备考2023年中考数学压轴题训练 ——相似（2）
一、真题
1．（2022·威海）回顾：用数学的思维思考
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC．
①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．
②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（从①②两题中选择一题加以证明）
（2）猜想：用数学的眼光观察
经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：
如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并证明．
（3）探究：用数学的语言表达
如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．
2．（2022·济宁）如图，△AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂足为C，点C的坐标为（0，）．P是直线AB上在第一象限内的一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为D，交AO于点E，连接AD，作DM⊥AD交x轴于点M，交AO于点F，连接BE，BF．
（1）填空：若△AOD是等腰三角形，则点D的坐标为 ；
（2）当点P在线段AB上运动时（点P不与点A，B重合），设点M的横坐标为m．
①求m值最大时点D的坐标；
②是否存在这样的m值，使BE＝BF？若存在，求出此时的m值；若不存在，请说明理由．
3．（2022·菏泽）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将沿AC所在直线折叠，得到，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标．并求出四边形OADC的面积；
（3）点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标．
4．（2022·济南）抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式和t，k的值；
（2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
（3）如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求的最大值．
5．（2022·铜仁）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为.
（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
（3）拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值.
二、模拟预测
6．（2023·长清模拟）
（1）如图1，在中，，点，分别在边，上，且，若，，则是 ；
（2）如图2，在（1）的条件下，将绕点逆时针方向旋转一定角度，连接和，的值变化么？若变化，请说明理由；若不变化，请求出不变的值．
（3）如图，在四边形中，于点，，且，当，时，请求出线段的长度．
7．（2023·即墨模拟）如图1，在中，，，，点D，E分别是边，的中点，连接．将绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为．
（1）问题发现
①当时， ；
②当时， ；
（2）拓展探究：试判断当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
8．（2023·济南模拟）如图，在中，，E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接，点M和点N分别是边的中点．
（1）如图1，若，当点E是边的中点时， ，直线与相交所成的锐角的度数为 度．
（2）如图2，若，当点E是边上任意一点时（不与重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）若，点E在直线上运动，，若其它条件不变，过点C作，交直线于P，直接写出P到的距离 ．
9．（2023·历下模拟）
（1）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接，．请判断与的数量关系： ．
（2）【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，．请写出与的数量关系： ．
（3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接，．
①求的值；
②延长交于点F，交于点G．求的值．
10．（2023·岱岳模拟）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．
应用：
（1）如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：．
（2）如图3，在中，D是上一点，
，求点C到边的距离．
（3）如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，求 的值．
11．（2023·长春模拟）【实践操作】：
第一步：如图①，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的处，得到折痕，然后把纸片展平．
第二步：如图②，将图中的矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在处，得到折痕，交于点，交于点，再把纸片展平．
【问题解决】：
（1）如图①，四边形的形状是
（2）如图②，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由．
（3）如图②，若，，则 ，
12．（2023·济阳模拟）如图1，在中，，，点D是边的中点，连接，，以点D为顶点作，使，．
（1）连接，．线段和线段的数量关系为 ，直线和直线的位置关系为 ；
（2）如图2，当时，设与交于点G，求的长度；
（3）当E，C，B在同一条直线上时，请直接写出的长度．
13．（2023·历城模拟）
（1）【问题发现】如图1所示，和均为正三角形，B、D、E三点共线．猜想线段、之间的数量关系为 ； ；
（2）【类比探究】
如图2所示，和均为等腰直角三角形，，，，B、D、E三点共线，线段、交于点F．此时，线段、之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数；
（3）【拓展延伸】
如图3所示，在中，，，，为的中位线，将绕点A顺时针方向旋转，当所在直线经过点B时，请直接写出的长．
14．（2023·长清模拟）在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究．
（一）尝试探究：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E、F分别在线段BC、CD上，∠EAF＝30°，连接EF．
（1）如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′（A′B′与AD重合），请直接写出∠E′AF＝ 度，线段BE、EF、FD之间的数量关系为 ．
（2）如图3，当但点E、F分别在线段BC、CD的延长线上时，其他条件不变，请探究线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．
（3）拓展延伸：如图4，在等边△ABC中，E、F是边BC上的两点，∠EAF＝30°，BE＝1，将△ABE绕点A逆时针旋转60°得到△A′B′E′（A′B′与AC重合），连接EE′，AF与EE′交于点N，过点A作AM⊥BC于点M，连接MN，求线段MN的长度．
15．（2023·深圳模拟）如图
（1）如图1，中，，E是上一点，，垂足为D，求的长．
（2）类比探究：如图2，中，，点D，E分别在线段上，．求的长．
（3）拓展延伸：如图3，中，点D，点E分别在线段上，．延长交于点F，， ； ．
16．（2023·宽城模拟）如图
（1）如图，和是等腰直角三角形，，点在上，点在线段延长线上，连接，．线段与的数量关系为 ．
（2）如图2，将图1中的绕点顺时针旋转第一问的结论是否仍然成立；如果成立，证明你的结论，若不成立，说明理由．
（3）如图3，若，点是线段外一动点，，连接，若将绕点逆时针旋转90°得到，连接，则的最大值是 ．
17．（2023·德惠模拟）已知是的中线，点E是线段上一点，过点E作的平行线，过点B作的平行线，两平行线交于点F，连结．
【方法感知】如图①，当点E与点D重合时，易证：．（不需证明）
（1）【探究应用】如图②，当点E与点D不重合时，求证：四边形是平行四边形．
（2）【拓展延伸】如图③，记与的交点为G，的延长线与的交点为N，且N为的中点．
．
（3）若，时，则的长为 ．
18．（2023·立山模拟）在中，，点分别是的中点，点是射线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，连接．
（1）如图①，当点与点重合时，线段与的数量关系是 ， °；
（2）如图②当点在射线上运动时（不与点重合），求的值；
（3）连接，当是等边三角形时，请直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：①如图1，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD，CE是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠ABC，∠ACE =∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
②如图1，∵AB=AC，点D，E分别是边AC，AB的中点，
∴AE=AD，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
（2）解：添加条件CD=BE，证明如下：
∵AB=AC，CD=BE，
∴AC+CD=AB+BE，
∴AD=AE，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
（3）能.
