备考2023年中考数学压轴题训练 ——二次函数（2）
一、真题
1．（2022·呼和浩特）如图，抛物线经过点和点，与轴的另一个交点为，连接、．
（1）求抛物线的解析式及点的坐标；
（2）如图1，若点是线段的中点，连接，在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，分别交、轴于点、，当中有某个角的度数等于度数的2倍时，请求出满足条件的点的横坐标．
2．（2022·通辽）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线方程为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标；
（3）点是抛物线上一点，若，求点的坐标．
3．（2022九上·青秀月考）如图，已知二次函数的图像交轴于点，，交轴于点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发．设运动时间为秒（）．当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
（3）已知是抛物线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2022·天津）已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B．
（1）若，
①求点P的坐标；
②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标；
（2）若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标．
5．（2022·山西）综合与探究
如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E
（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；
（2）当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）连接AC，过点P作直线，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
6．（2022·包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标是，顶点C的坐标是，M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线与y轴交于点G．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接，记的面积分别为．当，且直线时，求证：点N与点M关于y轴对称；
（3）如图2，直线与y轴交于点H，是否存在点M，使得．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2022·呼伦贝尔、兴安盟）如图，抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）若点M在直线上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）
（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）
8．（2022·盘锦）如图，抛物线与x轴交于两点（A在B的左侧），与y轴交于点，点P在抛物线上，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在第四象限，点D在线段上，连接并延长交x轴于点E，连接，记的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；
（3）如图2，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段交于点G，当时，求点P的横坐标．
9．（2022·大连）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接．
（1）求点B，点C的坐标；
（2）如图1，点在线段上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，，连接，设的面积为，的面积为，，当S取最大值时，求m的值；
（3）如图2，抛物线的顶点为D，连接，点P在第一象限的抛物线上，与相交于点Q，是否存在点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2022·沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线经过点和点与x轴另一个交点A．抛物线与y轴交于点C，作直线AD．
（1）①求抛物线的函数表达式
②并直接写出直线AD的函数表达式．
（2）点E是直线AD下方抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，的面积记为，的面积记为，当时，求点E的坐标；
（3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线为，点C的对应点，点G的对应点，将曲线，沿y轴向下平移n个单位长度（）．曲线与直线BC的公共点中，选两个公共点作点P和点Q，若四边形是平行四边形，直接写出P的坐标．
11．（2022·丹东）如图1，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；
（3）如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；
（4）如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．
12．（2022·锦州）如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点N，当的值最大时，求点D的坐标；
（3）P为抛物线上一点，连接，过点P作交抛物线对称轴于点Q，当时，请直接写出点P的横坐标．
13．（2022·鞍山）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点是第三象限抛物线上一点，直线与轴交于点，的面积为12，求点的坐标．
（3）在（2）的条件下，若点是线段上点，连接，将沿直线翻折得到，当直线与直线相交所成锐角为时，求点的坐标．
二、模拟预测
14．（2023·河北模拟）如图，直线与，轴分别交于点，，顶点为的抛物线过点．
（1）直接写出点，的坐标及的值；
（2）若函数在时有最大值为，求的值；
（3）当时，连接，过点作的垂线交轴于点．设的面积为．直接写出关于的函数关系式．
15．（2023·交城模拟）已知抛物线与x轴交于点，顶点为B．
（1）时，时，求抛物线的顶点B的坐标；
（2）求抛物线与轴的另一个公共点的坐标用含a，c的式子表示；
（3）若直线经过点B且与抛物线交于另一点，求当时，的取值范围．
16．（2023·包头模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O（0，0）、A（2，0），直线y＝2x经过抛物线的顶点B，点C是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，联结BC、OC、AB，过点C作CE∥x轴，分别交线段OB、AB于点E、F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当BC＝CE时，求证：△BCE∽△ABO；
（3）当∠CBA＝∠BOC时，求点C的坐标．
17．（2023·鞍山模拟）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）连接 ，若点P为第四象限内抛物线上一点，且，求点P的坐标；
（3）过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，过D点作轴于点E得到矩形，将沿x轴向右平移，当B点与E重合时结束，设平移距离为t，与矩形重叠面积为S，请直接写出S与t的函数关系．
18．（2023·石家庄模拟）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线（为常数）．
（1）当经过点时，求的表达式及顶点坐标；
（2）当经过坐标原点时，设与轴的另一个交点为点．上是否存在点，使的面积是面积的2倍？若存在，求出此时点的坐标，若不存在，说明理由；
（3）若与线段只有一个交点，直接写出的取值范围．
19．（2023·昔阳模拟）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P是直线上方的抛物线上一动点，设三角形的面积为S，求S的最大值及S取得最大值时点P的坐标；
（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
20．（2023·静乐模拟）抛物线与轴交于、（在的左边），轴交于，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线交抛物线于两点，点在抛物线上，且在直线下方的，若以为圆心的作，当与直线相切时，求最大半径及此时坐标；
（3）如图2，是抛物线上一点，连接交轴于，作关于轴对称的直线交抛物线于，连接，点是的中点，若的纵坐标分别是．求的数量关系．
21．（2023·泽州模拟）综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为，点C的坐标为．
（1）求二次函数的表达式和点B的坐标．
（2）若P为直线l上一点，Q为抛物线上一点，当四边形为平行四边形时，求点P的坐标．
（3）如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接，抛物线上是否存在点M，使？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2023·太谷模拟）综合与探究
如图，抛物线经过点，两点，与y轴交于点C，且，点D是抛物线上第一象限内的一个动点，设点D的横坐标为m．连接．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点D作与y轴的平行线的直线l，与交于点E，当是以为底边的等腰三角形时，求点D的坐标．
（3）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（2023·交城模拟）如图1，已知抛物线与直线交于，两点，与轴的另一个交点为A，点M是直线上方抛物线的一动点，过点M作轴，交于点E．
（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；
（2）当点E是的三等分点时，求此时点M的坐标；
（3）如图2，直线与抛物线交于A，F两点，，若点Q是轴上一点，且，请直接写出点Q的坐标．
24．（2023·翼城模拟）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．将沿所在的直线折叠，得到，点A的对应点为D．
（1）求点A，B，C的坐标．
（2）求直线的函数表达式．
（3）在抛物线上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2023·呼和浩特模拟）已知，二次函数与轴的一个交点为，且过和点．
（1）求a、b、c的值，并写出该抛物线的顶点坐标；
（2）将二次函数向右平移个单位，得到的新抛物线，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，若m是整数，请求出所有符合条件的新抛物线的解析式；
（3）已知M、P、Q是抛物线上互不重合的三点，已知P、Q的横坐标分别是，，点M与点P关于该抛物线的对称轴对称，求．
26．（2023·灯塔模拟）如图，在平而直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线交于点M，记，试求m的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，m取最大值时，是否存在x轴上的点Q及坐标平面内的点N，使得P，D，Q，N四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点和N点的坐标：若不存在，请说明理由．
27．（2023·开原模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点D的坐标为，并与x轴交于点A，点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一点（不与点D重合），直线将的面积分成两部分，求点P的坐标；
（3）点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度在y轴运动，运动时间为t秒，当时，求t的值．
28．（2023·立山模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，直线恰好经过两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线上一动点，连接，若的面积为6，求点的坐标；
（3）点是抛物线上一动点，连接，若，直接写出点的坐标．
29．（2023·锦州模拟）如图1，已知抛物线y=-x2-4x+5交x轴于点A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接AD．
（1）求直线AD的解析式．
（2）点E（m，0）、F（m+1，0）为x轴上两点，其中（-5＜m＜-3.5）EE′、FF′分别平行于y轴，交抛物线于点E′和F′，交AD于点M、N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使得|RE′-RF′|值最大，请求出点R的坐标及|RE′-RF′|的最大值．
（3）如图2，在抛物线上是否存在点P，使得△PAC是以AC为底边的等腰三角形，若存在，请出点P的坐标及△PAC的面积，若不存在，请说明理由．
30．（2023·立山模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点，点P为线段上一动点，连接并延长交抛物线于点H，连结，当四边形的面积为时，求点H的坐标；
（3）已知点E为x轴上一动点，点Q为第二象限抛物线上一动点，以为斜边作等腰直角三角形，请直接写出点E的坐标．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：把点和点代入，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
令y=0，则，
解得：，
∴点A（-1，0）；
（2）解：存在，理由如下：
∵点A（-1，0），点，点是线段的中点，
∴点，
设点E（0，m），
∴，
，
，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
整理得：，
解得：或-1，
∴点E的坐标为（0，3）或（0，-1）；
（3）解：∵点B（4，0），C（0，2），
∴OB=4，OC=2，
∴，
设直线BC的解析式为，
把点B（4，0），C（0，2）代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
设点，则，CF=a，
∴，
若∠PCM=2∠OBC，过点C作CF∥x轴交PM于点F，如图甲所示，
图甲
∴∠FCM=∠OBC，即，
∴∠PCF=∠FCM，
∵轴，
∴CF⊥PQ，
∴PM=2FM，
∴，
∴，解得：解得：a=2或0（舍去），
∴点P的横坐标为2；
若∠PMC=2∠OBC，
∵∠PMC=∠BMN，
∴∠BMN=2∠OBC，
∵∠OBC+∠BMN=90°，
∴∠OBC=30°，与相矛盾，不合题意，舍去；
若∠CPM=2∠OBC，如图乙所示，过点P作PG平分∠CPM，则∠MPG=∠OBC，
图乙
∵∠PMG=∠BMN，
∴△PMG∽△BMN，
∴∠PGM=∠BNM=90°，
∴∠PGC=90°，
∵PG平分∠CPM，即∠MPG=∠CPG，
∴∠PCM=∠PMC，
∴PC=PM，
∴，
解得：或0（舍去），
∴点P的横坐标为；
综上所述，点P的横坐标为2或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线解析式，令y=0可得点A坐标；
（2）由点A（-1，0），点，点是线段的中点可得，点，设点E（0，m）， 则，，
，根据是以为斜边的直角三角形，可得， 解之即可；
（3）先求出直线BC的解析式 ，设点，则，CF=a，则
，分为当∠PCM=2∠OBC、∠PMC=2∠OBC、 ∠CPM=2∠OBC时三种情况，利用二次函数的性质和等腰直角三角形，勾股定理等性质进行求解即可。
2．【答案】（1）解：对于直线BC解析式y=x-3，
令x=0时，y=-3，
则C（0，-3），
令y=0时，x=3，
则B（3，0），
把B（3，0），C（0，-3），分别代入，得
，解得：，
∴求抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3；
（2）解：对于抛物线y=-x2+4x-3，
令y=0，则-x2+4x-3=0，解得：x1=1，x2=3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴OA=1，OB=3，AB=2，
过点A作AN⊥BC于N，过点P作PM⊥BC于M，如图，
∵A（1，0），B（3，0），C（0，-3），
∴OB=OC=3，AB=2，
∴∠ABC=∠OCB=45°，
∴AN=，
∵，
∴PM=，
过点P作PEBC，交y轴于E，过点E作EF⊥BC于F，
则EF= PM=，
∴CE=1
∴点P是将直线BC向上或向下平移1个单位，与抛物线的交点，如图P1，P2，P3，P4，
∵B（3，0），C（0，-3），
∴直线BC解析式为：y=x-3，
∴平移后的解析式为y=x-2或y=x-4，
联立直线与抛物线解析式，得
或，
解得：，，，，
∴P点的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
（3）解：如图，点Q在抛物线上，且∠ACQ=45°，过点Q作AD⊥CQ于D，过点D作DF⊥x轴于F，过点C作CE⊥DF于E，
∵∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠CAD=45°，
∴CD=AD，
∵∠E=∠AFD=90°，
∴∠ADF=90°-∠CDE=∠DCE，
∴△CDE≌△DAD（AAS），
∴DE=AF，CE=DF，
∵∠COF=∠E=∠AFD=90°，
∴四边形OCEF是矩形，
∴OF=CE，EF=OC=3，
设DE=AF=n，
∵OA=1，
∴CE=DF=OF=n+1
∴DF=3-n，
∴n+1=3-n
解得：n=1，
∴DE=AF=1，
∴CE=DF=OF=2，
∴D（2，-2），
设直线CQ解析式为y=px-3，
把D（2，-2）代入，得p=，
∴直线CQ解析式为y=x-3，
联立直线与抛物线解析式，得
解得：，（不符合题意，舍去），
∴点Q坐标为（，）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得出抛物线的解析式；
（2）令y=0，则-x2+4x-3=0，解得x的值，得出OA=1，OB=3，AB=2，过点A作AN⊥BC于N，过点P作PM⊥BC于M，由点A、B、C的坐标得出OB=OC=3，AB=2，由，得出PM=，CE=1，由点B、C的坐标得出直线BC解析式，平移后的解析式为y=x-2或y=x-4，联立直线与抛物线解析式即可得出点P的坐标；
（3）点Q在抛物线上，且∠ACQ=45°，过点Q作AD⊥CQ于D，过点D作DF⊥x轴于F，过点C作CE⊥DF于E，利用AAS证出△CDE≌△DAD，得出DE=AF，CE=DF，推出四边形OCEF是矩形，设DE=AF=n，得出n的值，从而得出点D的坐标，再利用代入法得出直线CQ解析式，联立直线与抛物线解析式，即可得出点Q的坐标。
3．【答案】（1）解：将点，代入中，
得，
解这个方程组得，
二次函数的表达式为；
（2）解：过点作轴于点，如图：
设面积为，
根据题意得：，．
，
，
在中，令得，
，
，
．
，
，
，
当时，的面积最大，最大面积是；
（3）解：存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由，得直线解析式为，
设，，又，，
当，是对角线，则，的中点重合，
，
解得与重合，舍去或，
；
当，为对角线，则，的中点重合，
，
解得舍去或，
；
当，为对角线，则，的中点重合，
，
解得或，
或，
综上所述，的坐标为或或或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）将A（-1，0）、B（5，0）代入y=-x2+bx+c中求出b、c的值，进而可得二次函数的解析式；
（2）过点M作ME⊥x轴于点E，设△BMN面积为S，根据题意得ON=t，BM=t，由点B的坐标可得BN=5-t，令二次函数解析式中的x=0，求出y的值，可得点C的坐标，进而得到∠OBC=45°，然后根据三角函数的概念可得ME，再根据三角形的面积公式表示出S，利用二次函数的性质进行解答；
（3）存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，利用待定系数法求出直线BC的解析式，设Q（m，-m+5），P（n，-n2+4n+5），然后分①PQ、AC为对角线，②QA、PC为对角线，③QC、PA为对角线，结合中点坐标公式可得m的值，进而可得点Q的坐标.
