∴，
当CP=PM时，过点M作MF⊥PC于点F，
∴，
设PC=PM=a，则PD=7-a，，
∵PF2+FM2=PM2，
∴，解得：，
∴，
∴此时点P；
当时，
∴，
∴此时点P；
当PM=CM时，过点M作MG⊥PC于点G，则，
∴，
∴PD=7-PC=4，
∴此时点P；
综上所述，存在点P或或，使是等腰三角形
【知识点】因式分解法解一元二次方程；分段函数；等腰三角形的判定；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）先利用一元二次方程求出，，再结合求出，根据平行四边形的性质求出，即可得到点C的坐标；
（2）分两种情况：①当时，②当时，分别利用三角形的面积公式求出函数解析式即可得到答案；
（3）分类讨论：①当CP=PM时，过点M作MF⊥PC于点F，②当时，③当PM=CM时，过点M作MG⊥PC于点G，则，分别画出图象并求解即可。
3．（2022·上海市）平行四边形，若为中点，交于点，连接．
（1）若，
①证明为菱形；
②若，，求的长．
（2）以为圆心，为半径，为圆心，为半径作圆，两圆另一交点记为点，且．若在直线上，求的值．
【答案】（1）①证明：如图，连接AC交BD于O，
∵平行四边形，
∴OA=OC，
∵AE=CE，OE=OE，
∴△AOE≌△COE（SSS），
∴∠AOE=∠COE，
∵∠AOE+∠COE=180°，
∴∠COE=90°，
∴AC⊥BD，
∵平行四边形，
∴四边形是菱形；
②∵OA=OC，
∴OB是△ABC的中线，
∵为中点，
∴AP是△ABC的中线，
∴点E是△ABC的重心，
∴BE=2OE，
设OE=x，则BE=2x，
在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2，
在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-（3x）2=25-9x2，
∴9-x2=25-9x2，
解得：x=，
∴OB=3x=3，
∵平行四边形，
∴BD=2OB=6；
（2）解：如图，
∵⊙A与⊙B相交于E、F，
∴AB⊥EF，
由（1）②知点E是△ABC的重心，
又在直线上，
∴CG是△ABC的中线，
∴AG=BG=AB，GE=CE，
∵CE=AE，
∴GE=AE，CG=CE+GE=AE，
在Rt△AGE中，由勾股定理，得
AG2=AE2-GE2=AE2-（AE）2=AE2，
∴AG=AE，
∴AB=2AG=AE，
在Rt△BGC中，由勾股定理，得
BC2=BG2+CG2=AE2+（AE）2=5AE2，
∴BC=AE，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）①先求出 △AOE≌△COE（SSS）， 再证明即可；
②先求出 BE=2OE， 再利用勾股定理计算求解即可；
（2）根据题意先求出 CG是△ABC的中线， 再利用勾股定理计算求解即可。
4．（2022·衢州）如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．
（1）求证：.
（2）若．
①求菱形的面积.
②求的值.
（3）若，当的大小发生变化时（），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝DC，AB CD，
∴∠BDC＝∠CBD，∠BDC＝∠ABD，
∴∠CBD＝∠ABD＝ ∠ABC，
∵ 平分 交 于点G，
∴∠CBG＝∠EBG＝ ∠CBE，
∴∠CBD＋∠CBG＝ （∠ABC＋∠CBE）＝ ×180°＝90°，
∴∠DBG＝90°；
（2）解：①如图1，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，
∴OD＝ BD＝3，AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
在Rt△DOC中，OC＝ ，
∴AC＝2OC＝8，
∴ ，
即菱形 的面积是24．
②如图2，连接AC，分别交BD、DE于点O、H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵∠DBG＝90°
∴BG⊥BD，
∴BG AC，
∴ ，
∴DH＝HG，DG＝2DH，
∵DG＝2GE，
∴EG＝DH＝HG，
∴ ，
∵AB CD，
∴∠DCH＝EAH，∠CDH＝∠AEH，
∴△CDH∽△AEH，
∴ ，
∴CH＝ AC＝ ，
∴OH＝OC－CH＝4－ ＝ ，
∴tan∠BDE＝ ；
（3）解：如图3，过点G作GT BC交AE于点T，此时ET＝ ．
理由如下：由题（1）可知，当∠DAB的大小发生变化时，始终有BG AC，
∴△BGE∽△AHE，
∴ ，
∵AB＝BE＝5，
∴EG＝GH，
同理可得，△DOH∽△DBG，
∴ ，
∵BO＝DO，
∴DH＝GH＝EG，
∵GT BC，
∴GT AD，
∴△EGT∽△EDA，
∴ ，
∵AD＝AB＝5，
∴GT＝ ，为定值，
此时ET＝ AE＝ （AB＋BE）＝ ．
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；四边形的综合
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质可证得BC=DC，AB∥CD，利用平行线的性质和等腰三角形的性质可证得∠BDC=∠CBD，∠BDC=∠ABD，从而可推出∠CBD＝∠ABD＝ ∠ABC；再利用角平分线的定义可证得∠CBG=∠EBG=∠CBE，由此可求出∠DBG的度数.
（2）①连接AC交BD于点O，利用菱形的性质可求出OD的长，同时可证得AC⊥BD，利用垂直的定义可证得∠DOC=90°；利用勾股定理求出OC的长，即可得到AC的长；然后利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，可求出菱形ABCD的面积；
②连接AC，分别交BD、DE于点O、H，利用菱形的对角线互相垂直，去证明BG∥AC，利用平行线分线段成比例定理可求出DH与DG的比值，可得到DH＝HG，DG＝2DH，同时可求出DH和EH的比值；再证明△CDH∽△AEH，利用相似三角形的对应边成比例可求出CH的长，利用HO=OC-CH，可求出HO的长；然后利用锐角三角函数的定义求出tan∠DBE的值.
（3）过点G作GT∥BC交AE于点T，一组△BGE∽△AHE，利用相似三角形的对应边成比例，可证得EG=GH；同理可证得△DOH∽△DBG，可推出DH＝GH＝EG；利用GT∥AD，可证得△EGT∽△EDA，利用相似三角形的对应边成比例，可求出GT的长；然后求出ET的长.
5．（2022·绍兴）如图，在矩形 ABCD中，AB=6，BC=8，动点 E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A， D关于直线 BE的对称点分别为M，N，连结MN ．
（1）如图，当E在边AD上且 DE=2时，求 ∠AEM的度数．
（2）当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．
（3）当直线MN恰好经过点 C 时，求DE的长．
【答案】（1）解：∵DE=2，
∴AE＝AB＝6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴∠AEB＝∠ABE＝45°．
由对称性知∠BEM＝45°，
∴∠AEM＝90°
（2）解：如图1，∵AB=6，AD=8，
∴BD=10，
∵当N落在BC延长线上时，BN＝BD＝10，
∴CN＝2．
由对称性得，∠ENC＝∠BDC，
∴cos∠ENC＝ ，
得EN＝ ，
∴DE＝EN＝ ．
直线MN与直线BD的位置关系是MN∥BD．
由对称性知BM＝AB＝CD，MN＝AD＝BC，
∴△BMN≌△DCB，
∴∠DBC＝∠BNM，
所以MN∥BD．
（3）解：①情况1：如图2，当E在边AD上时，由直线MN过点C，
∴∠BMC＝90°，
∴MC＝ ．
∵BM＝AB＝CD，∠DEC＝∠BCE，
∴△BCM≌△CED，
∴DE＝MC＝ ．
②情形2：如图3，点E在边CD上时，
∵BM＝6，BC＝8，
∴MC＝ ，CN＝8- ．
由∠BMC＝∠CNE＝∠BCD＝90°，
∴△BMC∽△CNE，
∴ ，
∴EN ，
∴DE＝EN＝ ．
综上所述，DE的长为 或 ．
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可知AD=8，由DE的长求出AE的长，可证得AE=AB，利用等边对等角可证得∠AEB＝∠ABE＝45°，再利用轴对称的性质可得到∠BEM的度数，从而可求出∠AEM的度数.
（2）利用勾股定理求出BD的长，当N落在BC延长线上时，BN＝BD＝10，即可求出CN的长；利用对称性可知∠ENC＝∠BDC，利用解直角三角形求出EN的长，即可得到DE的长；利用对称性可知BM＝AB＝CD，MN＝AD＝BC，可推出△BMN≌△DCB，利用全等三角形的性质可证得∠DBC=∠BNM，由此可证得结论.
（3）分情况讨论：当E在边AD上时，由直线MN过点C，利用勾股定理求出MC的长；再证明△BCM≌△CED，利用全等三角形的对应边相等，可求出DE的长；点E在边CD上时，利用BM，BC的长，可得到MC，CN的长；再证明△BMC∽△CNE，利用相似三角形的对应边成比例可求出EN的长，即可得到DE的长；综上所述可得到DE的长.
6．（2022·杭州）在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且AE=2BF，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH．
（1）如图1．若AB=4，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积
（2）如图2．已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K．
①求证：EK=2EH；
②设∠AEK=α，△FGJ和四边形AEHI的面积分别为S1、S2．
求证： =4sin2α-1．
【答案】（1）解：由题意，得AE=BE=2，
∵AE=2BF，
∴BF=1，
由勾股定理，得EF2=BE2+BF2=5，
∴正方形EFGH的面积为5.