在AC上取一点D，使得BD=CE，根据BF=CE，得到BD=BF，
当BD=BF=BA时，E与A重合，
∵∠A＝36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，∠A=∠BFA=36°，
∴∠ABF=∠BCF=108°，∠BFC=∠AFB，
∴△CBF∽△BAF，
∴，
∵AB＝AC＝2=BF， 设CF=x，
∴，
整理，得，
解得x=，x=（舍去），
故CF= x=，
∴0＜CF＜．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）①通过证明△ABD≌△ACE，即可得到BD=CE；
②方法同①，通过证明△ABD≌△ACE，即可得到BD=CE；
（2）添加条件CD=BE，再通过证明△ABD≌△ACE，即可得到BD=CE；
（3）在AC上取一点D，使得BD=CE，根据BF=CE，得到BD=BF，先证明△CBF∽△BAF，可得，再设CF=x，可得，整理得到，求出x的值，即可得到答案。
2．【答案】（1）或（0，2）
（2）解：①设点D的坐标为（0，a），则OD＝a，CD＝－a，∵△AOB是等边三角形，∴，∴，在RtΔAOC中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即：，∴，∴当时，m的最大值为；∴m的最大值为时，点D坐标为；②存在这样的m值，使BE＝BF；作FH⊥y轴于点H，∴AC∥PD∥FH∥x轴，
∴，，，，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，设，则，，∵，，∴，∴，∴，解得： 或 ，当时，点P与点A重合，不合题意，舍去，当时， ，存在这样的m值，使BE＝BF．此时 ．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【解答】（1）∵△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AOC=30°，∵AC⊥y轴，点C的坐标为（0，），∴OC=，∴，当△AOD是等腰三角形，OD=AD，∠DAO=∠DOA=30°，∴∠CDA=60°，∴，∴，∴D的坐标为，当△AOD是等腰三角形，此时OA=OD时，，∴OD=OA=2，∴点D坐标为（0，2），故答案为：或（0，2）；
【分析】（1）先求出∠AOB=60°，再分类讨论，利用等腰三角形的性质求解即可；
（2）①利用锐角三角函数，相似三角形的判定与性质计算求解即可；
②结合函数图象，利用相似三角形的判定与性质求解即可。
3．【答案】（1）解：将，，代入抛物线，得
，解得，
所以，抛物线的表达式为；
（2）解：如图，过点D作DE⊥x轴于E，
，
∵，，，
，
，
为直角三角形且，
将沿AC所在直线折叠，得到，点B的对应点为D，
此时，点B、C、D三点共线，BC=DC，，
，
，
，
，
，
∴四边形OADC的面积
；
（3）解：当点P在x轴上方时，
∵，
∴轴，
点P的纵坐标为4，即，
解得或0（舍去）
；
当点P在x轴下方时，设直线CP交x轴于F，
∵，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
∴设直线CF的解析式为，
即，解得，
∴直线CF的解析式为，
令，解得或0（舍去），
当时，
；
综上，或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式计算求解即可；
（3）分类讨论，列方程计算求解即可。
4．【答案】（1）解：∵在抛物线上，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，（舍），
∴．
∵在直线上，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为．
（2）解：如图，作轴于点，
对于，令x=0，则y=-6，
∴点C（0，-6），即OC=6，
∵A（3，0），
∴OA=3，
∵点P的横坐标为m．
∴，
∴，，
∵∠CAP=90°，
∴，
∵，
∴，
∵∠AOC=∠AMP=90°，
∴，
∴，
∴，即，
∴（舍），，
∴，
∴点．
（3）解：如图，作轴交于点，过点作轴于点，
∵，
∴点，
∴，
∵PN⊥x轴，
∴PN∥y轴，
∴∠PNQ=∠OCB，
∵∠PQN=∠BOC=90°，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵EN⊥y轴，
∴EN∥x轴，
∴，
∴，即
∴，
∴，
∴，
∴当时，的最大值是．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质证明求解即可；
（3）先求出 ∠PNQ=∠OCB， 再利用相似三角形的判定与性质求解即可。
5．【答案】（1）解：如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，
∴，
∴，
，
∵∠DOE=∠BOF，
∴；
∴；
（2）解：中的结论成立，理由如下：
如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，
∴，
∴，
，
∵∠DOE=∠BOF，
∴；
∴；
（3）解：如图所示，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接HN，
∵，
∴∠ODC=∠OFE，∠OCD=∠OEF，
又∵OE=OC，
∴△OEF≌△OCD（AAS），
∴OD=OF，
∵，
∴△OEF∽△OAM，
∴，
设，则，
∵H是AB的中点，N是BM的中点，
∴HN是△ABM的中位线，
∴，
∴△OGF∽△OHN，
∴，
∵OG=2GH，
∴，
∴，
∴，，
∴，
由（2）可知.
