备考2023年中考数学压轴题训练 ——二次函数（1）

备考2023年中考数学压轴题训练 ——二次函数（1）
一、真题
1．（2022·台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位： m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形 DEFG ，其水平宽度DE=3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l 的距离OD为d（单位：m）．
（1）若h=1.5，EF=0.5m；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程 OC；
②求下边缘抛物线与x 轴的正半轴交点B的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围；
（2）若 EF=1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．
【答案】（1）解：①由题意可知点A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，
∴设y=a（x-2）2+2，
∵抛物线过点（0，1.5）
∴4a+2=1.5
解之：
∴抛物线的解析式为，
当y=0时
解之：x1=6，x2=-2（舍去）
∴喷出水的最大射程OC为6m.
②∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5）
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到，
∴点B（2，0）
③∵EF=0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，
当y=0.5时
解之：（舍去），
当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5
∴；
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x=0时，y=1.5＞0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤，
∵DE=3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为
在看下边缘抛物线，喷出的说能浇灌到绿化带底部的条件为OB≤d，
∴d的最小值为2，
∴d的取值范围为2≤d≤.
（2）解：当喷水口高度最低时，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D，F恰好分别在两条抛物线上，
设点
∴
解之：m=2.5，
∴点D的纵坐标为，
∴=0
解之：
∴h的最小值为.
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）①利用已知条件可知点A为上边抛物线的顶点坐标，因此设y=a（x-2）2+2，将点（0，1.5）代入函数解析式，可求出a的值，可得到抛物线的解析式；由y=0求出对应的x的值，可得到喷出水的最大射程OC的长；②抛物线的对称轴为直线x=2，可得到点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），由此可得到下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到，即可得到点B的坐标；③利用EF的长，可得到点F的纵坐标，将y=0.5代入函数解析式，可求出对应的x的值，利用二次函数的性质可知当x＞2时，y随x的增大而减小，由此可得到当2≤x≤6时，要使y≥0.5时的x的取值范围及当0≤x≤6时，要使y≥0.5的x的取值范围；根据DE=3，可求出灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带时的d的最大值；在看下边缘抛物线，喷出的说能浇灌到绿化带底部的条件为OB≤d，可得到d的最小值，综上所述可得到d的取值范围.
（2）当喷水口高度最低时，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D，F恰好分别在两条抛物线上，利用函数解析式设处点D，F的坐标，再根据EF=1，可得到关于m的方程，解方程求出m的值；再求出点D的纵坐标，由此可得到关于h的值，可得到h的最小值.
2．（2022·宿迁）如图，二次函数与轴交于 (0，0)， (4，0)两点，顶点为，连接、，若点是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，且点与、点不重合.
（1）求二次函数的表达式；
（2）①求证：；
②求；
（3）当时，求直线与二次函数的交点横坐标.
【答案】（1）解：∵二次函数与轴交于 (0，0)， (4，0)两点，
∴代入 (0，0)， (4，0)得，，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：①证明：∵＝，
∴顶点C的坐标是（2，﹣2），抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵二次函数与轴交于(0，0)，(4，0)两点，
∴由抛物线的对称性可知OC＝AC，
∴∠CAB＝∠COD，
∵沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，
∴ △ABC≌△BC，
∴∠CAB＝∠，AB＝B，
∴∠COD＝∠，
∵∠ODC＝∠BD，
∴；
②∵，
∴，
设点D的坐标为（d，0），
由两点间距离公式得DC＝，
∵点与、点不重合，
∴0＜d＜4，
对于 ＝来说，
∵ a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，在顶点处取最小值，当d＝2时，的最小值是4，
∴当d＝2时，DC有最小值为，
由两点间距离公式得OC＝，
∴有最小值为，
∴的最小值为；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵OC＝2，
∴B＝AB＝1，
∴点B的坐标是（3，0），
设直线BC的解析式为y＝x＋，
把点B（3，0），C（2，﹣2）代入得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝2x－6，
设点的坐标是（p，q），
∴线段A的中点为（，），
由折叠的性质知点（，）在直线BC上，
∴＝2×－6，
解得q＝2p－4，
由两点间距离公式得B＝，
整理得＝1，
解得p＝2或p＝，
当p＝2时，q＝2p－4＝0，此时点（2，0），很显然不符合题意，
当p＝时，q＝2p－4＝，此时点（，），符合题意，
设直线的解析式为y＝x＋，
把点B（3，0），（，）代入得，，
解得，
∴直线的解析式为y＝x＋4，
联立直线和抛物线得到，，
解得，，
∴直线与二次函数的交点横坐标为或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）将O（0，0）、A（4，0）代入y=x2+bx+c中求出b、c的值，据此可得二次函数的表达式；
（2）①根据二次函数的表达式可得顶点C的坐标为（2，-2），对称轴为直线x=2，根据抛物线的对称性可得OC=AC，由等腰三角形的性质可得∠CAB=∠COD，根据折叠的性质可得△ABC≌△A′BC，则∠CAB＝∠A′，AB＝A′B，推出∠COD＝∠A′，根据对顶角的性质可得∠ODC＝∠BDA′，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明；
②设D（d，0），根据两点间距离公式表示出DC，根据点D与O、A不重合可得0＜d＜4， 利用二次函数的性质可得CD的最小值，利用两点间距离公式求出OC，然后根据相似三角形的性质进行计算；
（3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得A′B，据此可得点B的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式，设A′（p，q），表示出A′A的中点坐标，代入直线BC的解析式中可得q=2p-4，利用两点间距离公式可得A′B，据此求出p的值，进而可得点A′的坐标，利用待定系数法求出直线A′B的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，据此可得交点的横坐标.
3．（2022·盐城）【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．
【提出问题】
小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．
（1）【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心为原点，过点的横线所在直线为轴，过点且垂直于横线的直线为轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为　 　．
（2）【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．
（3）【深度思考】
小明继续思考：设点，为正整数，以为直径画，是否存在所描的点在上．若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）（-3，4）或（3，4）
（2）解：小明的猜想成立．
解法1：如图，设半径为的圆与直线的交点为．
因为，所以，即，
所以，
所以上，小明的猜想成立．
解法2：设半径为的圆与直线交点为，
因为，所以，解得，所以．
，消去，得，
点在抛物线上，小明的猜想成立．
（3）解：存在所描的点在上，理由：
如图，设所描的点在上，
则，因为，
所以，
整理得，
因为，都是正整数，
所以只有，满足要求．
因此，存在唯一满足要求的，其值是4．
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：（1）如图，
∴
∴
故答案为：或；
【分析】（1）画出示意图，由题意可得OA=OB=OD=5，OC=4，OC⊥AB，根据勾股定理可得AC=BC=3，据此可得点A、B的坐标；
（2）解法1：设半径为n的圆与直线y=n-1的交点为P（x，n-1），根据OP=n可得x2=2n-1，表示出n，据此证明；
解法2：设半径为n的圆与直线y=n-1交点为P（x，n-1），根据OP=n可得x2+(n-1)2=n2，求出x，表示出点P，据此证明；
（3）设所描的点N（±，n-1）在⊙M上，则MO=MN，根据两点间距离公式得m=n+1+根据m、n都是正整数可得m、n的取值，据此解答.
4．（2022·南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点是函数图像的“阶方点”；点是函数图像的“2阶方点”．
（1）在①；②；③三点中，是反比例函数图像的“1阶方点”的有　 　（填序号）；
（2）若y关于x的一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数图像的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
【答案】（1）②③
（2）解：∵y＝ax 3a＋1＝a（x 3）＋1，
∴函数经过定点（3，1），
在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，
由图可知，C（2， 2），D（2，2），
∵一次函数y＝ax 3a＋1图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点C时，
2a-3a+1=-2
解之：a＝3，
∴a=3时此时图象的“2阶方点”有且只有一个；
当直线经过点D时，
2a-3a+1=2
解之：a=-1
∴a＝-1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
∴a的值为3或-1.
（3）解：在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝ （x n）2 2n＋1图象的“n阶方点”一定存在，
当n＞0时，A（n，n），B（n， n），C（ n， n），D（ n，n），
当抛物线经过点D时，
n=（-n-n）2-2n+1
解之：n1＝ 1（舍），；
当抛物线经过点B时，
-n=（n-n）2-2n+1
解之：n＝1；
∴≤n≤1时，二次函数y＝ （x n）2 2n＋1图象有“n阶方点”；
综上所述：≤n≤1时，二次函数y＝ （x n）2 2n＋1图象的“n阶方点”一定存在.
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）解：①（ 2， ）到两坐标轴的距离分别是2和， ∴2＞1，＜1 ∴（ 2， ）不是反比例函数图象的“1阶方点”； ②（ 1， 1）到两坐标轴的距离分别是1和1， ∴1≤1，1≤1 ∴（ 1， 1）是反比例函数图象的“1阶方点”； ③（1，1）到两坐标轴的距离分别是1和1， ∴1≤1，1≤1， ∴（1，1）是反比例函数图象的“1阶方点”； 故答案为：②③.
【分析】（1）利用点的坐标，分别由三个点的坐标可得到它们分别到两坐标轴的距离，再利用“1阶方点”的定义进行判断，可得答案.
（2）将函数解析式转化为y=a（x 3）＋1，可知此函数一定经过（3，1）；在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，利用函数图象可得到点C，D的坐标；再根据一次函数y＝ax 3a＋1图象的“2阶方点”有且只有一个，分别求出当此直线经过点C和点D时的a的值，即可求解.
（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝ （x n）2 2n＋1图象的“n阶方点”一定存在，当n＞0时，利用正方形的性质，可表示出点A，B，C，D的坐标；再分别求出当抛物线经过点D，B时的n的值，即可得到二次函数y＝ （x n）2 2n＋1图象有“n阶方点”时的n的取值范围.
5．（2022·徐州）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．
（1）∠EDC的度数为　 　；
（2）连接PG，求△APG 的面积的最大值；
（3）PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
（4）求的最大值．
【答案】（1）45°
（2）解：如图：连接PG
∵∠EDC=∠ACB=45°，GF⊥DC
∴△EDF和△GFC是等腰直角三角形
∴DF=EF= ，GF=CF= ，
设AP=x，则BP=12-x，BP=12-x=2DE
∴DE=，EF=
∵Rt△APC，
∴PC=
∴CE=
∵Rt△EFC
∴FC=FG=
∴CG=CF=
∴AG=12-CG=12-=
∴S△APG=
所以当x=6时，S△APG有最大值9．
（3）解：DG=PE，DG⊥PE，理由如下：
∵DF=EF，∠CFE=∠GFD，GF=CF
∴△GFD≌△CFE(SAS)
∴DG=CE
∵E是PC的中点
∴PE=CE
∴PE=DG；
∵△GFD≌△CFE
∴∠ECF=∠DGF
∵∠CEF=∠PEG
∴∠GHE=∠EFC=90°，即DG⊥PE．
（4）解：∵△GFD≌△CFE
∴∠CEF=∠CDH
又∵∠ECF=∠DCH
∴△CEF∽△CDH
∴，即
∴
∵FC= ，CE=，CD=
∴
∴的最大值为．
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12
∴∠B=∠ACB=45°
∵D、E分别为BC、PC的中点
∴DE∥BP，DE=
∴∠EDC=∠B=45°．
故答案为：45°；
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠B=∠ACB=45°，由题意可得DE为△BCP的中位线，则DE∥BP，DE=BP，然后根据平行线的性质进行解答；
（2）连接PG，易得△EDF和△GFC是等腰直角三角形，则DF=EF=DE，GF=CF=CG，设AP=x，则BP=12-x，BP=12-x=2DE，表示出DE、EF，由勾股定理可得PC、FC，然后表示出CE、CG、AG，根据三角形的面积公式可得S△APG，再利用二次函数的性质进行解答；
（3）易证△GFD≌△CFE，得到DG=CE，根据中点的概念可得PE=CE，则PE=DG，根据全等三角形的性质可得∠ECF=∠DGF，推出∠GHE=∠EFC=90°，据此解答；
（4）根据全等三角形的性质可得∠CEF=∠CDH，证明△CEF∽△CDH，根据相似三角形的性质可得，然后结合不等式的性质进行解答.