4．【答案】（1）解：①∵抛物线与x轴相交于点，
∴．又，得．
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴点P的坐标为．
②当时，由，
解得．
∴点B的坐标为．
设经过B，P两点的直线的解析式为，
有解得
∴直线的解析式为．
∵直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，如图所示：
∴点M的坐标为，点G的坐标为．
∴．
∴当时，有最大值1．
此时，点M的坐标为，点G的坐标为．
（2）解：由（Ⅰ）知，又，
∴．
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴顶点P的坐标为．
∵直线与抛物线相交于点N，
∴点N的坐标为．
作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，如图所示：
得点的坐标为，点的坐标为．
当满足条件的点E，F落在直线上时，取得最小值，
此时，．
延长与直线相交于点H，则．
在中，．
∴．
解得（舍）．
∴点的坐标为，点的坐标为．
则直线的解析式为．
∴点和点．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）①利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得到顶点P的坐标；
②求出直线BP的解析式，设点M的坐标为，点G的坐标为，再表示出，最后利用二次函数的性质求解即可；
（2）先求出点N的坐标为，作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，得点的坐标为，点的坐标为，延长与直线相交于点H，则，利用勾股定理可得，求出a的值，即可得到点的坐标为，点的坐标为，再求出直线的解析式为，最后求出点E、F的坐标即可。
5．【答案】（1），点C的坐标为；
（2）解：∵点P在第一象限抛物线上，横坐标为m，且轴于点D，
∴点P的坐标为，，
∴．
∵点B的坐标为，点C的坐标为，
∴，．
过点C作于点G，则．
∵，
∴四边形CODG是矩形，
∴，，．
∴．
∵，
∴．
∴，即，
∴．
在中，
∵，
∴．
∴，
∴
解得（舍去），
∴．
当时，﹒
∴点P的坐标为．
（3）存在；m的值为4或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：(1)由得，
当时，，
∴点C的坐标为．
当时，，
解得．
∵点A在点B的左侧，
∴点A，B的坐标分别为．
设直线BC的函数表达式为，
将，代入得，
解得，
∴直线BC的函数表达式为﹒
(3)存在；m的值为4或．
分两种情况，①当点F在y轴的负半轴上时，如下图所示，过点P作直线轴于点H，
∵过点P作直线，交y轴于点F，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
由（2）知，．
根据勾股定理，在中，，
在中，，
当时，，
∵，
∴，
∴，
解得或，
∵点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，
∴；
②当点F在y轴的正半轴上时，如下图所示，
同理可得，，，，，
∴
∴，
解得或，
∵点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，
∴；
综上，m的值为4或
【分析】（1）将x=0和y=0分别代入即可求出点A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；
（2）过点C作于点G，则，证明可得，即，求出，再根据可得，再求出m的值，然后将m的值代入 求出y的值，即可得到点P的坐标；
（3）分两种情况，①当点F在y轴的负半轴上时，②当点F在y轴的正半轴上时，再分别画出图象并求解即可。
6．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，顶点为，
∴解得
∴该抛物线的解析式为．
（2）证明：如图．过点M作轴，垂足为D．
当与都以为底时，
∵，∴．
当时，则，
解得．
∵，∴，
∴．设点M的坐标为，
∵点M在第一象限，∴，
∴，∴．
设直线的解析式为，
∴解得
∴直线的解析式为．
设直线的解析式为，
∵直线，∴，
∴，∵，∴．
∴直线的解析式为，将其代入中，
得，∴，解得．
∵点N在第二象限，∴点N的横坐标为，
∴，∴．
∵，
∴点N与点M关于y轴对称．
（3）解：如图．
存在点M，使得．理由如下：
过点M作轴，垂足为E．
∵，
∴．
∵，∴，∴．
在和中，
∵，∴，
∴．
∵，∴，
在和中，∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
当时，，
∴．
∴存在点，使得．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可；
（2）过点M作轴，垂足为D，根据面积关系得出，设点M的坐标为， 求出点M的坐标，用待定系数法求出直线的解析式 ，根据点C的坐标求出 直线的解析式 ，确定点N的坐标，即可得出结论；
（3）过点M作轴，垂足为E． 令， 可得 ，利用三角函数得出OH和OG的代数式，根据， 可得关于m的方程，解之即可。
7．【答案】（1）解：把点和分别代入可得
，
解得
∴抛物线的解析式为
把代入可得
∴；
（2）解：作直线，作轴交直线于点N
设直线的解析式为（）
把点和分别代入
可得
解得
∴直线的解析式为
设点M的横坐标为m
∴，
∴
∴
（）
∴当时，S有最大值为
把代入可得
∴；
（3）解：当以为边时，只要，且即可
∴点P的横坐标为4或-4
把代入可得
把代入可得
∴此时，
当以为对角线时，作轴于点H
∵四边形是平行四边形
∴
∴
在和中
∴
∴
∴
∴点P的横坐标为2
把代入可得
∴此时
综上所述，满足条件的点P坐标为，，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2）设直线的解析式为（），利用待定系数法得出直线的解析式，设点M的横坐标为m，得出点M、N的坐标，得出MN的解析式，根据三角形面积公式得出当时，S有最大值，再将其代入即可得出点M的坐标；
（3）当以为边时，只要，且即可，得出点P的横坐标为4或-4，分别将其代入得出点P的坐标，由三角形全等证出，得出，推出OH的值，得出点P的横坐标，将x=2代入得出此时P的坐标，即可得出所有满足条件的点P坐标。
8．【答案】（1）解：将、两点代入得，
，解得：
∴抛物线的解析式为：
（2）解：由可得，
设点
则
∵，
∴
∴
解得：（舍去）
∴
（3）解：如图，作CE⊥l，PQ⊥BC，PN⊥x轴，连接PC交x轴于点H，
设，PC的表达式为：，
将P，C代入得，
解得：
PC的表达式为：，
将y=0代入得，，即，
∴
∵
∴
∵
∴
∵
由题可知，
∴
将代入得，，
∴
∴
∵，PQ⊥BC，CE⊥l，
∴
∴
∴
解得：（舍去）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用三角形的面积公式求解即可；
（3）先求出 PC的表达式为：， 再利用勾股定理和相似三角形的判定与性质求解即可。
9．【答案】（1）解：∵，
令 则
令 则
解得：
∴
（2）解：∵
∴
而
∴
∴当S最大时，则
（3）解：如图，延长DC与x轴交于点N，过A作于H，过Q作轴于K，连接BD，
，
∵抛物线
∴顶点
轴，
∴
设为
解得
∴为
联立：
解得：
所以
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点C的坐标，再列方程求解即可；
（2）利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）利用勾股定理，锐角三角函数，待定系数法求函数解析式即可。
10．【答案】（1）解：①把点和点代入得：，解得：，∴抛物线解析式为；
②直线AD的解析式为；
（2）解：如图，过点E作EG⊥x轴交AD于点G，过点B作BH⊥x轴交AD于点H，
当x=6时，，∴点H（6，-4），即BH=4，设点，则点， ∴，∵的面积记为，的面积记为，且，∴BF=2EF，∵EG⊥x，BH⊥x轴，∴△EFG∽△BFH，∴，∴，解得：或0（舍去），∴点E的坐标为（2，-4）；
（3）解：点P的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】（1）②令y=0，则，解得：，
∴点A（-2，0），设直线AD的解析式为，
∴把点和点A（-2，0）代入得：，解得：，∴直线AD的解析式为；
(3)，
∴点G的坐标为（2，-4），当x=0时，y=-3，即点C（0，-3），
∴点，∴向上翻折部分的图象解析式为，
∴向上翻折部分平移后的函数解析式为，平移后抛物线剩下部分的解析式为，设直线BC的解析式为，把点B（6，0），C（0，-3）代入得：，解得：，
∴直线BC的解析式为，同理直线的解析式为，
∴BC∥C′G′，设点P的坐标为，∵点，
∴点 C′向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点 G′，
∵四边形是平行四边形，
∴点，当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时，
，解得：（不合题意，舍去），当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时，，解得：或（不合题意，舍去），当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，，解得：或 （不合题意，舍去），综上所述，点P的坐标为．
【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式即可；
②先求出点A（-2，0），再求出，最后求函数解析式即可；
（2）先求出 点H（6，-4）， 再求出 BF=2EF ，最后列方程求解即可；
（3）结合函数图象，利用待定系数法求解即可。
11．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝x2+x+3；
（2）解：∵抛物线y＝x2+x+3与y轴交于点C，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（6，0）、C（0，3）代入，
得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P的横坐标为m，则P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），
∴h＝m2+m+3﹣（﹣m+3）＝m2+m，
∵点P是第一象限内抛物线上的一个动点，
∴0＜m＜6，
∴h＝m2+m（0＜m＜6）；
（3）解：如图，过点E、F分别作EH⊥y轴于点H，FG⊥y轴于点G，
∵P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），
∴PE＝m2+m，
∵PF⊥CE，
∴∠EPF+∠PEF＝90°，
∵PD⊥x轴，
∴∠EBD+∠BED＝90°，
又∵∠PEF＝∠BED，
∴∠EPF＝∠EBD，
∵∠BOC＝∠PFE＝90°，
∴△BOC∽△PFE，
∴＝，
在Rt△BOC中，BC＝＝＝3，
∴EF＝×PE＝（m2+m）＝（m2+m），
∵EH⊥y轴，PD⊥x轴，
∴∠EHO＝∠EDO＝∠DOH＝90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴EH＝OD＝m，
∵EH//x轴，
∴△CEH∽△CBO，
∴＝，即＝，
∴CE＝m，
∵CF＝EF，
∴EF＝CE＝m，
∴m＝（m2+m），
解得：m＝0或m＝1，
∵0＜m＜6，
∴m＝1；
（4）解：∵抛物线y＝x2+x+3，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴设Q（2，t），设抛物线对称轴交x轴于点H，交CP边于点G，
则GQ＝3﹣t，CG＝2，∠CGQ＝90°，
①当点O′恰好落在该矩形对角线OD所在的直线上时，如图，
则CQ垂直平分OO′，即CQ⊥OD，
∴∠COP+∠OCQ＝90°，
又∵四边形OCPD是矩形，
∴CP＝OD＝4，OC＝3，∠OCP＝90°，
∴∠PCQ+∠OCQ＝90°，
∴∠PCQ＝∠COP，
∴tan∠PCQ＝tan∠COP＝＝，
∴＝tan∠PCQ＝，
∴＝，
解得：t＝，
∴Q（2，）；
②当点O′恰好落在该矩形对角线CD上时，如图，连接CD交GH于点K，
∵点O与点O′关于直线CQ对称，
∴CQ垂直平分OO′，
∴∠OCQ＝∠DCQ，
∵GH//OC，
∴∠CQG＝∠OCQ，
∴∠DCQ＝∠CQG，
∴CK＝KQ，
∵C、P关于对称轴对称，即点G是CP的中点，GH//OC//PD，
∴点K是CD的中点，
∴K（2，），
∴GK＝，
∴CK＝KQ＝﹣t，
在Rt△CKG中，CG2+GK2＝CK2，
∴22+（）2＝（﹣t）2，
解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣1，
∴Q（2，﹣1）；
③当点O′恰好落在该矩形对角线DC延长线上时，如图，过点O′作O′K⊥y轴于点K，连接OO′交CQ于点M，
∵点O与点O′关于直线CQ对称，
∴CQ垂直平分OO′，
∴∠OCM＝∠O′CM，∠OMC＝∠O′MC＝90°，O′C＝OC＝3，
∵∠O′KC＝∠DOC＝90°，∠O′CK＝∠DCO，
∴△O′CK∽△DCO，
∴＝＝，即＝＝，
∴O′K＝，CK＝，
∴OK＝OC+CK＝3+＝，
∴O′（﹣，），
∵点M是OO′的中点，
∴M（﹣，），