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，根据三角函数的概念结合三角形的面积公式可得S1=OC·OD·sin∠DOE，S2=OA·OB·sin∠BOF，根据对顶角的性质可得∠DOE=∠BOF，则sin∠DOE=sin∠BOF，据此解答；
（2）过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，同（1）解答即可；
（3）过点A作AM∥EF交OB于M，取BM中点N，连接HN，根据平行线的性质可得∠ODC=∠OFE，∠OCD=∠OEF，证明△OEF≌△OCD，得OD=OF，证明△OEF∽△OAM，由相似三角形性质可设OE=OC=5m，OF=OD=5n，则OA=6m，OM=6n，易得HN是△ABM的中位线，则HN∥AM∥EF，证明△OGF∽△OHN，根据相似三角形的性质可得ON=，BN=，则OB=ON+BN=9n，同（2）解答即可.
6．【答案】（1）
（2）解：的值不变化，值为；理由如下：
，
，
，
，
，
；
（3）解：作于，于，于，如图3所示：
则四边形是矩形，
，，
，且，
，，
设，
在中，，
，
，，
，
，
的面积，
，
，，
，
．
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：（1），
；
故答案为：；
【分析】（1）由平行线分线段成比例定理即可得出答案；
（2）证明△ABD∽△ACE，根据相似三角形的性质可得。
（3）连接CE，由MN∥BC可得∠ANM＝∠ACB＝90°，由旋转得DE＝MN＝3，∠DAE＝∠BAC，同（2）得出△ABD∽△ACE，得出，证明△AMN∽△ABC，证出AE∥CD，得出∠CDE＝90°，由勾股定理求出CE，可得出答案．
7．【答案】（1）；
（2）解：∵旋转角相等，
∴．
∵点D，E分别是边，的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故的大小无变化．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【解答】（1）①∵，，，
∴，
∵点D，E分别是边，的中点，
∴，
∴．
故答案为：．
②∵，
画出图形如下：
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）①先利用勾股定理求出AC的长，再结合“点D，E分别是边，的中点”可得，最后求出即可；
②根据平行线分线段成比例的性质可得，再结合，，，利用勾股定理求出AC的长，最后求出即可；
（2）先证出，可得，再将数据代入求出即可。
8．【答案】（1）；60
（2）解：如图，连接，
根据题意得：，
∵，
∴，
∵点M和点N分别是边的中点．
∴，，
∴，，
∴， ，
∴，，
即，直线与相交所成的锐角的度数为；
（3）
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：，
∵，
∴，
∴，
∵点M和点N分别是边的中点．点E是边的中点
∴，
∴，，
∴，，
∴，
即当点E是边的中点时，，直线与相交所成的锐角的度数为
故答案为：，60
（3）如图， 连接，过点P作交延长线于点D，
根据题意得：，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵点M和点N分别是边的中点．
∴， ，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得∶，
∴，
即P到的距离为；
如图， 连接，过点P作交于点D，
根据题意得：，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵点M和点N分别是边的中点．
∴， ，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得∶，
∴，
即P到的距离为，
综上所述， P到的距离为．
【分析】（1）根据题意得：，根据等要三角形的性质可得，，可证，，根据相似三角形的性质可得，即当点E是边的中点时，，直线与相交所成的锐角的度数为；
（2）连接，过点P作交延长线于点D，根据题意得：，根据等边三角形的性质可证， 再证，，求出PC，再根据求出PD。
9．【答案】（1）
（2）
（3）解：①∵，，
∴，
∴，即，
∴，
设，在中，，
同理，在中，设，则，
∴，，即，
∴，
∴；
②由①得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴在，中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）结论：或，理由如下，
∵和都是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴或，
故答案为：；
【分析】（1）根据和都是等边三角形，证明可得答案；
（2）根据和都是等腰直角三角形，，可得，证明，根据相似三角形的性质可得答案。
10．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即点C到的距离为；
（3）解：过点D作交的延长线于点M，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用“AAS”证出即可；
（2）过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E，先利用“AAS”证出，再求出即可；
（3）过点D作交的延长线于点M，先证出，再利用相似三角形的性质可得。
11．【答案】（1）正方形
（2）解：
如图1，连接，由（1）知，，
∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠知，，，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）；
【知识点】相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】（1）∵四边形是矩形，
∴，
∵将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的处，得到折痕，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形
故答案为：正方形．
（3）∵，
∴，
由折叠知，，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：
即，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图2，延长、交于点，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：；．
【分析】（1）先证出四边形是菱形，再结合，可证四边形是正方形；
（2）连接，先证出，可得，再利用等角对等边的性质可得；
（3）设，则，利用勾股定理可得，求出，再结合，求出；延长、交于点，则，先证明，可得。
12．【答案】（1）CE=BF；CE⊥BF
（2）解：∵，，
∴，
∵，∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得；
；
（3）解：的长度为或．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：延长交于点H，交于点I，
∵，，点D是边的中点，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，即；
故答案为：CE=BF，CE⊥BF
(3)在中，，
∴，，
当点E在的延长线上时，如图，
由（1）得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得(负值已舍去)；
当点E在的延长线上时，如图，
由（1）得，
∴，
∴，
同理，
∵，
∴，
解得(负值已舍去)；
综上，的长度为或．
【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质计算证明求解即可；
（2）利用勾股定理求出CE=8，再利用相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，利用全等三角形的判定与性质，勾股定理计算求解即可。
13．【答案】（1）BD=CE；60
（2）解：∵和均为等腰直角三角形，，
∴，
∴，，
∵和中，，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
、之间的数量关系是，的度数为；
（3）解：的长为或．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵和均为正三角形，
∴，，，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点B，D，E在同一直线上，
∴，
∴，
∴，
综上所述， 线段、之间的数量关系为BD=CE，，
故答案为：BD=CE，60．
（3）分两种情况：
①如图4，