6．（2022·安徽）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）．
【答案】（1）解：由题意可得：A（－6，2），D（6，2），
又∵E（0，8）是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将A（－6，2）代入，
（－6）2a＋8＝2，
解得：a＝，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋8；
（2）解：（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，
∴P2的坐标为（m，m2＋8），
∴P1P2＝P3P4＝MN＝m2＋8，P2P3＝2m，
∴l＝3（m2＋8）＋2m＝m2＋2m＋24＝（m－2）2＋26，
∵＜0，
∴当m＝2时，l有最大值为26，
即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；
（ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18－3n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，
∵－3＜0，
∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，
此时P2P1＝3，P2P3＝9，
令x2＋8＝3，
解得：x＝，
∴此时P1的横坐标的取值范围为＋9≤P1横坐标≤，
方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝9－n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－）2＋，
∵－1＜0，
∴当n＝时，矩形面积有最大值为，
此时P2P1＝，P2P3＝，
令x2＋8＝，
解得：x＝，
∴此时P1的横坐标的取值范围为＋≤P1横坐标≤．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）通过分析A点坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2） （ⅰ）结合矩形性质分析得出P2的坐标为（m，m2＋8），然后列出函数关系式，利用二次函数的性质分析最值；
（ⅱ）设P2P1＝n，则P2P3＝18－3n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想确定取值范围即可。
7．（2022·福建）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点.P是抛物线上一点，且在直线AB的上方.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，OP交AB于点C，交AB于点D.记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，.判断是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得.
所以抛物线的解析式为
（2）解：设直线AB的解析式为，
将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得.
所以直线AB的解析式为.
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N.
过点B作BE⊥PM，垂足为E.
所以
.
因为A（4，0），B（1，4），所以.
因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍，
所以，.
设，则.
所以，
即，
解得，.
所以点P的坐标为或（3，4）.
（3）解：
记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，.则
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点
，
，
设
直线AB的解析式为.
设，则
整理得
时，取得最大值，最大值为
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将A（4，0），B（1，4）代入y=ax2+bx中进行计算可得a、b的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N，过点B作BE⊥PM，垂足为E，则根据三角形的面积公式可得S△PAB=S△PNB+S△PNA=PN，根据点A、B的坐标结合三角形的面积公式可得S△OAB=8，根据△OAB的面积是△PAB面积的2倍可得PN的值，设P（m，m2+m），则N（m，m+），表示出PN，结合PN的值可得m的值，进而可得点P的坐标；
（3）易证△OBC∽△PDC，根据相似三角形的性质可得，记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3，则，过点B、P分别作x轴的垂线，垂足分别F、E，PE交AB于点Q，过D作x的平行线，交PE于点G，证明△DPG∽△OBF，设P（m，m2+m），D（n，n+），G（m，n+），表示出PG、DG，根据相似三角形的对应边长比例可得4n=m2-m+4，则，代入并结合二次函数的性质进行解答即可.
8．（2022·齐齐哈尔）综合与探究
如图，某一次函数与二次函数的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为　 　 ；
（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；
（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．
【答案】（1）解：将A（-1，0），B（4，5）代入得， ，
解这个方程组得，
抛物线的解析式为：；
（2）（1，2）
（3）解：如图，由（2）知 直线AB的解析式为y=x+1
设，则，
则，
当时，DE有最大值为，
（4）解：如图，直线AB的解析式为：y=x+1，
直线与y轴的交点为D（0，1），
，
，
若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，分情况讨论：
①过点C作轴于点，则为等腰直角三角形，过点C作 ，则四边形 为正方形，
依题意，知D与F重合，点 的坐标为（1，1）；
②以为中心分别作点F，点C点的对称点 ，连接，则四边形是正方形，则点的坐标为（-1，2）；
③延长到使，作于点，则四边形是正方形，则的坐标为（1，4）；
④取的中点，的中点，则为正方形，则的坐标为，
综上所述，点N的坐标为：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】（2）解：如图，设直线AB的解析式为：y=kx+b，
把点 A（-1，0），B（4，5）代入y=kx+b，
得，
解得 ，
直线AB的解析式为：y=x+1 ，
由（1）知抛物线的对称轴为，
点C为抛物线对称轴上一动点，，
当点C在AB上时，最小，
把x=1代入，得y=2，
点C的坐标为（1，2）；
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据两点间，线段最短，点C为抛物线对称轴上一动点，，得出当点C在AB上时，最小，把x=1代入，可得出y的值，即可得出点C的坐标；
（3）设，则，表示出DE的长度，利用二次函数的性质即可得出答案；
（4）分CF为对角线和边，分别画出图形，利用正方形的性质即可得出答案。
9．（2022·大庆）已知二次函数图象的对称轴为直线．将二次函数图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C．
（1）求b的值；
（2）①当时，图象C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P．当为直角三角形时，求m的值；
②在①的条件下，当图象C中时，结合图象求x的取值范围；
（3）已知两点，当线段与图象C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）解：由题意知，二次函数的对称轴为直线，
解得，
∴的值为．
（2）解：①解：由（1）知，二次函数的解析式为，
令，则，
∴，
令，则，
解得，或，
∴，，
∴，，，
∵为直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，，
解得，或（不合题意，舍去），
∴的值为．
②解：由①可知，二次函数解析式为，∴轴左侧图象的解析式为，与轴的交点坐标为，
∴图象C如下所示，
∴令，则，
解得，或（不合题意，舍去），
令，则，
解得，或，
∴由图象可知求x的取值范围为或或．
（3）解：由题意知，二次函数的解析式为，为平行于轴的线段，
∴由线段与图象恰有两个公共点可知，①当线段与图象在轴左侧有一个交点时，线段与图象在轴右侧有一个交点，即令，，
∴当时，，有，
当时，，有，
∴；
②当线段与图象在轴左侧没有交点，线段与图象在轴右侧有两个交点，即令，，
∴当时，，有或，
当时，，有，
∴；
综上所述，的取值范围为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）先求出对称轴为直线x=-2，再求出b的值即可；
（2）①先求出 ， 再求出 ， 最后求解即可；
②分类讨论，列方程求解即可；
（3）分类讨论，根据二次函数的性质求解即可。
10．（2022·哈尔滨）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，点，与y轴交于点C．
（1）求a，b的值；
（2）如图1，点D在该抛物线上，点D的横坐标为，过点D向y轴作垂线，垂足为点E．点P为y轴负半轴上的一个动点，连接、设点P的纵坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接，点F在上，过点F向y轴作垂线，垂足为点H，连接交y轴于点G，点G为的中点，过点A作y轴的平行线与过点P所作的x轴的平行线相交于点N，连接，，延长交于点M，点R在上，连接，若，，求直线的解析式．
【答案】（1）解：∵抛物线经过，，
∴，
解得，
（2）解：由（1）得，点D的横坐标为
∴点D纵坐标为
∴，
∵轴
∴，
∵点P的纵坐标为t，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点C作，交NR的延长线于点K，过点K作轴于点T，
∵，当时，，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∵点G为的中点，
∴，
在和中，
∴（AAS），
∴，，
设直线OA的解析式为：，将点代入得，
，
解得，，
∴直线OA的解析式：，
当x=2时，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线BP的解析式为，则
，
解得，，
∴直线BP的解析式为：，
当时，，
∴点M的坐标为，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴CK=CN，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴（AAS），
∴，，
∴，
∴，
设直线RN的解析式为：，将点，得，
，
解得，，
∴直线RN的解析式为：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形全等及其性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）将点A、B代入抛物线可得方程组，解之即可；
（2）根据“点D在该抛物线上，点D的横坐标为”，可得，，， 则 ， 再利用三角形面积公式可得 ；
（3）过点C作，交NR的延长线于点K，过点K作轴于点T， 证明， 可得，， 利用待定系数法求出直线OA的解析式，得出，， 可得，根据，，，利用待定系数法求出直线OA的解析式，进而得出， 可证，可得，，，再证 ， 求得 ， 运用待定系数法求直线的解析式。
二、综合题
11．（2023·亳州模拟）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为hm，如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到绿化带的距离为d m．当m，m，m时，解答下列问题：
（1）①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求出点B的坐标；
（2）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，试求出d的取值范围．
【答案】（1）解：①由题意，得是上边缘抛物线的顶点，设．
∵上边缘抛物线过点，
∴，解得，
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，解得，（舍去），
∴点C的坐标为，
∴喷出水的最大射程OC为6 m；
②由①知，上边缘抛物线的对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4 m得到的．
又∵点C的坐标为，
∴点B的坐标为；
（2）解：∵，
∴点F的纵坐标为，
∴，
解得．
∵，
∴．
当时，y随x的增大而减小，
∴当时，要使，则．
∵当时，y随x的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为．
由下边缘抛物线可知，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴d的最小值为2．
综上所述，d的取值范围是．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）①利用待定系数法求出 上边缘抛物线的函数解析式为，再求解即可；
②先求出 点的对称点为， 再根据 点C的坐标为， 求解即可；
（2）根据题意先求出 ，再分类讨论求解即可。
12．（2023·滁州模拟）抛物线与坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，其中．
（1）如图1，求抛物线的表达式，并求点B的横坐标；
（2）如图2，将抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点A，且点B的对应点为C，求的长；
（3）如图3，矩形的顶点D，G都在x轴上，，且，把两条抛物线，及线段围成的封闭图形的内部记为区域M，要使矩形在区域M的内部（包括边界），求d的取值范围．
【答案】（1）解：把代入，
可得，
解得：，
抛物线的表达式为：，
时，，
解得：，（舍去）
∴点B的横坐标为；
（2）解：设平移后的解析式为，
把代入解析式，可得，
解得，（舍去），
∴，
∵的顶点是，的顶点是，
∴抛物线由向左平移4个单位，
∴．
（3）解：∵，，
∴，
当F点在抛物线上时，，
解得，，
∴，
∴E点坐标为，
∴．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式为：，再求解即可；
（2）先求出， 再求出 抛物线由向左平移4个单位， 最后求解即可；
（3）根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后求解即可。
13．（2023九下·南平模拟）如图1，抛物线与x轴相交于原点O和点A，直线与抛物线在第一象限的交点为B点，抛物线的顶点为C点.
（1）求点B和点C的坐标；
（2）抛物线上是否存在点D，使得？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点E是点B关于抛物线对称轴的对称点，点F是直线下方的抛物线上的动点，与直线交于点G.设和的面积分别为和，求的最大值.
【答案】（1）解：令，
解得或，
∴，
∵，
∴顶点；
（2）解：设直线的解析式为：，则将，代入可得：
，解得：，即：直线的解析式为：，
当点在直线的下方时，过点作轴，交轴于点，延长，交于，
∵
∴，即，，
∵
∴
∴，
∴
当时，，得：，
∴
则，
∴，
易知直线的解析式为：，
联立：，解得：或
即；
当点在直线的上方时，
∵，
∴
∵直线的解析式为：，
∴直线的解析式为：
联立：，解得：或
即；
综上，当点的坐标为或时，使得；
（3）解：∵点与点关于对称轴对称，
∴，
如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，
∴，，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴当时，的最大值为.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；二次函数的最值；三角形的面积；二次函数与一次函数的综合应用；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）联立抛物线与直线解析式，求出x、y的值，得到点B的坐标，将抛物线解析式化为顶点式，进而可得点C的坐标；
（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，当点D在直线OB的下方时，过点B作BF⊥x轴，交x轴于点F，延长OD，交BF于G， 易证△OFG≌△BFE，得到EF=GF，易得点E、G的坐标，求出直线OG的解析式，联立抛物线解析式求出x、y的值，据此可得点D的坐标；当点D在直线OB的上方时， 根据两直线平行的条件可得直线OD的解析式，联立抛物线解析式求出x、y的值，据此可得点D的坐标；
（3）由题意可得E（-1，5），分别过点E、F作y轴的平行线，交直线OB于点M、N，设F（m，m2-4m），则N（m，m），表示出FN，根据三角形的面积公式可得，然后根据二次函数的性质可得最大值.
14．（2023·金华模拟）如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形，BC=，∠BOC=60°，D为BC中点.某反比例函数过点D，且与直线OC交于点E.
（1）点E的坐标为　 　.
（2）好奇的小明在探索一个新函数.若点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AC于点Q，交该反比例函数图象于点R.若y′=PQ+PR，点P横坐标为x.关于x的图像如图2，其中图像最低点F、G横坐标分别为（，）、（，）.
①求与x之间的函数关系式.
②写出该函数的两条性质.
（3）已知1①若关于x的方程x2－4x－m=0有解，求m的取值范围.小明思考过程如下：由x2－4x－m=0得m=x2－4x，m是关于x的二次函数，根据x的范围可以求出m的取值范围.请你完成解题过程.
②若关于x的方程有解，请直接写出m的取值范围.
