备考2023年中考数学压轴题训练 ——二次函数（4）
一、真题
1．（2022·广东）如图，抛物线 （b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点， ， ，点P为线段 上的动点，过P作 交 于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求 面积的最大值，并求此时P点坐标．
2．（2022·百色）已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM ，交BC于点F
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：∠BOF＝∠BDF ：
（3）是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长
3．（2022·柳州）已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．
（1）求 ， ， 的值；
（2）如图 ，点 是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点 在第一象限内，过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ，作 轴的平行线交 轴于点 ，过点 作 轴，垂足为点 ，当四边形 的周长最大时，求点 的坐标；
（3）如图 ，点 是抛物线的顶点，将 沿 翻折得到 ， 与 轴交于点 ，在对称轴上找一点 ，使得 是以 为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点 的坐标．
4．（2022·玉林）如图，已知抛物线： 与x轴交于点A， （A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线 ，P是第一象限内抛物线上的任一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为线段 的中点，则 能否是等边三角形？请说明理由；
（3）过点P作x轴的垂线与线段 交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与 相似，求点P的坐标．
5．（2022·贺州）如图，抛物线 过点 ，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上一动点，当 是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得 ？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由.
6．（2022·桂林）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动.
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）求CP+PQ+QB的最小值；
（3）过点P作PM⊥y轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标.
7．（2022·海南）如图1，抛物线经过点，并交x轴于另一点B，点在第一象限的抛物线上，交直线于点D.
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当点P的坐标为时，求四边形的面积；
（3）点Q在抛物线上，当的值最大且是直角三角形时，求点Q的横坐标；
8．（2022·云南）已知抛物线 经过点（0，2），且与 轴交于A、B两点．设k是抛物线 与 轴交点的横坐标；M是抛物线 的点，常数m>0，S为△ABM的面积．已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和．
（1）求c的值；
（2）且接写出T的值；
（3）求 的值．
二、综合题
9．（2023·惠东模拟）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点， 与轴的另一个交点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点，使 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2023·阳山模拟）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的正半轴上，在轴的正半轴上，、的长分别是方程的两根（），抛物线过、两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，将沿折叠，使点落在抛物线上的点处，求的面积；
（3）有一平行于轴的动直线，从轴开始以一个单位长度每秒的速度向右平移，平移到与重合为止．直线扫过的面积为（如图3的阴影部分），运动时间为秒，试求与的函数关系式，并写出相应的取值范围．
11．（2023·福田模拟）如图9，已知抛物线y＝a(x-1)2+h与x轴交于点A（-2，0）和点B，与y轴交于点C（0，4）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点E是线段BC的中点，连结AE并延长与抛物线交于点D，求点D的坐标．
12．（2023·高明模拟）二次函数．
（1）当时，函数图象与轴交于点、，与轴交于点．
①写出函数的一个性质；
②如图1，点是第四象限内函数图象上一动点，求出点坐标，使得的面积最大；
③如图2，点为第一象限内函数图象上一动点，过点作.轴，垂足为，的外接圆与交于点，求的长度；
（2）点、为函数图象上任意两点，且.若对于时，都有，求的取值范围．
13．（2023·东莞模拟）如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交点C，连接，顶点为M．
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）若D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点E，当的值最大时，求点D的坐标；
（3）已知点G是抛物线上的一点，连接，若，求点G的坐标．
14．（2023·南海模拟）如图，抛物线与轴相交于点，与轴交于点为线段上的一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，交该抛物线于点．
（1）求直线的表达式；
（2）当为直角三角形时，求点的坐标；
（3）当时，求的面积．
15．（2023·南山模拟）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
图1 备用图
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，是上方抛物线上一点，连接交线段于点，若，求点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点使得，如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．
16．（2023·三水模拟）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．连接，，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求的面积；
（3）若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使得以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2023·惠城模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝-x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；
（3）点M在抛物线上，且△AOM的面积与△AOC的面积相等，求出点M的坐标．
18．（2023·封开模拟）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点P为直线上方抛物线上的动点，连接，直线与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线的解析式；
（3）求的面积最大值．
19．（2023·佛山模拟）如图，抛物线经过，，三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线下方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求点D的坐标以及的面积的最大值．
（3）点P是抛物线上一个动点，过P作轴于M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
20．（2023·梅州模拟）如图，在平面直角坐标系中，绕原点O逆时针旋转得到，其中，．
（1）若二次函数经过A、B、C三点，求该二次函数的解析式；
（2）在（1）条件下，在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使得最小？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由．
（3）在（1）条件下，若E为x轴上一个动点，F为抛物线上的一个动点，使得B、C、E、F构成平行四边形时，求E点坐标．
21．（2023·平南模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过两点.P是抛物线上一点，且在直线的上方.
（1）求抛物线的表达式；
（2）若面积是面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，交于点C，交于点D.记，的面积分别为，判断是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.
22．（2023·覃塘模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的负半轴上，抛物线经过A，C两点，连接.
（1）请直接写出b，c的值；
（2）若动点在边（不与O，A两点重合）上，过点E作x轴的垂线l交于点F，交于点M，交抛物线于点P，连接.
①设线段的长为h，求h与m的函数关系式；
②当点P在下方的抛物线上时，以P，C，F为顶点的三角形与是否相似？若相似，请求出此时点E的坐标；若不相似，请说明理由.
23．（2023·广西模拟）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，且，设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N.
（1）求抛物线对应的函数表达式和顶点M的坐标；
（2）P为抛物线的对称轴上一点，且在线段（含端点）上运动，为x轴上一点，且，求m的最大值；
（3）在（2）的条件下，当m取最大值时，将线段向上平移p个单位长度，使得线段与抛物线有两个交点，直接写出p的取值范围.
24．（2023·宾阳模拟）二次函数的图象与x轴交于、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点，顶点为E.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接，连接.当，求点P的坐标.
25．（2023·广西模拟）已知二次函数的图象与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C.
（1）直接写出点A和点B的坐标.
（2）如图1，若点P是二次函数图象上位于下方的一个动点，连接交于点Q.设点P的横坐标为t，设，求w的最大值.
（3）如图2，已知点，P是二次函数图象上不同于点D的一个动点，连接、、，当的面积等于时，求点P的坐标.
26．（2023·柳州模拟）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点.
（1）求抛物线解析式；
（2）求开口向下的二次函数的最大值时采用的步骤是：第一，求出二次函数的顶点坐标；第二，确定自变量x的取值范围；第三判定是否在其范围内，若在，则最大值是顶点纵坐标，若不在，要根据其增减性求最大值，即当时，时，y最大；当时，时，y最大.若，时，二次函数的最大值是t，求t的值.
（3）如图，若点P是第一象限抛物线上一点，且，求点P的坐标.
27．（2023·柳北模拟）如图1，拋物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C.
（1）求该拋物线的函数表达式；
（2）在平面直角坐标系内是否存在一点P使得以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有满足该条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点D在该抛物线上且横坐标为2，直线l与抛物线交于A，D两点，点M在y轴上，当时，求点M的坐标.
28．（2023·柳南模拟）如图，已知抛物线的图像经过点，与轴交于两点，顶点坐标，连接交对称轴于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点是抛物线上的一个动点，位于直线的上方（点与不重合），过作轴的平行线交于点；
①设点的横坐标为，当四边形是平行四边形时，求的值；
②在①的条件下，抛物线上是否存在点，使得的面积与的面积相等，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由.
29．（2023·玉林模拟）已知二次函数的图象经过点.
（1）求该二次函数的表达式；
（2）二次函数图象与轴的另一个交点为，与轴的交点为，点从点出发在线段上以每秒2个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求面积的最大值；
（3）在点、运动的过程中，是否存在使与相似的时刻，如果存在，求出运动时间，如果不存在，请说明理由.
30．（2023·澄迈模拟）如图，已知抛物线的图象与x轴交于点A（1，0），B（-3，0），与y轴的正半轴交于点C.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D是线段上一动点，过点D作y轴的平行线，与交于点E，与抛物线交于点F.
①连接，当的面积最大时，求此时点F的坐标；
②探究是否存在点D使得为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由.
31．（2023·海南模拟）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（-2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E.
（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（2）求四边形ABDC的面积；
（3）P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBCS△ABC时，求点P的坐标；
（4）在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
32．（2023·儋州模拟）如图，在直角坐标系中有，为坐标原点，，，将此三角形绕原点顺时针旋转，得到，二次函数的图象刚好经过，，三点.