∵，，，
∴，
∴，
∵为的中位线，
∴，，，，
∴，，
由旋转的性质得：，
∴，
∴，，
∵，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：或（舍去），
∴；
②如图5，
同①可得，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：或（舍去），
∴；
综上所述，的长为或．
【分析】（1）先求出，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ，， 再求出 ， 最后利用相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，利用相似三角形的性质，勾股定理计算求解即可。
14．【答案】（1）30；BE＋DF＝EF
（2）解：如图3，在BE上截取BG＝DF，连接AG，
在△ABG和△ADF中，∵AB＝AD，∠ABE＝∠ADF，BG＝DF，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，且AG＝AF，
∵∠DAF＋∠DAE＝30°，
∴∠BAG＋∠DAE＝30°，
∵∠BAD＝60°，
∴∠GAE＝60°﹣30°＝30°，
∴∠GAE＝∠FAE，
在△GAE和△FAE中，∵AG＝AF，∠GAE＝∠FAE，AE＝AE，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE＝FE，
又∵BE﹣BG＝GE，BG＝DF，
∴BE﹣DF＝EF，
即线段BE、EF、FD之间的数量关系为BE﹣DF＝EF；
（3）解：如图4，将△ABE绕点A逆时针旋转60°得到△A′B′E′，
则AE＝AE′，∠EAE′＝60°，
∴△AEE′是等边三角形，
又∵∠EAF＝30°，
∴AN平分∠EAF，
∴AN⊥EE′，
∴直角三角形ANE中，＝，
∵在等边△ABC中，AM⊥BC，
∴∠BAM＝30°，
∴＝，且∠BAE＋∠EAM＝30°，
∴，
又∵∠MAN＋∠EAM＝30°，
∴∠BAE＝∠MAN，
∴△BAE∽△MAN，
∴，即＝，
∴MN＝．
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′，
则∠1＝∠2，BE＝DE′，AE＝AE′，
∵∠BAD＝60°，∠EAF＝30°，
∴∠1＋∠3＝30°，
∴∠2＋∠3＝30°，
即∠FAE′＝30°，
∴∠EAF＝∠FAE′，
在△AEF和△AE′F中，
∵AE＝AE′，∠EAF＝∠FAE′，AF＝AF，
∴△AEF≌△AE′F（SAS），
∴EF＝E′F，
即EF＝DF＋DE′，
∴EF＝DF＋BE，
即线段BE、EF、FD之间的数量关系为BE＋DF＝EF，
故答案为：30，BE＋DF＝EF；
【分析】（1）利用旋转的性质求出∠E′AF的度数，再证出△AEF≌△AE′F（SAS），可得EF＝E′F，再结合EF＝DF＋DE′，可得BE＋DF＝EF；
（2）在BE上截取BG＝DF，连接AG，先证出△GAE≌△FAE（SAS），可得GE=FE，再结合BE﹣BG＝GE，BG＝DF，可得BE﹣DF＝EF；
（3）将△ABE绕点A逆时针旋转60°得到△A′B′E′，先证出△BAE∽△MAN，可得，即＝，再求出MN＝即可。
15．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
解得：，
故答案为：4；
（2）解：如图2，在上截取，连接，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：；
（3）；
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）过点B作于点M，过点E作于点N，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
则 ，
∴ ，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得： ，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，．
【分析】（1）先证出，可得，再将数据代入求出即可；
（2）在上截取，连接，先证出，可得，即，再求出即可；
（3）过点B作于点M，过点E作于点N，设，则，，再证出，可得，即，求出，再证出，可得。
16．【答案】（1）AD=BC
（2）解：仍然成立．
证明：∵和是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
（3）
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）在和中
，
∴，
∴；
故答案为：AD=BC．
（3）过点A作，取，连接、，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴最大值：，
故答案为：．
【分析】（1）先证出，可得；
（2）先证出，再利用全等三角形的性质可得；
（3）过点A作，取，连接、，先证出，可得，再结合，求出，可得最大值为。
17．【答案】（1）证明：如图②，延长交于点M，
∵D是的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）
（3）
【知识点】平行四边形的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】[拓展延伸]（2）
连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）连接，延长交于点M，如图，
在中，D是的中点，
∴
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵D是的中点，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1） 延长交于点M， 先证出，可得，再结合，可证出四边形是平行四边形；
（2）连接，先证出，可得；
（3）连接，延长交于点M，先证出四边形是平行四边形，可得，再求出，可得。
18．【答案】（1）；45
（2）解：如图（2）中，连接．
∵，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：的值为或．
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】（1）解：如图（1）中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：，45．
(3)当点P在点E的上方时，如图（3）中，过点P作于Q．
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，即，
由（2）可得，
∴；
当点P在点E的下方时，同理可得．
综上所述，满足条件的值为或．
【分析】（1）根据平行线的性质求出，再求出，最后求解即可；
（2）先求出 平分， 再求出 ， 最后利用相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，利用等边三角形的性质计算求解即可。
1 / 1备考2023年中考数学压轴题训练 ——相似（2）
一、真题
1．（2022·威海）回顾：用数学的思维思考
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC．
①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．
②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（从①②两题中选择一题加以证明）
（2）猜想：用数学的眼光观察
经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：
如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并证明．
（3）探究：用数学的语言表达
如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．
【答案】（1）解：①如图1，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD，CE是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠ABC，∠ACE =∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
②如图1，∵AB=AC，点D，E分别是边AC，AB的中点，
∴AE=AD，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
（2）解：添加条件CD=BE，证明如下：
∵AB=AC，CD=BE，
∴AC+CD=AB+BE，
∴AD=AE，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
（3）能.