【答案】（1）
（2）①∵反比例函数解析式为，直线OC的解析式为，点P横坐标为x，
∴R（x，），Q（x，），
∴当时，y′＝PQ+PR＝，
当时，y′＝PQ+PR＝；
②由图可知：
该函数图象关于y轴对称；
当x<0时，y随x的增大先减小后增大；
（3）解：①二次函数m=x2－4x开口向上，对称轴为，
∴在1当x＝4时，m＝0，
∴；
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的最值；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）∵tan∠BOC＝tan60°＝，
∴，
∴，
∴C（2，），D（2，），
设反比例函数解析式为，直线OC的解析式为，
将点D（2，）代入得，
解得：，
∴反比例函数解析式为，
将点C（2，）代入得，
解得：，
∴直线OC的解析式为，
联立，解得：，，
∵点E在第一象限，
∴E（，）；
（3）②∵当1∴当1∵二次函数开口向上，对称轴为，
∴当x＝1时，，解得：，
或当x＝4时，，解得：，
且当时，，解得：或，
综上，m的取值范围为.
【分析】（1）根据三角函数的概念可得OB的值，表示出点C、D的坐标，设反比例函数解析式为y=，将D点坐标代入求出k1的值，设直线OC的解析式为y=k2x，将C点坐标代入求出k2的值，然后联立反比例函数与正比例函数的解析式求出x、y的值，结合点E所在的象限可得对应的坐标；
（2）①由题意可设R（x，），Q（x，），然后分x>0、x<0进行解答；
②根据对称性、增减性，写出两条性质即可；
（3）①根据二次函数的性质可得：在1②由题意可得：当115．（2023·松北模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线BC的解析式为，直线BC交x轴和y轴分别于点B和点C，抛物线交x轴于点A和点B，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第二象限抛物线上的点，连接PB、PC，设点P的横坐标为t，的面积为S．求S与t的函数关系式（不要求写出t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，点D在线段上，连接PD、CD，，点F在线段BC上，，FE的延长线交x轴于点G，交PD于点E，连接CE，若，，，求点P的横出标．
【答案】（1）解：直线交x轴和y轴于点B和点C
令时，，即，
令时，，即，
∵点B、C在抛物线上，∴代入解析式可得：
，
解得：，
∴解析式为；
（2）解：过点P作x轴的垂线交BC延长线于点M，交x轴于点N，过点C作于R
∵P在抛物线上，P横坐标为t
∴，
∵M在直线BC上，∴，
∴，
，
即；
（3）解：由（1）得，，∴
又交x轴于点G，∴
即
又设，
又（已知）
（平角定义）
，
又
，
，
过点D作于R，如图所示
在中，，
，
，
∵，，，
∴，
，，，
又，
作轴于M，于N，于T，如图所示
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形
∴，
设，则，如图所示：
∴，
在中，
解得：，，
∵，
∴，即，
∴不符合题意，应舍去；
当时，，
∴，
又点，
设直线的解析式为，则
，
解得：，
∴直线的解析式为：
，
∴或（舍），
∴P的横坐标是
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点B、C的坐标，再将点B、C的坐标代入求出b、c的值即可；
（2）过点P作x轴的垂线交BC延长线于点M，交x轴于点N，过点C作于R，设，求出，再求出，化简可得；
（3）先求出直线ED的解析式，再联立方程组求出x的值，可得点P的横坐标。
16．（2023·南岗模拟）如图，在平面直角坐标系中，点О为坐标原点，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，点D是线段上的一个动点，过点D作轴于点E．在线段上截取，过点F作轴，交抛物线于点G，设点D的横坐标为t，点G的纵坐标为d，求d与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，点H是的中点，连接，，，过点C作，交线段于点K，连接，若，求的值．
【答案】（1）解：，当时，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
将代入中，，
解得，
∴
（2）解：根据题意画图如下：
，当时，，
解得：，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴
∵点D的横坐标为t，
∴，
∴
∴，
∴点的横坐标为
∴点的纵坐标．
（3）解：如图，延长交x轴于点M，过点H作，垂足为点N，过点K作于点T，交于点R．
在中，，
在中，，
∴，，
∴，
∵，点H是的中点，
∴，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，（舍），
∴，，
∴，
∴，
在中，，，，
在中，，
令，则，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ， 最后利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后求解即可；
（3）结合图形，利用勾股定理求出 ，（舍）， 再利用锐角三角函数求出 ， 最后利用矩形的判定方法与性质，结合锐角三角函数计算求解即可。
17．（2023·道里模拟）已知：在平面直角坐标系中，抛物线的图象交轴于点和点（点在点的左侧），交轴于点，．
（1）如图1，求拋物线的解析式；
（2）如图2，点在第四象限的拋物线上，过点作轴的平行线交抛物线于点，连按并延长交轴于点，若，求点的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，点在间的拋物线上，连接，点在y轴上，连接和，，，与交于点，连接，求直线的解折式．
【答案】（1）解：如图，
把代入中，
，解得，
∴抛物线解析式．
（2）解：如图，过点作轴的垂线，垂足为点，延长交轴于点，直线是抛物线的对称轴．
∵轴
∴
∴四边形、四边形和四边形都是矩形
∴，，
由抛物线解析式及图象可知二次函数对称轴为．
即
∵，轴，
∴根据二次函数对称性可得
∴即点的横坐标为9代入抛物线解析式中
可得
令则，即
或
∴，
∵
∴
，
∴
（3）解：如图，在上取中点，连接、、，延长交轴于点，在上取一点，使，连接，过点作轴，垂足为点，过点作轴，垂足为点，和交于点．
∵
∴
∵
∴
∵，
∴，
∴，
设
∴，，
在中，
∴
∵，
∴
∵
∴
∴为等边三角形
∴
∴
∴，
∴
∴，
∴
∴
∴，，，，
∴，，，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出根据二次函数对称性可得，再求出 ， ，最后求点的坐标即可；
（3）利用全等三角形的判定与性质，结合函数解析式计算求解即可。
18．（2023·兴化模拟）已知：如图，抛物线经过原点，它的对称轴为直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒个单位的速度向下运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，.
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）当三点，，构成以为为斜边的直角三角形时，求的值；
（3）将沿直线折叠后，那么点的对称点能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条件的的值；若不能，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意得，
解得，
抛物线的解析式为；
，
顶点的坐标为；
（2）解：如图1，
设.
三点，，构成以为斜边的直角三角形，
，
即，
整理，得，
解得，舍去，
.
设直线的解析式为，则，
解得，
.
当时，，
，
秒；
（3）解：分三种情况：
①若点在轴正半轴上，如图2，
可得，
即，
解得；
②若点在y轴负半轴上，如图3，连接交OB于E.
可得，
，
，
，
，
，
.
在与中，
，
，
，
；
③若点在轴负半轴上，如图
可得，
即，
解得；
综上所述，所有满足条件的的值为秒或秒或秒.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行线的性质；勾股定理；三角形全等的判定（ASA）；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）将（0，0）代入可得c=0，根据对称轴为直线x=2可得，求出b的值，据此可得抛物线的解析式，将其解析式化为顶点式，进而可得顶点A的坐标；
（2）设B（x，-x2+4x），由勾股定理可得OA2+AB2=OB2，结合两点间距离公式可求出x的值，据此可得点B的坐标，利用待定系数法求出直线OB的解析式，令x=2，求出y的值，得到AP的值，然后除以速度可得时间；
（3）①若点A1在x轴正半轴上，可得PD2+A1D2=PA12，结合两点间距离公式可得t的值；②若点A1在y轴负半轴上，连接AA1交OB于E，可得OA1=OA=，由平行线的性质可得∠OA1A=∠A1AP，利用ASA证明△OAE≌△PAE，得到OA=PA=，据此不难求出t的值；③若点A1在x轴负半轴上，可得PD2+A1D2=PA12，结合两点间距离公式可得t的值.
19．（2023·苏州模拟）如图，已知抛物线（，，为常数，）交轴于、两点，交轴于，将该抛物线位于直线（为常数，）下方的部分沿直线翻折，其余部分不变，得到的新图像记为“图像”.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若时，直线与图像有三个交点，求的值；
（3）若直线与图像有四个交点，直接写出的取值范围.
【答案】（1）解：设抛物线的解析式为，
把代入得，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵交轴于、，
∴抛物线沿翻折部分的解析式为，
∵直线与图像有三个交点，
∴与有一个交点，
即有两个相等的实数根，
即有两个相等的实数根，
∴，
∴；
当直线经过时，直线与图像有三个交点，
此时，，
解得；
综上，的值为或；
（3）解：抛物线沿直线翻折，
其开口大小不变，方向向下，对称轴不变，关于直线的对称点为，
故翻折部分的解析式为，
∵直线与图像有四个交点，
∴有两个不相等的实数根，即，
解得，
当时，有，
解得，
故，
即.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a(x-3)(x-1)，将C（0，3）代入求出a的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）易得抛物线沿y=0翻折部分的解析式为y=-x2+4x-3（1≤x≤3），联立y=x+n结合△=0可得n的值，当直线y=x+n经过A时，直线与图象W有三个交点，此时1+n=0，求出n的值，据此解答；
（3）易得翻折部分的解析式为y=-x2+4x+2m-3，联立y=x结合△>0可得m的范围；当x=y时，求出x的值，进而可得m的范围.
20．（2023九上·邳州期末）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的表达式：
（2）在对称轴上找一点D，使的周长最小，求点D的坐标；
（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴右侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标.
【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为，与y轴交于点C，
∴抛物线对称轴为直线，点C的坐标为，
如图所示，连接交对称轴于D，连接，
由轴对称的性质可知，
∴的周长为，
此时的周长最短，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点D的坐标为；
（3）当是以为腰的等腰直角三角形，在对称轴的右侧时，点M的坐标为或或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（3）如图所示，当点P在x轴上方，时，过点M作于Q，记抛物线的对称轴与x轴的交点为N，
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设点P的坐标为，
∴，，，
∴点M的坐标为，
∵点M在抛物线上，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴点M的坐标为；
同理当点P在x轴下方，时，，
∴，
解得：或（舍去）
∴点M的坐标为；
当点M在x轴上方，时，过M作轴于Q，
同理可得：，
∴，，
∴，
解得：或（舍去），
∴.
当点M在x轴下方，时，过M作轴于Q，
同理可得：，
∴即，
解得：或（舍去），
∴.
综上所述，当是以为腰的等腰直角三角形，M在对称轴的右侧时，点M的坐标为或或或.
【分析】（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3中求出a、b的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=1，C（0，3），连接CB交对称轴于D，连接AD，由轴对称的性质可知AD=BD，则△ACD的周长可转化为AC+BC，利用待定系数法求出直线BC的解析式，令x=1，求出y的值，可得点D的坐标；
（3）当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，过点M作MQ⊥PQ于Q，记抛物线的对称轴与x轴的交点为N，根据等腰直角三角形的性质可得PB=PM，∠BPM=∠PQM=∠BNP=90°，由同角的余角相等可得∠QMP=∠BPN，证明△PMQ≌△BPN，得到PQ=BN，MQ=PN，设P（1，m），则M（m+1，m+2），代入抛物线解析式中可求出m的值，进而可得点M的坐标；同理可得点P在x轴下方，∠BPM=90°时、点M在x轴上方，∠PBM=90°时、点M在x轴下方，∠PBM=90°时，点M的坐标.
21．（2023·安徽模拟）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的顶点纵坐标的最小值；
（2）若，点P为抛物线上一点，且在A、B两点之间运动．
①是否存在点Р使得，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由；
②如图2，连接，相交于点M，当的值最大时，求直线的表达式．
【答案】（1）解：抛物线，
∴抛物线的顶点纵坐标为，
，，
∴当时，的值最小，最小值为，
∴抛物线的顶点纵坐标的最小值是；
（2）解：①存在点Р使得，
如图1，连接、，
当，则，
设点P的坐标为，
∵抛物线与x轴相交于点A、B，
∴时，即，
解得：，，
∴点B的坐标为，点A的坐标为，
，，，
，且，
，即，
解得：，，
∵当时，，
当时，，
∴存在点Р使得，点P的坐标为或；
②由图2可知，当的值最大时，的值最大，即的值最大，
∵抛物线与y轴相交于点C，
当时，，
∴点C的坐标为，，
由①可知，点B的坐标为，点A的坐标为，
，，，
，
设点P的坐标为，
，
，
时，有最大值，最大值为2，
时，，
∴点P的坐标为，
设直线的解析式为，
∵直线的图象经过点，，
∴把P、B的坐标代入解析式可得：
，
解得，
∴直线的解析式为．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）先求出抛物线的顶点纵坐标，再将其变形为，最后利用二次函数的性质求解即可；
（2）①连接PA、PB，设点P的坐标为，再求出点A、B的坐标，结合，且，将数据代入可得，求出a的值，再求出点P的坐标即可；
②当的值最大时，的值最大，即的值最大，设点P的坐标为，根据，求出，再求出点P的坐标，最后利用待定系数法求出直线BP的解析式即可。
22．（2023·泉州模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过两点，交y轴于点C，顶点为E.过线段上动点F作的垂线交于点D，直线交y轴于点G.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，求线段的长；
（3）连接，求面积的最小值.