（2）①证明：由题意，知∠KAE=∠B=90°，
∴∠EFB+∠FEB=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠HEF=90°，
∴∠KEA+∠FEB=90°，
∴∠KEA=∠CEFB，
∴△KEA∽△EFB，
∴ =2．
∴EK=2EF=2EH．
②解：由①得HK=GF，
又∵∠KHI=∠FGJ=90°，∠KIH=∠FJG，
∴△KHI≌△FGJ．
∴△KHI的面积为S1．
由题意，知△KHI∽△KAE，
∴ =4sin2α，
∴ =4sin2α-1．
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；三角形全等的判定（AAS）；四边形的综合
【解析】【分析】（1）当点E与点M重合时，可求出AE，BE的长，利用AE=2BF，可求出BF的长；然后利用勾股定理求出EF2，即可得到正方形EFGH的面积.
（2）①利用已知和正方形的性质可证得∠KAE=∠B=90°，∠KEA+∠FEB=90°，利用余角的性质可证得∠KEA=∠CEFB，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△KEA∽△EFB，利用相似三角形的对应边成比例可证得结论；
②由①得HK=GF，利用AAS证明△KHI≌△FGJ；然后证明△KHI∽△KAE，由此可证得 =4sin2α，即可证得结论.
7．（2022·金华）如图，在菱形ABCD中，AB=10. ，点E从点B出发沿折线B-C-D向终点D运动.过点E作点E所在的边(BC或CD)的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH.
（1）如图1，点G在AC上.求证：FA=FG.
（2）若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长.
（3）已知FG=8，设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似(包括全等)？
【答案】（1）证明：如图1，
∵菱形ABCD，
∴BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA.
∵FG∥BC，
∴∠FGA=∠BCA，
∴∠BAC=∠FGA，
∴FA=FG.
（2）解：记AC中点为点O.
①当点E在BC上时，如图2，过点A作AM⊥BC于点M，
∵在Rt△ABM中，AM= AB=6，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴AF=ME=1，
∴AG=AF+FG=1+6=7.
②当点E在CD上时，如图3，过点A作AN⊥CD于点N.
同理，FG=EF=AN=6，CN=2，
AF=NE= CN=1，
∴AG=FG-AF=6-1=5
∴AG=7或5.
（3）解：过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥CD于点N.
①当点E在线段BM上时，0i)若点H在点C的左侧，s+8≤10，即0CH=BC-BH=10-(4x+8)=2-4x
由 ，得 ，
即 ，
∴ ，解得 ，
∴.s=4x=1
由 ，得 ，即 ，
∴ ，解得 ，
∴ .
ii)若点H在点C的右侧， ，即 ，如图5，
.
由 ，得 ，
即 ，
∴ ，方程无解.
由 ，得 ，即 ，
∴ ，解得 ，
∴
②当点E在线段MC上时，8EF=6，EH=8，BE=s.
∴BH=BE+EH=s＋8，CH=BH-BC=s-2.
由 ，得 ，即 ，
∴ ，方程无解.
由 ，得 ，即 ，
∴ ，解得 (舍去).
③当点E在线段CN上时，10≤s≤12，如图7，过点C作CJ⊥AB于点J，
在Rt△BJC中，BC=10，CJ=6，BJ=8.
∵EH=BJ=8，JF=CE，
∴BJ+JF=EH+CE，即CH=BF，
又∵GH=EF，∠GHC=∠EFB=90°，
∴△GHC≌△EFB，符合题意，
此时，10≤s≤12.
④当点E在线段ND上时，12∵∠EFB>90°，
∴△GHC与△BEF不相似.
综上所述，s满足的条件为：s=1或 或 或10≤s≤12
【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据菱形性质得BA=BC，∠BAC=∠BCA，再由平行线性质得∠FGA=∠BCA，从而得到∠BAC=∠FGA， 进而证出FA=FG；
（2）分两种情况：①当点E在BC上时，过点A作AM⊥BC于点M，利用勾股定理求得BM=8，进而求出FG=EF=AM=6，CM=2，由三角形中位线性质求出CE=ME=1，则AF=1，再由AG=AF+FG即可求出AG的长；②当点E在CD上时，过点A作AN⊥CD于点N，同①中方法求出FG=EF=AN=6，CN=2，AF=NE=CN=1，再由AG=FG-AF即可求出AG的长；
（3）过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥CD于点N，分四种情况：①当点E在线段BM上，090°，所以△GHC与△BEF不相似. 综上可得出满足的条件.
二、模拟预测
8．（2023·保定模拟）在矩形中，，，将矩形绕点B顺时针旋转得到矩形，A，C，D的对应点分别为，，．
（1）当点落在线段上时，完成以下探究．
①如图1，求的长．
②如图2，延长交于点E，求证：．
（2）如图3，以为斜边在右侧作等腰直角三角形，，交于点G，交于点H，若，求的长．
（3）如图4，矩形的对角线与相交于点P，连接，，则面积的最小值为 ．
【答案】（1）解：①由旋转的性质知．
在中，，，
．
∵四边形为矩形，
，
；
②∵将矩形绕点B顺时针旋转得到矩形，
，，，
．
在和中，
，
∴；
（2）解：由旋转的性质可知，．
在中，，，，
，
（负值舍去），
在中，，
即，故（负值舍去），
，
，，
，
，
；
（3）9
【知识点】矩形的判定；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】（3）解：∵四边形是矩形，
，，
，
，
．
当点P到线段的距离h最小时，面积有最小值，
此时，点在上，且，
距离h的最小值为，
面积的最小值为，
故答案为：9．
【分析】（1） ①由旋转的性质知．利用勾股定理可得．
由四边形为矩形可得，则； ②由旋转的性质知
，，，则，根据AAS可证
；
（2） 由旋转的性质可知，，利用勾股定理可得，
，，证明，根据相似三角形的性质可得，则；
（3）由四边形是矩形可得，，利用勾股定理可得，．根据题意可知当点P到线段的距离h最小时，面积有最小值，则点在上，且，距离h的最小值为，利用三角形面积公式可得答案。
9．（2023·宁波模拟）如图
（1）【基础巩固】
如图1，于点B，于点C，交BC于点D，求证：。
（2）【尝试应用】
如图2，在矩形ABCD中，E是BC上的一点，作交BC于点F，，若，，求的值。
（3）【拓展提高】
如图，菱形ABCD的边长为10，，E为AD上的一点，作交AC于点F，交AB于点G，且，求BG的长。
【答案】（1）证明：，，（图1）
，
，
（2）解：设，则（图2）
∵四边形ABCD是矩形
，
，
，即
，（舍）
（3）解：连结BD交AC于点O，作于H（图3），
∵四边形ABCD是菱形，
，，∴OD：OC：CD＝3：4：5
，
，，
，
，
，，∴H是AO的中点，
，，，∴E是AD的中点，，，
，，
，，
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠ABC=∠DCE=90°，利用余角的性质可证得∠A=∠CDE，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△DCE，利用相似三角形的性质，可证得结论.
（2）设CE=EF=x，可表示出BE的长，利用矩形的性质可证得∠B=∠C=90°，利用垂直的定义和余角的性质可证得∠BAE=∠DFC，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABE∽△FCD，利用相似三角形的性质可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值，然后求出AE与DF的比值.
（3）连结BD交AC于点O，作EH⊥AC于点H，利用菱形的性质，可证得AC⊥BD，利用解直角三角形求出OD，OC的长；再利用垂直的定义和余角的性质可证得∠CEH=∠OFD，可证△DFO∽△CFH，利用相似三角形的性质可求出OH的长，利用点H和点E分别为AO，AD的中点，可求出EH，OF的长，即可得到CF，AF的长；再证明△AGF∽△CDF，利用相似三角形的性质，可求出AG的长，根据BG=AB-AG，可求出BG的长.