在AC上取一点D，使得BD=CE，根据BF=CE，得到BD=BF，
当BD=BF=BA时，E与A重合，
∵∠A＝36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，∠A=∠BFA=36°，
∴∠ABF=∠BCF=108°，∠BFC=∠AFB，
∴△CBF∽△BAF，
∴，
∵AB＝AC＝2=BF， 设CF=x，
∴，
整理，得，
解得x=，x=（舍去），
故CF= x=，
∴0＜CF＜．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）①通过证明△ABD≌△ACE，即可得到BD=CE；
②方法同①，通过证明△ABD≌△ACE，即可得到BD=CE；
（2）添加条件CD=BE，再通过证明△ABD≌△ACE，即可得到BD=CE；
（3）在AC上取一点D，使得BD=CE，根据BF=CE，得到BD=BF，先证明△CBF∽△BAF，可得，再设CF=x，可得，整理得到，求出x的值，即可得到答案。
2．（2022·济宁）如图，△AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂足为C，点C的坐标为（0，）．P是直线AB上在第一象限内的一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为D，交AO于点E，连接AD，作DM⊥AD交x轴于点M，交AO于点F，连接BE，BF．
（1）填空：若△AOD是等腰三角形，则点D的坐标为 ；
（2）当点P在线段AB上运动时（点P不与点A，B重合），设点M的横坐标为m．
①求m值最大时点D的坐标；
②是否存在这样的m值，使BE＝BF？若存在，求出此时的m值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）或（0，2）
（2）解：①设点D的坐标为（0，a），则OD＝a，CD＝－a，∵△AOB是等边三角形，∴，∴，在RtΔAOC中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即：，∴，∴当时，m的最大值为；∴m的最大值为时，点D坐标为；②存在这样的m值，使BE＝BF；作FH⊥y轴于点H，∴AC∥PD∥FH∥x轴，
∴，，，，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，设，则，，∵，，∴，∴，∴，解得： 或 ，当时，点P与点A重合，不合题意，舍去，当时， ，存在这样的m值，使BE＝BF．此时 ．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【解答】（1）∵△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AOC=30°，∵AC⊥y轴，点C的坐标为（0，），∴OC=，∴，当△AOD是等腰三角形，OD=AD，∠DAO=∠DOA=30°，∴∠CDA=60°，∴，∴，∴D的坐标为，当△AOD是等腰三角形，此时OA=OD时，，∴OD=OA=2，∴点D坐标为（0，2），故答案为：或（0，2）；
【分析】（1）先求出∠AOB=60°，再分类讨论，利用等腰三角形的性质求解即可；
（2）①利用锐角三角函数，相似三角形的判定与性质计算求解即可；
②结合函数图象，利用相似三角形的判定与性质求解即可。
3．（2022·菏泽）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将沿AC所在直线折叠，得到，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标．并求出四边形OADC的面积；
（3）点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标．
【答案】（1）解：将，，代入抛物线，得
，解得，
所以，抛物线的表达式为；
（2）解：如图，过点D作DE⊥x轴于E，
，
∵，，，
，
，
为直角三角形且，
将沿AC所在直线折叠，得到，点B的对应点为D，
此时，点B、C、D三点共线，BC=DC，，
，
，
，
，
，
∴四边形OADC的面积
；
（3）解：当点P在x轴上方时，
∵，
∴轴，
点P的纵坐标为4，即，
解得或0（舍去）
；
当点P在x轴下方时，设直线CP交x轴于F，
∵，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
∴设直线CF的解析式为，
即，解得，
∴直线CF的解析式为，
令，解得或0（舍去），
当时，
；
综上，或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式计算求解即可；
（3）分类讨论，列方程计算求解即可。
4．（2022·济南）抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式和t，k的值；
（2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
（3）如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求的最大值．
【答案】（1）解：∵在抛物线上，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，（舍），
∴．
∵在直线上，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为．
（2）解：如图，作轴于点，
对于，令x=0，则y=-6，
∴点C（0，-6），即OC=6，
∵A（3，0），
∴OA=3，
∵点P的横坐标为m．
∴，
∴，，
∵∠CAP=90°，
∴，
∵，
∴，
∵∠AOC=∠AMP=90°，
∴，
∴，
∴，即，
∴（舍），，
∴，
∴点．
（3）解：如图，作轴交于点，过点作轴于点，
∵，
∴点，
∴，
∵PN⊥x轴，
∴PN∥y轴，
∴∠PNQ=∠OCB，
∵∠PQN=∠BOC=90°，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵EN⊥y轴，
∴EN∥x轴，
∴，
∴，即
∴，
∴，
∴，
∴当时，的最大值是．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质证明求解即可；
（3）先求出 ∠PNQ=∠OCB， 再利用相似三角形的判定与性质求解即可。
5．（2022·铜仁）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为.