【答案】（1）解：把代入，得，
解得，
抛物线的解析式为：；
（2）解：如图，连接，过点D作轴于点M，过点E作轴于点H，
∵抛物线的解析式为，
∴，
∴在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，
代入得：，
解得：，
直线的解析式为：，
设直线的解析式为，
代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴，
，
，
，
，
，
，即，
设，则，
，
解得：，
；
（3）解：如图，连接，过点D作轴于点M，
由（2）可知直线的解析式为，，
设，，则，
过点作轴交于点，
，
当时，，
，
，
，
由（2）知，即，
整理得：，
方程有实根，
，即，
或，
解得或（舍去），
，即面积的最小值为.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；锐角三角函数的定义；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入求出a、b的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）连接CE，过点D作DM⊥x轴于点M，过点E作EH⊥y轴于点H，易得C（0，），根据三角函数的概念求出tan∠OCB的值，得到∠OCB的度数，由等腰三角形的性质可得∠CGD=∠CDG=30°，由抛物线的解析式可得顶点E的坐标，然后求出EH、HG、OG的值，得到点G的坐标，利用待定系数法求出直线DG、BC的解析式，联立求出x、y的值，得到点D的坐标，由同角的余角相等可得∠OCF=∠DFM，设OF=t，则FM=2-t，结合三角函数的概念可得t的值，进而可得OF的值；
（3）连接CE，过点D作DM⊥x轴于点M，设F（x，0），D（m，m-），则M（m，0），过点E作EN∥y轴交BC于点N，则xN=xE=1，将x=1代入直线BC的解析式中求出y的值，得到点N的坐标，然后求出NE，由三角形的面积公式可得S△CDE=m，由（2）知，代入可得x2-mx+(3-m)=0，根据方程有实数根可得△≥0，据此可得m的范围，然后根据一次函数的性质可得△CDE面积的最小值.
23．（2023九上·三明模拟）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点的坐标为，点在抛物线上.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，点在轴上，且点在点的下方，若，求点的坐标；
（3）如图②，为线段上的动点，射线与线段交于点，与抛物线交于点，求的最大值.
【答案】（1）解：∵点，在抛物线上，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为
（2）解：解法一：
如图，过点作交的延长线于点，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作于点，
∴，，
又∵，
∴为等腰直角三角形，，
设点坐标为，
∵点坐标为，
∴，，
∵，，
又∵
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∵为抛物线与轴交点，
当时，，
∴，
又∵点坐标为，
设直线的表达式为，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为，
把代入，
得：，
解得：，
∴点的坐标为.
解法二：
把绕点逆时针旋转得到线段，连接，
∴为等腰直角三角形，，，
∴与轴的交点即为点，
作轴于，作轴于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
在和中，
∴，
∴，，
∵为抛物线与轴交点，
∴，
∵点坐标为，
∴，，
∴，，
∴，
∴坐标为，
设直线的表达式为，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为，
当时，，
∴点的坐标为.
解法三：
过作于点，过点作于，
∴，
∵为抛物线与轴交点，
∴，
∵点坐标为，
∴，
∴，，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴点的坐标为.
（3）解：解法一：
过点作轴，交直线于点，则，
又∵，
∴，
∴，
由点坐标为，点坐标为，
可求得直线的表达式为，
当时，，
∴直线与轴的交点坐标为，
∴，
设，
∴的坐标为，其中，
∴，
∴，
∵，，
∴时，取最大值，最大值为.
解法二：
过点作轴，交直线于点，则，
又∵，
∴，
∴，
由点坐标为，点坐标为，
可求得直线的表达式为，
设点坐标为，
∴点坐标为，其中，
∴，
∴，
∵，，
∴时，取最大值，最大值为.
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）将A、D两点的坐标分别代入y=ax2+2ax+c可得关于字母a、c的方程组，求解可得a、c的值，从而得出抛物线的解析式；
（2） 解法一： 如图，过点P作PE⊥PD交DC的延长线于点E，过点P作x轴的平行线FG，过点D作DF⊥PF于点F，过点E作EG⊥PF于点G， 易得△PDE是等腰直角三角形，且PD=PE，设P（0，m），则 ，， 由同角的余角相等得∠FDP=∠EPG，从而利用AAS判断出△DFP≌△PGE，得 ，， 从而得 ， 易得C（0，4），利用待定系数法求出直线CD的解析式，再将点E的坐标代入直线CD的解析式可求出m的值，从而得到点P的坐标；
解法二： 把CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CF，连接DF， 则△CDF是等腰直角三角形，且CD=CF，∠CDF=45°，故DF与y轴的交点就是点P，由同角的余角相等得∠CDG=∠HCF，用AAS判断出△CDG≌△FCH，得GC=HF，DG=CH，易得点C（0，4），结合点D的坐标可得DG、CG的长，进而得出HF、CH、OH的长，从而得出点F的坐标，用待定系数法求出直线CF的解析式，令直线CF解析式中的x=0算出对应的函数值，可得点P的坐标；
解法三： 过P作PE⊥CD于点E，过点D作DF⊥OC于F，易得点C（0，4），由点D的坐标可得点 F，从而求得DF、CF、CD的长，载判断出△DCF∽△PCE，由相似三角形对应边成比例可得PE=2CE，根据等腰直角三角形易得PE=DE，进而求出CD、CE、PE、PC、OP，从而可得出点P的坐标；
（3） 解法一： 过点N作NH∥y轴，交直线AD于H，则∠HNO=∠QOM，判断出△MNH∽△MOQ， 根据相似三角形对应边成比例得 ， 利用待定系数法求出直线AD的解析式，求出直线AD与y轴交点的坐标Q（0，1）， 设，则 的坐标为，其中， 表示出NH，进而根据二次函数的性质可得出答案；
解法二： 过点N作NQ∥x轴，交直线AD于点Q，则∠NQA=∠QAB， 判断出△MNQ∽△MOA，根据相似三角形对应边成比例得 ， 利用待定系数法求出直线AD的解析式， 设点N坐标为， 点Q坐标为，其中， 表示出NQ，进而根据二次函数的性质可得出答案.
24．（2023·吴兴模拟）一张矩形纸片ABCD（如图1），AB=6，AD=3.点E是BC边上的一个动点，将△ABE沿直线AE折叠得到△AEF，延长AE交直线CD于点G，直线AF与直线CD交于点Q.
【初步探究】
（1）求证：△AQG是等腰三角形；
（2）记FQ=m，当BE=2CE时，计算m的值；
（3）【深入探究】
将矩形纸片放入平面直角坐标系中（如图2所示），点B与点O重合，边OC、OA分别与x轴、y轴正半轴重合.点H在OC边上，将△AOH沿直线AH折叠得到△APH.
①当AP经过CD的中点N时，求点P的坐标；
②在①的条件下，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A、D两点.若将直线AH右侧的抛物线沿AH对折，交y轴于点M，请求出AM的长度.
【答案】（1）证明：∵将△ABE沿直线AE折叠得到△AEF
∴∠BAE＝∠FAE，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠G，
∴∠FAE＝∠G，
∴△AQG是等腰三角形；
（2）解：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CGE，
∴AB：CG=BE：CE，
∵BE=2CE，AB=6，
∴CG=3，
由（1）得，△AQG是等腰三角形，
∴QG=AQ=6-m，
∴CQ=3-m，
∴QD=6-（3-m）=3+m，
在Rt△ADQ中，AD2+DQ2=AQ2，
∴32+（3+m）2=（6-m）2，
∴m=1；
（3）解：①过点P作PK⊥CD于点K，
∵CD=6，N为BC的中点，
∴AD=DN=3，
∴△ADN是等腰直角三角形，∠AND=45°，
∴AN=，∠PNK=45°，
∴△PKN是等腰直角三角形，
由折叠得AP=AO=6，
∴PN=，
∴PK=NK=，
∴CK=CD-DN-NK=，点P的横坐标为：OC+PK=，
∴P（，）；
②设直线AP的解析式为y=kx+b，
将点（0，6）与P（，）分别代入得
，
解得
∴直线AP：y=-x+6，
将点A（0，6）与点D（3，6）分别代入y=-x2+bx+c
得，
解得，
∴二次函数的解析式为：y=-x2+3x+6，
如图，设抛物线与直线AP相交于点T，
解得
，，
∴T（4，2），
∴，
∴AM=AT=.
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）由折叠性质得∠BAE＝∠FAE，由矩形的性质得AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠BAE＝∠G，进而由等量代换得∠FAE＝∠G，从而即可得出结论；
（2）由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ABE∽△CGE，由相似三角形对应边成比例可求出CG的长，由（1）得QG=AQ=6-m，则CQ=3-m，QD=6-（3-m）=3+m，在Rt△ADQ中，利用勾股定理建立方程，求解可得m的值；
（3）①过点P作PK⊥CD于点K，易得AD=DN=3，则△ADN是等腰直角三角形，由勾股定理得AN=，结合折叠的性质得PN=，易得△PKN是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得PK=NK=，进而即可得出点P的坐标；②先利用待定系数法求出直线AP的解析式，将将点A（0，6）与点D（3，6）分别代入y=-x2+bx+c可得关于字母b、c的方程组，求解可得b、c的值，从而得出抛物线的解析式，设抛物线与直线AP相交于点T，联立直线AP与抛物线的解析式，求解可得点T的坐标，利用两点间的距离公式求出AT，进而根据翻折的性质可得AM=AT，从而得出答案.
25．（2023·金华模拟）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（3，0），点C（0，3），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点Q，使∠AQC=90°，求点Q的坐标；
（3）在坐标平面内找一点P，使△OCD与△CBP相似，且∠COD=∠BCP，求出所有点P的坐标．
【答案】（1）解：把B（3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c
得 解得 ，
故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）解：令y=0得到﹣x2+2x+3=0，
解得x=﹣1或3，
故点A（﹣1，0），
如图2中，点M是AC中点，M（﹣ ， ），设点Q（1，m），
∵∠AQC=90°，
∴MQ= AC，
∴
解得m=1或2，
∴点Q坐标（1，1）或（1，2）；
（3）解：如图3中，作DK⊥OC于K，
∵点D坐标（1，4），点C坐标（0，3），
∴CK=DK，∠KCD=45°，
∴∠DCO=135°，
∵△OCD与△CBP相似，∠COD=∠B，
当CP在直线BC上方时，
∵∠CBO=45°，
∴当∠CBP1=∠DCO时，点P1在x轴上，
∴
∴
∴BP1=2，
∴P1（5，0），
当∠CP2B=∠DCO时，
∴
∴
∴CP2= ，
作P2M⊥CO于M，
∵
∴CM= ，P2M= ，
∴OM= ，
∴P2（ ， ），
当直线CP在直线BC下方时，根据对称性，可知：BP3=BP1=2，此时P3（3，﹣2），
∵CP4=CP2= ，同理可得P4（ ， ），
综上所述点P坐标（5，0）或（3，﹣2）或（ ， ）或（ ， ）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）将点B、C的坐标分别代入y=﹣x2+bx+c可得关于字母b、c的方程组，求解可得b、c的值，从而求出抛物线的解析式；
（2）令抛物线解析式中的y=0算出对应的x的值，可得点A的坐标，利用中点坐标公式求出点M的坐标，设点Q（1，m），根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得MQ= AC，据此列出方程，求解即可；
（3）作DK⊥OC于K，由点D、C的坐标易得CK=DK，∠KCD=45°；当CP在直线BC上方时，由于∠CBO=45°，所以当∠CBP1=∠DCO时，点P1在x轴上，由建立方程求出BP1的长，从而可得点P1的坐标；当∠CP2B=∠DCO时，由建立方程求出BP2的长，作P2M⊥CO于M，利用建立方程可求出CM、P2M的长，从而求出OM的长，得出点P2的坐标；当直线CP在直线BC下方时，根据对称性即可解决问题.