设直线CQ的解析式为y＝k′x+b′，
则，
解得：，
∴直线CQ的解析式为y＝x+3，
当x＝2时，y＝×2+3＝4，
∴Q（2，4）；
综上所述，点Q的坐标为（2，）或（2，﹣1）或（2，4）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求出 直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 再求出 0＜m＜6， 最后求解即可；
（3）利用相似三角形的判定与性质，勾股定理计算求解即可；
（4）分类讨论，结合函数图象，计算求解即可。
12．【答案】（1）解：把点和代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过点D作DH∥y轴，交AC于点H，如图所示：
设，直线AC的解析式为，
由（1）可得：，
∴，解得：，
∴直线AC的解析式为，
∴，
∴，
∵DH∥y轴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，
∴；
（3）解：点P的横坐标为或或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】（3）解：由题意可得如图所示：
分别过点C、Q作垂线，交过点P作y轴的平行线于点G、H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设点，由题意可知：抛物线的对称轴为直线，，
∴，
∴，
当时，解得：，
当时，解得：
综上：点P的横坐标为或或或．
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）过点D作DH∥y轴，交AC于点H，先求出直线AC的解析式，设，再根据可得，再求出m的值即可；
（3）分别过点C、Q作垂线，交过点P作y轴的平行线于点G、H，先证明可得，设点，求出，即可得到，再求出n的值即可。
13．【答案】（1）解：将A（ 1，0），C（0，2）代入，
∴，
解得，
∴
（2）解：令y＝0，则，
解得x＝ 1或x＝4，
∴B（4，0），
∴OB＝4，
∴，
∴OD＝4，
∴D（0， 4），
设直线BD的解析式为y＝kx＋b，
∴，
解得，
∴y＝x 4，
联立方程组，
解得或，
∴P（ 3， 7）；
（3）解：如图1，当在第一象限时，
设直线BC的解析式为，
，
解得，
∴，
设E（t，），
∴OE＝t，EH＝，
∵D（0， 4），B（4，0），
∴OB＝OD，
∴∠ODB＝45°，
∵直线与直线BP相交所成锐角为45°，
∴，
由折叠可知，，，
在中，，
∴，
∴
在Rt△BHE中，，
解得，
∵0≤t≤4，
∴t＝，
∴；
如图2，当在第二象限，时，
∵∠ABP＝45°，
∴轴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠可知，
∴平行四边形是菱形，
∴BE＝OB，
∴，
解得或，
∵0≤t≤4，
∴，
∴；
综上所述：的坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出直线BD的解析式，再联立方程组求出x、y的值即可；
（3）分情况讨论： ①当在第一象限时，②当在第二象限，时，再分别画出图象并求解即可。
14．【答案】（1）解：直线与，轴分别交于点，，
令，解得，则点，
令，解得，则点，
抛物线过点，
；
（2）解：，
对称轴为直线，
当，时，随的增大而增大，
当时，有最大值，
，
解得：，
当，时，随的增大而减小，
当时，有最大值，
，
解得：，
综上所述，
（3）解：当时，则，
如图所示，过点作轴于，
，
点坐标为，，
，，
，轴，
，
，，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）分别令，，可得点，点，将点A代入抛物，可得c的值；
（2）先求出函数的对称轴，再根据二次函数的性质分为 和 两种情况进行求解；
（3） 当时，则，过点作轴于，先求出点P的坐标，再证明，，，根据三角形面积公式可得。
15．【答案】（1）解：把，代入抛物线得：，
∵抛物线与x轴交于点，
∴，
解得：，
∴，
∴抛物线顶点坐标为．
（2）解：把代入抛物线得：，
∴，
则抛物线，
∵两根之积，
∴，
∵，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为．
（3）解：∵点在抛物线上，
由（2）得：，
∴，
∵，
∴，
由抛物线可得顶点B的坐标为，
把C点坐标代入直线解析式得：，
把B点坐标代入得：，
联立①、②并求解得：、或、，
∵，
∴，，
∴抛物线解析式为，如图所示
A、B、C点的坐标分别为、、，
∴当时，的最小值是，无最大值，
∴的取值范围为：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点A的坐标和a、c的值代入求出解析式，再求出顶点坐标即可；
（2）将点A的坐标代入解析式可得，再求出，最后求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为即可；
（3）先求出抛物线的解析式，再求出点A、B、C的坐标，最后结合图象求出即可。
16．【答案】（1）解：∵抛物线经过原点
∴对称轴为
∵直线经过抛物线的顶点B
设
∵抛物线经过原点
，即
故抛物线的解析式为；
（2）证明：
轴
；
（3）解：如图，记CE与y轴交于点M，过点B作，垂足为点N
设，则
由（2）知，轴
又
轴
∴
，即
解得或
经检验，不符合题意，舍去
故点C的坐标为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行线的判定与性质；三角形的外角性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先确定顶点坐标，设其顶点式，再将原点代入计算，可得解析式；
（2）由 知，再由轴知，根据勾股定理可得，，从而得到，则；
（3）记CE与y轴交于点M，过点B作，垂足为点N ， 设，则，由知，，根据可得，据此得出方程，解之可得。
17．【答案】（1）解：∵点在抛物线，且抛物线的对称轴是直线，
∴，解得，
∴抛物线的函数解析式为；
（2）解：如图，过Ａ作交于点G，过G作轴于点Ｈ，
令，则；
令，则，
解得，，
∴，，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
∵，，，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
同理求得直线的解析式为，
解方程，
解得，，
当时，，
∴；
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平移的性质；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（3）∵过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，，
∴，，
设沿x轴向右平移后为，
当时，设交y轴于点F，
由平移的性质得，，，，
∴，则，即，
∴；
当时，；
当时，设交轴于点Ｉ，
则，同理
∴；
综上，．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）过Ａ作交于点G，过G作轴于点Ｈ， 用待定系数法求出直线的解析式为， 根据A、B、C三点坐标可得，，，，根据和三角函数定义，
得出，即，，证明为等腰直角三角形，得出，，，
同理求得直线的解析式为，联立抛物线解析式解方程，即可求出点P；
（3）先求出点D、点E的坐标，设沿x轴向右平移后为，分为三种情况进行求解，当时，设交y轴于点F，根据平移的性质和三角函数的定义求出；当时，； 当时，设交轴于点Ｉ，则，同理，则。
18．【答案】（1）解：当时，，
∴，
∴．
把代入，得
∴，
∴
∴顶点坐标为：；
（2）解：存在．
把代入，得，
∴．
解方程，得
，
∴．
设，连接，如图，
∵的面积是面积的2倍，
∴，
∴，
∴，
解得，无实数根，
解得，，
∴或；
（3）解：∵
=，
∴抛物线的开口向上，大小不变，顶点在对称轴直线上移动．
当顶点在直线的下侧时，
对于，当时，，
∴．
把代入，得
∴，
把代入，得
，
∴当时，与线段只有一个交点．
当顶点在直线的上侧时，
联立解析式得，，
即，
由题意得，，
解得．
综上可知，当或时，与线段只有一个交点．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出点A的坐标，再求出 ， 最后求解即可；
（2）先求出 ，再求出 ， 最后求点的坐标即可；
（3）先求出 抛物线的开口向上，大小不变，顶点在对称轴直线上移动，再求出， 最后求解即可。
19．【答案】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于两点，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过作轴交于点，
在中，令，则，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
设，则，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为，
此时
∴；
（3）解：存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设，，
当为平行四边形的对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同得：
，
解得（舍）或，
∴；
②当为平行四边形的对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同得：
，
解得（舍）或，
∴；
③当为平行四边形的对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同得：
，
解得或，
∴或；
综上所述，存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入求出a、b的值即可；
（2）先求出直线AC的解析式，设，则，求出，再利用割补法求出 ，再求出点P的坐标即可；
（3）设，，分类讨论：①当为平行四边形的对角线时，②当为平行四边形的对角线时，③当为平行四边形的对角线时， 再分别求解即可。
20．【答案】（1）解：∵A（-1，0），∴OA=1，
∵OB= OC=4OA=4，
∴B（4，0），C（0，-4），
则，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：作PH∥轴交DE于点H，设与DE相切于Q，则，如图：
∵直线DE的解析式为，
∴∠EOB=，
∴∠FHQ=，
∴△FHQ是等腰直角三角形，
当FH的长取得最大值时，⊙F的半径最大，
设F（，），则H（，），
∴FH=
，
∵，
∴当时，FH取得最大值，
此时F（，），
⊙F的最大半径：；
（3）解：∵若G的纵坐标分别是t，
∴G （，），
设直线AM的解析式为，
把A（-1，0）代入得：，
∴，
∴直线AM的解析式为，
联立直线AM与抛物线得得，
∴，即，
∵直线AM与直线AN关于轴对称，则直线AN与轴的交点I的坐标为（，），
同理可求得直线AN的解析式为，，
又，
，
，
，
，
即．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点B、C的坐标，再将其代入求出b、c的值，即可得到；
（2）作PH∥轴交DE于点H，设与DE相切于Q，则，当FH的长取得最大值时，⊙F的半径最大，求出FH=，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）先求出直线AM的解析式，再联立方程组可得，求出，即，再求出，求出，可得，再化简可得。
21．【答案】（1）解：∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，解得：，
∴二次函数的表达式为；
令，则，
解得：，
∴点B的坐标为；
（2）解：如图，
∵点B的坐标为，
∴，
设直线l的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线l的解析式为，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴轴，
设点P的坐标为，则点Q的坐标为，
∴，
∴，
解得：或0（舍去），
∴点P的坐标为；
（3）解：对于，
令，，
∴点D的坐标为，
∴，
∵点，
∴，，
如图，过点A作于点E，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
过点M作轴于点F，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设点M的坐标为，
∴，
∴，
解得：（舍去）或2或4，
∴点M的坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；等腰直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再求出y=0时x的值，即得点B坐标；
（2）先求直线l的解析式为， 由平行四边形的性质可得，
设点P的坐标为，则点Q的坐标为，可得，由PQ=3建立方程，解之即可；
（3）求D（0，-6）即得OD=6，由A、B的坐标，可求出AB=5，BD=3，AD=2， 过点A作于点E， 易证是等腰直角三角形，可得，即得∠MAB=45°，
过点M作轴于点F，可得是等腰直角三角形，即得，设点M的坐标为，则，由建立方程并解之即可.