（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
（3）拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值.
【答案】（1）解：如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，
∴，
∴，
，
∵∠DOE=∠BOF，
∴；
∴；
（2）解：中的结论成立，理由如下：
如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，
∴，
∴，
，
∵∠DOE=∠BOF，
∴；
∴；
（3）解：如图所示，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接HN，
∵，
∴∠ODC=∠OFE，∠OCD=∠OEF，
又∵OE=OC，
∴△OEF≌△OCD（AAS），
∴OD=OF，
∵，
∴△OEF∽△OAM，
∴，
设，则，
∵H是AB的中点，N是BM的中点，
∴HN是△ABM的中位线，
∴，
∴△OGF∽△OHN，
∴，
∵OG=2GH，
∴，
∴，
∴，，
∴，
由（2）可知.
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，根据三角函数的概念结合三角形的面积公式可得S1=OC·OD·sin∠DOE，S2=OA·OB·sin∠BOF，根据对顶角的性质可得∠DOE=∠BOF，则sin∠DOE=sin∠BOF，据此解答；
（2）过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，同（1）解答即可；
（3）过点A作AM∥EF交OB于M，取BM中点N，连接HN，根据平行线的性质可得∠ODC=∠OFE，∠OCD=∠OEF，证明△OEF≌△OCD，得OD=OF，证明△OEF∽△OAM，由相似三角形性质可设OE=OC=5m，OF=OD=5n，则OA=6m，OM=6n，易得HN是△ABM的中位线，则HN∥AM∥EF，证明△OGF∽△OHN，根据相似三角形的性质可得ON=，BN=，则OB=ON+BN=9n，同（2）解答即可.
二、模拟预测
6．（2023·长清模拟）
（1）如图1，在中，，点，分别在边，上，且，若，，则是 ；
（2）如图2，在（1）的条件下，将绕点逆时针方向旋转一定角度，连接和，的值变化么？若变化，请说明理由；若不变化，请求出不变的值．
（3）如图，在四边形中，于点，，且，当，时，请求出线段的长度．
【答案】（1）
（2）解：的值不变化，值为；理由如下：
，
，
，
，
，
；
（3）解：作于，于，于，如图3所示：
则四边形是矩形，
，，
，且，
，，
设，
在中，，
，
，，
，
，
的面积，
，
，，
，
．
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：（1），
；
故答案为：；
【分析】（1）由平行线分线段成比例定理即可得出答案；
（2）证明△ABD∽△ACE，根据相似三角形的性质可得。
（3）连接CE，由MN∥BC可得∠ANM＝∠ACB＝90°，由旋转得DE＝MN＝3，∠DAE＝∠BAC，同（2）得出△ABD∽△ACE，得出，证明△AMN∽△ABC，证出AE∥CD，得出∠CDE＝90°，由勾股定理求出CE，可得出答案．
7．（2023·即墨模拟）如图1，在中，，，，点D，E分别是边，的中点，连接．将绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为．
（1）问题发现
①当时， ；
②当时， ；
（2）拓展探究：试判断当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
【答案】（1）；
（2）解：∵旋转角相等，
∴．
∵点D，E分别是边，的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故的大小无变化．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【解答】（1）①∵，，，
∴，
∵点D，E分别是边，的中点，
∴，
∴．
故答案为：．
②∵，
画出图形如下：
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）①先利用勾股定理求出AC的长，再结合“点D，E分别是边，的中点”可得，最后求出即可；
②根据平行线分线段成比例的性质可得，再结合，，，利用勾股定理求出AC的长，最后求出即可；
（2）先证出，可得，再将数据代入求出即可。
8．（2023·济南模拟）如图，在中，，E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接，点M和点N分别是边的中点．
（1）如图1，若，当点E是边的中点时， ，直线与相交所成的锐角的度数为 度．
（2）如图2，若，当点E是边上任意一点时（不与重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）若，点E在直线上运动，，若其它条件不变，过点C作，交直线于P，直接写出P到的距离 ．
【答案】（1）；60
（2）解：如图，连接，
根据题意得：，
∵，
∴，
∵点M和点N分别是边的中点．
∴，，
∴，，
∴， ，
∴，，
即，直线与相交所成的锐角的度数为；
（3）
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：，
∵，
∴，
∴，
∵点M和点N分别是边的中点．点E是边的中点
∴，
∴，，
∴，，
∴，
即当点E是边的中点时，，直线与相交所成的锐角的度数为
故答案为：，60
（3）如图， 连接，过点P作交延长线于点D，
根据题意得：，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵点M和点N分别是边的中点．
∴， ，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得∶，
∴，
即P到的距离为；
如图， 连接，过点P作交于点D，
根据题意得：，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵点M和点N分别是边的中点．
∴， ，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得∶，
∴，
即P到的距离为，
综上所述， P到的距离为．
【分析】（1）根据题意得：，根据等要三角形的性质可得，，可证，，根据相似三角形的性质可得，即当点E是边的中点时，，直线与相交所成的锐角的度数为；
（2）连接，过点P作交延长线于点D，根据题意得：，根据等边三角形的性质可证， 再证，，求出PC，再根据求出PD。
9．（2023·历下模拟）
（1）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接，．请判断与的数量关系： ．
（2）【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，．请写出与的数量关系： ．
（3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接，．
①求的值；
②延长交于点F，交于点G．求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）解：①∵，，
∴，
∴，即，
∴，
设，在中，，
同理，在中，设，则，
∴，，即，
∴，
∴；
②由①得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴在，中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）结论：或，理由如下，
∵和都是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴或，
故答案为：；
【分析】（1）根据和都是等边三角形，证明可得答案；