1 / 1备考2023年中考数学压轴题训练 ——二次函数（1）
一、真题
1．（2022·台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位： m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形 DEFG ，其水平宽度DE=3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l 的距离OD为d（单位：m）．
（1）若h=1.5，EF=0.5m；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程 OC；
②求下边缘抛物线与x 轴的正半轴交点B的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围；
（2）若 EF=1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．
2．（2022·宿迁）如图，二次函数与轴交于 (0，0)， (4，0)两点，顶点为，连接、，若点是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，且点与、点不重合.
（1）求二次函数的表达式；
（2）①求证：；
②求；
（3）当时，求直线与二次函数的交点横坐标.
3．（2022·盐城）【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．
【提出问题】
小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．
（1）【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心为原点，过点的横线所在直线为轴，过点且垂直于横线的直线为轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为　 　．
（2）【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．
（3）【深度思考】
小明继续思考：设点，为正整数，以为直径画，是否存在所描的点在上．若存在，求的值；若不存在，说明理由．
4．（2022·南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点是函数图像的“阶方点”；点是函数图像的“2阶方点”．
（1）在①；②；③三点中，是反比例函数图像的“1阶方点”的有　 　（填序号）；
（2）若y关于x的一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数图像的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
5．（2022·徐州）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．
（1）∠EDC的度数为　 　；
（2）连接PG，求△APG 的面积的最大值；
（3）PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
（4）求的最大值．
6．（2022·安徽）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）．
7．（2022·福建）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点.P是抛物线上一点，且在直线AB的上方.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，OP交AB于点C，交AB于点D.记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，.判断是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.
8．（2022·齐齐哈尔）综合与探究
如图，某一次函数与二次函数的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为　 　 ；
（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；
（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．
9．（2022·大庆）已知二次函数图象的对称轴为直线．将二次函数图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C．
（1）求b的值；
（2）①当时，图象C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P．当为直角三角形时，求m的值；
②在①的条件下，当图象C中时，结合图象求x的取值范围；
（3）已知两点，当线段与图象C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
10．（2022·哈尔滨）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，点，与y轴交于点C．
（1）求a，b的值；
（2）如图1，点D在该抛物线上，点D的横坐标为，过点D向y轴作垂线，垂足为点E．点P为y轴负半轴上的一个动点，连接、设点P的纵坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接，点F在上，过点F向y轴作垂线，垂足为点H，连接交y轴于点G，点G为的中点，过点A作y轴的平行线与过点P所作的x轴的平行线相交于点N，连接，，延长交于点M，点R在上，连接，若，，求直线的解析式．
二、综合题
11．（2023·亳州模拟）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为hm，如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到绿化带的距离为d m．当m，m，m时，解答下列问题：
（1）①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求出点B的坐标；
（2）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，试求出d的取值范围．
12．（2023·滁州模拟）抛物线与坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，其中．
（1）如图1，求抛物线的表达式，并求点B的横坐标；
（2）如图2，将抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点A，且点B的对应点为C，求的长；
（3）如图3，矩形的顶点D，G都在x轴上，，且，把两条抛物线，及线段围成的封闭图形的内部记为区域M，要使矩形在区域M的内部（包括边界），求d的取值范围．
13．（2023九下·南平模拟）如图1，抛物线与x轴相交于原点O和点A，直线与抛物线在第一象限的交点为B点，抛物线的顶点为C点.
（1）求点B和点C的坐标；
（2）抛物线上是否存在点D，使得？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点E是点B关于抛物线对称轴的对称点，点F是直线下方的抛物线上的动点，与直线交于点G.设和的面积分别为和，求的最大值.
14．（2023·金华模拟）如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形，BC=，∠BOC=60°，D为BC中点.某反比例函数过点D，且与直线OC交于点E.
（1）点E的坐标为　 　.
（2）好奇的小明在探索一个新函数.若点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AC于点Q，交该反比例函数图象于点R.若y′=PQ+PR，点P横坐标为x.关于x的图像如图2，其中图像最低点F、G横坐标分别为（，）、（，）.
①求与x之间的函数关系式.
②写出该函数的两条性质.
（3）已知1①若关于x的方程x2－4x－m=0有解，求m的取值范围.小明思考过程如下：由x2－4x－m=0得m=x2－4x，m是关于x的二次函数，根据x的范围可以求出m的取值范围.请你完成解题过程.
②若关于x的方程有解，请直接写出m的取值范围.
15．（2023·松北模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线BC的解析式为，直线BC交x轴和y轴分别于点B和点C，抛物线交x轴于点A和点B，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第二象限抛物线上的点，连接PB、PC，设点P的横坐标为t，的面积为S．求S与t的函数关系式（不要求写出t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，点D在线段上，连接PD、CD，，点F在线段BC上，，FE的延长线交x轴于点G，交PD于点E，连接CE，若，，，求点P的横出标．
16．（2023·南岗模拟）如图，在平面直角坐标系中，点О为坐标原点，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，点D是线段上的一个动点，过点D作轴于点E．在线段上截取，过点F作轴，交抛物线于点G，设点D的横坐标为t，点G的纵坐标为d，求d与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，点H是的中点，连接，，，过点C作，交线段于点K，连接，若，求的值．
17．（2023·道里模拟）已知：在平面直角坐标系中，抛物线的图象交轴于点和点（点在点的左侧），交轴于点，．
（1）如图1，求拋物线的解析式；
（2）如图2，点在第四象限的拋物线上，过点作轴的平行线交抛物线于点，连按并延长交轴于点，若，求点的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，点在间的拋物线上，连接，点在y轴上，连接和，，，与交于点，连接，求直线的解折式．
18．（2023·兴化模拟）已知：如图，抛物线经过原点，它的对称轴为直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒个单位的速度向下运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，.
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）当三点，，构成以为为斜边的直角三角形时，求的值；
（3）将沿直线折叠后，那么点的对称点能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条件的的值；若不能，请说明理由.
19．（2023·苏州模拟）如图，已知抛物线（，，为常数，）交轴于、两点，交轴于，将该抛物线位于直线（为常数，）下方的部分沿直线翻折，其余部分不变，得到的新图像记为“图像”.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若时，直线与图像有三个交点，求的值；
（3）若直线与图像有四个交点，直接写出的取值范围.
20．（2023九上·邳州期末）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的表达式：
（2）在对称轴上找一点D，使的周长最小，求点D的坐标；
（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴右侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标.
21．（2023·安徽模拟）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的顶点纵坐标的最小值；
（2）若，点P为抛物线上一点，且在A、B两点之间运动．
①是否存在点Р使得，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由；
②如图2，连接，相交于点M，当的值最大时，求直线的表达式．
22．（2023·泉州模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过两点，交y轴于点C，顶点为E.过线段上动点F作的垂线交于点D，直线交y轴于点G.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，求线段的长；
（3）连接，求面积的最小值.
23．（2023九上·三明模拟）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点的坐标为，点在抛物线上.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，点在轴上，且点在点的下方，若，求点的坐标；
（3）如图②，为线段上的动点，射线与线段交于点，与抛物线交于点，求的最大值.
24．（2023·吴兴模拟）一张矩形纸片ABCD（如图1），AB=6，AD=3.点E是BC边上的一个动点，将△ABE沿直线AE折叠得到△AEF，延长AE交直线CD于点G，直线AF与直线CD交于点Q.
【初步探究】
（1）求证：△AQG是等腰三角形；
（2）记FQ=m，当BE=2CE时，计算m的值；
（3）【深入探究】
将矩形纸片放入平面直角坐标系中（如图2所示），点B与点O重合，边OC、OA分别与x轴、y轴正半轴重合.点H在OC边上，将△AOH沿直线AH折叠得到△APH.
①当AP经过CD的中点N时，求点P的坐标；
②在①的条件下，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A、D两点.若将直线AH右侧的抛物线沿AH对折，交y轴于点M，请求出AM的长度.
25．（2023·金华模拟）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（3，0），点C（0，3），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点Q，使∠AQC=90°，求点Q的坐标；
（3）在坐标平面内找一点P，使△OCD与△CBP相似，且∠COD=∠BCP，求出所有点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：①由题意可知点A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，
∴设y=a（x-2）2+2，
∵抛物线过点（0，1.5）
∴4a+2=1.5
解之：
∴抛物线的解析式为，
当y=0时
解之：x1=6，x2=-2（舍去）
∴喷出水的最大射程OC为6m.
②∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5）
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到，
∴点B（2，0）
③∵EF=0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，
当y=0.5时
解之：（舍去），
当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5
∴；
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x=0时，y=1.5＞0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤，
∵DE=3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为
在看下边缘抛物线，喷出的说能浇灌到绿化带底部的条件为OB≤d，
∴d的最小值为2，
∴d的取值范围为2≤d≤.
（2）解：当喷水口高度最低时，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D，F恰好分别在两条抛物线上，
设点
∴
解之：m=2.5，
∴点D的纵坐标为，
∴=0
解之：
∴h的最小值为.
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）①利用已知条件可知点A为上边抛物线的顶点坐标，因此设y=a（x-2）2+2，将点（0，1.5）代入函数解析式，可求出a的值，可得到抛物线的解析式；由y=0求出对应的x的值，可得到喷出水的最大射程OC的长；②抛物线的对称轴为直线x=2，可得到点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），由此可得到下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到，即可得到点B的坐标；③利用EF的长，可得到点F的纵坐标，将y=0.5代入函数解析式，可求出对应的x的值，利用二次函数的性质可知当x＞2时，y随x的增大而减小，由此可得到当2≤x≤6时，要使y≥0.5时的x的取值范围及当0≤x≤6时，要使y≥0.5的x的取值范围；根据DE=3，可求出灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带时的d的最大值；在看下边缘抛物线，喷出的说能浇灌到绿化带底部的条件为OB≤d，可得到d的最小值，综上所述可得到d的取值范围.
（2）当喷水口高度最低时，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D，F恰好分别在两条抛物线上，利用函数解析式设处点D，F的坐标，再根据EF=1，可得到关于m的方程，解方程求出m的值；再求出点D的纵坐标，由此可得到关于h的值，可得到h的最小值.
2．【答案】（1）解：∵二次函数与轴交于 (0，0)， (4，0)两点，
∴代入 (0，0)， (4，0)得，，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：①证明：∵＝，
∴顶点C的坐标是（2，﹣2），抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵二次函数与轴交于(0，0)，(4，0)两点，
∴由抛物线的对称性可知OC＝AC，
∴∠CAB＝∠COD，
∵沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，
∴ △ABC≌△BC，
∴∠CAB＝∠，AB＝B，
∴∠COD＝∠，
∵∠ODC＝∠BD，
∴；
②∵，
∴，
设点D的坐标为（d，0），
由两点间距离公式得DC＝，
∵点与、点不重合，
∴0＜d＜4，
对于 ＝来说，
∵ a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，在顶点处取最小值，当d＝2时，的最小值是4，
∴当d＝2时，DC有最小值为，
由两点间距离公式得OC＝，
∴有最小值为，
∴的最小值为；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵OC＝2，
∴B＝AB＝1，
∴点B的坐标是（3，0），
设直线BC的解析式为y＝x＋，
把点B（3，0），C（2，﹣2）代入得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝2x－6，
设点的坐标是（p，q），
∴线段A的中点为（，），
由折叠的性质知点（，）在直线BC上，
∴＝2×－6，
解得q＝2p－4，
由两点间距离公式得B＝，
整理得＝1，
解得p＝2或p＝，
当p＝2时，q＝2p－4＝0，此时点（2，0），很显然不符合题意，
当p＝时，q＝2p－4＝，此时点（，），符合题意，
设直线的解析式为y＝x＋，
把点B（3，0），（，）代入得，，
解得，
∴直线的解析式为y＝x＋4，
联立直线和抛物线得到，，
解得，，
∴直线与二次函数的交点横坐标为或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）将O（0，0）、A（4，0）代入y=x2+bx+c中求出b、c的值，据此可得二次函数的表达式；
（2）①根据二次函数的表达式可得顶点C的坐标为（2，-2），对称轴为直线x=2，根据抛物线的对称性可得OC=AC，由等腰三角形的性质可得∠CAB=∠COD，根据折叠的性质可得△ABC≌△A′BC，则∠CAB＝∠A′，AB＝A′B，推出∠COD＝∠A′，根据对顶角的性质可得∠ODC＝∠BDA′，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明；
②设D（d，0），根据两点间距离公式表示出DC，根据点D与O、A不重合可得0＜d＜4， 利用二次函数的性质可得CD的最小值，利用两点间距离公式求出OC，然后根据相似三角形的性质进行计算；
（3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得A′B，据此可得点B的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式，设A′（p，q），表示出A′A的中点坐标，代入直线BC的解析式中可得q=2p-4，利用两点间距离公式可得A′B，据此求出p的值，进而可得点A′的坐标，利用待定系数法求出直线A′B的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，据此可得交点的横坐标.