10．（2023·唐山模拟）如图1和图2，在四边形中，，，，，点K在边上，点M，N分别在，边上，且，点P从点M出发沿折线匀速运动，点E在边所在直线上随P移动，且始终保持；点Q从点D出发沿匀速运动，点P，Q同时出发，点Q的速度是点P的一半，点P到达点N停止，点Q随之停止．设点P移动的路程为x．
（1）当时，求的长；
（2）当时，求x的值；
（3）用含x的式子表示的长；
（4）已知点P从点M到点B再到点N共用时20秒，若，请直接写出点K在线段上（包括端点）的总时长．
【答案】（1）解：，，，
，
；
（2）解：，
，
，
，
；
（3）解：①当点P在上时，此时，
由题意可知，，，
；
②当点P在上时，此时，
，，
，
，，
，
，
，
，，，
，
当时，点Q在点E上方，
，
当时，点Q在点E下方，
，
综上可知，的长为；
（4）解：总时间＝．
【知识点】相似三角形的判定与性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：(4)由题意可知，点P移动的总路程为10，时间为20秒，
点P速度为单位长度/秒，
点Q速度为长度单位/秒，
①当点P在上，点E与点K重合时，此时，
运动时间为（秒），
②当点P在上时，设，则，
，
，
，
当点E运动到K时，，
解得：或；
当点Q运动到K时，（秒），
当时，即，
，
点Q先到达K点，此前点E在K点下方，
（秒），
当时，此时点E在K的上方，Q在K下方，
（秒），
总时间＝．
【分析】（1）先利用线段的和差求出，再将x=5代入计算即可；
（2）先求出，再利用线段的和差求出即可；
（3）分类讨论： ①当点P在上时，此时，②当点P在上时，此时， 再分别求解即可；
（4）分类讨论，再利用相似三角形的判定方法和性质求解即可。
11．（2023·石家庄模拟）如图1，正方形与正方形有公共点，点，分别在，上，点在正方形的对角线上．将正方形绕点逆时针方向旋转，旋转角为（）．
（1）当时， ；
（2）如图2，当时，连接，，是否为定值？请说明理由；
（3）若，，当，，三点共线时，求的长度．
【答案】（1）
（2）解：是为定值，理由如下：
当时，连接，如图，
在正方形中，即有，，
同理：在正方形中，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
即是为定值；
（3）解：当时，点，，三点共线时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据（2）可知：，
∴；
当时，点，，三点共线时，如图，
连接，
由（2）可得：，即，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上：长度为或者．
【知识点】四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【解答】（1）当时，如图1所示，
在正方形中，即有，
∴，
同理在正方形中，可得，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）利用正方形的性质求出，再求出，最后求解即可；
（2）利用正方形的性质求出 ， 再利用相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，利用相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理计算求解即可。
12．（2023·交城模拟）综合与实践
问题情境
如图1，已知线段，射线，射线，点D在射线上沿着的方向运动，过点D作交于点C，点E是的中点，连接，将沿着BE折叠，点A的对应点为点F，连接．
（1）探究展示：当时，求的值；
（2）如图2，延长交于点G，当点G恰好是中点时，求证：四边形是正方形；
（3）拓展探究：在图2中，若，直接写出的长度．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴是矩形，
∴，，，
∵点E是的中点，
∴，
又∵
∴
∴
由翻折可得：，，
又∵
∴
∴
∵
∴为等边三角形，
∴
在中
，
（2）证明：由（1）可知四边形是平行四边形
∴
∵点G为的中点
∴
由折叠可知：
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵E为的中点
∴
∴
∴
∴
∴四边形为正方形
（3）解：过F点作交，于点P，Q，
则为矩形，
∴，
在中，
，
又∵，
即
解得：，
∴，
又∵
∴，
∴，
即，
在中，
．
【知识点】四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）先证出为等边三角形，可得，再求出即可；
（2）先证出，可得，再结合 ，可得，求出，证出，即可证出四边形为正方形；
（3）过F点作交，于点P，Q，根据，可得，求出，再结合，求出，，可得，最后利用勾股定理求出即可。
13．（2023·包头模拟）
（1）问题提出
如图①，在矩形的边上找一点E，将矩形沿直线折叠，点C的对应点为，再在上找一点F，将矩形沿直线折叠，使点A的对应点落在上则 ．
（2）问题探究
如图②在矩形中，，，点P是矩形边上一点，连接，将、分别沿翻折，得到、，当P、、三点共线时，则称P为边上的“优叠点”，求此时的长度．
（3）问题解决
如图③，矩形位于平面直角坐标系中，，．点A在标原点，B，D分别在x轴与y轴上，点E和点F分别是和边上的动点，运动过程中始终保持．当点P是边上唯一的“优叠点”时，连接交于点M，连接交于点N，请问是否能取得最大值？如果能，请确定此时点M的位置（即求出点M的坐标）及四边形的面积，若不能，请说明理由．
【答案】（1）45°
（2）解：如图②中，四边形为矩形，，又，
设，则．
由翻折的性质可知，．
∴，
∵．
∴，，
∴．
∴，
∴，
∴，
解得或8，
经检验，或8，都是原方程的解，
∴或8；
（3）解：如图③中，以为直径作，当与相切于点P时，点P是边上唯一的“优叠点”，此时，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
在中，∵，，
∴为定值，
∴要使取得最大值，则必需取得最小值；
∴过点P作于点Q，取的中点K，连接，则，
∴．
∴最小时，的值最小，
∵，
∴与重合时．的值最小，此时如图④，
∴在和中，，
∴．
∴，
∴，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
∴的最大值为；
∴此时为等腰直角三角形，
∴过点M作于点G，过点N作于点H，则，
∴，，
∴设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
过点M作于点L，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴四边形．
【知识点】圆的综合题；解直角三角形；四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）由折叠的性质知，，，
∴，
故答案为：45°；
【分析】（1）根据折叠的性质计算求解即可；
（2）先求出 ，再利用相似三角形的判定与性质证明求解即可；
（3）先求出 ， 再利用锐角三角函数和相似三角形的性质求解即可。
14．（2023·宽城模拟）如图，是的对角线，，，．动点从点出发，以的速度沿运动到终点，同时动点从点出发，沿折线运动到终点，在、上分别以、的速度运动，过点作，交射线于点，连结；以与为边作，设点的运动时间为，与重叠部分图形的面积为．
（1） （用含的代数式表示）．
（2）当点落在边上时，求的值．
（3）当点在线段上运动时，为何值时，有最大值？最大值是多少？
（4）连结，当与的一边平行时，直接写出的值．
【答案】（1）10-5t
（2）解：如图1，点落在边上，则，，
，
，
，
，
，
（3）解：当点在线段上运动时，＜，
如图，与重叠部分图形是五边形，
则，，，
，
∴，
∴，
，
；
时，
∴时，有最大值．
（4）解：的值为秒或秒或2秒．
【知识点】相似三角形的判定与性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】（1）由题意得：，
，
，
故答案为：（10-5t）；
(4)①当时，如图3，
，
，，
，
，
即，；
②当时，如图4，延长交于，则，则，
，
，，
③如图5，当与重合，与重合时，，
此时，，是的中点，
在直线上，
，
综上所述，的值为秒或秒或2秒．
【分析】（1）利用线段的和差求出即可；
（2）点落在边上，则，，先证出，可得，将数据代入可得，最后求出t的值即可；
（3）根据，可得，再求出，最后利用二次函数的性质求解即可；
（4）分类讨论：①当时，②当时，③当与重合，与重合时，再分别画出图象并求解即可。
15．（2023·阿城模拟）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点A，四边形是平行四边形，边与y轴交于点E．
（1）求点A的坐标；
（2）如图1，过B作的垂线交y轴负半轴于点D，，设点B的横坐标为t，长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接，当以的长为三边长构成的三角形面积是8时，在上取中点F，在上取点N，将射线绕点F顺时针旋转交x轴正半轴于点M，连接，若的周长为6，直线经过点N，求k的值．
【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图，∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵点B的横坐标为t，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，过O作，过C作相交于点H，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∵，
∴∠BOH＝∠BOE＋∠EOH＝90°，
∴为直角三角形，
∵以的长为三边长构成的三角形面积是8，
∴的面积为8，
∵，， ，
∴，
∴，（舍去），
∴，
连接过F作交y轴于K，
∵F为中点，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵的周长为6，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵直线经过点N，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；四边形的综合
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再求出x=-6，最后求点的坐标即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后利用全等三角形的性质求解即可；
（3）先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
16．（2023·温州模拟）如图1，在矩形中，，.P，Q分别是，上的动点，且满足，E是射线上一点，，设，.
（1）求y关于x的函数表达式.
（2）当中有一条边与垂直时，求的长.
（3）如图2，当点Q运动到点C时，点P运动到点F.连结，以，为边作.
①当所在直线经过点D时，求的面积；
②当点G在的内部（不含边界）时，直接写出x的取值范围.
【答案】（1）解：在矩形中，.
∵，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
（2）解：（ⅰ）当时，
∵，
∴.
∵，
∴，
解得，即.
（ⅱ）当时，
延长交于点H.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴是等边三角形.
∴，
∴.
在中，，
在中，，
∴，即，解得，即.
（ⅲ）
∵，
∴，
综上，的值为或2；
∴不可能垂直于.
（3）解：
当时，，即，
∴.
①在中，，
∴，即，
解得，
∴.
过点Q作，则.
∴.
②
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；平行线分线段成比例；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（3）②.
提示：当点G落在边上时，
∵，
∴，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
∴，即，
解得.
当点G落在边上时，
作交于点N，作于点M，
则，
∴.
易证，
∴，即，解得，
∴.
【分析】（1）根据矩形的性质可得CD=AB=4，由含30°角的直角三角形的性质可得AC=2AB=8，则CP=8-y，然后由就可得到y与x的关系式；
（2）当PQ⊥AC时，CQ=4-x，CP=8-y，根据三角函数的概念可得x；当QE⊥AC时，延长EQ交AC于点H，根据平行线的性质可得∠CAD=∠ACB=30°，则∠ACD=60°，推出△KPC为等边三角形，得到KC=CP=8-y=x，则DK=4-x，接下来在Rt△DEK、Rt△DEQ中，根据勾股定理可得DE，据此可得x的值；当∠AEP=∠CAD=30°，∠APE=120°，PE不可能垂直于AC，据此解答；
（3）①当x=4时，y=，即AF=，CF=8-AF=，根据平行线分线段成比例的性质可得x的值，然后求出CQ、PF，过Q作QH⊥PC，求出QH的值，然后根据三角形的面积公式进行计算；
②当点G落在AB边上时，根据平行线的性质可得∠GFP=∠QPF，∠BAC=∠DCA，利用AAS证明△AFG≌△CQP，得到AF=CP，代入求解可得x的值；当点G落在BC边上时，作QN∥AD交AC于点N，作NM⊥AD于点M，则MN=DQ=x，AN=2x，NF=-2x，同理证明△QNF≌△GCP，得到NF=CP，代入求出x的值，据此可得x的范围.