（1）求二次函数的解析式及顶点的坐标；
（2）过定点的直线与二次函数图象相交于M，两点.
①若，求的值；
②证明：无论为何值，恒为直角三角形；
③当直线绕着定点旋转时，外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：∵点A（1，0），AB=4，
∴点B的坐标为（-3，0），
将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：
，
解得：b=2，c=-3，
∴抛物线的解析式为
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为 ，
顶点式为： ，
则C点坐标为：（-1，-4），
由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，
由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，
∵PQ∥BC，
设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P ，
由 解得： ，
∵P在线段AB上，
∴ ，
∴n的取值范围为-6＜n＜2，
则
∴当n=-2时，即P（-1，0）时， 最大，最大值为2
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点B的坐标，再将点A、B的坐标代入求出b、c的值即可；
（2）先求出，再结合P在线段AB上，求出-6＜n＜2，然后利用割补法可得，最后利用二次函数的性质求解即可。
2．【答案】（1）解：设抛物线的表达式为，
将A（－1，0）、B（0、3）、C（3，0）代入，
得，解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：四边形OBDC是正方形，
，
，
，
；
（3）解：存在，理由如下：
当点M在线段BD的延长线上时，此时，
，
设，
设直线OM的解析式为，
，
解得，
直线OM的解析式为，
设直线BC的解析式为，
把B（0、3）、 C（3，0）代入，得，
解得，
直线BC的解析式为，
令，解得，则，
，
四边形OBDC是正方形，
，
，
，
，
，
解得或或，
点M为射线BD上一动点，
，
，
，
当时，解得或，
，
.
当点M在线段BD上时，此时，，
，
，
，
由（2）得，
四边形OBDC是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上，ME的长为或.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c，将A（-1，0）、B（0、3）、C（3，0）代入求出a、b、c的值，据此可得抛物线的表达式；
（2）根据正方形的性质可得BO=BD，∠OBC=∠DBC，证明△OBF≌△DBF，据此可得结论；
（3）当点M在线段BD的延长线上时，此时∠FDM>90°，DF=DM，设M（m，3），求出直线OM、BC的解析式，联立表示出x、y，可得点F的坐标，根据正方形的性质可得BO=BD=OC=CD=3，则D（3，3），根据两点间距离公式表示出DF2，根据DF=DM可得m的值，由点M为射线BD上一动点可得m>0，据此可得BM，令抛物线解析式中的y=3，求出x的值，可得BE，由ME=BM-BE可得ME；当点M在线段BD上时，此时∠DMF>90°，MF=DM，根据等腰三角形的性质可得∠MFD=∠MDF，则∠BMO=2∠MDF，由（2）得∠BOF=∠BDF，根据正方形的性质可得∠OBD=90°，据此可得∠BOM的度数，根据三角函数的概念可得BM，由ME=BD-BM-DE可得ME.
3．【答案】（1）解：把 ， 代入 ，
得 ，
解得 ．
这个抛物线的解析式为： ，
令 ，则 ，解得 ， ，
，
；
（2）解： 抛物线的解析式为： ，
对称轴为 ，
设 ，
轴，
，
过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ，作 轴的平行线交 轴于点 ，过点 作 轴，
四边形 是矩形，
四边形 的周长 ，
当 时，四边形 的周长最大，
当四边形 的周长最大时，点 的坐标为 ；
（3）解：过点 作 对称轴于 ，过点 作 轴于 ，
，
由翻折得 ， ，
， ．
，
，
对称轴于 ，
轴，
，
，
，
≌ ，
， ，
抛物线的解析式为： ，
对称轴为 ， ，
， ，
， ，
，
设直线 的解析式为 ，
，解得 ，
直线 的解析式为 ，
，
设 ，
，
，
，
分两种情况：
当 时， ，
，解得 ，
点 的坐标为 ；
当 时， ，
，解得 ，
点 的坐标为 ．
综上，所有符合条件的点 的坐标为 ， ．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（AAS）；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）将A（-1，0）、C（0，5）代入y=-x2+bx+c中可得b、c的值，据此可得抛物线的解析式，令y=0，求出x的值，得到点B的坐标，进而可得m的值；
（2）根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=2，设D（x，-x2+4x+5），则E（4-x，-x2+4x+5），由题意可得四边形DEFG是矩形，则周长为2(-x2+4x+5)+2(x-4+x)=-2(x-3)2+20，然后根据二次函数的性质进行解答；
（3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，由折叠的性质可得CN=CM，∠BCN=∠BCM，根据点B、C的坐标可得OB=OC，则∠OCB=∠OBC=45°，易证△MCH ≌△NCK， 得到NK=MH，CK=CH，根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=2，M（2，9），则MH=4，CH=2，NK=MH=4，CK=CH=2，K（-4，3），求出直线BN的解析式，得到点Q的坐标，设P（2，p），表示出PQ2、BP2、BQ2，然后分∠BQP=90°、∠QBP=90°，利用勾股定理求出p的值，据此可得点P的坐标.
4．【答案】（1）解：∵ 的对称轴为 ，
∴ ，即b=2，
∵ 过B点(2，0)，
∴ ，
∴结合b=2可得c=4，
即抛物线解析式为：
（2）解：△POD不可能是等边三角形，
理由如下：
假设△POD是等边三角形，过P点作PN⊥OD于N点，如图，
∵当x=0时， ，
∴C点坐标为(0，4)，
∴OC=4，
∵D点是OC的中点，
∴DO=2，
∵在等边△POD中，PN⊥OD，
∴DN=NO= DO=1，
∵在等边△POD中，∠NOP=60°，
∴在Rt△NOP中，NP=NO×tan∠NOP=1×tan60°= ，
∴P点坐标为( ，1)，
经验证P点不在抛物线上，
故假设不成立，
即△POD不可能是等边三角形；
（3）解：∵PH⊥BO，
∴∠MHB=90°，
根据（2）中的结果可知C点坐标为(0，4)，
即OC=4，
∵B点(2，0)，
∴OB=2，
∴tan∠CBO=2，
分类讨论
第一种情况：△BMH∽△CMP，
∴∠MHB=∠MPC=90°，
∴ ，
∴即P点纵坐标等于C点纵坐标，也为4，
当y=4时， ，
解得：x=1或者0，
∵P点在第一象限，
∴此时P点坐标为(1，4)，
第二种情况：△BMH∽△PMC，
过P点作PG⊥y轴于点G，如图，
∵△BMH∽△PMC，
∴∠MHB=∠MCP=90°，
∴∠GCP+∠OCB=90°，
∵∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠GCP=∠OBC，
∴tan∠GCP=tan∠OBC=2，
∵PG⊥OG，
∴在Rt△PGC中，2GC=GP，
设GP=a，
∴GC= ，
∴GO= +OC= +4，
∵PG⊥OG，PH⊥OH，
∴可知四边形PGOH是矩形，
∴PH=OG= +4，
∴P点坐标为(a， +4)，
∴ ，
解得：a= 或者0，
∵P点在第一象限，
∴a= ，
∴ ，
此时P点坐标为( )；
∵△BMH与△PCM中，有∠BMH=∠PMC恒相等，
∴△PCM中，当∠CPM为直角时，若∠PCM=∠BMH，则可证△PCM是等腰直角三角形，
通过相似可知△BMH也是等腰直角三角形，这与tan∠CBO=2相矛盾，故不存在当∠CPM为直角时，∠PCM=∠BMH相等的情况；
同理不存在当∠PCM为直角时，∠CPM=∠BMH相等的情况，
综上所述：P点坐标为：(1，4)或者( )．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等边三角形的性质；相似三角形的性质；锐角三角函数的定义；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）根据对称轴为直线x=可得b的值，将B（2，0）代入求出c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）假设△POD是等边三角形，过P点作PN⊥OD于N点，易得C(0，4)，则OC=4，结合中点的概念可得DO=2，根据等边三角形的性质可得DN=NO= DO=1，∠NOP=60°，根据三角函数的概念可得NP，据此可得点P的坐标，然后代入抛物线解析式中验证即可；
（3）根据垂直的概念可得∠MHB=90°，易得OC=4，OB=2，则tan∠CBO=2，当△BMH∽△CMP时，∠MHB=∠MPC=90°，推出PC∥OB，得到点P的纵坐标为4，令y=4，求出x的值，结合点P在第一象限可得点P的坐标；当△BMH∽△PMC时，过P点作PG⊥y轴于点G，根据相似三角形的性质可得
∠MHB=∠MCP=90°，由同角的余角相等可得∠GCP=∠OBC，则tan∠GCP=tan∠OBC=2，即2GC=GP，设GP=a，则GC=a，GO=a+4，易得四边形PGOH是矩形，PH=OG=a+4，则
P点坐标为(a， a+4)，代入抛物线解析式中可得a的值，结合点P在第一象限可得点P的坐标；当∠CPM为直角时，若∠PCM=∠BMH，则可证△PCM是等腰直角三角形，根据相似三角形的性质可得
△BMH也是等腰直角三角形，这与tan∠CBO=2相矛盾，据此解答.