3．【答案】（1）（-3，4）或（3，4）
（2）解：小明的猜想成立．
解法1：如图，设半径为的圆与直线的交点为．
因为，所以，即，
所以，
所以上，小明的猜想成立．
解法2：设半径为的圆与直线交点为，
因为，所以，解得，所以．
，消去，得，
点在抛物线上，小明的猜想成立．
（3）解：存在所描的点在上，理由：
如图，设所描的点在上，
则，因为，
所以，
整理得，
因为，都是正整数，
所以只有，满足要求．
因此，存在唯一满足要求的，其值是4．
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：（1）如图，
∴
∴
故答案为：或；
【分析】（1）画出示意图，由题意可得OA=OB=OD=5，OC=4，OC⊥AB，根据勾股定理可得AC=BC=3，据此可得点A、B的坐标；
（2）解法1：设半径为n的圆与直线y=n-1的交点为P（x，n-1），根据OP=n可得x2=2n-1，表示出n，据此证明；
解法2：设半径为n的圆与直线y=n-1交点为P（x，n-1），根据OP=n可得x2+(n-1)2=n2，求出x，表示出点P，据此证明；
（3）设所描的点N（±，n-1）在⊙M上，则MO=MN，根据两点间距离公式得m=n+1+根据m、n都是正整数可得m、n的取值，据此解答.
4．【答案】（1）②③
（2）解：∵y＝ax 3a＋1＝a（x 3）＋1，
∴函数经过定点（3，1），
在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，
由图可知，C（2， 2），D（2，2），
∵一次函数y＝ax 3a＋1图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点C时，
2a-3a+1=-2
解之：a＝3，
∴a=3时此时图象的“2阶方点”有且只有一个；
当直线经过点D时，
2a-3a+1=2
解之：a=-1
∴a＝-1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
∴a的值为3或-1.
（3）解：在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝ （x n）2 2n＋1图象的“n阶方点”一定存在，
当n＞0时，A（n，n），B（n， n），C（ n， n），D（ n，n），
当抛物线经过点D时，
n=（-n-n）2-2n+1
解之：n1＝ 1（舍），；
当抛物线经过点B时，
-n=（n-n）2-2n+1
解之：n＝1；
∴≤n≤1时，二次函数y＝ （x n）2 2n＋1图象有“n阶方点”；
综上所述：≤n≤1时，二次函数y＝ （x n）2 2n＋1图象的“n阶方点”一定存在.
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）解：①（ 2， ）到两坐标轴的距离分别是2和， ∴2＞1，＜1 ∴（ 2， ）不是反比例函数图象的“1阶方点”； ②（ 1， 1）到两坐标轴的距离分别是1和1， ∴1≤1，1≤1 ∴（ 1， 1）是反比例函数图象的“1阶方点”； ③（1，1）到两坐标轴的距离分别是1和1， ∴1≤1，1≤1， ∴（1，1）是反比例函数图象的“1阶方点”； 故答案为：②③.
【分析】（1）利用点的坐标，分别由三个点的坐标可得到它们分别到两坐标轴的距离，再利用“1阶方点”的定义进行判断，可得答案.
（2）将函数解析式转化为y=a（x 3）＋1，可知此函数一定经过（3，1）；在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，利用函数图象可得到点C，D的坐标；再根据一次函数y＝ax 3a＋1图象的“2阶方点”有且只有一个，分别求出当此直线经过点C和点D时的a的值，即可求解.
（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝ （x n）2 2n＋1图象的“n阶方点”一定存在，当n＞0时，利用正方形的性质，可表示出点A，B，C，D的坐标；再分别求出当抛物线经过点D，B时的n的值，即可得到二次函数y＝ （x n）2 2n＋1图象有“n阶方点”时的n的取值范围.
5．【答案】（1）45°
（2）解：如图：连接PG
∵∠EDC=∠ACB=45°，GF⊥DC
∴△EDF和△GFC是等腰直角三角形
∴DF=EF= ，GF=CF= ，
设AP=x，则BP=12-x，BP=12-x=2DE
∴DE=，EF=
∵Rt△APC，
∴PC=
∴CE=
∵Rt△EFC
∴FC=FG=
∴CG=CF=
∴AG=12-CG=12-=
∴S△APG=
所以当x=6时，S△APG有最大值9．
（3）解：DG=PE，DG⊥PE，理由如下：
∵DF=EF，∠CFE=∠GFD，GF=CF
∴△GFD≌△CFE(SAS)
∴DG=CE
∵E是PC的中点
∴PE=CE
∴PE=DG；
∵△GFD≌△CFE
∴∠ECF=∠DGF
∵∠CEF=∠PEG
∴∠GHE=∠EFC=90°，即DG⊥PE．
（4）解：∵△GFD≌△CFE
∴∠CEF=∠CDH
又∵∠ECF=∠DCH
∴△CEF∽△CDH
∴，即
∴
∵FC= ，CE=，CD=
∴
∴的最大值为．
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12
∴∠B=∠ACB=45°
∵D、E分别为BC、PC的中点
∴DE∥BP，DE=
∴∠EDC=∠B=45°．
故答案为：45°；
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠B=∠ACB=45°，由题意可得DE为△BCP的中位线，则DE∥BP，DE=BP，然后根据平行线的性质进行解答；
（2）连接PG，易得△EDF和△GFC是等腰直角三角形，则DF=EF=DE，GF=CF=CG，设AP=x，则BP=12-x，BP=12-x=2DE，表示出DE、EF，由勾股定理可得PC、FC，然后表示出CE、CG、AG，根据三角形的面积公式可得S△APG，再利用二次函数的性质进行解答；
（3）易证△GFD≌△CFE，得到DG=CE，根据中点的概念可得PE=CE，则PE=DG，根据全等三角形的性质可得∠ECF=∠DGF，推出∠GHE=∠EFC=90°，据此解答；
（4）根据全等三角形的性质可得∠CEF=∠CDH，证明△CEF∽△CDH，根据相似三角形的性质可得，然后结合不等式的性质进行解答.
6．【答案】（1）解：由题意可得：A（－6，2），D（6，2），
又∵E（0，8）是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将A（－6，2）代入，
（－6）2a＋8＝2，
解得：a＝，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋8；
（2）解：（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，
∴P2的坐标为（m，m2＋8），
∴P1P2＝P3P4＝MN＝m2＋8，P2P3＝2m，
∴l＝3（m2＋8）＋2m＝m2＋2m＋24＝（m－2）2＋26，
∵＜0，
∴当m＝2时，l有最大值为26，
即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；
（ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18－3n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，
∵－3＜0，
∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，
此时P2P1＝3，P2P3＝9，
令x2＋8＝3，
解得：x＝，
∴此时P1的横坐标的取值范围为＋9≤P1横坐标≤，
方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝9－n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－）2＋，
∵－1＜0，
∴当n＝时，矩形面积有最大值为，
此时P2P1＝，P2P3＝，
令x2＋8＝，
解得：x＝，
∴此时P1的横坐标的取值范围为＋≤P1横坐标≤．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）通过分析A点坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2） （ⅰ）结合矩形性质分析得出P2的坐标为（m，m2＋8），然后列出函数关系式，利用二次函数的性质分析最值；
（ⅱ）设P2P1＝n，则P2P3＝18－3n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想确定取值范围即可。
7．【答案】（1）解：将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得.
所以抛物线的解析式为
（2）解：设直线AB的解析式为，
将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得.
所以直线AB的解析式为.
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N.
过点B作BE⊥PM，垂足为E.
所以
.
因为A（4，0），B（1，4），所以.
因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍，
所以，.
设，则.
所以，
即，
解得，.
所以点P的坐标为或（3，4）.
（3）解：
记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，.则
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点
，
，
设
直线AB的解析式为.
设，则
整理得
时，取得最大值，最大值为
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将A（4，0），B（1，4）代入y=ax2+bx中进行计算可得a、b的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N，过点B作BE⊥PM，垂足为E，则根据三角形的面积公式可得S△PAB=S△PNB+S△PNA=PN，根据点A、B的坐标结合三角形的面积公式可得S△OAB=8，根据△OAB的面积是△PAB面积的2倍可得PN的值，设P（m，m2+m），则N（m，m+），表示出PN，结合PN的值可得m的值，进而可得点P的坐标；
（3）易证△OBC∽△PDC，根据相似三角形的性质可得，记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3，则，过点B、P分别作x轴的垂线，垂足分别F、E，PE交AB于点Q，过D作x的平行线，交PE于点G，证明△DPG∽△OBF，设P（m，m2+m），D（n，n+），G（m，n+），表示出PG、DG，根据相似三角形的对应边长比例可得4n=m2-m+4，则，代入并结合二次函数的性质进行解答即可.