22．【答案】（1）解：∵经过点，两点，，则
，
解得，，，，
∴．
（2）解：设直线BC解析式为，将点、的坐标代入，
并解得：，，
直线BC的表达式为：，
设直线l与x轴交于点M．
设点，则点，
过点C作，垂足为H，则四边形是矩形．
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：（舍去），，
故，
∴，
∴点D的坐标为；
（3）解：存在．
设点，
如图所示，当四边形是菱形时，
∵，四边形是菱形，
∴，
∴；
如图所示，当四边形是菱形时，
∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴；
如图所示，当四边形是菱形时，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴；
如图所示，当四边形是菱形时，
∵四边形是菱形，
∴设，则，
∴在中，
，即，
∴解得，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上所述，点N的坐标为，，，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点C的坐标，再将点A、B、C的坐标代入求出a、b、c的值即可；
（2）过点C作，垂足为H，则四边形是矩形，设点，则点，再结合，可得，求出m的值，再求出点D的坐标即可；
（3）分类讨论：①当四边形是菱形时，②当四边形是菱形时，③当四边形是菱形时，④当四边形是菱形时，再分别画出图象并求解即可。
23．【答案】（1）解：将，代入，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
∵直线经过点，，
∴设直线的解析式，
将，代入得：，
得．
∴直线的解析式为．
（2）解：设点，则点，
则，
，
当时，
，
解得（不合题意，舍去），
当时，，
∴点M的坐标是，
当时，
，
解得（不合题意，舍去），，
当时，，
∴此时点M的坐标是，
综上可知，点M的坐标为或；
（3）解：∵当时，，
解得，
∴；
设直线的解析式为，把，代入得到，
，
得．
∴直线的解析式为．
当时，，
∴点，
设点，作于点N，
则，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点B、C的坐标分别代入二次函数和一次函数解析式求出答案即可；
（2）设点，则点，求出ME和DE的长，再分类讨论：①当时，②当时，再分别列出方程求解即可；
（3）先求出直线AF的解析式，设点，作于点N，则，，再结合，可得，求出p的值，即可得到点Q的坐标。
24．【答案】（1）解：当时，，
解得，，
∵点B在点A的右侧，
，
当时，，
．
（2）解：如图，过点D作轴于点E，
∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
又∵将沿所在的直线折叠得到，点A的对应点为D，
∴三点在一条直线上，
由轴对称的性质得：，，
∵，，
∴，
∴为的中位线，，
∴，
∴，
设直线的函数表达式为，
将点，代入得：，解得，
则直线BD的函数表达式为．
（3）解：在抛物线上存在点P，使，
①如图，当点P在BC下方时，
∵，
∴，
∴点C，P的纵坐标相等，
∴点P的纵坐标为，
令，则，解得，（舍去），
∴；
②如图，当点P在上方时，
由（2）可知，A，C，D三点在一条直线上，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
则可设直线的函数表达式为，
∵点C的坐标为，
∴，
∴直线的函数表达式为，
当时，解得，（舍去），
∴点的横坐标为，
当时，，
∴，
综上，在抛物线上存在点P，使，点P的坐标为或．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将x=0和y=0分别代入求出点A、B、C的坐标即可；
（2）过点D作轴于点E，先求出AB、AC和BC的长，再利用勾股定理的逆定理证出，再求出为的中位线，，可得，证出点D的坐标，再利用待定系数法求出直线BD的解析式即可；
（3）分类讨论：①当点P在BC下方时，②当点P在上方时，再分别画出图象并求解即可。
25．【答案】（1）解：∵二次函数与轴的一个交点为，且过和，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为，
∴二次函数化为顶点式为，
∴二次函数顶点为
（2）解：如图∶
将二次函数，的图象向右平移个单位得的图象，
∴新图象的对称轴为直线，
∵当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，且抛物线开口向下，
∴，
解得，
∵是整数，
∴，或或，
∴或或，
∴符合条件的新函数的解析式为或或；
（3）解：当在左侧时，过作于，如图，
∵点、的横坐标分别是、，
∴，，
∴，，
∵点与点关于该抛物线的对称轴对称，而抛物线对称轴为直线，
∴，
，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
当在右侧时，如图，
同理可得是等腰直角三角形，，
∴，
综上所述，的度数是或．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）先求出 二次函数的表达式为， 再求顶点坐标即可；
（2）根据题意先求出 ，或或， 再求函数解析式即可；
（3）分类讨论，结合函数图象判断求解即可。
26．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴，解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
∴点，
如图1，过点P作轴交直线于E，连接，
设直线的解析式为，
∵，，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵直线与y轴交于点D，
∴，
∴，
∵轴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当时，m取得最大值，此时点P的坐标为；
（3）解：存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．满足条件的，；，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：(3)存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．
①当是矩形的边时，有两种情形，
a、如图2-1中，四边形是矩形时，
有（2）可知，代入中，得到，
∴直线的解析式为，可得，
由可得，
∴，
∴，
∴，
∴．
根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，
∴，即
b、如图22中，四边形是矩形时，
∵直线的解析式为，，
∴直线的解析式为，
∴，
根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，
∴，即．
②当是对角线时，设，
则，，，
∵Q是直角顶点，
∴，
∴，
整理得，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的，；，．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 点， 再利用待定系数法求出 直线的解析式为， 最后利用相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（3）分类讨论，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理计算求解即可。
27．【答案】（1）解：∵顶点D的坐标为，
∴可设抛物线的表达式为：，
将点B的坐标代入上式得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：令，，
解得：，
∴点，
∴，
当点P在点D的右侧时，设直线交x轴于点T，如图，
∵直线将的面积分成两部分，
∴将的面积分成两部分，
即点T将分为两部分，
∴，
∴，
即点，
设直线的表达式为：，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的表达式为：y=-4x+8，
联立：
解得：或，
∴此时点P的坐标为；
当点P在点D的左侧时，同理得，直线的表达式为：，
联立，解得：或，
∴点P的坐标为，
综上，点P的坐标为或；
（3）解：如图，在线段上取点N，使，连接，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点N作于点H，
∵，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
当点Q在x轴下方时，
∴，
∴点Q的坐标为，
∴，
∵点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度在y轴运动，
∴；
当点Q在x轴上方时，
同理得，点Q的坐标为，
∴，
∵点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度在y轴运动，
∴；
综上所述，或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出AB=4，再分类讨论，先求出函数解析式，再求点的坐标即可；
（3）分类讨论，利用锐角三角函数计算求解即可。
28．【答案】（1）解：对于，当时，；当时，，
∴，
将两点坐标分别代入中，得
解得
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图1，当点在直线的上方时，
过点作轴的垂线，交直线于点，
设点，点，
则，
∵，
∴，解得或
∴点或；
如图2，当点在直线的下方时，
连接，
设点，
∵，
∴，
整理得
∵，
∴方程无实数根，
∴此种情况不存在，
综上，点的坐标为或；
（3）解：点的坐标为或．
【知识点】锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】(3)解：如图3，当点在x轴的上方时，在上取点G，使，作于点F，作于点H，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
设，
解得，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
设，
∴，
解得（舍去），，
∴，
∴；
如图4，当点E在x轴的下方时，
同理可求，
∴．
设，
∴，
解得（舍去），，
∴，
∴；
综上，点的坐标为或．
【分析】（1）先求出 ， 再利用待定系数法求出抛物线的解析式为即可作答；
（2）分类讨论，结合函数图象，利用三角形之间的面积关系，列方程计算求解即可；
（3）分类讨论，结合函数图象，利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可。
29．【答案】（1）解：如图1，∵y=-x2-4x+5=-（x+5）（x-1）或y=-（x+2）2+9，
∴A（-5，0），B（1，0），D（-2，9）．
设直线AD的解析式为：y=kx+b（k≠0），把A、D的坐标代入，得
，
解得．
故直线AD的解析式为：y=3x+15；
（2）解：如图1，∵EE′∥y轴，FF′∥y轴，E（m，0）、F（m+1，0），
∴E（m，-m2-4m+5）、F（m+1，-（m+1）2-4（m+1）+5），M（m，3m+15），N（m+1，3（m+1）+15），
∴ME′=-m2-4m+5-（3m+15）=-m2-7m-10，NF′=-m2-9m-18，
∴ME′+NF′=-m2-7m-10-m2-9m-18=2m2-16m-28．
∵-2＜0，
∴m=-=-4，
∴ME′+NF′有最大值，此时E′（-4，5），F′（-3，8），
要使|RE′-RF′|值最大，则点E′、F′、R三点在一条直线上，
∴设直线E′F′：y=kx+b（k≠0），则
，
解得，
∴直线E′F′：y=3x+17（k≠0）．
当x=0时，y=17，则点R的坐标是（0，17）．
此时，|RE′-RF′|的最大值为；
（3）解：如图2，设点P（x，-x2-4x+5）．
当PA=PC时，点P在线段AC的垂直平分线上，
∵OC=OA，
∴点O在线段AC的垂直平分线上，
∴点P在∠AOC的角平分线上，
∴-x=-x2-4x+5，
解得x1=，x2=，
∴P（，），P′（，）．
∴PH=OP-OH=，P′H=OP′+OH=，
∴S△PAC=AC PH=××=或S△PAC=AC P′H=××=．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点A、B、D的坐标，再利用待定系数法求出直线AD的解析式即可；
（2）先求出ME′+NF′有最大值，此时E′（-4，5），F′（-3，8），要使|RE′-RF′|值最大，则点E′、F′、R三点在一条直线上，利用待定系数法求出直线E′F′：y=3x+17，再求出点R的坐标，最后求出|RE′-RF′|的最大值为即可；
（3）设点P（x，-x2-4x+5），根据题意列出方程-x=-x2-4x+5，求出x的值，可得点P、P'的坐标，再求出PH和P'H的长，最后利用三角形的面积公式求出△PAC的面积即可。
30．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点，，表示点Q坐标，代入解析式解题即可．
代入，得
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，连接，∵，∴，
设H点坐标为，
则
解得：或，
∴点H的坐标为或
（3）或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形全等及其性质；等腰直角三角形；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）点E的坐标为或
设点E坐标为
如图，过Q作于点M，
∴
又∵
∴
∴∠
∴
∴，
∴Q点坐标为(
又∵Q在抛物线上，
∴，
解得或（舍）
则Q点坐标为
如图，过Q作于点M，
∴
又∵
∴
∴∠
∴
∴，
∴Q点坐标为(
又∵Q在抛物线上，
∴，
解得或（舍）
则Q点坐标为
综上所述，Q点坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）连接， 先求出，设H点坐标为，则
，解之可得：或，代入抛物线解析式即可求出点H的坐标；
（3）设点E坐标为，分为两种情况进行求解：过Q作于点M，证明，则，，点Q坐标为(，将点Q代入抛物线解析式可得方程，解之即可。