17．（2023·秀洲模拟）如图，在中，，点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向向点A运动，同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向向点C运动.当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.连接，在射线上截取，以为邻边作菱形，设运动时间为t秒.
（1）当时，求菱形的面积.
（2）当的面积为菱形面积的时，求t的值.
（3）作点B关于直线的对称点.
①当时，求线段的长.
②当点落在菱形的边上时，请直接写出的值.
【答案】（1）解：由题意得，，则，
∴当时，，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴；
（2）解：如图2所示，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①如图3，连接，延长交于点D，
∵点与点B关于直线对称，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴；
【知识点】勾股定理；菱形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（3）②如图4所示，当点落在边上，延长交于点D，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，S
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图5，点落在边上，延长交于点D，则，，
∵，且，
∴，
∴，
综上所述，的值为或.
【分析】（1）由题意可得：PC=2t，BQ=t，则CQ=6-t，当t=3时，PC=6，CQ=3，根据菱形的性质以及勾股定理可得PM、PQ的值，然后根据菱形的面积公式进行计算；
（2）连接QM，根据菱形的性质可得S△PQM=S△NQM=S菱形PQNM，结合题意可得S△PCQ=S△PQM=S△MCQ，结合三角形的面积公式可得PQ=PM=2CP，由勾股定理可得CQ=CP，代入求解可得t的值；
（3）①连接QB′，延长PQ交BB′于点D，根据轴对称的性质可得PQ垂直平分BB′，则BD=B′D，BQ=B′Q，结合等腰三角形的性质可得∠BQD=∠B′QD，由已知条件可知∠BQB′=2∠ABC，则∠BQD=∠ABC，推出PQ∥BC，根据平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△PQC∽△ABC，由相似三角形的性质可得t的值，由勾股定理可得AB的值，然后根据三角函数的概念进行计算；
②当点B′落在QN边上，延长PQ交BB′于点D，根据平行线的性质可得∠BQB′=∠QCM=90°，进而得到∠CPQ=∠CQP=∠BQD=45°，推出PC=QC，代入求出t的值，据此解答；点B′落在MN边上，延长PQ交BB′于点D，则BD=B′D，根据菱形的面积公式结合PM=MN可得CQ=B′D=BB′，据此求解.
18．（2023·宁波模拟）如图
【证明体验】
如图1，四边形和四边形都是菱形，，点，点分别在边，上，点在菱形内部，将菱形绕点旋转一定的角度，点，始终在菱形的内部.
（1）图2，求证：≌.
（2）【思考探究】
如图3，点，分别在，延长线上，连接并延长与的平分线交于点，连接并延长与的平分线交于连接，，，.
求证：∽；
若，，则线段的长度为▲ ，线段的长为▲ .
菱形绕点旋转度，，是等腰三角形，线段的长为.
【答案】（1）证明：如图2中，
四边形 和四边形 都是菱形， ，
， ， ，
在 和 中，
，
≌ ；
（2）解： 证明：如图 中，
四边形 是菱形，
， ，
， ，
， 分别平分 ， ，
，
，
，
，
，
∽ ；
②8；7
③ 或 或
【知识点】相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：（2） ② 解：如图 中，连接DB ，过点H作HM⊥BK于点M .
∽ ，
，
，
，
四边形DBMH是矩形，
， ，
，
.
故答案为：8，7；
解：如图 中，当KB=KC时，连接BD ，过点K作KJ⊥DH于点J .
， ，
， ，
， ，
， ，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
如图4-2中，当BC=BK时，四边形BDHK是正方形，KH=m .
如图4-3 中，当CB=CK时， D、C、K共线，过点H作HN⊥BK于点N .
， ，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的 的值为 或 或
故答案为： 或 或
【分析】（1）由菱形的性质得AD=AB，AG=AE，∠GAD=∠EAB，从而用SAS判断出△GAD≌△EAB；
（2）①由菱形性质得AB∥CD，AD∥BC，推出∠CBP=∠DAB=60°，∠CDQ=∠DAB=60°，由角平分线的定义得∠QDH=∠KBP=30°，由等角的补角相等得∠ADH=∠ABK=150°，然后根据三角形外角性质及角的和差推出∠AHD=∠BAK，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ADH∽△KBA；
②连接DB ，过点H作HM⊥BK于点M，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出BK，易得四边形DBMH是矩形，得BM=DH=5，DB=MH=，进而可求出MK，最后根据勾股定理算出HK；
③分类讨论：如图4—1中，当KB=KC时，连接BD ，过点K作KJ⊥DH于点J ；如图4-2中，当BC=BK时，四边形BDHK是正方形，KH=m；如图4-3 中，当CB=CK时， D、C、K共线，过点H作HN⊥BK于点N，分别利用相似三角形的性质及勾股定理求解即可.
19．（2023·宁波模拟）如图1，菱形的边长为，，，分别在边，上，，，点从点出发，沿折线以的速度向点匀速运动不与点 C重合 ；的外接圆与相交于点，连接交于点设点的运动时间为ts.
（1） ；
（2）若与相切，
判断与的位置关系；
求的长；
（3）如图3，当点在上运动时，求的最大值，并判断此时与的位置关系；
（4）若点在的内部，直接写出的取值范围.
【答案】（1）60
（2）解：如图，当点 运动到点 时， 与 相切，
四边形 为菱形，
，
与 相切，
与 相切；
连接 ，
由（1）可知， ，
、 分别与 相切，
，
，
弧 的长 ；
（3）解：由图可知： ，
， ，
为等边三角形，
则 ， ，
要使 取得最大值，
则 应该取最小值，
当 时， 最小，此时 取得最大值，
点 为 外接圆圆心，
，
，
，
综上： 的最大值为 ，此时 ；
（4）解： 时或
【知识点】菱形的性质；圆的综合题；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为菱形， ，
， ，
为等边三角形，
，
，
故答案为： ；
（4）①当点p在AB上时，
四边形APCE为圆的内接四边形，
，
，
，
在 和 中， ， ， ，
≌ ，
，
当点 与点 重合时， ，
，
，
当 时，点 在圆内部；
当点P在BC上运动时，
，
为等边三角形，
， ，
，
，
在 和 中， ， ， ，
≌ ，
，
当点E与点N重合时， ，
此时 ，
当点P到达点C时， ，
当 时，点N在圆内部；
综上：当 时或 时，点N在圆内部.
【分析】（1）由菱形的性质易证△ACD是等边三角形，根据同弧所对的圆周角相等即可得出∠APE的度数；
（2）①当点P运动到点B时， 圆O与AD相切，由切线长定理可证出圆O与CD相切；②连接OD，由切线长定理可得∠ADO=30°，进而根据正切函数的定义，由AO=AD×tan30°可求出AO的长，从而根据弧长计算公式可算出弧APC的长度；
（3）先判断出△ABC是等边三角形，要使CF取得最大值，则AF应该取得最小值，当AC⊥PE时，AF最小，此时CF取得最大值，进而根据余弦函数的定义，由CF=CP×cos60°即可求出答案；
（4）分类讨论：①当点p在AB上时，由圆内接四边形的性质及同角的补角相等得∠APC=∠AED，利用AAS判断出△APC≌△DEA，得AP=DE，当点E与点N重合时，DE=DN=AP=4，则MP=1cm，从而可得当0＜t＜1时，点N在圆内部；② 当点P在BC上运动时，先判断出△APE是等边三角形，再利用SAS判断出△BAP≌△CAE，得BP=CE，当点E与点N重合时，CE=CN=BP=8cm，此时t=17，点点P到达点C时，t=21，点N在圆的内部，可得17＜t＜21时，点N在圆的内部，综上即可得出答案.
1 / 1备考2023年中考数学压轴题训练 ——四边形（1）
一、真题
1．（2022·赤峰）同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
（1）【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为 ；
（2）【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为8，求四边形的面积；
（3）【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．
2．（2022·龙东）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程的两个根，，动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线向点B运动，到达B点停止．设运动时间为t秒，的面积为S．
（1）求点C的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2022·上海市）平行四边形，若为中点，交于点，连接．
（1）若，
①证明为菱形；
②若，，求的长．
（2）以为圆心，为半径，为圆心，为半径作圆，两圆另一交点记为点，且．若在直线上，求的值．
4．（2022·衢州）如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．
（1）求证：.
（2）若．
①求菱形的面积.
②求的值.