（2）根据和都是等腰直角三角形，，可得，证明，根据相似三角形的性质可得答案。
10．（2023·岱岳模拟）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．
应用：
（1）如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：．
（2）如图3，在中，D是上一点，
，求点C到边的距离．
（3）如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，求 的值．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即点C到的距离为；
（3）解：过点D作交的延长线于点M，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用“AAS”证出即可；
（2）过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E，先利用“AAS”证出，再求出即可；
（3）过点D作交的延长线于点M，先证出，再利用相似三角形的性质可得。
11．（2023·长春模拟）【实践操作】：
第一步：如图①，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的处，得到折痕，然后把纸片展平．
第二步：如图②，将图中的矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在处，得到折痕，交于点，交于点，再把纸片展平．
【问题解决】：
（1）如图①，四边形的形状是
（2）如图②，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由．
（3）如图②，若，，则 ，
【答案】（1）正方形
（2）解：
如图1，连接，由（1）知，，
∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠知，，，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）；
【知识点】相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】（1）∵四边形是矩形，
∴，
∵将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的处，得到折痕，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形
故答案为：正方形．
（3）∵，
∴，
由折叠知，，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：
即，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图2，延长、交于点，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：；．
【分析】（1）先证出四边形是菱形，再结合，可证四边形是正方形；
（2）连接，先证出，可得，再利用等角对等边的性质可得；
（3）设，则，利用勾股定理可得，求出，再结合，求出；延长、交于点，则，先证明，可得。
12．（2023·济阳模拟）如图1，在中，，，点D是边的中点，连接，，以点D为顶点作，使，．
（1）连接，．线段和线段的数量关系为 ，直线和直线的位置关系为 ；
（2）如图2，当时，设与交于点G，求的长度；
（3）当E，C，B在同一条直线上时，请直接写出的长度．
【答案】（1）CE=BF；CE⊥BF
（2）解：∵，，
∴，
∵，∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得；
；
（3）解：的长度为或．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：延长交于点H，交于点I，
∵，，点D是边的中点，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，即；
故答案为：CE=BF，CE⊥BF
(3)在中，，
∴，，
当点E在的延长线上时，如图，
由（1）得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得(负值已舍去)；
当点E在的延长线上时，如图，
由（1）得，
∴，
∴，
同理，
∵，
∴，
解得(负值已舍去)；
综上，的长度为或．
【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质计算证明求解即可；
（2）利用勾股定理求出CE=8，再利用相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，利用全等三角形的判定与性质，勾股定理计算求解即可。
13．（2023·历城模拟）
（1）【问题发现】如图1所示，和均为正三角形，B、D、E三点共线．猜想线段、之间的数量关系为 ； ；
（2）【类比探究】
如图2所示，和均为等腰直角三角形，，，，B、D、E三点共线，线段、交于点F．此时，线段、之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数；
（3）【拓展延伸】
如图3所示，在中，，，，为的中位线，将绕点A顺时针方向旋转，当所在直线经过点B时，请直接写出的长．
【答案】（1）BD=CE；60
（2）解：∵和均为等腰直角三角形，，
∴，
∴，，
∵和中，，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
、之间的数量关系是，的度数为；
（3）解：的长为或．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵和均为正三角形，
∴，，，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点B，D，E在同一直线上，
∴，
∴，
∴，
综上所述， 线段、之间的数量关系为BD=CE，，
故答案为：BD=CE，60．
（3）分两种情况：
①如图4，
∵，，，
∴，
∴，
∵为的中位线，
∴，，，，
∴，，
由旋转的性质得：，
∴，
∴，，
∵，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：或（舍去），
∴；
②如图5，
同①可得，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：或（舍去），
∴；
综上所述，的长为或．
【分析】（1）先求出，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ，， 再求出 ， 最后利用相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，利用相似三角形的性质，勾股定理计算求解即可。
14．（2023·长清模拟）在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究．
（一）尝试探究：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E、F分别在线段BC、CD上，∠EAF＝30°，连接EF．
（1）如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′（A′B′与AD重合），请直接写出∠E′AF＝ 度，线段BE、EF、FD之间的数量关系为 ．
（2）如图3，当但点E、F分别在线段BC、CD的延长线上时，其他条件不变，请探究线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．
（3）拓展延伸：如图4，在等边△ABC中，E、F是边BC上的两点，∠EAF＝30°，BE＝1，将△ABE绕点A逆时针旋转60°得到△A′B′E′（A′B′与AC重合），连接EE′，AF与EE′交于点N，过点A作AM⊥BC于点M，连接MN，求线段MN的长度．