1 / 1备考2023年中考数学压轴题训练 ——二次函数（2）
一、真题
1．（2022·呼和浩特）如图，抛物线经过点和点，与轴的另一个交点为，连接、．
（1）求抛物线的解析式及点的坐标；
（2）如图1，若点是线段的中点，连接，在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，分别交、轴于点、，当中有某个角的度数等于度数的2倍时，请求出满足条件的点的横坐标．
【答案】（1）解：把点和点代入，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
令y=0，则，
解得：，
∴点A（-1，0）；
（2）解：存在，理由如下：
∵点A（-1，0），点，点是线段的中点，
∴点，
设点E（0，m），
∴，
，
，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
整理得：，
解得：或-1，
∴点E的坐标为（0，3）或（0，-1）；
（3）解：∵点B（4，0），C（0，2），
∴OB=4，OC=2，
∴，
设直线BC的解析式为，
把点B（4，0），C（0，2）代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
设点，则，CF=a，
∴，
若∠PCM=2∠OBC，过点C作CF∥x轴交PM于点F，如图甲所示，
图甲
∴∠FCM=∠OBC，即，
∴∠PCF=∠FCM，
∵轴，
∴CF⊥PQ，
∴PM=2FM，
∴，
∴，解得：解得：a=2或0（舍去），
∴点P的横坐标为2；
若∠PMC=2∠OBC，
∵∠PMC=∠BMN，
∴∠BMN=2∠OBC，
∵∠OBC+∠BMN=90°，
∴∠OBC=30°，与相矛盾，不合题意，舍去；
若∠CPM=2∠OBC，如图乙所示，过点P作PG平分∠CPM，则∠MPG=∠OBC，
图乙
∵∠PMG=∠BMN，
∴△PMG∽△BMN，
∴∠PGM=∠BNM=90°，
∴∠PGC=90°，
∵PG平分∠CPM，即∠MPG=∠CPG，
∴∠PCM=∠PMC，
∴PC=PM，
∴，
解得：或0（舍去），
∴点P的横坐标为；
综上所述，点P的横坐标为2或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线解析式，令y=0可得点A坐标；
（2）由点A（-1，0），点，点是线段的中点可得，点，设点E（0，m）， 则，，
，根据是以为斜边的直角三角形，可得， 解之即可；
（3）先求出直线BC的解析式 ，设点，则，CF=a，则
，分为当∠PCM=2∠OBC、∠PMC=2∠OBC、 ∠CPM=2∠OBC时三种情况，利用二次函数的性质和等腰直角三角形，勾股定理等性质进行求解即可。
2．（2022·通辽）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线方程为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标；
（3）点是抛物线上一点，若，求点的坐标．
【答案】（1）解：对于直线BC解析式y=x-3，
令x=0时，y=-3，
则C（0，-3），
令y=0时，x=3，
则B（3，0），
把B（3，0），C（0，-3），分别代入，得
，解得：，
∴求抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3；
（2）解：对于抛物线y=-x2+4x-3，
令y=0，则-x2+4x-3=0，解得：x1=1，x2=3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴OA=1，OB=3，AB=2，
过点A作AN⊥BC于N，过点P作PM⊥BC于M，如图，
∵A（1，0），B（3，0），C（0，-3），
∴OB=OC=3，AB=2，
∴∠ABC=∠OCB=45°，
∴AN=，
∵，
∴PM=，
过点P作PEBC，交y轴于E，过点E作EF⊥BC于F，
则EF= PM=，
∴CE=1
∴点P是将直线BC向上或向下平移1个单位，与抛物线的交点，如图P1，P2，P3，P4，
∵B（3，0），C（0，-3），
∴直线BC解析式为：y=x-3，
∴平移后的解析式为y=x-2或y=x-4，
联立直线与抛物线解析式，得
或，
解得：，，，，
∴P点的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
（3）解：如图，点Q在抛物线上，且∠ACQ=45°，过点Q作AD⊥CQ于D，过点D作DF⊥x轴于F，过点C作CE⊥DF于E，
∵∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠CAD=45°，
∴CD=AD，
∵∠E=∠AFD=90°，
∴∠ADF=90°-∠CDE=∠DCE，
∴△CDE≌△DAD（AAS），
∴DE=AF，CE=DF，
∵∠COF=∠E=∠AFD=90°，
∴四边形OCEF是矩形，
∴OF=CE，EF=OC=3，
设DE=AF=n，
∵OA=1，
∴CE=DF=OF=n+1
∴DF=3-n，
∴n+1=3-n
解得：n=1，
∴DE=AF=1，
∴CE=DF=OF=2，
∴D（2，-2），
设直线CQ解析式为y=px-3，
把D（2，-2）代入，得p=，
∴直线CQ解析式为y=x-3，
联立直线与抛物线解析式，得
解得：，（不符合题意，舍去），
∴点Q坐标为（，）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得出抛物线的解析式；
（2）令y=0，则-x2+4x-3=0，解得x的值，得出OA=1，OB=3，AB=2，过点A作AN⊥BC于N，过点P作PM⊥BC于M，由点A、B、C的坐标得出OB=OC=3，AB=2，由，得出PM=，CE=1，由点B、C的坐标得出直线BC解析式，平移后的解析式为y=x-2或y=x-4，联立直线与抛物线解析式即可得出点P的坐标；
（3）点Q在抛物线上，且∠ACQ=45°，过点Q作AD⊥CQ于D，过点D作DF⊥x轴于F，过点C作CE⊥DF于E，利用AAS证出△CDE≌△DAD，得出DE=AF，CE=DF，推出四边形OCEF是矩形，设DE=AF=n，得出n的值，从而得出点D的坐标，再利用代入法得出直线CQ解析式，联立直线与抛物线解析式，即可得出点Q的坐标。
3．（2022九上·青秀月考）如图，已知二次函数的图像交轴于点，，交轴于点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发．设运动时间为秒（）．当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
（3）已知是抛物线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点，代入中，
得，
解这个方程组得，
二次函数的表达式为；
（2）解：过点作轴于点，如图：
设面积为，
根据题意得：，．
，
，
在中，令得，
，
，
．
，
，
，
当时，的面积最大，最大面积是；
（3）解：存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由，得直线解析式为，
设，，又，，
当，是对角线，则，的中点重合，
，
解得与重合，舍去或，
；
当，为对角线，则，的中点重合，
，
解得舍去或，
；
当，为对角线，则，的中点重合，
，
解得或，
或，
综上所述，的坐标为或或或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）将A（-1，0）、B（5，0）代入y=-x2+bx+c中求出b、c的值，进而可得二次函数的解析式；
（2）过点M作ME⊥x轴于点E，设△BMN面积为S，根据题意得ON=t，BM=t，由点B的坐标可得BN=5-t，令二次函数解析式中的x=0，求出y的值，可得点C的坐标，进而得到∠OBC=45°，然后根据三角函数的概念可得ME，再根据三角形的面积公式表示出S，利用二次函数的性质进行解答；
（3）存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，利用待定系数法求出直线BC的解析式，设Q（m，-m+5），P（n，-n2+4n+5），然后分①PQ、AC为对角线，②QA、PC为对角线，③QC、PA为对角线，结合中点坐标公式可得m的值，进而可得点Q的坐标.
4．（2022·天津）已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B．
（1）若，
①求点P的坐标；
②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标；
（2）若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标．
【答案】（1）解：①∵抛物线与x轴相交于点，
∴．又，得．
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴点P的坐标为．
②当时，由，
解得．
∴点B的坐标为．
设经过B，P两点的直线的解析式为，
有解得
∴直线的解析式为．
∵直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，如图所示：
∴点M的坐标为，点G的坐标为．
∴．
∴当时，有最大值1．
此时，点M的坐标为，点G的坐标为．
（2）解：由（Ⅰ）知，又，
∴．
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴顶点P的坐标为．
∵直线与抛物线相交于点N，
∴点N的坐标为．
作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，如图所示：
得点的坐标为，点的坐标为．
当满足条件的点E，F落在直线上时，取得最小值，
此时，．
延长与直线相交于点H，则．
在中，．
∴．
解得（舍）．
∴点的坐标为，点的坐标为．
则直线的解析式为．
∴点和点．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）①利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得到顶点P的坐标；
②求出直线BP的解析式，设点M的坐标为，点G的坐标为，再表示出，最后利用二次函数的性质求解即可；
（2）先求出点N的坐标为，作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，得点的坐标为，点的坐标为，延长与直线相交于点H，则，利用勾股定理可得，求出a的值，即可得到点的坐标为，点的坐标为，再求出直线的解析式为，最后求出点E、F的坐标即可。
5．（2022·山西）综合与探究
如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E
（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；
（2）当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）连接AC，过点P作直线，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），点C的坐标为；
（2）解：∵点P在第一象限抛物线上，横坐标为m，且轴于点D，
∴点P的坐标为，，
∴．
∵点B的坐标为，点C的坐标为，
∴，．
过点C作于点G，则．
∵，
∴四边形CODG是矩形，
∴，，．
∴．
∵，
∴．
∴，即，
∴．
在中，
∵，
∴．
∴，
∴
解得（舍去），
∴．
当时，﹒
∴点P的坐标为．
（3）存在；m的值为4或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：(1)由得，
当时，，
∴点C的坐标为．
当时，，
解得．
∵点A在点B的左侧，
∴点A，B的坐标分别为．
设直线BC的函数表达式为，
将，代入得，
解得，
∴直线BC的函数表达式为﹒
(3)存在；m的值为4或．
分两种情况，①当点F在y轴的负半轴上时，如下图所示，过点P作直线轴于点H，
∵过点P作直线，交y轴于点F，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
由（2）知，．
根据勾股定理，在中，，
在中，，
当时，，
∵，
∴，
∴，
解得或，
∵点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，
∴；
②当点F在y轴的正半轴上时，如下图所示，
同理可得，，，，，
∴
∴，
解得或，
∵点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，
∴；
综上，m的值为4或
【分析】（1）将x=0和y=0分别代入即可求出点A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；
（2）过点C作于点G，则，证明可得，即，求出，再根据可得，再求出m的值，然后将m的值代入 求出y的值，即可得到点P的坐标；
（3）分两种情况，①当点F在y轴的负半轴上时，②当点F在y轴的正半轴上时，再分别画出图象并求解即可。
6．（2022·包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标是，顶点C的坐标是，M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线与y轴交于点G．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接，记的面积分别为．当，且直线时，求证：点N与点M关于y轴对称；
（3）如图2，直线与y轴交于点H，是否存在点M，使得．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，顶点为，
∴解得
∴该抛物线的解析式为．
（2）证明：如图．过点M作轴，垂足为D．
当与都以为底时，
∵，∴．
当时，则，
解得．
∵，∴，
∴．设点M的坐标为，
∵点M在第一象限，∴，
∴，∴．
设直线的解析式为，
∴解得
∴直线的解析式为．
设直线的解析式为，
∵直线，∴，
∴，∵，∴．
∴直线的解析式为，将其代入中，
得，∴，解得．
∵点N在第二象限，∴点N的横坐标为，
∴，∴．
∵，
∴点N与点M关于y轴对称．
（3）解：如图．
存在点M，使得．理由如下：
过点M作轴，垂足为E．
∵，
∴．
∵，∴，∴．
在和中，
∵，∴，
∴．
∵，∴，
在和中，∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