5．【答案】（1）解：根据题意，得
，
解得 ，
抛物线解析式为：
（2）解：由（1）得 ，
点 ，且点 ，
.
∵当 是以BC为底边的等腰三角形
∴PC=PB，
∵OP=OP，
∴ ，
∴ ，
设抛物线的对称轴与 轴交于H点，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线对称轴 ，
∴ ，
∴ ，
.
点P坐标为 .
（3）解：存在.
理由如下：过点M作 轴，交BC于点E，交x轴于点F.
设 ，则 ，
设直线BC的解析式为： ，依题意，得：
，
解得 ，
直线BC的解析式为： ，
当 时， ，
点E的坐标为 ，
∵点M在第一象限内，且在BC的上方，
，
，
.
∵ ，
，
解得
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；等腰三角形的性质；点的坐标与象限的关系；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入求出b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）易得C（0，3），则OC=OB=3，根据等腰三角形的性质可得PC=PB，易证△COP≌△BOP，得到∠COP=∠BOP=45°，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则OH=PH，根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=1，则OH=PH=1，据此可得点P的坐标；
（3）过点M作ME∥y轴，交BC于点E，交x轴于点F，设M（m，-m2+2m+3），则F（m，0），利用待定系数法求出直线BC的解析式，可得E（m，-m+3），表示出ME，根据三角形的面积公式可得S△BCM，S△BCP，结合S△BCM=S△BCP就可求出m的值.
6．【答案】（1）A(﹣1，0)，B(4，0)，C(0，4)
（2）解：将C（0，4）向下平移至，使，连接交抛物线的对称轴l于Q，如图所示：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵B，Q，共线，
∴此时CP+PQ+BQ最小，最小值为的值，
∵C（0，4），，
∴，
∵B（4，0），
∴＝＝5，
∴，
∴CP+PQ+BQ最小值为6.
（3）解：如图：
由y＝﹣x2+3x+4得，抛物线对称轴为直线，
设Q（，t），则P（，t+1），M（0，t+1），N（，0），
∵B（4，0），C（0，4）；
∴BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，
∵∠CMP＝∠QNB＝90°，
∴△CPM和△QBN相似，只需＝或＝，
①当＝时，＝，
解得t＝或t＝，
∴Q（，）或（，）；
②当＝时，＝，
解得t＝或t＝（舍去），
∴Q（，），
综上所述，Q的坐标是(，)或(，)或(，).
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；
【分析】（1）分别令x=0、y=0，求出y、x的值，据此可得点A、B、C的坐标；
（2）将C（0，4）向下平移至C′，使CC′=PQ，连接BC′交抛物线的对称轴l于Q，则四边形CC′QP是平行四边形，CP=C′Q，CP+PQ+BQ=BC′+PQ，故当B，Q，C′共线时，CP+PQ+BQ最小，最小值为BC′+PQ的值，易得C′（0，3），结合两点间距离公式可得BC′，据此求解；
（3）易得对称轴为直线x=，设Q（，t），则P（，t+1），M（0，t+1），N（，0），结合点B、C的坐标可得BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t-3|，△CPM和△QBN相似，只需＝或＝，据此求出t的值，进而可得点Q的坐标.
7．【答案】（1）解：∵抛物线经过点，
∴解得
∴该抛物线的函数表达式为
（2）解：如图，连接，
令，
∴.
∴
∵，
∴.
∴.
∴
（3）解：如图，作轴，交直线于点F，
则.
∴.
∵是定值，
∴当最大时，最大.
设，
∵，
∴.
设，则.
∴.
∴当时，取得最大值，此时.
设点，若是直角三角形，则点Q不能与点P、A重合，
∴，下面分三类情况讨论：
①若，如图，
过点P作轴于点，作交的延长线于点，则.
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
②若，如图，过点P作直线轴于点，过点Q作轴于点，.
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
③若，如图，过点Q作轴于点，作交的延长线于点，则.
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
综上所述，当的值最大且是直角三角形时，点Q的横坐标为，，，1.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）将A（-1，0）、C（0，3）代入y=ax2+2x+c中可求出a、c的值，进而可得抛物线的解析式；
（2）连接OP，令y=0，求出x的值，可得点B的坐标，然后根据S四边形BOCP=S△POC+S△BOP结合三角形的面积公式进行解答；
（3）作PF∥x轴，交直线BC于点F，则△PFD∽△ABD，可得：当PF最大时，最大，利用待定系数法求出直线BC的解析式，设P（m，-m2+2m+3），则F（m2-2m，-m2+2m+3），表示出PF，根据二次函数的性质可得PF的最大值以及对应的点P的坐标，设Q（t，-t2+2t+3），①若∠APQ=90°，过点P作PP2⊥x轴于点P2，作QP1⊥P2P交P2P的延长线于点P1，则△PP1Q∽△AP2P，根据相似三角形的性质可得t；②若∠PAQ=90°，如图，过点P作直线PA1⊥x 轴于点A1，过点Q作QA2⊥x轴于点A2，则△APA1∽△QAA2，根据相似三角形的性质可得t；③若∠AQP=90°，过点Q作QQ1⊥x轴于点Q1，作PQ2⊥Q1Q交q1q的延长线于点q2，则△PQQ2∽△QAQ1，根据相似三角形的性质可得t.
8．【答案】（1）解：当x=0时，
y=c=2.
（2）解： 由(1)得，抛物线的解析式为 ，
∵当S=m时恰好有三个点M满足S=m，
∴必有一个点M为抛物线的顶点，另外两点的纵坐标和顶点的纵坐标互为相反数，
当x=-=-时，=，
则另外两点的纵坐标为：，
∴
.
（3）解：由题意知：，
∴，
∴，
∴，
∴原式
.
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】(1)把x=0代入函数式求c即可；
(2)根据当S=m时恰好有三个点M满足S=m，得出必有一个点M为抛物线的顶点，另外两点的纵坐标和顶点的纵坐标互为相反数，依此先求出顶点坐标，则可求出另外两点的纵坐标，再求纵坐标之和，即可解答；
(3)由题意得到，根据配方法求出，，然后将原式变形，最后代值计算即可解答.