8．【答案】（1）解：将A（-1，0），B（4，5）代入得， ，
解这个方程组得，
抛物线的解析式为：；
（2）（1，2）
（3）解：如图，由（2）知 直线AB的解析式为y=x+1
设，则，
则，
当时，DE有最大值为，
（4）解：如图，直线AB的解析式为：y=x+1，
直线与y轴的交点为D（0，1），
，
，
若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，分情况讨论：
①过点C作轴于点，则为等腰直角三角形，过点C作 ，则四边形 为正方形，
依题意，知D与F重合，点 的坐标为（1，1）；
②以为中心分别作点F，点C点的对称点 ，连接，则四边形是正方形，则点的坐标为（-1，2）；
③延长到使，作于点，则四边形是正方形，则的坐标为（1，4）；
④取的中点，的中点，则为正方形，则的坐标为，
综上所述，点N的坐标为：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】（2）解：如图，设直线AB的解析式为：y=kx+b，
把点 A（-1，0），B（4，5）代入y=kx+b，
得，
解得 ，
直线AB的解析式为：y=x+1 ，
由（1）知抛物线的对称轴为，
点C为抛物线对称轴上一动点，，
当点C在AB上时，最小，
把x=1代入，得y=2，
点C的坐标为（1，2）；
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据两点间，线段最短，点C为抛物线对称轴上一动点，，得出当点C在AB上时，最小，把x=1代入，可得出y的值，即可得出点C的坐标；
（3）设，则，表示出DE的长度，利用二次函数的性质即可得出答案；
（4）分CF为对角线和边，分别画出图形，利用正方形的性质即可得出答案。
9．【答案】（1）解：由题意知，二次函数的对称轴为直线，
解得，
∴的值为．
（2）解：①解：由（1）知，二次函数的解析式为，
令，则，
∴，
令，则，
解得，或，
∴，，
∴，，，
∵为直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，，
解得，或（不合题意，舍去），
∴的值为．
②解：由①可知，二次函数解析式为，∴轴左侧图象的解析式为，与轴的交点坐标为，
∴图象C如下所示，
∴令，则，
解得，或（不合题意，舍去），
令，则，
解得，或，
∴由图象可知求x的取值范围为或或．
（3）解：由题意知，二次函数的解析式为，为平行于轴的线段，
∴由线段与图象恰有两个公共点可知，①当线段与图象在轴左侧有一个交点时，线段与图象在轴右侧有一个交点，即令，，
∴当时，，有，
当时，，有，
∴；
②当线段与图象在轴左侧没有交点，线段与图象在轴右侧有两个交点，即令，，
∴当时，，有或，
当时，，有，
∴；
综上所述，的取值范围为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）先求出对称轴为直线x=-2，再求出b的值即可；
（2）①先求出 ， 再求出 ， 最后求解即可；
②分类讨论，列方程求解即可；
（3）分类讨论，根据二次函数的性质求解即可。
10．【答案】（1）解：∵抛物线经过，，
∴，
解得，
（2）解：由（1）得，点D的横坐标为
∴点D纵坐标为
∴，
∵轴
∴，
∵点P的纵坐标为t，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点C作，交NR的延长线于点K，过点K作轴于点T，
∵，当时，，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∵点G为的中点，
∴，
在和中，
∴（AAS），
∴，，
设直线OA的解析式为：，将点代入得，
，
解得，，
∴直线OA的解析式：，
当x=2时，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线BP的解析式为，则
，
解得，，
∴直线BP的解析式为：，
当时，，
∴点M的坐标为，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴CK=CN，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴（AAS），
∴，，
∴，
∴，
设直线RN的解析式为：，将点，得，
，
解得，，
∴直线RN的解析式为：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形全等及其性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）将点A、B代入抛物线可得方程组，解之即可；
（2）根据“点D在该抛物线上，点D的横坐标为”，可得，，， 则 ， 再利用三角形面积公式可得 ；
（3）过点C作，交NR的延长线于点K，过点K作轴于点T， 证明， 可得，， 利用待定系数法求出直线OA的解析式，得出，， 可得，根据，，，利用待定系数法求出直线OA的解析式，进而得出， 可证，可得，，，再证 ， 求得 ， 运用待定系数法求直线的解析式。
11．【答案】（1）解：①由题意，得是上边缘抛物线的顶点，设．
∵上边缘抛物线过点，
∴，解得，
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，解得，（舍去），
∴点C的坐标为，
∴喷出水的最大射程OC为6 m；
②由①知，上边缘抛物线的对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4 m得到的．
又∵点C的坐标为，
∴点B的坐标为；
（2）解：∵，
∴点F的纵坐标为，
∴，
解得．
∵，
∴．
当时，y随x的增大而减小，
∴当时，要使，则．
∵当时，y随x的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为．
由下边缘抛物线可知，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴d的最小值为2．
综上所述，d的取值范围是．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）①利用待定系数法求出 上边缘抛物线的函数解析式为，再求解即可；
②先求出 点的对称点为， 再根据 点C的坐标为， 求解即可；
（2）根据题意先求出 ，再分类讨论求解即可。
12．【答案】（1）解：把代入，
可得，
解得：，
抛物线的表达式为：，
时，，
解得：，（舍去）
∴点B的横坐标为；
（2）解：设平移后的解析式为，
把代入解析式，可得，
解得，（舍去），
∴，
∵的顶点是，的顶点是，
∴抛物线由向左平移4个单位，
∴．
（3）解：∵，，
∴，
当F点在抛物线上时，，
解得，，
∴，
∴E点坐标为，
∴．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式为：，再求解即可；
（2）先求出， 再求出 抛物线由向左平移4个单位， 最后求解即可；
（3）根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后求解即可。
13．【答案】（1）解：令，
解得或，
∴，
∵，
∴顶点；
（2）解：设直线的解析式为：，则将，代入可得：
，解得：，即：直线的解析式为：，
当点在直线的下方时，过点作轴，交轴于点，延长，交于，
∵
∴，即，，
∵
∴
∴，
∴
当时，，得：，
∴
则，
∴，
易知直线的解析式为：，
联立：，解得：或
即；
当点在直线的上方时，
∵，
∴
∵直线的解析式为：，
∴直线的解析式为：
联立：，解得：或
即；
综上，当点的坐标为或时，使得；
（3）解：∵点与点关于对称轴对称，
∴，
如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，
∴，，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴当时，的最大值为.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；二次函数的最值；三角形的面积；二次函数与一次函数的综合应用；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）联立抛物线与直线解析式，求出x、y的值，得到点B的坐标，将抛物线解析式化为顶点式，进而可得点C的坐标；
（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，当点D在直线OB的下方时，过点B作BF⊥x轴，交x轴于点F，延长OD，交BF于G， 易证△OFG≌△BFE，得到EF=GF，易得点E、G的坐标，求出直线OG的解析式，联立抛物线解析式求出x、y的值，据此可得点D的坐标；当点D在直线OB的上方时， 根据两直线平行的条件可得直线OD的解析式，联立抛物线解析式求出x、y的值，据此可得点D的坐标；
（3）由题意可得E（-1，5），分别过点E、F作y轴的平行线，交直线OB于点M、N，设F（m，m2-4m），则N（m，m），表示出FN，根据三角形的面积公式可得，然后根据二次函数的性质可得最大值.
14．【答案】（1）
（2）①∵反比例函数解析式为，直线OC的解析式为，点P横坐标为x，
∴R（x，），Q（x，），
∴当时，y′＝PQ+PR＝，
当时，y′＝PQ+PR＝；
②由图可知：
该函数图象关于y轴对称；
当x<0时，y随x的增大先减小后增大；
（3）解：①二次函数m=x2－4x开口向上，对称轴为，
∴在1当x＝4时，m＝0，
∴；
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的最值；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）∵tan∠BOC＝tan60°＝，
∴，
∴，
∴C（2，），D（2，），
设反比例函数解析式为，直线OC的解析式为，
将点D（2，）代入得，
解得：，
∴反比例函数解析式为，
将点C（2，）代入得，
解得：，
∴直线OC的解析式为，
联立，解得：，，
∵点E在第一象限，
∴E（，）；
（3）②∵当1∴当1∵二次函数开口向上，对称轴为，
∴当x＝1时，，解得：，
或当x＝4时，，解得：，
且当时，，解得：或，
综上，m的取值范围为.
【分析】（1）根据三角函数的概念可得OB的值，表示出点C、D的坐标，设反比例函数解析式为y=，将D点坐标代入求出k1的值，设直线OC的解析式为y=k2x，将C点坐标代入求出k2的值，然后联立反比例函数与正比例函数的解析式求出x、y的值，结合点E所在的象限可得对应的坐标；
（2）①由题意可设R（x，），Q（x，），然后分x>0、x<0进行解答；
②根据对称性、增减性，写出两条性质即可；
（3）①根据二次函数的性质可得：在1②由题意可得：当115．【答案】（1）解：直线交x轴和y轴于点B和点C
令时，，即，
令时，，即，
∵点B、C在抛物线上，∴代入解析式可得：
，
解得：，
∴解析式为；
（2）解：过点P作x轴的垂线交BC延长线于点M，交x轴于点N，过点C作于R
∵P在抛物线上，P横坐标为t
∴，
∵M在直线BC上，∴，
∴，
，
即；
（3）解：由（1）得，，∴
又交x轴于点G，∴
即
又设，
又（已知）
（平角定义）
，
又
，
，
过点D作于R，如图所示
在中，，
，
，
∵，，，
∴，
，，，
又，
作轴于M，于N，于T，如图所示
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形
∴，
设，则，如图所示：
∴，
在中，
解得：，，
∵，
∴，即，
∴不符合题意，应舍去；
当时，，
∴，
又点，
设直线的解析式为，则
，
解得：，
∴直线的解析式为：
，
∴或（舍），
∴P的横坐标是
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点B、C的坐标，再将点B、C的坐标代入求出b、c的值即可；
（2）过点P作x轴的垂线交BC延长线于点M，交x轴于点N，过点C作于R，设，求出，再求出，化简可得；
（3）先求出直线ED的解析式，再联立方程组求出x的值，可得点P的横坐标。
16．【答案】（1）解：，当时，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
将代入中，，
解得，
∴
（2）解：根据题意画图如下：
，当时，，
解得：，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴
∵点D的横坐标为t，
∴，
∴
∴，
∴点的横坐标为
∴点的纵坐标．
（3）解：如图，延长交x轴于点M，过点H作，垂足为点N，过点K作于点T，交于点R．
在中，，
在中，，
∴，，
∴，
∵，点H是的中点，
∴，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，（舍），
∴，，
∴，
∴，
在中，，，，
在中，，
令，则，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ， 最后利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后求解即可；
（3）结合图形，利用勾股定理求出 ，（舍）， 再利用锐角三角函数求出 ， 最后利用矩形的判定方法与性质，结合锐角三角函数计算求解即可。
17．【答案】（1）解：如图，
把代入中，
，解得，
∴抛物线解析式．
（2）解：如图，过点作轴的垂线，垂足为点，延长交轴于点，直线是抛物线的对称轴．
∵轴
∴
∴四边形、四边形和四边形都是矩形
∴，，
由抛物线解析式及图象可知二次函数对称轴为．
即
∵，轴，
∴根据二次函数对称性可得
∴即点的横坐标为9代入抛物线解析式中
可得
令则，即
或
∴，
∵
∴
，
∴
（3）解：如图，在上取中点，连接、、，延长交轴于点，在上取一点，使，连接，过点作轴，垂足为点，过点作轴，垂足为点，和交于点．
∵
∴
∵
∴
∵，
∴，
∴，
设
∴，，
在中，
∴
∵，
∴
∵
∴
∴为等边三角形
∴
∴
∴，
∴
∴，
∴
∴
∴，，，，
∴，，，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出根据二次函数对称性可得，再求出 ， ，最后求点的坐标即可；
（3）利用全等三角形的判定与性质，结合函数解析式计算求解即可。
18．【答案】（1）解：由题意得，
解得，
抛物线的解析式为；
，
顶点的坐标为；
（2）解：如图1，
设.
三点，，构成以为斜边的直角三角形，
，
即，
整理，得，
解得，舍去，
.
设直线的解析式为，则，
解得，
.
当时，，
，
秒；
（3）解：分三种情况：
①若点在轴正半轴上，如图2，
可得，
即，
解得；
②若点在y轴负半轴上，如图3，连接交OB于E.
可得，
，
，
，
，
，
.
在与中，
，
，
，
；
③若点在轴负半轴上，如图
可得，
即，
解得；
综上所述，所有满足条件的的值为秒或秒或秒.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行线的性质；勾股定理；三角形全等的判定（ASA）；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）将（0，0）代入可得c=0，根据对称轴为直线x=2可得，求出b的值，据此可得抛物线的解析式，将其解析式化为顶点式，进而可得顶点A的坐标；
（2）设B（x，-x2+4x），由勾股定理可得OA2+AB2=OB2，结合两点间距离公式可求出x的值，据此可得点B的坐标，利用待定系数法求出直线OB的解析式，令x=2，求出y的值，得到AP的值，然后除以速度可得时间；
（3）①若点A1在x轴正半轴上，可得PD2+A1D2=PA12，结合两点间距离公式可得t的值；②若点A1在y轴负半轴上，连接AA1交OB于E，可得OA1=OA=，由平行线的性质可得∠OA1A=∠A1AP，利用ASA证明△OAE≌△PAE，得到OA=PA=，据此不难求出t的值；③若点A1在x轴负半轴上，可得PD2+A1D2=PA12，结合两点间距离公式可得t的值.
19．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为，
把代入得，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵交轴于、，
∴抛物线沿翻折部分的解析式为，
∵直线与图像有三个交点，
∴与有一个交点，
即有两个相等的实数根，
即有两个相等的实数根，
∴，
∴；
当直线经过时，直线与图像有三个交点，
此时，，
解得；
综上，的值为或；
（3）解：抛物线沿直线翻折，
其开口大小不变，方向向下，对称轴不变，关于直线的对称点为，
故翻折部分的解析式为，
∵直线与图像有四个交点，
∴有两个不相等的实数根，即，
解得，
当时，有，
解得，
故，
即.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a(x-3)(x-1)，将C（0，3）代入求出a的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）易得抛物线沿y=0翻折部分的解析式为y=-x2+4x-3（1≤x≤3），联立y=x+n结合△=0可得n的值，当直线y=x+n经过A时，直线与图象W有三个交点，此时1+n=0，求出n的值，据此解答；
（3）易得翻折部分的解析式为y=-x2+4x+2m-3，联立y=x结合△>0可得m的范围；当x=y时，求出x的值，进而可得m的范围.
20．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为，与y轴交于点C，
∴抛物线对称轴为直线，点C的坐标为，
如图所示，连接交对称轴于D，连接，
由轴对称的性质可知，
∴的周长为，
此时的周长最短，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点D的坐标为；
（3）当是以为腰的等腰直角三角形，在对称轴的右侧时，点M的坐标为或或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（3）如图所示，当点P在x轴上方，时，过点M作于Q，记抛物线的对称轴与x轴的交点为N，
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设点P的坐标为，
∴，，，
∴点M的坐标为，
∵点M在抛物线上，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴点M的坐标为；
同理当点P在x轴下方，时，，
∴，
解得：或（舍去）
∴点M的坐标为；
当点M在x轴上方，时，过M作轴于Q，
同理可得：，
∴，，
∴，
解得：或（舍去），
∴.
当点M在x轴下方，时，过M作轴于Q，
同理可得：，
∴即，
解得：或（舍去），
∴.
综上所述，当是以为腰的等腰直角三角形，M在对称轴的右侧时，点M的坐标为或或或.