当时，，
∴．
∴存在点，使得．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可；
（2）过点M作轴，垂足为D，根据面积关系得出，设点M的坐标为， 求出点M的坐标，用待定系数法求出直线的解析式 ，根据点C的坐标求出 直线的解析式 ，确定点N的坐标，即可得出结论；
（3）过点M作轴，垂足为E． 令， 可得 ，利用三角函数得出OH和OG的代数式，根据， 可得关于m的方程，解之即可。
7．（2022·呼伦贝尔、兴安盟）如图，抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）若点M在直线上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）
（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）
【答案】（1）解：把点和分别代入可得
，
解得
∴抛物线的解析式为
把代入可得
∴；
（2）解：作直线，作轴交直线于点N
设直线的解析式为（）
把点和分别代入
可得
解得
∴直线的解析式为
设点M的横坐标为m
∴，
∴
∴
（）
∴当时，S有最大值为
把代入可得
∴；
（3）解：当以为边时，只要，且即可
∴点P的横坐标为4或-4
把代入可得
把代入可得
∴此时，
当以为对角线时，作轴于点H
∵四边形是平行四边形
∴
∴
在和中
∴
∴
∴
∴点P的横坐标为2
把代入可得
∴此时
综上所述，满足条件的点P坐标为，，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2）设直线的解析式为（），利用待定系数法得出直线的解析式，设点M的横坐标为m，得出点M、N的坐标，得出MN的解析式，根据三角形面积公式得出当时，S有最大值，再将其代入即可得出点M的坐标；
（3）当以为边时，只要，且即可，得出点P的横坐标为4或-4，分别将其代入得出点P的坐标，由三角形全等证出，得出，推出OH的值，得出点P的横坐标，将x=2代入得出此时P的坐标，即可得出所有满足条件的点P坐标。
8．（2022·盘锦）如图，抛物线与x轴交于两点（A在B的左侧），与y轴交于点，点P在抛物线上，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在第四象限，点D在线段上，连接并延长交x轴于点E，连接，记的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；
（3）如图2，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段交于点G，当时，求点P的横坐标．
【答案】（1）解：将、两点代入得，
，解得：
∴抛物线的解析式为：
（2）解：由可得，
设点
则
∵，
∴
∴
解得：（舍去）
∴
（3）解：如图，作CE⊥l，PQ⊥BC，PN⊥x轴，连接PC交x轴于点H，
设，PC的表达式为：，
将P，C代入得，
解得：
PC的表达式为：，
将y=0代入得，，即，
∴
∵
∴
∵
∴
∵
由题可知，
∴
将代入得，，
∴
∴
∵，PQ⊥BC，CE⊥l，
∴
∴
∴
解得：（舍去）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用三角形的面积公式求解即可；
（3）先求出 PC的表达式为：， 再利用勾股定理和相似三角形的判定与性质求解即可。
9．（2022·大连）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接．
（1）求点B，点C的坐标；
（2）如图1，点在线段上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，，连接，设的面积为，的面积为，，当S取最大值时，求m的值；
（3）如图2，抛物线的顶点为D，连接，点P在第一象限的抛物线上，与相交于点Q，是否存在点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，
令 则
令 则
解得：
∴
（2）解：∵
∴
而
∴
∴当S最大时，则
（3）解：如图，延长DC与x轴交于点N，过A作于H，过Q作轴于K，连接BD，
，
∵抛物线
∴顶点
轴，
∴
设为
解得
∴为
联立：
解得：
所以
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点C的坐标，再列方程求解即可；
（2）利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）利用勾股定理，锐角三角函数，待定系数法求函数解析式即可。
10．（2022·沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线经过点和点与x轴另一个交点A．抛物线与y轴交于点C，作直线AD．
（1）①求抛物线的函数表达式
②并直接写出直线AD的函数表达式．
（2）点E是直线AD下方抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，的面积记为，的面积记为，当时，求点E的坐标；
（3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线为，点C的对应点，点G的对应点，将曲线，沿y轴向下平移n个单位长度（）．曲线与直线BC的公共点中，选两个公共点作点P和点Q，若四边形是平行四边形，直接写出P的坐标．
【答案】（1）解：①把点和点代入得：，解得：，∴抛物线解析式为；
②直线AD的解析式为；
（2）解：如图，过点E作EG⊥x轴交AD于点G，过点B作BH⊥x轴交AD于点H，
当x=6时，，∴点H（6，-4），即BH=4，设点，则点， ∴，∵的面积记为，的面积记为，且，∴BF=2EF，∵EG⊥x，BH⊥x轴，∴△EFG∽△BFH，∴，∴，解得：或0（舍去），∴点E的坐标为（2，-4）；
（3）解：点P的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】（1）②令y=0，则，解得：，
∴点A（-2，0），设直线AD的解析式为，
∴把点和点A（-2，0）代入得：，解得：，∴直线AD的解析式为；
(3)，
∴点G的坐标为（2，-4），当x=0时，y=-3，即点C（0，-3），
∴点，∴向上翻折部分的图象解析式为，
∴向上翻折部分平移后的函数解析式为，平移后抛物线剩下部分的解析式为，设直线BC的解析式为，把点B（6，0），C（0，-3）代入得：，解得：，
∴直线BC的解析式为，同理直线的解析式为，
∴BC∥C′G′，设点P的坐标为，∵点，
∴点 C′向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点 G′，
∵四边形是平行四边形，
∴点，当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时，
，解得：（不合题意，舍去），当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时，，解得：或（不合题意，舍去），当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，，解得：或 （不合题意，舍去），综上所述，点P的坐标为．
【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式即可；
②先求出点A（-2，0），再求出，最后求函数解析式即可；
（2）先求出 点H（6，-4）， 再求出 BF=2EF ，最后列方程求解即可；
（3）结合函数图象，利用待定系数法求解即可。
11．（2022·丹东）如图1，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；
（3）如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；
（4）如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝x2+x+3；
（2）解：∵抛物线y＝x2+x+3与y轴交于点C，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（6，0）、C（0，3）代入，
得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P的横坐标为m，则P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），
∴h＝m2+m+3﹣（﹣m+3）＝m2+m，
∵点P是第一象限内抛物线上的一个动点，
∴0＜m＜6，
∴h＝m2+m（0＜m＜6）；
（3）解：如图，过点E、F分别作EH⊥y轴于点H，FG⊥y轴于点G，
∵P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），
∴PE＝m2+m，
∵PF⊥CE，
∴∠EPF+∠PEF＝90°，
∵PD⊥x轴，
∴∠EBD+∠BED＝90°，
又∵∠PEF＝∠BED，
∴∠EPF＝∠EBD，
∵∠BOC＝∠PFE＝90°，
∴△BOC∽△PFE，
∴＝，
在Rt△BOC中，BC＝＝＝3，
∴EF＝×PE＝（m2+m）＝（m2+m），
∵EH⊥y轴，PD⊥x轴，
∴∠EHO＝∠EDO＝∠DOH＝90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴EH＝OD＝m，
∵EH//x轴，
∴△CEH∽△CBO，
∴＝，即＝，
∴CE＝m，
∵CF＝EF，
∴EF＝CE＝m，
∴m＝（m2+m），
解得：m＝0或m＝1，
∵0＜m＜6，
∴m＝1；
（4）解：∵抛物线y＝x2+x+3，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴设Q（2，t），设抛物线对称轴交x轴于点H，交CP边于点G，
则GQ＝3﹣t，CG＝2，∠CGQ＝90°，
①当点O′恰好落在该矩形对角线OD所在的直线上时，如图，
则CQ垂直平分OO′，即CQ⊥OD，
∴∠COP+∠OCQ＝90°，
又∵四边形OCPD是矩形，
∴CP＝OD＝4，OC＝3，∠OCP＝90°，
∴∠PCQ+∠OCQ＝90°，
∴∠PCQ＝∠COP，
∴tan∠PCQ＝tan∠COP＝＝，
∴＝tan∠PCQ＝，
∴＝，
解得：t＝，
∴Q（2，）；
②当点O′恰好落在该矩形对角线CD上时，如图，连接CD交GH于点K，
∵点O与点O′关于直线CQ对称，
∴CQ垂直平分OO′，
∴∠OCQ＝∠DCQ，
∵GH//OC，
∴∠CQG＝∠OCQ，
∴∠DCQ＝∠CQG，
∴CK＝KQ，
∵C、P关于对称轴对称，即点G是CP的中点，GH//OC//PD，
∴点K是CD的中点，
∴K（2，），
∴GK＝，
∴CK＝KQ＝﹣t，
在Rt△CKG中，CG2+GK2＝CK2，
∴22+（）2＝（﹣t）2，
解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣1，
∴Q（2，﹣1）；
③当点O′恰好落在该矩形对角线DC延长线上时，如图，过点O′作O′K⊥y轴于点K，连接OO′交CQ于点M，
∵点O与点O′关于直线CQ对称，
∴CQ垂直平分OO′，
∴∠OCM＝∠O′CM，∠OMC＝∠O′MC＝90°，O′C＝OC＝3，
∵∠O′KC＝∠DOC＝90°，∠O′CK＝∠DCO，
∴△O′CK∽△DCO，
∴＝＝，即＝＝，
∴O′K＝，CK＝，
∴OK＝OC+CK＝3+＝，
∴O′（﹣，），
∵点M是OO′的中点，
∴M（﹣，），
设直线CQ的解析式为y＝k′x+b′，
则，
解得：，
∴直线CQ的解析式为y＝x+3，
当x＝2时，y＝×2+3＝4，
∴Q（2，4）；
综上所述，点Q的坐标为（2，）或（2，﹣1）或（2，4）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求出 直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 再求出 0＜m＜6， 最后求解即可；
（3）利用相似三角形的判定与性质，勾股定理计算求解即可；
（4）分类讨论，结合函数图象，计算求解即可。
12．（2022·锦州）如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点N，当的值最大时，求点D的坐标；
（3）P为抛物线上一点，连接，过点P作交抛物线对称轴于点Q，当时，请直接写出点P的横坐标．
【答案】（1）解：把点和代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过点D作DH∥y轴，交AC于点H，如图所示：
设，直线AC的解析式为，
由（1）可得：，
∴，解得：，
∴直线AC的解析式为，
∴，
∴，
∵DH∥y轴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，
∴；
（3）解：点P的横坐标为或或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】（3）解：由题意可得如图所示：
分别过点C、Q作垂线，交过点P作y轴的平行线于点G、H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设点，由题意可知：抛物线的对称轴为直线，，
∴，
∴，
当时，解得：，
当时，解得：
综上：点P的横坐标为或或或．
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）过点D作DH∥y轴，交AC于点H，先求出直线AC的解析式，设，再根据可得，再求出m的值即可；
（3）分别过点C、Q作垂线，交过点P作y轴的平行线于点G、H，先证明可得，设点，求出，即可得到，再求出n的值即可。
13．（2022·鞍山）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点是第三象限抛物线上一点，直线与轴交于点，的面积为12，求点的坐标．
（3）在（2）的条件下，若点是线段上点，连接，将沿直线翻折得到，当直线与直线相交所成锐角为时，求点的坐标．
【答案】（1）解：将A（ 1，0），C（0，2）代入，
∴，
解得，
∴
（2）解：令y＝0，则，
解得x＝ 1或x＝4，
∴B（4，0），
∴OB＝4，
∴，
∴OD＝4，
∴D（0， 4），
设直线BD的解析式为y＝kx＋b，
∴，
解得，
∴y＝x 4，
联立方程组，
解得或，
∴P（ 3， 7）；
（3）解：如图1，当在第一象限时，
设直线BC的解析式为，