9．【答案】（1）解：直线与x轴交于点，
∴可有，解得，
∴点，
∵抛物线经过点，
∴将点代入，可得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如下图，过点作交于点，
∵抛物线与轴的交点为，
当时，可有，
解得，
∴点，
设点，则点，
∴，
∵四边形面积，
∴当时，四边形面积有最大值，
此时点；
（3）解：如下图，当点在上方时，设交轴于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴点，
设直线解析式为，将点，点代入，
可得，解得，
∴直线解析式为，
联立方程组可得，
解得：或，
∴点，
当点在下方时，
∵，
∴，
∴点的纵坐标为-2，
∴点的坐标为．
综上所述，点坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出 点， 再利用待定系数法求出 抛物线的解析式为即可作答；
（2）根据题意先求出 点， 再求出 ， 最后求解即可；
（3）分类讨论，结合图象，利用勾股定理和平行线的性质求解即可。
10．【答案】（1）解：由得或，
，，
四边形是矩形，
，，，
把，代入，
得：，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：沿折叠，使点落在抛物线上的点处，
，，，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
的面积为；
（3）解：过作于，如图：
由（2）得，
，
，
，，
，
，即，
，，
，
由得直线解析式为，
由得直线解析式为，
由，得直线解析式为，
当时，设直线交于，交于，如图：
在中令得，
，
在中令得，
，
，
；
当时，设直线交于，交于，如图：
在中令得，
，
在中令得，
，
，
，
；
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点A，B和点C的坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出BE=OE，再利用勾股定理和三角形的面积公式计算求解即可；
（3）利用勾股定理先求出CE=3，再利用相似三角形的判定与性质，结合函数图象求解即可。
11．【答案】（1）解：由题意，抛物线y＝a(x-1)2+h与x轴交于点A（-2，0），与y轴交于点C（0，4），则
解之得
∴该抛物线的表达式为
（2）解：当y=0时，，
解得：x1=-2，x2=4，
∴A（-2，0），B（4，0）
又∵点E是线段BC的中点，
∴E（2，2），
设直线AE的解析式为：y=kx+b，
解得
直线A E的解析式为
解得
由图可得点D的坐标为（3，）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【分析】（1）把A，C坐标代入解析式，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）令y＝0，解方程求出B的坐标，再根据中点坐标公式求出E的坐标，用待定系数法求出AE的解析式，再联立直线AE和抛物线解析式，解方程组求出D的坐标．
12．【答案】（1）解：当时，，
①函数图象的顶点坐标为；
②令，由得，，
当时，，
∴，，，
设直线的解析式为，
将代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
过点P作轴于H， 与交于G，
设，则，，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为；
③设圆心为H，过H作轴于N，于M，连接，，
则，，，
设，，
∵轴，
∴，
∴，，，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
则，
解得，即；
（2）解：由于
∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵点、为函数图象上任意两点，且，若对于即时，都有，
∴．
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）①根据函数解析式及函数图象直接求解即可；
②过点P作轴于H， 与交于G，设，则，求出，再利用二次函数的性质求解即可；
③设圆心为H，过H作轴于N，于M，连接，，设，，求出，，，，再结合，可得，求出x的值即可；
（2）利用二次函数的性质求解即可。
13．【答案】（1）解：将、代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵
，
∴顶点M的坐标为；
（2）解：如图，过D作交于F，
设直线为，
把点代入得
设，则，
∴
∵
∴，
∴
=，
∴当时，有最大值为1； 此时
∴点D的坐标为
（3）解：当点G在上方时，
过C作交抛物线于G，
∵
∴
∴
∴
∴（舍去）或
当点G在下方时，交x轴于H
∵
∴
设
则
∴
∴
设直线为
把代入得
由得
（舍去）或，
∴，
综上所述，若，点G的坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入求出a、b的值可得二次函数解析式，再求出点M的坐标即可；
（2）过D作交于F，先求出直线BC的解析式，设，则，再结合，可得=，再求出点D的坐标即可；
（3）分类讨论：①当点G在上方时，②当点G在下方时，再分别画出图象并求解即可。
14．【答案】（1）解：令，则，
∴或，
∴，
令，则，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：设，
①如图1，当时，，
∴，
∴，
∴（舍去）或，
∴；
②如图2，当时，过点作轴，垂足为点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（舍去）或，
∴；
综上所述：点的坐标为或；
（3）解：如图3，作的垂直平分线交轴于点，连接，过点作于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
则，，
∵，，，，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出 或， 再求出点A和点B的坐标，最后利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）分类讨论，结合函数图象，利用相似三角形的判定与性质，列方程计算求解即可；
（3）先求出 ， 再利用勾股定理求出 ， 最后利用锐角三角函数和三角形的面积公式计算求解即可。
15．【答案】（1）解：把，代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线与轴交于点，
，
设直线的解析式为，把，代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
设，过点作轴于点，过点作轴于点，
，，
，
，
，即，，
，，
又点在直线上，
，
解得或，
当时，，即点的坐标为，
当时，，即点的坐标为；
（3）解：存在点使得，如图，
①当点是抛物线上与点对称的点时，则有，
点关于对称轴的对称点坐标为，
；
②当时，则有，
直线的解析式，
直线的解析式一次项系数为，设直线的解析式为，
把代入，得，
解得，
直线的解析式为，
联立，
解得，（舍去），
，
综上，存在点使得，点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）求出C（0，3），利用待定系数法求出直线的解析式为， 设，过点作轴于点，过点作轴于点， 证明， 可得 ，即，， 从而求出，， 将点E坐标代入中，即可求出t值，继而得出D坐标；
（3） 分两种情况：①当点是抛物线上与点对称的点时，则有， ②当时，则有， 据此分别求解即可.
16．【答案】（1）解：由与轴交于，两点，
则有，解得，
所以抛物线的解析式为
（2）解：∵，得顶点坐标是，
当时，，
∴，
由勾股定理，得
，
，
，
则，
∴是直角三角形，
∴．
（3）解：①如图1，
平行四边形，由对角线互相平分，得，；
②如图2，
平行四边形，，点的横坐标为，
当时，，即，；
③如图3，
平行四边形，，点的横坐标为，
当时，，即，，
综上所述，存在满足条件的点的坐标有，，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理的应用；平行四边形的判定；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法可得抛物线的解析式；
（2）根据勾股定理可得AC、CD、AD的长，根据勾股定理的逆定理可得 是直角三角形， 再求出 的面积；
（3）分类讨论： ①平行四边形，由对角线互相平分，得，； ② 平行四边形，根据平行四边形对边相等可得，点的横坐标为，再求出点P的纵坐标即可； ③ 平行四边形，根据平行四边形对边相等可得， 点的横坐标为，再求出点P的纵坐标即可。
17．【答案】（1）解：∵二次函数y＝- x2+bx+c过点A（-3，0），B（4，0），
∴抛物线的解析式为y＝-（x+3）（x-4）＝-x2+x+4；
（2）解：在点P，Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形，
理由：由（1）知，抛物线的解析式为y＝-x2+x+4，
∴C（0，4），
∵A（-3，0），B（4，0），
∴AC＝5，OA＝3，OC＝4，
由运动知，AP＝t，OQ＝t，
∴AQ＝3+t，（0＜t＜4）
∵∠OAP是Rt△AOC的一个锐角，
∵△APQ是直角三角形，
①当∠AQP＝90°时，
∵∠AOC＝90°＝∠AQP，
∴PQ∥y轴，
∵点Q在OB上，
∴点P不可能在第二象限内，此种情况不存在，
②当∠APQ＝90°时，
∵∠AOC＝90°＝∠APQ，
∵∠PAQ＝∠OAC，
∴△AOC∽△APQ，
∴，
∴ ，
∴t＝ ，
∵0＜t＜4，
∴此种情况不符合题意，
即在点P，Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形；
（3）解：由（2）知，OA＝3，OC＝4，
∴S△AOC＝OA OC＝6，
∵△AOM的面积与△AOC的面积相等，
∴S△AOM＝6，
设点M（m，-m2+m+4），
∴S△AOM＝OA |-m2+m+4|＝|-m2+m+4|＝6，
∴m＝0（舍）或m＝1或 ，
∴M（1，4）或（，-4）或（，-4）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用交点式二次函数解析式进行求解即可；
（2）分两种情况： ①当∠AQP＝90°时， 判断出点P不可能在第二象限内，此种情况不存在， 当∠APQ＝90°时，证明 △AOC∽△APQ， 根据相似三角形的性质可得，则 ，
解之t＝ ，由于0＜t＜4，故此种情况不符合题意，即在点P，Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形；
（3）先求出△AOC的面积，进而求出△AOM的面积 ，设点M（m，-m2+m+4）， 建立方程求解即可。
18．【答案】（1）解：将，代入，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：令，则，解得，，
∴，且，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为．
（3）解：如图所示，过点P作轴交于G，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，的面积有最大值，最大值为，
∴的面积最大值为32．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点A、C的坐标代入求出a、c的值即可；