（3）若，当的大小发生变化时（），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值．
5．（2022·绍兴）如图，在矩形 ABCD中，AB=6，BC=8，动点 E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A， D关于直线 BE的对称点分别为M，N，连结MN ．
（1）如图，当E在边AD上且 DE=2时，求 ∠AEM的度数．
（2）当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．
（3）当直线MN恰好经过点 C 时，求DE的长．
6．（2022·杭州）在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且AE=2BF，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH．
（1）如图1．若AB=4，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积
（2）如图2．已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K．
①求证：EK=2EH；
②设∠AEK=α，△FGJ和四边形AEHI的面积分别为S1、S2．
求证： =4sin2α-1．
7．（2022·金华）如图，在菱形ABCD中，AB=10. ，点E从点B出发沿折线B-C-D向终点D运动.过点E作点E所在的边(BC或CD)的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH.
（1）如图1，点G在AC上.求证：FA=FG.
（2）若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长.
（3）已知FG=8，设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似(包括全等)？
二、模拟预测
8．（2023·保定模拟）在矩形中，，，将矩形绕点B顺时针旋转得到矩形，A，C，D的对应点分别为，，．
（1）当点落在线段上时，完成以下探究．
①如图1，求的长．
②如图2，延长交于点E，求证：．
（2）如图3，以为斜边在右侧作等腰直角三角形，，交于点G，交于点H，若，求的长．
（3）如图4，矩形的对角线与相交于点P，连接，，则面积的最小值为 ．
9．（2023·宁波模拟）如图
（1）【基础巩固】
如图1，于点B，于点C，交BC于点D，求证：。
（2）【尝试应用】
如图2，在矩形ABCD中，E是BC上的一点，作交BC于点F，，若，，求的值。
（3）【拓展提高】
如图，菱形ABCD的边长为10，，E为AD上的一点，作交AC于点F，交AB于点G，且，求BG的长。
10．（2023·唐山模拟）如图1和图2，在四边形中，，，，，点K在边上，点M，N分别在，边上，且，点P从点M出发沿折线匀速运动，点E在边所在直线上随P移动，且始终保持；点Q从点D出发沿匀速运动，点P，Q同时出发，点Q的速度是点P的一半，点P到达点N停止，点Q随之停止．设点P移动的路程为x．
（1）当时，求的长；
（2）当时，求x的值；
（3）用含x的式子表示的长；
（4）已知点P从点M到点B再到点N共用时20秒，若，请直接写出点K在线段上（包括端点）的总时长．
11．（2023·石家庄模拟）如图1，正方形与正方形有公共点，点，分别在，上，点在正方形的对角线上．将正方形绕点逆时针方向旋转，旋转角为（）．
（1）当时， ；
（2）如图2，当时，连接，，是否为定值？请说明理由；
（3）若，，当，，三点共线时，求的长度．
12．（2023·交城模拟）综合与实践
问题情境
如图1，已知线段，射线，射线，点D在射线上沿着的方向运动，过点D作交于点C，点E是的中点，连接，将沿着BE折叠，点A的对应点为点F，连接．
（1）探究展示：当时，求的值；
（2）如图2，延长交于点G，当点G恰好是中点时，求证：四边形是正方形；
（3）拓展探究：在图2中，若，直接写出的长度．
13．（2023·包头模拟）
（1）问题提出
如图①，在矩形的边上找一点E，将矩形沿直线折叠，点C的对应点为，再在上找一点F，将矩形沿直线折叠，使点A的对应点落在上则 ．
（2）问题探究
如图②在矩形中，，，点P是矩形边上一点，连接，将、分别沿翻折，得到、，当P、、三点共线时，则称P为边上的“优叠点”，求此时的长度．
（3）问题解决
如图③，矩形位于平面直角坐标系中，，．点A在标原点，B，D分别在x轴与y轴上，点E和点F分别是和边上的动点，运动过程中始终保持．当点P是边上唯一的“优叠点”时，连接交于点M，连接交于点N，请问是否能取得最大值？如果能，请确定此时点M的位置（即求出点M的坐标）及四边形的面积，若不能，请说明理由．
14．（2023·宽城模拟）如图，是的对角线，，，．动点从点出发，以的速度沿运动到终点，同时动点从点出发，沿折线运动到终点，在、上分别以、的速度运动，过点作，交射线于点，连结；以与为边作，设点的运动时间为，与重叠部分图形的面积为．
（1） （用含的代数式表示）．
（2）当点落在边上时，求的值．
（3）当点在线段上运动时，为何值时，有最大值？最大值是多少？
（4）连结，当与的一边平行时，直接写出的值．
15．（2023·阿城模拟）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点A，四边形是平行四边形，边与y轴交于点E．
（1）求点A的坐标；
（2）如图1，过B作的垂线交y轴负半轴于点D，，设点B的横坐标为t，长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接，当以的长为三边长构成的三角形面积是8时，在上取中点F，在上取点N，将射线绕点F顺时针旋转交x轴正半轴于点M，连接，若的周长为6，直线经过点N，求k的值．
16．（2023·温州模拟）如图1，在矩形中，，.P，Q分别是，上的动点，且满足，E是射线上一点，，设，.
（1）求y关于x的函数表达式.
（2）当中有一条边与垂直时，求的长.
（3）如图2，当点Q运动到点C时，点P运动到点F.连结，以，为边作.
①当所在直线经过点D时，求的面积；
②当点G在的内部（不含边界）时，直接写出x的取值范围.
17．（2023·秀洲模拟）如图，在中，，点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向向点A运动，同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向向点C运动.当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.连接，在射线上截取，以为邻边作菱形，设运动时间为t秒.
（1）当时，求菱形的面积.
（2）当的面积为菱形面积的时，求t的值.
（3）作点B关于直线的对称点.
①当时，求线段的长.
②当点落在菱形的边上时，请直接写出的值.
18．（2023·宁波模拟）如图
【证明体验】
如图1，四边形和四边形都是菱形，，点，点分别在边，上，点在菱形内部，将菱形绕点旋转一定的角度，点，始终在菱形的内部.
（1）图2，求证：≌.
（2）【思考探究】
如图3，点，分别在，延长线上，连接并延长与的平分线交于点，连接并延长与的平分线交于连接，，，.
求证：∽；
若，，则线段的长度为▲ ，线段的长为▲ .
菱形绕点旋转度，，是等腰三角形，线段的长为.
19．（2023·宁波模拟）如图1，菱形的边长为，，，分别在边，上，，，点从点出发，沿折线以的速度向点匀速运动不与点 C重合 ；的外接圆与相交于点，连接交于点设点的运动时间为ts.
（1） ；
（2）若与相切，
判断与的位置关系；
求的长；
（3）如图3，当点在上运动时，求的最大值，并判断此时与的位置关系；
（4）若点在的内部，直接写出的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】（1）AE=BF
（2）解：过点O作交AD于点M，交BC于点N，作交AB于点T，交CD于点R，如图，
∵点O是正方形ABCD的中心，
∴
又∠A=90°
∴四边形ATOM是正方形，
∴
同（1）可证△
∴
（3）解：∵四边形均为正方形，
∴∠
∵CG在CD上，
∴
又CE在BC的延长线上，
∴
设则
在中，
在中，
延长AD，CE交于点Q，则四边形是矩形，
∴
∴，
在中，
若△为直角三角形，则有，
即
整理得，
解得，
∴或
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠
∵是对角线，
∴∠，
∴∠，
∵四边形是正方形，
∴∠，
∴∠
又∠
∴，
∴
∴
故答案为： AE=BF
【分析】（1）利用ASA判断出，即可得答案；
（2）过点O作交AD于点M，交BC于点N，作交AB于点T，交CD于点R， 证明四边形ATOM是正方形， 同（1）可证△则；
（3）根据正方形的性质可得设则根据勾股定理可得， 延长AD，CE交于点Q，则四边形是矩形，，在中，若△为直角三角形，则有即解之可得答案。
2．【答案】（1）解：，解得，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴点C坐标为；
（2）解：当时，，
当时，过点A作交CB的延长线于点F，如图，
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：存在点P，使是等腰三角形，理由如下：
根据题意得：当点P在CD上运动时，可能是等腰三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠BAD，BC=AD=5，
∴，
∵点M为BC的中点，
∴，
当CP=PM时，过点M作MF⊥PC于点F，
∴，
设PC=PM=a，则PD=7-a，，
∵PF2+FM2=PM2，
∴，解得：，
∴，
∴此时点P；
当时，
∴，
∴此时点P；
当PM=CM时，过点M作MG⊥PC于点G，则，
∴，
∴PD=7-PC=4，
∴此时点P；
综上所述，存在点P或或，使是等腰三角形
【知识点】因式分解法解一元二次方程；分段函数；等腰三角形的判定；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）先利用一元二次方程求出，，再结合求出，根据平行四边形的性质求出，即可得到点C的坐标；