，
解得，
∴，
设E（t，），
∴OE＝t，EH＝，
∵D（0， 4），B（4，0），
∴OB＝OD，
∴∠ODB＝45°，
∵直线与直线BP相交所成锐角为45°，
∴，
由折叠可知，，，
在中，，
∴，
∴
在Rt△BHE中，，
解得，
∵0≤t≤4，
∴t＝，
∴；
如图2，当在第二象限，时，
∵∠ABP＝45°，
∴轴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠可知，
∴平行四边形是菱形，
∴BE＝OB，
∴，
解得或，
∵0≤t≤4，
∴，
∴；
综上所述：的坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出直线BD的解析式，再联立方程组求出x、y的值即可；
（3）分情况讨论： ①当在第一象限时，②当在第二象限，时，再分别画出图象并求解即可。
二、模拟预测
14．（2023·河北模拟）如图，直线与，轴分别交于点，，顶点为的抛物线过点．
（1）直接写出点，的坐标及的值；
（2）若函数在时有最大值为，求的值；
（3）当时，连接，过点作的垂线交轴于点．设的面积为．直接写出关于的函数关系式．
【答案】（1）解：直线与，轴分别交于点，，
令，解得，则点，
令，解得，则点，
抛物线过点，
；
（2）解：，
对称轴为直线，
当，时，随的增大而增大，
当时，有最大值，
，
解得：，
当，时，随的增大而减小，
当时，有最大值，
，
解得：，
综上所述，
（3）解：当时，则，
如图所示，过点作轴于，
，
点坐标为，，
，，
，轴，
，
，，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）分别令，，可得点，点，将点A代入抛物，可得c的值；
（2）先求出函数的对称轴，再根据二次函数的性质分为 和 两种情况进行求解；
（3） 当时，则，过点作轴于，先求出点P的坐标，再证明，，，根据三角形面积公式可得。
15．（2023·交城模拟）已知抛物线与x轴交于点，顶点为B．
（1）时，时，求抛物线的顶点B的坐标；
（2）求抛物线与轴的另一个公共点的坐标用含a，c的式子表示；
（3）若直线经过点B且与抛物线交于另一点，求当时，的取值范围．
【答案】（1）解：把，代入抛物线得：，
∵抛物线与x轴交于点，
∴，
解得：，
∴，
∴抛物线顶点坐标为．
（2）解：把代入抛物线得：，
∴，
则抛物线，
∵两根之积，
∴，
∵，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为．
（3）解：∵点在抛物线上，
由（2）得：，
∴，
∵，
∴，
由抛物线可得顶点B的坐标为，
把C点坐标代入直线解析式得：，
把B点坐标代入得：，
联立①、②并求解得：、或、，
∵，
∴，，
∴抛物线解析式为，如图所示
A、B、C点的坐标分别为、、，
∴当时，的最小值是，无最大值，
∴的取值范围为：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点A的坐标和a、c的值代入求出解析式，再求出顶点坐标即可；
（2）将点A的坐标代入解析式可得，再求出，最后求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为即可；
（3）先求出抛物线的解析式，再求出点A、B、C的坐标，最后结合图象求出即可。
16．（2023·包头模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O（0，0）、A（2，0），直线y＝2x经过抛物线的顶点B，点C是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，联结BC、OC、AB，过点C作CE∥x轴，分别交线段OB、AB于点E、F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当BC＝CE时，求证：△BCE∽△ABO；
（3）当∠CBA＝∠BOC时，求点C的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线经过原点
∴对称轴为
∵直线经过抛物线的顶点B
设
∵抛物线经过原点
，即
故抛物线的解析式为；
（2）证明：
轴
；
（3）解：如图，记CE与y轴交于点M，过点B作，垂足为点N
设，则
由（2）知，轴
又
轴
∴
，即
解得或
经检验，不符合题意，舍去
故点C的坐标为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行线的判定与性质；三角形的外角性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先确定顶点坐标，设其顶点式，再将原点代入计算，可得解析式；
（2）由 知，再由轴知，根据勾股定理可得，，从而得到，则；
（3）记CE与y轴交于点M，过点B作，垂足为点N ， 设，则，由知，，根据可得，据此得出方程，解之可得。
17．（2023·鞍山模拟）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）连接 ，若点P为第四象限内抛物线上一点，且，求点P的坐标；
（3）过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，过D点作轴于点E得到矩形，将沿x轴向右平移，当B点与E重合时结束，设平移距离为t，与矩形重叠面积为S，请直接写出S与t的函数关系．
【答案】（1）解：∵点在抛物线，且抛物线的对称轴是直线，
∴，解得，
∴抛物线的函数解析式为；
（2）解：如图，过Ａ作交于点G，过G作轴于点Ｈ，
令，则；
令，则，
解得，，
∴，，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
∵，，，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
同理求得直线的解析式为，
解方程，
解得，，
当时，，
∴；
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平移的性质；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（3）∵过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，，
∴，，
设沿x轴向右平移后为，
当时，设交y轴于点F，
由平移的性质得，，，，
∴，则，即，
∴；
当时，；
当时，设交轴于点Ｉ，
则，同理
∴；
综上，．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）过Ａ作交于点G，过G作轴于点Ｈ， 用待定系数法求出直线的解析式为， 根据A、B、C三点坐标可得，，，，根据和三角函数定义，
得出，即，，证明为等腰直角三角形，得出，，，
同理求得直线的解析式为，联立抛物线解析式解方程，即可求出点P；
（3）先求出点D、点E的坐标，设沿x轴向右平移后为，分为三种情况进行求解，当时，设交y轴于点F，根据平移的性质和三角函数的定义求出；当时，； 当时，设交轴于点Ｉ，则，同理，则。
18．（2023·石家庄模拟）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线（为常数）．
（1）当经过点时，求的表达式及顶点坐标；
（2）当经过坐标原点时，设与轴的另一个交点为点．上是否存在点，使的面积是面积的2倍？若存在，求出此时点的坐标，若不存在，说明理由；
（3）若与线段只有一个交点，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
∴，
∴．
把代入，得
∴，
∴
∴顶点坐标为：；
（2）解：存在．
把代入，得，
∴．
解方程，得
，
∴．
设，连接，如图，
∵的面积是面积的2倍，
∴，
∴，
∴，
解得，无实数根，
解得，，
∴或；
（3）解：∵
=，
∴抛物线的开口向上，大小不变，顶点在对称轴直线上移动．
当顶点在直线的下侧时，
对于，当时，，
∴．
把代入，得
∴，
把代入，得
，
∴当时，与线段只有一个交点．
当顶点在直线的上侧时，
联立解析式得，，
即，
由题意得，，
解得．
综上可知，当或时，与线段只有一个交点．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出点A的坐标，再求出 ， 最后求解即可；
（2）先求出 ，再求出 ， 最后求点的坐标即可；
（3）先求出 抛物线的开口向上，大小不变，顶点在对称轴直线上移动，再求出， 最后求解即可。
19．（2023·昔阳模拟）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P是直线上方的抛物线上一动点，设三角形的面积为S，求S的最大值及S取得最大值时点P的坐标；
（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于两点，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过作轴交于点，
在中，令，则，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
设，则，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为，
此时
∴；
（3）解：存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设，，
当为平行四边形的对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同得：
，
解得（舍）或，
∴；
②当为平行四边形的对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同得：
，
解得（舍）或，
∴；
③当为平行四边形的对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同得：
，
解得或，
∴或；
综上所述，存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入求出a、b的值即可；
（2）先求出直线AC的解析式，设，则，求出，再利用割补法求出 ，再求出点P的坐标即可；
（3）设，，分类讨论：①当为平行四边形的对角线时，②当为平行四边形的对角线时，③当为平行四边形的对角线时， 再分别求解即可。
20．（2023·静乐模拟）抛物线与轴交于、（在的左边），轴交于，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线交抛物线于两点，点在抛物线上，且在直线下方的，若以为圆心的作，当与直线相切时，求最大半径及此时坐标；
（3）如图2，是抛物线上一点，连接交轴于，作关于轴对称的直线交抛物线于，连接，点是的中点，若的纵坐标分别是．求的数量关系．
【答案】（1）解：∵A（-1，0），∴OA=1，
∵OB= OC=4OA=4，
∴B（4，0），C（0，-4），
则，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：作PH∥轴交DE于点H，设与DE相切于Q，则，如图：
∵直线DE的解析式为，
∴∠EOB=，
∴∠FHQ=，
∴△FHQ是等腰直角三角形，
当FH的长取得最大值时，⊙F的半径最大，
设F（，），则H（，），
∴FH=
，
∵，
∴当时，FH取得最大值，
此时F（，），
⊙F的最大半径：；
（3）解：∵若G的纵坐标分别是t，
∴G （，），
设直线AM的解析式为，
把A（-1，0）代入得：，
∴，
∴直线AM的解析式为，
联立直线AM与抛物线得得，
∴，即，
∵直线AM与直线AN关于轴对称，则直线AN与轴的交点I的坐标为（，），
同理可求得直线AN的解析式为，，
又，
，
，
，
，
即．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点B、C的坐标，再将其代入求出b、c的值，即可得到；
（2）作PH∥轴交DE于点H，设与DE相切于Q，则，当FH的长取得最大值时，⊙F的半径最大，求出FH=，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）先求出直线AM的解析式，再联立方程组可得，求出，即，再求出，求出，可得，再化简可得。
21．（2023·泽州模拟）综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为，点C的坐标为．
（1）求二次函数的表达式和点B的坐标．
（2）若P为直线l上一点，Q为抛物线上一点，当四边形为平行四边形时，求点P的坐标．
（3）如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接，抛物线上是否存在点M，使？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，解得：，
∴二次函数的表达式为；
令，则，
解得：，
∴点B的坐标为；
（2）解：如图，
∵点B的坐标为，
∴，
设直线l的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线l的解析式为，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴轴，
设点P的坐标为，则点Q的坐标为，
∴，
∴，
解得：或0（舍去），
∴点P的坐标为；
（3）解：对于，
令，，
∴点D的坐标为，
∴，
∵点，
∴，，
如图，过点A作于点E，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
过点M作轴于点F，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设点M的坐标为，
∴，
∴，
解得：（舍去）或2或4，
∴点M的坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；等腰直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再求出y=0时x的值，即得点B坐标；
（2）先求直线l的解析式为， 由平行四边形的性质可得，
设点P的坐标为，则点Q的坐标为，可得，由PQ=3建立方程，解之即可；
（3）求D（0，-6）即得OD=6，由A、B的坐标，可求出AB=5，BD=3，AD=2， 过点A作于点E， 易证是等腰直角三角形，可得，即得∠MAB=45°，
过点M作轴于点F，可得是等腰直角三角形，即得，设点M的坐标为，则，由建立方程并解之即可.