（2）先求出B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；
（3）过点P作轴交于G，设，则，求出PG的长，再利用三角形的面积公式可得，最后利用二次函数的性质求解即可。
19．【答案】（1）解：由题意可设抛物线解析式为，则把点代入得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为，即为；
（2）解：过点D作轴，交于点E，如图所示：
设直线的解析式为，则有：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设点，则有，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积最大，最大值为，
此时点；
（3）解：存在，当点A、P、M为顶点的三角形与相似时，则点或或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）如图所示：
由，可知：，
∴，
设点，
∴，，且③，
∵，
∴以点A、P、M为顶点的三角形与相似，则有：
①当时，
∴④，
联立③④解得：或（舍去）或，
∴或；
②当时，
∴⑤，
联立③⑤解得：（舍去）或或，
∴或；
综上所述：当点A、P、M为顶点的三角形与相似时，则点或或或．
【分析】（1）将点C的坐标代入求出a的值即可；
（2）过点D作轴，交于点E，先求出直线AC的解析式，设点，则有，求出DE的长，再求出，最后利用二次函数的性质求解即可；
（3）分类讨论：①当时，②当时，再分别求解即可。
20．【答案】（1）解：∵，，
∴点，点．
将绕原点旋转得到，
∴，
∴点．
设二次函数的关系式为，将，，代入，得
解得，
所以二次函数的关系式为；
（2）解：存在，理由如下：
∵二次函数的关系式为，
∴对称轴，
∴点A和点B关于直线l对称，
要求最小，即求最小，
根据两点之间线段最短可知，连接与直线l交于点P，
设直线的关系式为，将点，点代入，得
，
解得，
所以一次函数的关系式为．
当时，，
所以点P的坐标是；
（3）解：如图所示．以为边时，四边形时平行四边形，过点作轴，于点D．
可知，，
∴，
∴．
∵，
∴≌，
∴，．
当时，，
解得，，
∴点，，
∴，，
∴，，
∴点，点；
以为对角线，过点C作轴，
当时，，
解得或（舍），
∴点，
∴，
∴，
∴点．
所以点E的坐标是或，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点A、B、C的坐标，再将点A、B、C的坐标代入求出a、b、c的值即可；
（2）根据两点之间线段最短可知，连接与直线l交于点P，先利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求出点P的坐标即可；
（3）分类讨论：①以为边时，四边形时平行四边形，过点作轴，于点D，②以为对角线，过点C作轴，再分别求解即可。
21．【答案】（1）解：将代入
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解：设直线的解析式为：，
将代入得，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵，
∴，
∴，
即，
过点P作轴于点M，与交于点N，过点B作于点E，如图，
∴，
∴，
设点P的横坐标为m，
∴，
∴，
解得：或；
∴或；
（3）解：存在最大值.理由如下：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
设直线交y轴于点F，则 ，
过点P作轴，垂足为H，交于点G，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设
由（2）可知，，
∴，
∵，
∴当时，的最大值为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）将A（4，0）、B（1，3）代入y=ax2+bx中求出a、b的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，根据三角形的面积公式可得S△OAB=6，结合题意可得S△PAB=3，过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，则S△PAB=S△PNB+S△PNA=3，结合三角形的面积公式可得PN的值，设点P的横坐标为m，则P（m，-m2+4m），表示出PN，根据PN的值可求出m的值，据此可得点P的坐标；
（3）由平行线的性质可得∠DPC=∠BOC，∠PDC=∠OBC，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△DPC∽△BOC，根据相似三角形的性质以及三角形的面积公式可得 ，设直线AB交y轴于点F，则F（0，4） ，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交AB于点G，证明△PDG∽△OBF，得到PD：OB=PG：OF，设P（n，-n2+4n），由（2）可知PG，然后表示出，接下来根据二次函数的性质进行解答.
22．【答案】（1），
（2）解：①设直线的表达式为，
∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，解得，
∴直线的表达式为，
又抛物线的表达式为，
∴由题意得：点M的坐标为，点P的坐标为，
∴，
∴h与m的函数关系式为，其中.
②由题意，得：，，，
，
∵，
∴若以P，C，F为顶点的三角形与相似，需分两种情况：
如图1，若，则，
∴，
∵，，
∴，
此时点E的坐标为；
如图2，若，则，
∴，
∵，，
∴，
此时点E的坐标为.
综上所述：当以P，C，F为顶点的三角形与相似时，点E的坐标为或
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求二次函数解析式；两点间的距离；矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵矩形的边，，
∴，
∴，
把点代入得：
，解得：；
【分析】（1）根据矩形的性质可得OC=AB=4，则A（3，0）、C（0，-4），代入y=x2+bx+c中可求出b、c的值；
（2）①利用待定系数法求出直线AC的解析式，设M（m，m-4），则P（m，m2-m-4），表示出PM，据此可得h与m的函数关系式；
②由题意得：AE=3-m，CF=m，EM=-m+4，表示出PF，然后分△PCF∽△MAE、△PCF∽△AME，根据相似三角形的性质求出m的值，进而可得点E的坐标.
23．【答案】（1）解：∵，
∴点C的坐标为，代入，
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式是：，
抛物线的对称轴为直线，
把代入得：，
∴顶点坐标M为.
（2）解：作于点E，作于点D，如图所示：
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，.
（3）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象与几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）设直线的解析式为，
把点，代入得：，
解得：，
∴的解析式为，
∴平移后的解析式为：，
又得：
，
当时，，与抛物线只有一个公共点，
当时，，
∴当时，线段与抛物线有两个交点.
【分析】（1）根据OC=3可得C（0，3），代入y=a(x+2)(x-6)中可求出a的值，据此可得抛物线的解析式以及顶点M的坐标；
（2）作PE⊥OC于点E，作QD⊥PE于点D，由同角的余角相等可得∠ECP=∠QPD，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△CPE∽△PQD，根据相似三角形的性质可得m，然后利用二次函数的性质进行解答；
（3）利用待定系数法求出直线CQ的解析式，得到平移后CQ的解析式，联立抛物线解析式并结合判别式为0可得p的值，此时CQ与抛物线只有一个公共点，令x=4，求出y的值，据此解答.
24．【答案】（1）解：把、代入，得：
解得
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图①：
令，则，解得，
，
对称轴为x=，
设，
∵点C在线段的垂直平分线上，
∴，
又∵，
∴，
∴，
解得，
∴或.
（3）解：设交抛物线的对称轴于点M，如图②：
∵，
∴，
设，直线的解析式为，
将P坐标代人得：
∴，
∴直线的关系式：，
当时，
∴
∴，
∴ ，=
即：，
∴，
解得 (舍去)
当时，，
综上所述，满足条件的点P的坐标为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）将A（2，0）、C（0，3）代入y=ax2-2x+c中求出a、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）令y=0，求出x的值，可得点B的坐标，设D（4，n），根据垂直平分线的性质可得CB=CD，根据两点间距离公式可得CB2、CD2，然后根据CB=CD可得n的值，进而可得点D的坐标；
（3）设CP交抛物线的对称轴于点M，易得E（4，-1），设P（n，n2-2n+3），利用待定系数法求出直线CP的解析式，令x=4，求出y的值，可得点M的坐标，根据题意结合三角形的面积公式可得n的值，据此可得点P的坐标.
25．【答案】（1），
（2）解：如图，过点P作于点N，交于点M，
∵二次函数的图象与y轴交于点C，
时，，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，
∵直线的图象过点，
∴把点代入直线的解析式为，即，
解得，
∴直线的解析式为，
，，
，
，
，，
，
，
，
∴时，w的最大值为.
（3）解：如图，当点P在直线的上方时，过点P作轴，交于点F，的延长线交x轴于点E，
设点P的坐标为，则点F的坐标为，
，
，，
，
∵点，点C的坐标为，
，
，
，
，
解得：，
∴点时，；当时，，
或；
当点P在的下方时，过点P作，交于点G，延长交的延长线于点L，
设点P的坐标为，则点G的坐标为，
，
，
，
，
，
，
，解得，
时，，此时点P与点D重合，故舍去，
∴点P的坐标为或.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）∵次函数的图象与x轴交于点A，点B，
时，，
解得：，，
∴A点坐标为，B点坐标为.
【分析】（1）由求出y=0时x值，即得A、B坐标；
（2）过点P作于点N，交于点M，由可求C（0，-2），利用待定系数法求出直线BC为，由 ，则， 可得PM=-t2+2t，由平行线可证 ， 可得 ， 继而得出W关于t的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可；
（3）当点P在直线的上方时，过点P作轴，交于点F，的延长线交x轴于点E， 设点P，则点F，可得PF=m2-2m， 从而得出 =m2-2m=S△DBC=1， 解之即可； 当点P在的下方时，过点P作，交于点G，延长交的延长线于点L，设点P的坐标为，则点G的坐标为，则PG= -n2+2n，从而得出=GP·OB=GP= -n2+2n=S△DBC=1，解之即可.
26．【答案】（1）解：把，两点代入抛物线得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
∴在对称轴的左侧，
∵，
∴当时，抛物线有最大值，
∴，
解得：或（舍去），
∴.