（2）分两种情况：①当时，②当时，分别利用三角形的面积公式求出函数解析式即可得到答案；
（3）分类讨论：①当CP=PM时，过点M作MF⊥PC于点F，②当时，③当PM=CM时，过点M作MG⊥PC于点G，则，分别画出图象并求解即可。
3．【答案】（1）①证明：如图，连接AC交BD于O，
∵平行四边形，
∴OA=OC，
∵AE=CE，OE=OE，
∴△AOE≌△COE（SSS），
∴∠AOE=∠COE，
∵∠AOE+∠COE=180°，
∴∠COE=90°，
∴AC⊥BD，
∵平行四边形，
∴四边形是菱形；
②∵OA=OC，
∴OB是△ABC的中线，
∵为中点，
∴AP是△ABC的中线，
∴点E是△ABC的重心，
∴BE=2OE，
设OE=x，则BE=2x，
在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2，
在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-（3x）2=25-9x2，
∴9-x2=25-9x2，
解得：x=，
∴OB=3x=3，
∵平行四边形，
∴BD=2OB=6；
（2）解：如图，
∵⊙A与⊙B相交于E、F，
∴AB⊥EF，
由（1）②知点E是△ABC的重心，
又在直线上，
∴CG是△ABC的中线，
∴AG=BG=AB，GE=CE，
∵CE=AE，
∴GE=AE，CG=CE+GE=AE，
在Rt△AGE中，由勾股定理，得
AG2=AE2-GE2=AE2-（AE）2=AE2，
∴AG=AE，
∴AB=2AG=AE，
在Rt△BGC中，由勾股定理，得
BC2=BG2+CG2=AE2+（AE）2=5AE2，
∴BC=AE，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）①先求出 △AOE≌△COE（SSS）， 再证明即可；
②先求出 BE=2OE， 再利用勾股定理计算求解即可；
（2）根据题意先求出 CG是△ABC的中线， 再利用勾股定理计算求解即可。
4．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝DC，AB CD，
∴∠BDC＝∠CBD，∠BDC＝∠ABD，
∴∠CBD＝∠ABD＝ ∠ABC，
∵ 平分 交 于点G，
∴∠CBG＝∠EBG＝ ∠CBE，
∴∠CBD＋∠CBG＝ （∠ABC＋∠CBE）＝ ×180°＝90°，
∴∠DBG＝90°；
（2）解：①如图1，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，
∴OD＝ BD＝3，AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
在Rt△DOC中，OC＝ ，
∴AC＝2OC＝8，
∴ ，
即菱形 的面积是24．
②如图2，连接AC，分别交BD、DE于点O、H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵∠DBG＝90°
∴BG⊥BD，
∴BG AC，
∴ ，
∴DH＝HG，DG＝2DH，
∵DG＝2GE，
∴EG＝DH＝HG，
∴ ，
∵AB CD，
∴∠DCH＝EAH，∠CDH＝∠AEH，
∴△CDH∽△AEH，
∴ ，
∴CH＝ AC＝ ，
∴OH＝OC－CH＝4－ ＝ ，
∴tan∠BDE＝ ；
（3）解：如图3，过点G作GT BC交AE于点T，此时ET＝ ．
理由如下：由题（1）可知，当∠DAB的大小发生变化时，始终有BG AC，
∴△BGE∽△AHE，
∴ ，
∵AB＝BE＝5，
∴EG＝GH，
同理可得，△DOH∽△DBG，
∴ ，
∵BO＝DO，
∴DH＝GH＝EG，
∵GT BC，
∴GT AD，
∴△EGT∽△EDA，
∴ ，
∵AD＝AB＝5，
∴GT＝ ，为定值，
此时ET＝ AE＝ （AB＋BE）＝ ．
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；四边形的综合
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质可证得BC=DC，AB∥CD，利用平行线的性质和等腰三角形的性质可证得∠BDC=∠CBD，∠BDC=∠ABD，从而可推出∠CBD＝∠ABD＝ ∠ABC；再利用角平分线的定义可证得∠CBG=∠EBG=∠CBE，由此可求出∠DBG的度数.
（2）①连接AC交BD于点O，利用菱形的性质可求出OD的长，同时可证得AC⊥BD，利用垂直的定义可证得∠DOC=90°；利用勾股定理求出OC的长，即可得到AC的长；然后利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，可求出菱形ABCD的面积；
②连接AC，分别交BD、DE于点O、H，利用菱形的对角线互相垂直，去证明BG∥AC，利用平行线分线段成比例定理可求出DH与DG的比值，可得到DH＝HG，DG＝2DH，同时可求出DH和EH的比值；再证明△CDH∽△AEH，利用相似三角形的对应边成比例可求出CH的长，利用HO=OC-CH，可求出HO的长；然后利用锐角三角函数的定义求出tan∠DBE的值.
（3）过点G作GT∥BC交AE于点T，一组△BGE∽△AHE，利用相似三角形的对应边成比例，可证得EG=GH；同理可证得△DOH∽△DBG，可推出DH＝GH＝EG；利用GT∥AD，可证得△EGT∽△EDA，利用相似三角形的对应边成比例，可求出GT的长；然后求出ET的长.
5．【答案】（1）解：∵DE=2，
∴AE＝AB＝6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴∠AEB＝∠ABE＝45°．
由对称性知∠BEM＝45°，
∴∠AEM＝90°
（2）解：如图1，∵AB=6，AD=8，
∴BD=10，
∵当N落在BC延长线上时，BN＝BD＝10，
∴CN＝2．
由对称性得，∠ENC＝∠BDC，
∴cos∠ENC＝ ，
得EN＝ ，
∴DE＝EN＝ ．
直线MN与直线BD的位置关系是MN∥BD．
由对称性知BM＝AB＝CD，MN＝AD＝BC，
∴△BMN≌△DCB，
∴∠DBC＝∠BNM，
所以MN∥BD．
（3）解：①情况1：如图2，当E在边AD上时，由直线MN过点C，
∴∠BMC＝90°，
∴MC＝ ．
∵BM＝AB＝CD，∠DEC＝∠BCE，
∴△BCM≌△CED，
∴DE＝MC＝ ．
②情形2：如图3，点E在边CD上时，
∵BM＝6，BC＝8，
∴MC＝ ，CN＝8- ．
由∠BMC＝∠CNE＝∠BCD＝90°，
∴△BMC∽△CNE，
∴ ，
∴EN ，
∴DE＝EN＝ ．
综上所述，DE的长为 或 ．
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可知AD=8，由DE的长求出AE的长，可证得AE=AB，利用等边对等角可证得∠AEB＝∠ABE＝45°，再利用轴对称的性质可得到∠BEM的度数，从而可求出∠AEM的度数.
（2）利用勾股定理求出BD的长，当N落在BC延长线上时，BN＝BD＝10，即可求出CN的长；利用对称性可知∠ENC＝∠BDC，利用解直角三角形求出EN的长，即可得到DE的长；利用对称性可知BM＝AB＝CD，MN＝AD＝BC，可推出△BMN≌△DCB，利用全等三角形的性质可证得∠DBC=∠BNM，由此可证得结论.
（3）分情况讨论：当E在边AD上时，由直线MN过点C，利用勾股定理求出MC的长；再证明△BCM≌△CED，利用全等三角形的对应边相等，可求出DE的长；点E在边CD上时，利用BM，BC的长，可得到MC，CN的长；再证明△BMC∽△CNE，利用相似三角形的对应边成比例可求出EN的长，即可得到DE的长；综上所述可得到DE的长.
6．【答案】（1）解：由题意，得AE=BE=2，
∵AE=2BF，
∴BF=1，
由勾股定理，得EF2=BE2+BF2=5，
∴正方形EFGH的面积为5.
（2）①证明：由题意，知∠KAE=∠B=90°，
∴∠EFB+∠FEB=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠HEF=90°，
∴∠KEA+∠FEB=90°，
∴∠KEA=∠CEFB，
∴△KEA∽△EFB，
∴ =2．
∴EK=2EF=2EH．
②解：由①得HK=GF，
又∵∠KHI=∠FGJ=90°，∠KIH=∠FJG，
∴△KHI≌△FGJ．
∴△KHI的面积为S1．
由题意，知△KHI∽△KAE，
∴ =4sin2α，
∴ =4sin2α-1．
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；三角形全等的判定（AAS）；四边形的综合
【解析】【分析】（1）当点E与点M重合时，可求出AE，BE的长，利用AE=2BF，可求出BF的长；然后利用勾股定理求出EF2，即可得到正方形EFGH的面积.
（2）①利用已知和正方形的性质可证得∠KAE=∠B=90°，∠KEA+∠FEB=90°，利用余角的性质可证得∠KEA=∠CEFB，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△KEA∽△EFB，利用相似三角形的对应边成比例可证得结论；
②由①得HK=GF，利用AAS证明△KHI≌△FGJ；然后证明△KHI∽△KAE，由此可证得 =4sin2α，即可证得结论.
7．【答案】（1）证明：如图1，
∵菱形ABCD，
∴BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA.
∵FG∥BC，
∴∠FGA=∠BCA，
∴∠BAC=∠FGA，
∴FA=FG.
（2）解：记AC中点为点O.
①当点E在BC上时，如图2，过点A作AM⊥BC于点M，
∵在Rt△ABM中，AM= AB=6，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴AF=ME=1，
∴AG=AF+FG=1+6=7.
②当点E在CD上时，如图3，过点A作AN⊥CD于点N.
同理，FG=EF=AN=6，CN=2，
AF=NE= CN=1，
∴AG=FG-AF=6-1=5
∴AG=7或5.
（3）解：过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥CD于点N.
①当点E在线段BM上时，0i)若点H在点C的左侧，s+8≤10，即0CH=BC-BH=10-(4x+8)=2-4x
由 ，得 ，
即 ，
∴ ，解得 ，
∴.s=4x=1
由 ，得 ，即 ，
∴ ，解得 ，
∴ .
ii)若点H在点C的右侧， ，即 ，如图5，
.
由 ，得 ，
即 ，
∴ ，方程无解.
由 ，得 ，即 ，
∴ ，解得 ，
∴
②当点E在线段MC上时，8EF=6，EH=8，BE=s.
∴BH=BE+EH=s＋8，CH=BH-BC=s-2.
由 ，得 ，即 ，
∴ ，方程无解.
由 ，得 ，即 ，
∴ ，解得 (舍去).
③当点E在线段CN上时，10≤s≤12，如图7，过点C作CJ⊥AB于点J，
在Rt△BJC中，BC=10，CJ=6，BJ=8.
∵EH=BJ=8，JF=CE，
∴BJ+JF=EH+CE，即CH=BF，
又∵GH=EF，∠GHC=∠EFB=90°，
∴△GHC≌△EFB，符合题意，
此时，10≤s≤12.
④当点E在线段ND上时，12∵∠EFB>90°，
∴△GHC与△BEF不相似.
综上所述，s满足的条件为：s=1或 或 或10≤s≤12
【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据菱形性质得BA=BC，∠BAC=∠BCA，再由平行线性质得∠FGA=∠BCA，从而得到∠BAC=∠FGA， 进而证出FA=FG；
（2）分两种情况：①当点E在BC上时，过点A作AM⊥BC于点M，利用勾股定理求得BM=8，进而求出FG=EF=AM=6，CM=2，由三角形中位线性质求出CE=ME=1，则AF=1，再由AG=AF+FG即可求出AG的长；②当点E在CD上时，过点A作AN⊥CD于点N，同①中方法求出FG=EF=AN=6，CN=2，AF=NE=CN=1，再由AG=FG-AF即可求出AG的长；
（3）过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥CD于点N，分四种情况：①当点E在线段BM上，090°，所以△GHC与△BEF不相似. 综上可得出满足的条件.
8．【答案】（1）解：①由旋转的性质知．
在中，，，
．
∵四边形为矩形，
，
；
②∵将矩形绕点B顺时针旋转得到矩形，
，，，
．
在和中，
，
∴；
（2）解：由旋转的性质可知，．
在中，，，，
，
（负值舍去），
在中，，
即，故（负值舍去），
，
，，
，
，
；
（3）9
【知识点】矩形的判定；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】（3）解：∵四边形是矩形，
，，
，
，
．
当点P到线段的距离h最小时，面积有最小值，
此时，点在上，且，
距离h的最小值为，
面积的最小值为，
故答案为：9．
【分析】（1） ①由旋转的性质知．利用勾股定理可得．
由四边形为矩形可得，则； ②由旋转的性质知
，，，则，根据AAS可证
；
（2） 由旋转的性质可知，，利用勾股定理可得，
，，证明，根据相似三角形的性质可得，则；
（3）由四边形是矩形可得，，利用勾股定理可得，．根据题意可知当点P到线段的距离h最小时，面积有最小值，则点在上，且，距离h的最小值为，利用三角形面积公式可得答案。
9．【答案】（1）证明：，，（图1）
，
，
（2）解：设，则（图2）
∵四边形ABCD是矩形
，
，
，即
，（舍）
（3）解：连结BD交AC于点O，作于H（图3），
∵四边形ABCD是菱形，
，，∴OD：OC：CD＝3：4：5
，
，，
，
，
，，∴H是AO的中点，
，，，∴E是AD的中点，，，
，，
，，
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠ABC=∠DCE=90°，利用余角的性质可证得∠A=∠CDE，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△DCE，利用相似三角形的性质，可证得结论.
（2）设CE=EF=x，可表示出BE的长，利用矩形的性质可证得∠B=∠C=90°，利用垂直的定义和余角的性质可证得∠BAE=∠DFC，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABE∽△FCD，利用相似三角形的性质可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值，然后求出AE与DF的比值.
（3）连结BD交AC于点O，作EH⊥AC于点H，利用菱形的性质，可证得AC⊥BD，利用解直角三角形求出OD，OC的长；再利用垂直的定义和余角的性质可证得∠CEH=∠OFD，可证△DFO∽△CFH，利用相似三角形的性质可求出OH的长，利用点H和点E分别为AO，AD的中点，可求出EH，OF的长，即可得到CF，AF的长；再证明△AGF∽△CDF，利用相似三角形的性质，可求出AG的长，根据BG=AB-AG，可求出BG的长.
10．【答案】（1）解：，，，
，
；
（2）解：，
，
，
，
；
（3）解：①当点P在上时，此时，
由题意可知，，，
；
②当点P在上时，此时，
，，
，
，，
，
，
，
，，，
，
当时，点Q在点E上方，
，
当时，点Q在点E下方，
，
综上可知，的长为；
（4）解：总时间＝．
【知识点】相似三角形的判定与性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：(4)由题意可知，点P移动的总路程为10，时间为20秒，
点P速度为单位长度/秒，
点Q速度为长度单位/秒，
①当点P在上，点E与点K重合时，此时，
运动时间为（秒），
②当点P在上时，设，则，
，
，
，
当点E运动到K时，，
解得：或；
当点Q运动到K时，（秒），
当时，即，
，
点Q先到达K点，此前点E在K点下方，
（秒），
当时，此时点E在K的上方，Q在K下方，
（秒），
总时间＝．
【分析】（1）先利用线段的和差求出，再将x=5代入计算即可；
（2）先求出，再利用线段的和差求出即可；
（3）分类讨论： ①当点P在上时，此时，②当点P在上时，此时， 再分别求解即可；
（4）分类讨论，再利用相似三角形的判定方法和性质求解即可。
11．【答案】（1）
（2）解：是为定值，理由如下：
当时，连接，如图，
在正方形中，即有，，
同理：在正方形中，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
即是为定值；
（3）解：当时，点，，三点共线时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据（2）可知：，
∴；
当时，点，，三点共线时，如图，
连接，
由（2）可得：，即，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上：长度为或者．
【知识点】四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【解答】（1）当时，如图1所示，
在正方形中，即有，
∴，
同理在正方形中，可得，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）利用正方形的性质求出，再求出，最后求解即可；
（2）利用正方形的性质求出 ， 再利用相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，利用相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理计算求解即可。
12．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴是矩形，
∴，，，
∵点E是的中点，
∴，
又∵
∴
∴
由翻折可得：，，
又∵
∴
∴
∵
∴为等边三角形，
∴
在中
，
（2）证明：由（1）可知四边形是平行四边形
∴
∵点G为的中点
∴
由折叠可知：
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵E为的中点
∴
∴
∴
∴
∴四边形为正方形
（3）解：过F点作交，于点P，Q，
则为矩形，
∴，
在中，
，
又∵，
即
解得：，
∴，
又∵
∴，
∴，
即，
在中，
．
【知识点】四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）先证出为等边三角形，可得，再求出即可；
（2）先证出，可得，再结合 ，可得，求出，证出，即可证出四边形为正方形；
（3）过F点作交，于点P，Q，根据，可得，求出，再结合，求出，，可得，最后利用勾股定理求出即可。
13．【答案】（1）45°
（2）解：如图②中，四边形为矩形，，又，
设，则．
由翻折的性质可知，．
∴，
∵．
∴，，
∴．
∴，
∴，
∴，
解得或8，
经检验，或8，都是原方程的解，
∴或8；
（3）解：如图③中，以为直径作，当与相切于点P时，点P是边上唯一的“优叠点”，此时，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
在中，∵，，
∴为定值，
∴要使取得最大值，则必需取得最小值；
∴过点P作于点Q，取的中点K，连接，则，
∴．
∴最小时，的值最小，
∵，
∴与重合时．的值最小，此时如图④，
∴在和中，，
∴．
∴，
∴，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
∴的最大值为；
∴此时为等腰直角三角形，
∴过点M作于点G，过点N作于点H，则，
∴，，
∴设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
过点M作于点L，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴四边形．
【知识点】圆的综合题；解直角三角形；四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）由折叠的性质知，，，
∴，
故答案为：45°；
【分析】（1）根据折叠的性质计算求解即可；
（2）先求出 ，再利用相似三角形的判定与性质证明求解即可；
（3）先求出 ， 再利用锐角三角函数和相似三角形的性质求解即可。
14．【答案】（1）10-5t
（2）解：如图1，点落在边上，则，，
，
，
，
，
，
（3）解：当点在线段上运动时，＜，
如图，与重叠部分图形是五边形，
则，，，
，
∴，
∴，
，
；
时，
∴时，有最大值．
（4）解：的值为秒或秒或2秒．
【知识点】相似三角形的判定与性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】（1）由题意得：，
，
，
故答案为：（10-5t）；
(4)①当时，如图3，
，
，，
，
，
即，；
②当时，如图4，延长交于，则，则，
，
，，
③如图5，当与重合，与重合时，，
此时，，是的中点，
在直线上，
，
综上所述，的值为秒或秒或2秒．
【分析】（1）利用线段的和差求出即可；
（2）点落在边上，则，，先证出，可得，将数据代入可得，最后求出t的值即可；
（3）根据，可得，再求出，最后利用二次函数的性质求解即可；
（4）分类讨论：①当时，②当时，③当与重合，与重合时，再分别画出图象并求解即可。
15．【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图，∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵点B的横坐标为t，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，过O作，过C作相交于点H，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∵，
∴∠BOH＝∠BOE＋∠EOH＝90°，
∴为直角三角形，
∵以的长为三边长构成的三角形面积是8，
∴的面积为8，
∵，， ，
∴，
∴，（舍去），
∴，
连接过F作交y轴于K，
∵F为中点，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵的周长为6，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵直线经过点N，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；四边形的综合
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再求出x=-6，最后求点的坐标即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后利用全等三角形的性质求解即可；
（3）先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
16．【答案】（1）解：在矩形中，.