【分析】（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3中求出a、b的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=1，C（0，3），连接CB交对称轴于D，连接AD，由轴对称的性质可知AD=BD，则△ACD的周长可转化为AC+BC，利用待定系数法求出直线BC的解析式，令x=1，求出y的值，可得点D的坐标；
（3）当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，过点M作MQ⊥PQ于Q，记抛物线的对称轴与x轴的交点为N，根据等腰直角三角形的性质可得PB=PM，∠BPM=∠PQM=∠BNP=90°，由同角的余角相等可得∠QMP=∠BPN，证明△PMQ≌△BPN，得到PQ=BN，MQ=PN，设P（1，m），则M（m+1，m+2），代入抛物线解析式中可求出m的值，进而可得点M的坐标；同理可得点P在x轴下方，∠BPM=90°时、点M在x轴上方，∠PBM=90°时、点M在x轴下方，∠PBM=90°时，点M的坐标.
21．【答案】（1）解：抛物线，
∴抛物线的顶点纵坐标为，
，，
∴当时，的值最小，最小值为，
∴抛物线的顶点纵坐标的最小值是；
（2）解：①存在点Р使得，
如图1，连接、，
当，则，
设点P的坐标为，
∵抛物线与x轴相交于点A、B，
∴时，即，
解得：，，
∴点B的坐标为，点A的坐标为，
，，，
，且，
，即，
解得：，，
∵当时，，
当时，，
∴存在点Р使得，点P的坐标为或；
②由图2可知，当的值最大时，的值最大，即的值最大，
∵抛物线与y轴相交于点C，
当时，，
∴点C的坐标为，，
由①可知，点B的坐标为，点A的坐标为，
，，，
，
设点P的坐标为，
，
，
时，有最大值，最大值为2，
时，，
∴点P的坐标为，
设直线的解析式为，
∵直线的图象经过点，，
∴把P、B的坐标代入解析式可得：
，
解得，
∴直线的解析式为．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）先求出抛物线的顶点纵坐标，再将其变形为，最后利用二次函数的性质求解即可；
（2）①连接PA、PB，设点P的坐标为，再求出点A、B的坐标，结合，且，将数据代入可得，求出a的值，再求出点P的坐标即可；
②当的值最大时，的值最大，即的值最大，设点P的坐标为，根据，求出，再求出点P的坐标，最后利用待定系数法求出直线BP的解析式即可。
22．【答案】（1）解：把代入，得，
解得，
抛物线的解析式为：；
（2）解：如图，连接，过点D作轴于点M，过点E作轴于点H，
∵抛物线的解析式为，
∴，
∴在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，
代入得：，
解得：，
直线的解析式为：，
设直线的解析式为，
代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴，
，
，
，
，
，
，即，
设，则，
，
解得：，
；
（3）解：如图，连接，过点D作轴于点M，
由（2）可知直线的解析式为，，
设，，则，
过点作轴交于点，
，
当时，，
，
，
，
由（2）知，即，
整理得：，
方程有实根，
，即，
或，
解得或（舍去），
，即面积的最小值为.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；锐角三角函数的定义；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入求出a、b的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）连接CE，过点D作DM⊥x轴于点M，过点E作EH⊥y轴于点H，易得C（0，），根据三角函数的概念求出tan∠OCB的值，得到∠OCB的度数，由等腰三角形的性质可得∠CGD=∠CDG=30°，由抛物线的解析式可得顶点E的坐标，然后求出EH、HG、OG的值，得到点G的坐标，利用待定系数法求出直线DG、BC的解析式，联立求出x、y的值，得到点D的坐标，由同角的余角相等可得∠OCF=∠DFM，设OF=t，则FM=2-t，结合三角函数的概念可得t的值，进而可得OF的值；
（3）连接CE，过点D作DM⊥x轴于点M，设F（x，0），D（m，m-），则M（m，0），过点E作EN∥y轴交BC于点N，则xN=xE=1，将x=1代入直线BC的解析式中求出y的值，得到点N的坐标，然后求出NE，由三角形的面积公式可得S△CDE=m，由（2）知，代入可得x2-mx+(3-m)=0，根据方程有实数根可得△≥0，据此可得m的范围，然后根据一次函数的性质可得△CDE面积的最小值.
23．【答案】（1）解：∵点，在抛物线上，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为
（2）解：解法一：
如图，过点作交的延长线于点，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作于点，
∴，，
又∵，
∴为等腰直角三角形，，
设点坐标为，
∵点坐标为，
∴，，
∵，，
又∵
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∵为抛物线与轴交点，
当时，，
∴，
又∵点坐标为，
设直线的表达式为，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为，
把代入，
得：，
解得：，
∴点的坐标为.
解法二：
把绕点逆时针旋转得到线段，连接，
∴为等腰直角三角形，，，
∴与轴的交点即为点，
作轴于，作轴于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
在和中，
∴，
∴，，
∵为抛物线与轴交点，
∴，
∵点坐标为，
∴，，
∴，，
∴，
∴坐标为，
设直线的表达式为，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为，
当时，，
∴点的坐标为.
解法三：
过作于点，过点作于，
∴，
∵为抛物线与轴交点，
∴，
∵点坐标为，
∴，
∴，，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴点的坐标为.
（3）解：解法一：
过点作轴，交直线于点，则，
又∵，
∴，
∴，
由点坐标为，点坐标为，
可求得直线的表达式为，
当时，，
∴直线与轴的交点坐标为，
∴，
设，
∴的坐标为，其中，
∴，
∴，
∵，，
∴时，取最大值，最大值为.
解法二：
过点作轴，交直线于点，则，
又∵，
∴，
∴，
由点坐标为，点坐标为，
可求得直线的表达式为，
设点坐标为，
∴点坐标为，其中，
∴，
∴，
∵，，
∴时，取最大值，最大值为.
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）将A、D两点的坐标分别代入y=ax2+2ax+c可得关于字母a、c的方程组，求解可得a、c的值，从而得出抛物线的解析式；
（2） 解法一： 如图，过点P作PE⊥PD交DC的延长线于点E，过点P作x轴的平行线FG，过点D作DF⊥PF于点F，过点E作EG⊥PF于点G， 易得△PDE是等腰直角三角形，且PD=PE，设P（0，m），则 ，， 由同角的余角相等得∠FDP=∠EPG，从而利用AAS判断出△DFP≌△PGE，得 ，， 从而得 ， 易得C（0，4），利用待定系数法求出直线CD的解析式，再将点E的坐标代入直线CD的解析式可求出m的值，从而得到点P的坐标；
解法二： 把CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CF，连接DF， 则△CDF是等腰直角三角形，且CD=CF，∠CDF=45°，故DF与y轴的交点就是点P，由同角的余角相等得∠CDG=∠HCF，用AAS判断出△CDG≌△FCH，得GC=HF，DG=CH，易得点C（0，4），结合点D的坐标可得DG、CG的长，进而得出HF、CH、OH的长，从而得出点F的坐标，用待定系数法求出直线CF的解析式，令直线CF解析式中的x=0算出对应的函数值，可得点P的坐标；
解法三： 过P作PE⊥CD于点E，过点D作DF⊥OC于F，易得点C（0，4），由点D的坐标可得点 F，从而求得DF、CF、CD的长，载判断出△DCF∽△PCE，由相似三角形对应边成比例可得PE=2CE，根据等腰直角三角形易得PE=DE，进而求出CD、CE、PE、PC、OP，从而可得出点P的坐标；
（3） 解法一： 过点N作NH∥y轴，交直线AD于H，则∠HNO=∠QOM，判断出△MNH∽△MOQ， 根据相似三角形对应边成比例得 ， 利用待定系数法求出直线AD的解析式，求出直线AD与y轴交点的坐标Q（0，1）， 设，则 的坐标为，其中， 表示出NH，进而根据二次函数的性质可得出答案；
解法二： 过点N作NQ∥x轴，交直线AD于点Q，则∠NQA=∠QAB， 判断出△MNQ∽△MOA，根据相似三角形对应边成比例得 ， 利用待定系数法求出直线AD的解析式， 设点N坐标为， 点Q坐标为，其中， 表示出NQ，进而根据二次函数的性质可得出答案.
24．【答案】（1）证明：∵将△ABE沿直线AE折叠得到△AEF
∴∠BAE＝∠FAE，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠G，
∴∠FAE＝∠G，
∴△AQG是等腰三角形；
（2）解：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CGE，
∴AB：CG=BE：CE，
∵BE=2CE，AB=6，
∴CG=3，
由（1）得，△AQG是等腰三角形，
∴QG=AQ=6-m，
∴CQ=3-m，
∴QD=6-（3-m）=3+m，
在Rt△ADQ中，AD2+DQ2=AQ2，
∴32+（3+m）2=（6-m）2，
∴m=1；
（3）解：①过点P作PK⊥CD于点K，
∵CD=6，N为BC的中点，
∴AD=DN=3，
∴△ADN是等腰直角三角形，∠AND=45°，
∴AN=，∠PNK=45°，
∴△PKN是等腰直角三角形，
由折叠得AP=AO=6，
∴PN=，
∴PK=NK=，
∴CK=CD-DN-NK=，点P的横坐标为：OC+PK=，
∴P（，）；
②设直线AP的解析式为y=kx+b，
将点（0，6）与P（，）分别代入得
，
解得
∴直线AP：y=-x+6，
将点A（0，6）与点D（3，6）分别代入y=-x2+bx+c
得，
解得，
∴二次函数的解析式为：y=-x2+3x+6，
如图，设抛物线与直线AP相交于点T，
解得
，，
∴T（4，2），
∴，
∴AM=AT=.
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）由折叠性质得∠BAE＝∠FAE，由矩形的性质得AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠BAE＝∠G，进而由等量代换得∠FAE＝∠G，从而即可得出结论；
（2）由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ABE∽△CGE，由相似三角形对应边成比例可求出CG的长，由（1）得QG=AQ=6-m，则CQ=3-m，QD=6-（3-m）=3+m，在Rt△ADQ中，利用勾股定理建立方程，求解可得m的值；
（3）①过点P作PK⊥CD于点K，易得AD=DN=3，则△ADN是等腰直角三角形，由勾股定理得AN=，结合折叠的性质得PN=，易得△PKN是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得PK=NK=，进而即可得出点P的坐标；②先利用待定系数法求出直线AP的解析式，将将点A（0，6）与点D（3，6）分别代入y=-x2+bx+c可得关于字母b、c的方程组，求解可得b、c的值，从而得出抛物线的解析式，设抛物线与直线AP相交于点T，联立直线AP与抛物线的解析式，求解可得点T的坐标，利用两点间的距离公式求出AT，进而根据翻折的性质可得AM=AT，从而得出答案.
25．【答案】（1）解：把B（3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c
得 解得 ，
故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）解：令y=0得到﹣x2+2x+3=0，
解得x=﹣1或3，
故点A（﹣1，0），
如图2中，点M是AC中点，M（﹣ ， ），设点Q（1，m），
∵∠AQC=90°，
∴MQ= AC，
∴
解得m=1或2，
∴点Q坐标（1，1）或（1，2）；
（3）解：如图3中，作DK⊥OC于K，
∵点D坐标（1，4），点C坐标（0，3），
∴CK=DK，∠KCD=45°，
∴∠DCO=135°，
∵△OCD与△CBP相似，∠COD=∠B，
当CP在直线BC上方时，
∵∠CBO=45°，
∴当∠CBP1=∠DCO时，点P1在x轴上，
∴
∴
∴BP1=2，
∴P1（5，0），
当∠CP2B=∠DCO时，
∴
∴
∴CP2= ，
作P2M⊥CO于M，
∵
∴CM= ，P2M= ，
∴OM= ，
∴P2（ ， ），
当直线CP在直线BC下方时，根据对称性，可知：BP3=BP1=2，此时P3（3，﹣2），
∵CP4=CP2= ，同理可得P4（ ， ），
综上所述点P坐标（5，0）或（3，﹣2）或（ ， ）或（ ， ）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）将点B、C的坐标分别代入y=﹣x2+bx+c可得关于字母b、c的方程组，求解可得b、c的值，从而求出抛物线的解析式；
（2）令抛物线解析式中的y=0算出对应的x的值，可得点A的坐标，利用中点坐标公式求出点M的坐标，设点Q（1，m），根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得MQ= AC，据此列出方程，求解即可；
（3）作DK⊥OC于K，由点D、C的坐标易得CK=DK，∠KCD=45°；当CP在直线BC上方时，由于∠CBO=45°，所以当∠CBP1=∠DCO时，点P1在x轴上，由建立方程求出BP1的长，从而可得点P1的坐标；当∠CP2B=∠DCO时，由建立方程求出BP2的长，作P2M⊥CO于M，利用建立方程可求出CM、P2M的长，从而求出OM的长，得出点P2的坐标；当直线CP在直线BC下方时，根据对称性即可解决问题.
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