（3）解：延长，过点D作轴，过点D作交的延长线于点M，过点M作于点N，交x轴于点Q，过点A作于点K，如图所示：
把代入得：，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∵，轴，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设的解析式为，把，代入得：
，解得：，
∴的解析式为，
联立，
解得：或，
∵点P在第一象限，
∴舍去，
∴点P的坐标为：.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；矩形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=-x2+bx+c中求出b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=1，由t<0可得t≤x≤t+1在对称轴的左侧，由二次函数的性质可得：当x=t+1时，抛物线有最大值y=t，然后代入求解即可；
（3）延长AP，过点D作KN∥x轴，过点D作DM⊥AD交AP的延长线于点M，过点M作MN⊥KN于点N，交x轴于点Q，过点A作AK⊥KN于点K，易得抛物线的顶点坐标为D（1，4），四边形AKNQ为矩形，NQ=AK=4，利用AAS证明△ADK≌△DMN，得到DN=AK=4，MN=DK=2，求出MQ的值，表示出点M的坐标，利用待定系数法求出直线AM的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，据此可得点P的坐标.
27．【答案】（1）解：将点，代入抛物线解析式得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）点P的坐标为或或
（3）解：，
当时，，
∴，
设，过点A作于点H，过点H作轴，过点A作于点T，过点D作于点K，
当点M在上方时，如图所示：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，将点，代入得：
，
解得：，
∴直线解析式为，
令得，
∴；
当点M在下方时，如图所示：
同理可得，
∵，
∴，
解得：，
∴，
此时点M与点H重合，即点，
综上可得：M的坐标为或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（2）存在，理由如下：∵，
当 时， ，
∴点，
设点，
当AB为对角线时，另一条对角线为CP，
∴ ，
解得： ，
∴此时点；
当AC为对角线时，另一条对角线为BP，
∴ 解得： ，
∴此时点；
当AP为对角线时，另一条对角线为BC，
∴，解得：，
∴此时点；
综上所述，点P的坐标为（2，1）或（-4，-1）或（4，-1）；
【分析】（1）将点A、B的坐标分别代入y=ax2+bx-1可得关于字母a、b的方程组，求解可得a、b的值，从而求得抛物线的解析式；
（2）存在，理由如下：令抛物线解析式式中x=0算出y的值，可得点C的坐标，设P（x，y），分类讨论：①当AB为对角线时，另一条对角线为CP，②当AC为对角线时，另一条对角线为BP，③当AP为对角线时，另一条对角线为BC，分别根据中点坐标公式及平行四边形的对角线互相平分即可建立出关于x、y的方程组，求解可得x、y的值，从而得到点P的坐标；
（3）将x=2代入抛物线的解析式算出对应的y的值，可得点D的坐标， 设H（p，q），过点A作AH⊥DM于点H，过点H作TK∥x轴，过点A作AT⊥TK于点T，过点D作DK⊥TK于点K， 当点M在AD上方时，首先用AAS判断出△AHT≌△HDK，得AT=HK，TH=DK，从而可得方程组 ，求解得到p、q的值，从而求出点H的坐标，利用待定系数法求出直线DH的解析式，再令解析式中的x=0算出y的值，得到点M的坐标； 当点M在AD下方时，同理可求出点H的坐标，此时 此时点M与点H重合， 从而求出点M的坐标，综上即可得出答案.
28．【答案】（1）解：∵顶点坐标，
∴设二次函数解析式，
把代入，解得，
∴抛物线解析式为
（2）解：①当时，则，
∴，，
∴点，
∵点，
设直线的解析式为，
把，代入直线得，解得，
∴解析式为，
∵点，
∴点，
∴，
设点，则点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，解得（不合题意舍去），，
∴；
②当点、点在直线的同侧时，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当点与点重合时，，
∴点；
当点与点在直线的异侧时，延长交轴于，在上截取，则，过点作的平行线交抛物线于点，
如图所示：
∵，
∴设直线的解析式为，
将代入得到，解得，
∴直线的解析式为，
∴点，
∵，
∴，
∵，，
∴与的距离与与的距离相等，
∴，
∵，点，
∴直线的解析式为y=-x+1，
联立方程组得，解得或，
综上所述，满足题意的点，点，点.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+4，将C（3，0）代入求出a的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）①易得B（3，0），利用待定系数法求出直线BC的解析式，得到E（1，2），则DE=2，设P（m，-m2+2m+3），则F（m，-m+3），表示出PF，根据平行四边形的性质可得PF=DE，据此可得m的值；
②当点Q、P在直线BC的同侧时，由平行四边形的性质可得S△BPC=S△DBC，故当点Q与点D重合时，S△BPC=S△QBC，据此可得点Q的坐标；当点P与点Q在直线BC的异侧时，延长PD交y轴于点H，在OC上截取CN=CH=2，则N（0，1），过点N作BC的平行线交抛物线于点Q，求出直线DP的解析式，得到H（0，5），进而推出S△BCQ=S△BCP，求出直线QN的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，据此可得点Q的坐标.
29．【答案】（1）解：把点代入得：，
解得：，
二次函数的表达式为：
（2）解：过作于，如图：
在中，令得，令得，，
，，，
，，，
设运动时间为，则，，
，
，
，即，
，
，
，
当时，面积的最大值为.
（3）解：在点、运动的过程中，存在使与相似的时刻，理由如下：
，，
与相似只需为直角三角形，
当时，如图：
，，
，
是等腰直角三角形，，
，
解得；
当时，如图：
同理可知，
，
解得，
综上所述，的值为或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入y=x2+2bx-3b可算出b的值，从而即可得出抛物线的解析式；
（2） 过Q作QN⊥OB于N，分别令抛物线解析式中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，可得A、B、C三点的坐标，从而即可得出AB=4，OB=OC=3， ， 设运动时间为t，则BQ=t，AP=2t， 根据同角的同名三角函数值相等得 ，据此可表示出NQ，进而根据三角形的面积计算公式表示出△BPQ的面积，根据二次函数的性质即可解决此题；
（3） 在点P、Q运动的过程中，存在使△PBQ与△BOC相似的时刻，由于∠PBQ=∠OBC，∠BOC=90°，故△PBQ与△BOC相似只需要△PBQ为直角三角形，①当∠PQB=90°时，易得△PBQ是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得 ， 据此建立方程，求解即可；②当∠BPQ=90°时， 同理可知， 据此建立方程，求解即可，综上即可得出答案.
30．【答案】（1）解：将点A（1，0）、B（ 3，0）代入y＝，
得：，
解得：
∴二次函数解析式为.
（2）解：①令x=0，代入，得：，
∴C（0，3），
∵B（-3，0），
∴设直线BC的解析式为y=kx+b，代入得
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=x+3
设F（x，），则E（x，x+3）
∴FE=-（x+3）=，
∴的面积=（）=，
∴x=-时，的面积最大，此时F（-，）；
②Ⅰ当∠CFE=90°时，如图：
∵DFy轴，
∴DF⊥x轴，
∴∠ODF=∠CFE=90°，
∴CFOB，
∴点F的纵坐标为3，
∴3=--2x+3，
解得=0（舍去），=-2，
∴F（-2，3），
Ⅱ当∠ECF=90°时，过点C作CH⊥EF于H，
∵DFy轴，
∴DF⊥x轴，
∴∠BDE=90°，
∵C（0，3），B（-3，0），
∴OC=OB=3，
∴∠OBC=45°，
∴∠OEB=∠CEH=45°，
∵∠ECF=90°，
∴CE=CF，
∵CH⊥EF，
∴EF=2CH，
设D（m，0），则E（m，m+3），F（m，），
∴EF=-（m+3）=--3m，CH=-m，
∴--3m=-m，
∴=0（舍去），=-1，
∴点D坐标为（-1，0）.
∴F（-1，4）
综上，点F的坐标为（-2，3）或（-1，4）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数图象上点的坐标特征；直角三角形的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）①先求出直线BC的解析式y=x+3，设F（x，），则E（x，x+3），可得FE=， 从而得出的面积=（），利用二次函数的性质求解即可；② 分两种情况：当∠CFE=90°时和当∠ECF=90°时 ，据此分别画出图形并求解即可.
31．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）过点A（-2，0）和C（0，8），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为yx2+3x+8.
令y＝0，得.