∵，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
（2）解：（ⅰ）当时，
∵，
∴.
∵，
∴，
解得，即.
（ⅱ）当时，
延长交于点H.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴是等边三角形.
∴，
∴.
在中，，
在中，，
∴，即，解得，即.
（ⅲ）
∵，
∴，
综上，的值为或2；
∴不可能垂直于.
（3）解：
当时，，即，
∴.
①在中，，
∴，即，
解得，
∴.
过点Q作，则.
∴.
②
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；平行线分线段成比例；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（3）②.
提示：当点G落在边上时，
∵，
∴，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
∴，即，
解得.
当点G落在边上时，
作交于点N，作于点M，
则，
∴.
易证，
∴，即，解得，
∴.
【分析】（1）根据矩形的性质可得CD=AB=4，由含30°角的直角三角形的性质可得AC=2AB=8，则CP=8-y，然后由就可得到y与x的关系式；
（2）当PQ⊥AC时，CQ=4-x，CP=8-y，根据三角函数的概念可得x；当QE⊥AC时，延长EQ交AC于点H，根据平行线的性质可得∠CAD=∠ACB=30°，则∠ACD=60°，推出△KPC为等边三角形，得到KC=CP=8-y=x，则DK=4-x，接下来在Rt△DEK、Rt△DEQ中，根据勾股定理可得DE，据此可得x的值；当∠AEP=∠CAD=30°，∠APE=120°，PE不可能垂直于AC，据此解答；
（3）①当x=4时，y=，即AF=，CF=8-AF=，根据平行线分线段成比例的性质可得x的值，然后求出CQ、PF，过Q作QH⊥PC，求出QH的值，然后根据三角形的面积公式进行计算；
②当点G落在AB边上时，根据平行线的性质可得∠GFP=∠QPF，∠BAC=∠DCA，利用AAS证明△AFG≌△CQP，得到AF=CP，代入求解可得x的值；当点G落在BC边上时，作QN∥AD交AC于点N，作NM⊥AD于点M，则MN=DQ=x，AN=2x，NF=-2x，同理证明△QNF≌△GCP，得到NF=CP，代入求出x的值，据此可得x的范围.
17．【答案】（1）解：由题意得，，则，
∴当时，，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴；
（2）解：如图2所示，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①如图3，连接，延长交于点D，
∵点与点B关于直线对称，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴；
【知识点】勾股定理；菱形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（3）②如图4所示，当点落在边上，延长交于点D，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，S
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图5，点落在边上，延长交于点D，则，，
∵，且，
∴，
∴，
综上所述，的值为或.
【分析】（1）由题意可得：PC=2t，BQ=t，则CQ=6-t，当t=3时，PC=6，CQ=3，根据菱形的性质以及勾股定理可得PM、PQ的值，然后根据菱形的面积公式进行计算；
（2）连接QM，根据菱形的性质可得S△PQM=S△NQM=S菱形PQNM，结合题意可得S△PCQ=S△PQM=S△MCQ，结合三角形的面积公式可得PQ=PM=2CP，由勾股定理可得CQ=CP，代入求解可得t的值；
（3）①连接QB′，延长PQ交BB′于点D，根据轴对称的性质可得PQ垂直平分BB′，则BD=B′D，BQ=B′Q，结合等腰三角形的性质可得∠BQD=∠B′QD，由已知条件可知∠BQB′=2∠ABC，则∠BQD=∠ABC，推出PQ∥BC，根据平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△PQC∽△ABC，由相似三角形的性质可得t的值，由勾股定理可得AB的值，然后根据三角函数的概念进行计算；
②当点B′落在QN边上，延长PQ交BB′于点D，根据平行线的性质可得∠BQB′=∠QCM=90°，进而得到∠CPQ=∠CQP=∠BQD=45°，推出PC=QC，代入求出t的值，据此解答；点B′落在MN边上，延长PQ交BB′于点D，则BD=B′D，根据菱形的面积公式结合PM=MN可得CQ=B′D=BB′，据此求解.
18．【答案】（1）证明：如图2中，
四边形 和四边形 都是菱形， ，
， ， ，
在 和 中，
，
≌ ；
（2）解： 证明：如图 中，
四边形 是菱形，
， ，
， ，
， 分别平分 ， ，
，
，
，
，
，
∽ ；
②8；7
③ 或 或
【知识点】相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：（2） ② 解：如图 中，连接DB ，过点H作HM⊥BK于点M .
∽ ，
，
，
，
四边形DBMH是矩形，
， ，
，
.
故答案为：8，7；
解：如图 中，当KB=KC时，连接BD ，过点K作KJ⊥DH于点J .
， ，
， ，
， ，
， ，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
如图4-2中，当BC=BK时，四边形BDHK是正方形，KH=m .
如图4-3 中，当CB=CK时， D、C、K共线，过点H作HN⊥BK于点N .
， ，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的 的值为 或 或
故答案为： 或 或
【分析】（1）由菱形的性质得AD=AB，AG=AE，∠GAD=∠EAB，从而用SAS判断出△GAD≌△EAB；
（2）①由菱形性质得AB∥CD，AD∥BC，推出∠CBP=∠DAB=60°，∠CDQ=∠DAB=60°，由角平分线的定义得∠QDH=∠KBP=30°，由等角的补角相等得∠ADH=∠ABK=150°，然后根据三角形外角性质及角的和差推出∠AHD=∠BAK，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ADH∽△KBA；
②连接DB ，过点H作HM⊥BK于点M，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出BK，易得四边形DBMH是矩形，得BM=DH=5，DB=MH=，进而可求出MK，最后根据勾股定理算出HK；
③分类讨论：如图4—1中，当KB=KC时，连接BD ，过点K作KJ⊥DH于点J ；如图4-2中，当BC=BK时，四边形BDHK是正方形，KH=m；如图4-3 中，当CB=CK时， D、C、K共线，过点H作HN⊥BK于点N，分别利用相似三角形的性质及勾股定理求解即可.
19．【答案】（1）60
（2）解：如图，当点 运动到点 时， 与 相切，
四边形 为菱形，
，
与 相切，
与 相切；
连接 ，
由（1）可知， ，
、 分别与 相切，
，
，
弧 的长 ；
（3）解：由图可知： ，
， ，
为等边三角形，
则 ， ，
要使 取得最大值，
则 应该取最小值，
当 时， 最小，此时 取得最大值，
点 为 外接圆圆心，
，
，
，
综上： 的最大值为 ，此时 ；
（4）解： 时或
【知识点】菱形的性质；圆的综合题；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为菱形， ，
， ，
为等边三角形，
，
，
故答案为： ；
（4）①当点p在AB上时，
四边形APCE为圆的内接四边形，
，
，
，
在 和 中， ， ， ，
≌ ，
，
当点 与点 重合时， ，
，
，
当 时，点 在圆内部；
当点P在BC上运动时，
，
为等边三角形，
， ，
，
，
在 和 中， ， ， ，
≌ ，
，
当点E与点N重合时， ，
此时 ，
当点P到达点C时， ，
当 时，点N在圆内部；
综上：当 时或 时，点N在圆内部.
【分析】（1）由菱形的性质易证△ACD是等边三角形，根据同弧所对的圆周角相等即可得出∠APE的度数；
（2）①当点P运动到点B时， 圆O与AD相切，由切线长定理可证出圆O与CD相切；②连接OD，由切线长定理可得∠ADO=30°，进而根据正切函数的定义，由AO=AD×tan30°可求出AO的长，从而根据弧长计算公式可算出弧APC的长度；
（3）先判断出△ABC是等边三角形，要使CF取得最大值，则AF应该取得最小值，当AC⊥PE时，AF最小，此时CF取得最大值，进而根据余弦函数的定义，由CF=CP×cos60°即可求出答案；
（4）分类讨论：①当点p在AB上时，由圆内接四边形的性质及同角的补角相等得∠APC=∠AED，利用AAS判断出△APC≌△DEA，得AP=DE，当点E与点N重合时，DE=DN=AP=4，则MP=1cm，从而可得当0＜t＜1时，点N在圆内部；② 当点P在BC上运动时，先判断出△APE是等边三角形，再利用SAS判断出△BAP≌△CAE，得BP=CE，当点E与点N重合时，CE=CN=BP=8cm，此时t=17，点点P到达点C时，t=21，点N在圆的内部，可得17＜t＜21时，点N在圆的内部，综上即可得出答案.
1 / 1