【答案】（1）30；BE＋DF＝EF
（2）解：如图3，在BE上截取BG＝DF，连接AG，
在△ABG和△ADF中，∵AB＝AD，∠ABE＝∠ADF，BG＝DF，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，且AG＝AF，
∵∠DAF＋∠DAE＝30°，
∴∠BAG＋∠DAE＝30°，
∵∠BAD＝60°，
∴∠GAE＝60°﹣30°＝30°，
∴∠GAE＝∠FAE，
在△GAE和△FAE中，∵AG＝AF，∠GAE＝∠FAE，AE＝AE，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE＝FE，
又∵BE﹣BG＝GE，BG＝DF，
∴BE﹣DF＝EF，
即线段BE、EF、FD之间的数量关系为BE﹣DF＝EF；
（3）解：如图4，将△ABE绕点A逆时针旋转60°得到△A′B′E′，
则AE＝AE′，∠EAE′＝60°，
∴△AEE′是等边三角形，
又∵∠EAF＝30°，
∴AN平分∠EAF，
∴AN⊥EE′，
∴直角三角形ANE中，＝，
∵在等边△ABC中，AM⊥BC，
∴∠BAM＝30°，
∴＝，且∠BAE＋∠EAM＝30°，
∴，
又∵∠MAN＋∠EAM＝30°，
∴∠BAE＝∠MAN，
∴△BAE∽△MAN，
∴，即＝，
∴MN＝．
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′，
则∠1＝∠2，BE＝DE′，AE＝AE′，
∵∠BAD＝60°，∠EAF＝30°，
∴∠1＋∠3＝30°，
∴∠2＋∠3＝30°，
即∠FAE′＝30°，
∴∠EAF＝∠FAE′，
在△AEF和△AE′F中，
∵AE＝AE′，∠EAF＝∠FAE′，AF＝AF，
∴△AEF≌△AE′F（SAS），
∴EF＝E′F，
即EF＝DF＋DE′，
∴EF＝DF＋BE，
即线段BE、EF、FD之间的数量关系为BE＋DF＝EF，
故答案为：30，BE＋DF＝EF；
【分析】（1）利用旋转的性质求出∠E′AF的度数，再证出△AEF≌△AE′F（SAS），可得EF＝E′F，再结合EF＝DF＋DE′，可得BE＋DF＝EF；
（2）在BE上截取BG＝DF，连接AG，先证出△GAE≌△FAE（SAS），可得GE=FE，再结合BE﹣BG＝GE，BG＝DF，可得BE﹣DF＝EF；
（3）将△ABE绕点A逆时针旋转60°得到△A′B′E′，先证出△BAE∽△MAN，可得，即＝，再求出MN＝即可。
15．（2023·深圳模拟）如图
（1）如图1，中，，E是上一点，，垂足为D，求的长．
（2）类比探究：如图2，中，，点D，E分别在线段上，．求的长．
（3）拓展延伸：如图3，中，点D，点E分别在线段上，．延长交于点F，， ； ．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
解得：，
故答案为：4；
（2）解：如图2，在上截取，连接，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：；
（3）；
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）过点B作于点M，过点E作于点N，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
则 ，
∴ ，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得： ，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，．
【分析】（1）先证出，可得，再将数据代入求出即可；
（2）在上截取，连接，先证出，可得，即，再求出即可；
（3）过点B作于点M，过点E作于点N，设，则，，再证出，可得，即，求出，再证出，可得。
16．（2023·宽城模拟）如图
（1）如图，和是等腰直角三角形，，点在上，点在线段延长线上，连接，．线段与的数量关系为 ．
（2）如图2，将图1中的绕点顺时针旋转第一问的结论是否仍然成立；如果成立，证明你的结论，若不成立，说明理由．
（3）如图3，若，点是线段外一动点，，连接，若将绕点逆时针旋转90°得到，连接，则的最大值是 ．
【答案】（1）AD=BC
（2）解：仍然成立．
证明：∵和是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
（3）
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）在和中
，
∴，
∴；
故答案为：AD=BC．
（3）过点A作，取，连接、，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴最大值：，
故答案为：．
【分析】（1）先证出，可得；
（2）先证出，再利用全等三角形的性质可得；
（3）过点A作，取，连接、，先证出，可得，再结合，求出，可得最大值为。
17．（2023·德惠模拟）已知是的中线，点E是线段上一点，过点E作的平行线，过点B作的平行线，两平行线交于点F，连结．
【方法感知】如图①，当点E与点D重合时，易证：．（不需证明）
（1）【探究应用】如图②，当点E与点D不重合时，求证：四边形是平行四边形．
（2）【拓展延伸】如图③，记与的交点为G，的延长线与的交点为N，且N为的中点．
．
（3）若，时，则的长为 ．
【答案】（1）证明：如图②，延长交于点M，
∵D是的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）
（3）
【知识点】平行四边形的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】[拓展延伸]（2）
连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）连接，延长交于点M，如图，
在中，D是的中点，
∴
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵D是的中点，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1） 延长交于点M， 先证出，可得，再结合，可证出四边形是平行四边形；
（2）连接，先证出，可得；
（3）连接，延长交于点M，先证出四边形是平行四边形，可得，再求出，可得。
18．（2023·立山模拟）在中，，点分别是的中点，点是射线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，连接．
（1）如图①，当点与点重合时，线段与的数量关系是 ， °；
（2）如图②当点在射线上运动时（不与点重合），求的值；
（3）连接，当是等边三角形时，请直接写出的值．
【答案】（1）；45
（2）解：如图（2）中，连接．
∵，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：的值为或．
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】（1）解：如图（1）中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：，45．
(3)当点P在点E的上方时，如图（3）中，过点P作于Q．
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，即，
由（2）可得，
∴；
当点P在点E的下方时，同理可得．
综上所述，满足条件的值为或．
【分析】（1）根据平行线的性质求出，再求出，最后求解即可；
（2）先求出 平分， 再求出 ， 最后利用相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，利用等边三角形的性质计算求解即可。
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