解得x1＝-2，x2＝8.
∴点B的坐标为（8，0）.
设直线BC的解析式为y＝kx+b.
把点B（8，0），C（0，8）分别代入y＝kx+b，
得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝-x+8.
（2）解：如图1，设抛物线的对称轴l与x轴交于点H.
∵抛物线的解析式为，
∴顶点D的坐标为.
∴S四边形ABDC＝S△AOC+S梯形OCDH+S△BDH
70.
（3）解：∵.
∴.
如图2，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F.
设点，F（t，-t+8）.
∴.
∴.
∴.解得t1＝2，t2＝6.
∴点P的坐标为（2，12）或P（6，8）.
（4）解：存在.
∵△BEM为等腰三角形，
∴BM＝EM或BE＝BM或BE＝EM，
设M（3，m），
∵B（8，0），E（3，5），
∴BE5，EM＝|m-5|，BM，
当BM＝EM时，|m-5|，
∴m2+25＝（m-5）2，解得：m＝0，
∴M（3，0）；、
当BE＝BM时，5，
∴m2+25＝50，
解得：m＝-5或m＝5（舍去），
∴M（3，-5）；
当BE＝EM时，5|m-5|，
解得：m＝5+5或m＝5-5，
∴M（3，5+5）或（3，5-5）.
综上所述，点M的坐标为（3，0）或（3，-5）或（3，5+5）或（3，5-5）.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）将A（-2，0）和C（0，8）代入y＝ax2+3x+c中求出a、c的值，据此可得抛物线的解析式，令y=0，求出x的值，可得点B的坐标，然后利用待定系数法就可求出直线BC的解析式；
（2）设抛物线的对称轴l与x轴交于点H，易得顶点D的坐标为（3，），然后根据S四边形ABDC＝S△AOC+S梯形OCDH+S△BDH进行计算；
（3）根据三角形的面积公式可得S△ABC=40，则S△PBC=24，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，设P（t，t2+3t+8），则F（t，-t+8），表示出PF，根据△PBC的面积公式求出t的值，进而可得点P的坐标；
（4）设M（3，m），根据两点间距离公式表示出BE、EM、BM，然后分BM＝EM、BE＝BM、BE＝EM，求出m的值，进而可得点M的坐标.
32．【答案】（1）解：∵A（0，3），B（-1，0），
∴OA=3，OB=1，
根据旋转的性质得OC=OA=3，
∴C（3，0），
把A（0，3），B（-1，0），C（3，0），分别代入y=ax2+bx+c得
，
解得，
∴二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3，
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴顶点P的坐标为（1，4）；
（2）解：①设，
直线：过定点，抛物线的顶点坐标为，
，
，
，
联立
得，
，
，
；
②证明：过点作轴，垂足为，分别过点，作的垂线，垂足分别为、，
设.
，在二次函数图象上，
，.
，
，，，，
，
，
由①可知，
，
，
，
，
，
，
，即，
无论为何值，恒为直角三角形；
③
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；同角三角函数的关系；旋转的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（2）③∵恒为直角三角形，，
∴外接圆圆心是线段的中点；
设线段的中点，
∵，，.
∴
∴的中点为，
，
化简，得，
抛物线的表达式为.
【分析】（1）根据点A、B的坐标可得OA、OB的长，根据旋转的性质可得OC=OA，从而得出点C的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式，再将解析式配成顶点式可得点点P的坐标；
（2）①设M（x1，y1），N（x2，y2），易得定点Q为（1，3），则PQ=1，根据三角形面积公式得x2-x1=4，联立抛物线与直线的解析式得x2+（k-2）x-k=0，由根与系数的关系得x1+x2=2-k，x2x1=-k，再利用完全平方公式的恒等变形可得关于字母k的方程，求解即可；
② 过P作PG⊥x轴于G，过M，N作PG的垂线，垂足分别为E、F， 设M（x1，y1），N（x2，y2），根据两点间的距离公式表示出PE、ME、PF、NF，由正切函数的定义得tan∠PME=1-x1， ， 然后根据根与系数的关系及等角的同名三角函数值相等证明∠PME=∠FPN，据此即可证得结论；
③根据圆周角定理得Rt△PMN外接圆的圆心是线段MN的中点；根据中点坐标公式计算即可.
1 / 1备考2023年中考数学压轴题训练 ——二次函数（4）
一、真题
1．（2022·广东）如图，抛物线 （b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点， ， ，点P为线段 上的动点，过P作 交 于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求 面积的最大值，并求此时P点坐标．
【答案】（1）解：∵点A（1，0），AB=4，
∴点B的坐标为（-3，0），
将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：
，
解得：b=2，c=-3，
∴抛物线的解析式为
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为 ，
顶点式为： ，
则C点坐标为：（-1，-4），
由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，
由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，
∵PQ∥BC，
设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P ，
由 解得： ，
∵P在线段AB上，
∴ ，
∴n的取值范围为-6＜n＜2，
则
∴当n=-2时，即P（-1，0）时， 最大，最大值为2
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点B的坐标，再将点A、B的坐标代入求出b、c的值即可；
（2）先求出，再结合P在线段AB上，求出-6＜n＜2，然后利用割补法可得，最后利用二次函数的性质求解即可。
2．（2022·百色）已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM ，交BC于点F
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：∠BOF＝∠BDF ：
（3）是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长
【答案】（1）解：设抛物线的表达式为，
将A（－1，0）、B（0、3）、C（3，0）代入，
得，解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：四边形OBDC是正方形，
，
，
，
；
（3）解：存在，理由如下：
当点M在线段BD的延长线上时，此时，
，
设，
设直线OM的解析式为，
，
解得，
直线OM的解析式为，
设直线BC的解析式为，
把B（0、3）、 C（3，0）代入，得，
解得，
直线BC的解析式为，
令，解得，则，
，
四边形OBDC是正方形，
，
，
，
，
，
解得或或，
点M为射线BD上一动点，
，
，
，
当时，解得或，
，
.
当点M在线段BD上时，此时，，
，
，
，
由（2）得，
四边形OBDC是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上，ME的长为或.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c，将A（-1，0）、B（0、3）、C（3，0）代入求出a、b、c的值，据此可得抛物线的表达式；
（2）根据正方形的性质可得BO=BD，∠OBC=∠DBC，证明△OBF≌△DBF，据此可得结论；
（3）当点M在线段BD的延长线上时，此时∠FDM>90°，DF=DM，设M（m，3），求出直线OM、BC的解析式，联立表示出x、y，可得点F的坐标，根据正方形的性质可得BO=BD=OC=CD=3，则D（3，3），根据两点间距离公式表示出DF2，根据DF=DM可得m的值，由点M为射线BD上一动点可得m>0，据此可得BM，令抛物线解析式中的y=3，求出x的值，可得BE，由ME=BM-BE可得ME；当点M在线段BD上时，此时∠DMF>90°，MF=DM，根据等腰三角形的性质可得∠MFD=∠MDF，则∠BMO=2∠MDF，由（2）得∠BOF=∠BDF，根据正方形的性质可得∠OBD=90°，据此可得∠BOM的度数，根据三角函数的概念可得BM，由ME=BD-BM-DE可得ME.