22．（2023·太谷模拟）综合与探究
如图，抛物线经过点，两点，与y轴交于点C，且，点D是抛物线上第一象限内的一个动点，设点D的横坐标为m．连接．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点D作与y轴的平行线的直线l，与交于点E，当是以为底边的等腰三角形时，求点D的坐标．
（3）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵经过点，两点，，则
，
解得，，，，
∴．
（2）解：设直线BC解析式为，将点、的坐标代入，
并解得：，，
直线BC的表达式为：，
设直线l与x轴交于点M．
设点，则点，
过点C作，垂足为H，则四边形是矩形．
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：（舍去），，
故，
∴，
∴点D的坐标为；
（3）解：存在．
设点，
如图所示，当四边形是菱形时，
∵，四边形是菱形，
∴，
∴；
如图所示，当四边形是菱形时，
∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴；
如图所示，当四边形是菱形时，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴；
如图所示，当四边形是菱形时，
∵四边形是菱形，
∴设，则，
∴在中，
，即，
∴解得，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上所述，点N的坐标为，，，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点C的坐标，再将点A、B、C的坐标代入求出a、b、c的值即可；
（2）过点C作，垂足为H，则四边形是矩形，设点，则点，再结合，可得，求出m的值，再求出点D的坐标即可；
（3）分类讨论：①当四边形是菱形时，②当四边形是菱形时，③当四边形是菱形时，④当四边形是菱形时，再分别画出图象并求解即可。
23．（2023·交城模拟）如图1，已知抛物线与直线交于，两点，与轴的另一个交点为A，点M是直线上方抛物线的一动点，过点M作轴，交于点E．
（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；
（2）当点E是的三等分点时，求此时点M的坐标；
（3）如图2，直线与抛物线交于A，F两点，，若点Q是轴上一点，且，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）解：将，代入，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
∵直线经过点，，
∴设直线的解析式，
将，代入得：，
得．
∴直线的解析式为．
（2）解：设点，则点，
则，
，
当时，
，
解得（不合题意，舍去），
当时，，
∴点M的坐标是，
当时，
，
解得（不合题意，舍去），，
当时，，
∴此时点M的坐标是，
综上可知，点M的坐标为或；
（3）解：∵当时，，
解得，
∴；
设直线的解析式为，把，代入得到，
，
得．
∴直线的解析式为．
当时，，
∴点，
设点，作于点N，
则，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点B、C的坐标分别代入二次函数和一次函数解析式求出答案即可；
（2）设点，则点，求出ME和DE的长，再分类讨论：①当时，②当时，再分别列出方程求解即可；
（3）先求出直线AF的解析式，设点，作于点N，则，，再结合，可得，求出p的值，即可得到点Q的坐标。
24．（2023·翼城模拟）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．将沿所在的直线折叠，得到，点A的对应点为D．
（1）求点A，B，C的坐标．
（2）求直线的函数表达式．
（3）在抛物线上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：当时，，
解得，，
∵点B在点A的右侧，
，
当时，，
．
（2）解：如图，过点D作轴于点E，
∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
又∵将沿所在的直线折叠得到，点A的对应点为D，
∴三点在一条直线上，
由轴对称的性质得：，，
∵，，
∴，
∴为的中位线，，
∴，
∴，
设直线的函数表达式为，
将点，代入得：，解得，
则直线BD的函数表达式为．
（3）解：在抛物线上存在点P，使，
①如图，当点P在BC下方时，
∵，
∴，
∴点C，P的纵坐标相等，
∴点P的纵坐标为，
令，则，解得，（舍去），
∴；
②如图，当点P在上方时，
由（2）可知，A，C，D三点在一条直线上，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
则可设直线的函数表达式为，
∵点C的坐标为，
∴，
∴直线的函数表达式为，
当时，解得，（舍去），
∴点的横坐标为，
当时，，
∴，
综上，在抛物线上存在点P，使，点P的坐标为或．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将x=0和y=0分别代入求出点A、B、C的坐标即可；
（2）过点D作轴于点E，先求出AB、AC和BC的长，再利用勾股定理的逆定理证出，再求出为的中位线，，可得，证出点D的坐标，再利用待定系数法求出直线BD的解析式即可；
（3）分类讨论：①当点P在BC下方时，②当点P在上方时，再分别画出图象并求解即可。
25．（2023·呼和浩特模拟）已知，二次函数与轴的一个交点为，且过和点．
（1）求a、b、c的值，并写出该抛物线的顶点坐标；
（2）将二次函数向右平移个单位，得到的新抛物线，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，若m是整数，请求出所有符合条件的新抛物线的解析式；
（3）已知M、P、Q是抛物线上互不重合的三点，已知P、Q的横坐标分别是，，点M与点P关于该抛物线的对称轴对称，求．
【答案】（1）解：∵二次函数与轴的一个交点为，且过和，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为，
∴二次函数化为顶点式为，
∴二次函数顶点为
（2）解：如图∶
将二次函数，的图象向右平移个单位得的图象，
∴新图象的对称轴为直线，
∵当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，且抛物线开口向下，
∴，
解得，
∵是整数，
∴，或或，
∴或或，
∴符合条件的新函数的解析式为或或；
（3）解：当在左侧时，过作于，如图，
∵点、的横坐标分别是、，
∴，，
∴，，
∵点与点关于该抛物线的对称轴对称，而抛物线对称轴为直线，
∴，
，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
当在右侧时，如图，
同理可得是等腰直角三角形，，
∴，
综上所述，的度数是或．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）先求出 二次函数的表达式为， 再求顶点坐标即可；
（2）根据题意先求出 ，或或， 再求函数解析式即可；
（3）分类讨论，结合函数图象判断求解即可。
26．（2023·灯塔模拟）如图，在平而直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线交于点M，记，试求m的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，m取最大值时，是否存在x轴上的点Q及坐标平面内的点N，使得P，D，Q，N四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点和N点的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴，解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
∴点，
如图1，过点P作轴交直线于E，连接，
设直线的解析式为，
∵，，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵直线与y轴交于点D，
∴，
∴，
∵轴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当时，m取得最大值，此时点P的坐标为；
（3）解：存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．满足条件的，；，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：(3)存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．
①当是矩形的边时，有两种情形，
a、如图2-1中，四边形是矩形时，
有（2）可知，代入中，得到，
∴直线的解析式为，可得，
由可得，
∴，
∴，
∴，
∴．
根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，
∴，即
b、如图22中，四边形是矩形时，
∵直线的解析式为，，
∴直线的解析式为，
∴，
根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，
∴，即．
②当是对角线时，设，
则，，，
∵Q是直角顶点，
∴，
∴，
整理得，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的，；，．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 点， 再利用待定系数法求出 直线的解析式为， 最后利用相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（3）分类讨论，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理计算求解即可。
27．（2023·开原模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点D的坐标为，并与x轴交于点A，点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一点（不与点D重合），直线将的面积分成两部分，求点P的坐标；
（3）点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度在y轴运动，运动时间为t秒，当时，求t的值．
【答案】（1）解：∵顶点D的坐标为，
∴可设抛物线的表达式为：，
将点B的坐标代入上式得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：令，，
解得：，
∴点，
∴，
当点P在点D的右侧时，设直线交x轴于点T，如图，
∵直线将的面积分成两部分，
∴将的面积分成两部分，
即点T将分为两部分，
∴，
∴，
即点，
设直线的表达式为：，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的表达式为：y=-4x+8，
联立：
解得：或，
∴此时点P的坐标为；
当点P在点D的左侧时，同理得，直线的表达式为：，
联立，解得：或，
∴点P的坐标为，
综上，点P的坐标为或；
（3）解：如图，在线段上取点N，使，连接，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点N作于点H，
∵，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
当点Q在x轴下方时，
∴，
∴点Q的坐标为，
∴，
∵点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度在y轴运动，
∴；
当点Q在x轴上方时，
同理得，点Q的坐标为，
∴，
∵点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度在y轴运动，
∴；
综上所述，或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出AB=4，再分类讨论，先求出函数解析式，再求点的坐标即可；
（3）分类讨论，利用锐角三角函数计算求解即可。
28．（2023·立山模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，直线恰好经过两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线上一动点，连接，若的面积为6，求点的坐标；
（3）点是抛物线上一动点，连接，若，直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：对于，当时，；当时，，
∴，
将两点坐标分别代入中，得
解得
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图1，当点在直线的上方时，
过点作轴的垂线，交直线于点，
设点，点，
则，
∵，
∴，解得或
∴点或；
如图2，当点在直线的下方时，
连接，
设点，
∵，
∴，
整理得
∵，
∴方程无实数根，
∴此种情况不存在，
综上，点的坐标为或；
（3）解：点的坐标为或．
【知识点】锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】(3)解：如图3，当点在x轴的上方时，在上取点G，使，作于点F，作于点H，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
设，
解得，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
设，
∴，
解得（舍去），，
∴，
∴；
如图4，当点E在x轴的下方时，
同理可求，
∴．
设，
∴，
解得（舍去），，
∴，
∴；
综上，点的坐标为或．
【分析】（1）先求出 ， 再利用待定系数法求出抛物线的解析式为即可作答；
（2）分类讨论，结合函数图象，利用三角形之间的面积关系，列方程计算求解即可；
（3）分类讨论，结合函数图象，利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可。
29．（2023·锦州模拟）如图1，已知抛物线y=-x2-4x+5交x轴于点A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接AD．
（1）求直线AD的解析式．
（2）点E（m，0）、F（m+1，0）为x轴上两点，其中（-5＜m＜-3.5）EE′、FF′分别平行于y轴，交抛物线于点E′和F′，交AD于点M、N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使得|RE′-RF′|值最大，请求出点R的坐标及|RE′-RF′|的最大值．
（3）如图2，在抛物线上是否存在点P，使得△PAC是以AC为底边的等腰三角形，若存在，请出点P的坐标及△PAC的面积，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：如图1，∵y=-x2-4x+5=-（x+5）（x-1）或y=-（x+2）2+9，
∴A（-5，0），B（1，0），D（-2，9）．
设直线AD的解析式为：y=kx+b（k≠0），把A、D的坐标代入，得
，
解得．
故直线AD的解析式为：y=3x+15；
（2）解：如图1，∵EE′∥y轴，FF′∥y轴，E（m，0）、F（m+1，0），
∴E（m，-m2-4m+5）、F（m+1，-（m+1）2-4（m+1）+5），M（m，3m+15），N（m+1，3（m+1）+15），
∴ME′=-m2-4m+5-（3m+15）=-m2-7m-10，NF′=-m2-9m-18，
∴ME′+NF′=-m2-7m-10-m2-9m-18=2m2-16m-28．
∵-2＜0，
∴m=-=-4，
∴ME′+NF′有最大值，此时E′（-4，5），F′（-3，8），
要使|RE′-RF′|值最大，则点E′、F′、R三点在一条直线上，
∴设直线E′F′：y=kx+b（k≠0），则
，
解得，
∴直线E′F′：y=3x+17（k≠0）．
当x=0时，y=17，则点R的坐标是（0，17）．
此时，|RE′-RF′|的最大值为；
（3）解：如图2，设点P（x，-x2-4x+5）．
当PA=PC时，点P在线段AC的垂直平分线上，
∵OC=OA，
∴点O在线段AC的垂直平分线上，
∴点P在∠AOC的角平分线上，
∴-x=-x2-4x+5，
解得x1=，x2=，
∴P（，），P′（，）．
∴PH=OP-OH=，P′H=OP′+OH=，
∴S△PAC=AC PH=××=或S△PAC=AC P′H=××=．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点A、B、D的坐标，再利用待定系数法求出直线AD的解析式即可；
（2）先求出ME′+NF′有最大值，此时E′（-4，5），F′（-3，8），要使|RE′-RF′|值最大，则点E′、F′、R三点在一条直线上，利用待定系数法求出直线E′F′：y=3x+17，再求出点R的坐标，最后求出|RE′-RF′|的最大值为即可；
（3）设点P（x，-x2-4x+5），根据题意列出方程-x=-x2-4x+5，求出x的值，可得点P、P'的坐标，再求出PH和P'H的长，最后利用三角形的面积公式求出△PAC的面积即可。
30．（2023·立山模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点，点P为线段上一动点，连接并延长交抛物线于点H，连结，当四边形的面积为时，求点H的坐标；
（3）已知点E为x轴上一动点，点Q为第二象限抛物线上一动点，以为斜边作等腰直角三角形，请直接写出点E的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点，，表示点Q坐标，代入解析式解题即可．
代入，得
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，连接，∵，∴，
设H点坐标为，
则
解得：或，
∴点H的坐标为或
（3）或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形全等及其性质；等腰直角三角形；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）点E的坐标为或
设点E坐标为
如图，过Q作于点M，
∴
又∵
∴
∴∠
∴
∴，
∴Q点坐标为(
又∵Q在抛物线上，
∴，
解得或（舍）
则Q点坐标为
如图，过Q作于点M，
∴
又∵
∴
∴∠
∴
∴，
∴Q点坐标为(
又∵Q在抛物线上，
∴，
解得或（舍）
则Q点坐标为
综上所述，Q点坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）连接， 先求出，设H点坐标为，则
，解之可得：或，代入抛物线解析式即可求出点H的坐标；
（3）设点E坐标为，分为两种情况进行求解：过Q作于点M，证明，则，，点Q坐标为(，将点Q代入抛物线解析式可得方程，解之即可。
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