3．（2022·柳州）已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．
（1）求 ， ， 的值；
（2）如图 ，点 是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点 在第一象限内，过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ，作 轴的平行线交 轴于点 ，过点 作 轴，垂足为点 ，当四边形 的周长最大时，求点 的坐标；
（3）如图 ，点 是抛物线的顶点，将 沿 翻折得到 ， 与 轴交于点 ，在对称轴上找一点 ，使得 是以 为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点 的坐标．
【答案】（1）解：把 ， 代入 ，
得 ，
解得 ．
这个抛物线的解析式为： ，
令 ，则 ，解得 ， ，
，
；
（2）解： 抛物线的解析式为： ，
对称轴为 ，
设 ，
轴，
，
过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ，作 轴的平行线交 轴于点 ，过点 作 轴，
四边形 是矩形，
四边形 的周长 ，
当 时，四边形 的周长最大，
当四边形 的周长最大时，点 的坐标为 ；
（3）解：过点 作 对称轴于 ，过点 作 轴于 ，
，
由翻折得 ， ，
， ．
，
，
对称轴于 ，
轴，
，
，
，
≌ ，
， ，
抛物线的解析式为： ，
对称轴为 ， ，
， ，
， ，
，
设直线 的解析式为 ，
，解得 ，
直线 的解析式为 ，
，
设 ，
，
，
，
分两种情况：
当 时， ，
，解得 ，
点 的坐标为 ；
当 时， ，
，解得 ，
点 的坐标为 ．
综上，所有符合条件的点 的坐标为 ， ．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（AAS）；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）将A（-1，0）、C（0，5）代入y=-x2+bx+c中可得b、c的值，据此可得抛物线的解析式，令y=0，求出x的值，得到点B的坐标，进而可得m的值；
（2）根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=2，设D（x，-x2+4x+5），则E（4-x，-x2+4x+5），由题意可得四边形DEFG是矩形，则周长为2(-x2+4x+5)+2(x-4+x)=-2(x-3)2+20，然后根据二次函数的性质进行解答；
（3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，由折叠的性质可得CN=CM，∠BCN=∠BCM，根据点B、C的坐标可得OB=OC，则∠OCB=∠OBC=45°，易证△MCH ≌△NCK， 得到NK=MH，CK=CH，根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=2，M（2，9），则MH=4，CH=2，NK=MH=4，CK=CH=2，K（-4，3），求出直线BN的解析式，得到点Q的坐标，设P（2，p），表示出PQ2、BP2、BQ2，然后分∠BQP=90°、∠QBP=90°，利用勾股定理求出p的值，据此可得点P的坐标.
4．（2022·玉林）如图，已知抛物线： 与x轴交于点A， （A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线 ，P是第一象限内抛物线上的任一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为线段 的中点，则 能否是等边三角形？请说明理由；
（3）过点P作x轴的垂线与线段 交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与 相似，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵ 的对称轴为 ，
∴ ，即b=2，
∵ 过B点(2，0)，
∴ ，
∴结合b=2可得c=4，
即抛物线解析式为：
（2）解：△POD不可能是等边三角形，
理由如下：
假设△POD是等边三角形，过P点作PN⊥OD于N点，如图，
∵当x=0时， ，
∴C点坐标为(0，4)，
∴OC=4，
∵D点是OC的中点，
∴DO=2，
∵在等边△POD中，PN⊥OD，
∴DN=NO= DO=1，
∵在等边△POD中，∠NOP=60°，
∴在Rt△NOP中，NP=NO×tan∠NOP=1×tan60°= ，
∴P点坐标为( ，1)，
经验证P点不在抛物线上，
故假设不成立，
即△POD不可能是等边三角形；
（3）解：∵PH⊥BO，
∴∠MHB=90°，
根据（2）中的结果可知C点坐标为(0，4)，
即OC=4，
∵B点(2，0)，
∴OB=2，
∴tan∠CBO=2，
分类讨论
第一种情况：△BMH∽△CMP，
∴∠MHB=∠MPC=90°，
∴ ，
∴即P点纵坐标等于C点纵坐标，也为4，
当y=4时， ，
解得：x=1或者0，
∵P点在第一象限，
∴此时P点坐标为(1，4)，
第二种情况：△BMH∽△PMC，
过P点作PG⊥y轴于点G，如图，
∵△BMH∽△PMC，
∴∠MHB=∠MCP=90°，
∴∠GCP+∠OCB=90°，
∵∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠GCP=∠OBC，
∴tan∠GCP=tan∠OBC=2，
∵PG⊥OG，
∴在Rt△PGC中，2GC=GP，
设GP=a，
∴GC= ，
∴GO= +OC= +4，
∵PG⊥OG，PH⊥OH，
∴可知四边形PGOH是矩形，
∴PH=OG= +4，
∴P点坐标为(a， +4)，
∴ ，
解得：a= 或者0，
∵P点在第一象限，
∴a= ，
∴ ，
此时P点坐标为( )；
∵△BMH与△PCM中，有∠BMH=∠PMC恒相等，
∴△PCM中，当∠CPM为直角时，若∠PCM=∠BMH，则可证△PCM是等腰直角三角形，
通过相似可知△BMH也是等腰直角三角形，这与tan∠CBO=2相矛盾，故不存在当∠CPM为直角时，∠PCM=∠BMH相等的情况；
同理不存在当∠PCM为直角时，∠CPM=∠BMH相等的情况，
综上所述：P点坐标为：(1，4)或者( )．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等边三角形的性质；相似三角形的性质；锐角三角函数的定义；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）根据对称轴为直线x=可得b的值，将B（2，0）代入求出c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）假设△POD是等边三角形，过P点作PN⊥OD于N点，易得C(0，4)，则OC=4，结合中点的概念可得DO=2，根据等边三角形的性质可得DN=NO= DO=1，∠NOP=60°，根据三角函数的概念可得NP，据此可得点P的坐标，然后代入抛物线解析式中验证即可；
（3）根据垂直的概念可得∠MHB=90°，易得OC=4，OB=2，则tan∠CBO=2，当△BMH∽△CMP时，∠MHB=∠MPC=90°，推出PC∥OB，得到点P的纵坐标为4，令y=4，求出x的值，结合点P在第一象限可得点P的坐标；当△BMH∽△PMC时，过P点作PG⊥y轴于点G，根据相似三角形的性质可得
∠MHB=∠MCP=90°，由同角的余角相等可得∠GCP=∠OBC，则tan∠GCP=tan∠OBC=2，即2GC=GP，设GP=a，则GC=a，GO=a+4，易得四边形PGOH是矩形，PH=OG=a+4，则
P点坐标为(a， a+4)，代入抛物线解析式中可得a的值，结合点P在第一象限可得点P的坐标；当∠CPM为直角时，若∠PCM=∠BMH，则可证△PCM是等腰直角三角形，根据相似三角形的性质可得
△BMH也是等腰直角三角形，这与tan∠CBO=2相矛盾，据此解答.
5．（2022·贺州）如图，抛物线 过点 ，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上一动点，当 是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得 ？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：根据题意，得
，
解得 ，
抛物线解析式为：
（2）解：由（1）得 ，
点 ，且点 ，
.
∵当 是以BC为底边的等腰三角形
∴PC=PB，
∵OP=OP，
∴ ，
∴ ，
设抛物线的对称轴与 轴交于H点，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线对称轴 ，
∴ ，
∴ ，
.
点P坐标为 .
（3）解：存在.
理由如下：过点M作 轴，交BC于点E，交x轴于点F.
设 ，则 ，
设直线BC的解析式为： ，依题意，得：
，
解得 ，
直线BC的解析式为： ，
当 时， ，
点E的坐标为 ，
∵点M在第一象限内，且在BC的上方，
，
，
.
∵ ，
，
解得
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；等腰三角形的性质；点的坐标与象限的关系；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入求出b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）易得C（0，3），则OC=OB=3，根据等腰三角形的性质可得PC=PB，易证△COP≌△BOP，得到∠COP=∠BOP=45°，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则OH=PH，根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=1，则OH=PH=1，据此可得点P的坐标；
（3）过点M作ME∥y轴，交BC于点E，交x轴于点F，设M（m，-m2+2m+3），则F（m，0），利用待定系数法求出直线BC的解析式，可得E（m，-m+3），表示出ME，根据三角形的面积公式可得S△BCM，S△BCP，结合S△BCM=S△BCP就可求出m的值.
6．（2022·桂林）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动.
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）求CP+PQ+QB的最小值；
（3）过点P作PM⊥y轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标.
【答案】（1）A(﹣1，0)，B(4，0)，C(0，4)
（2）解：将C（0，4）向下平移至，使，连接交抛物线的对称轴l于Q，如图所示：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵B，Q，共线，
∴此时CP+PQ+BQ最小，最小值为的值，
∵C（0，4），，
∴，
∵B（4，0），
∴＝＝5，
∴，
∴CP+PQ+BQ最小值为6.
（3）解：如图：
由y＝﹣x2+3x+4得，抛物线对称轴为直线，
设Q（，t），则P（，t+1），M（0，t+1），N（，0），
∵B（4，0），C（0，4）；
∴BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，
∵∠CMP＝∠QNB＝90°，
∴△CPM和△QBN相似，只需＝或＝，
①当＝时，＝，
解得t＝或t＝，
∴Q（，）或（，）；
②当＝时，＝，
解得t＝或t＝（舍去），
∴Q（，），
综上所述，Q的坐标是(，)或(，)或(，).
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；
【分析】（1）分别令x=0、y=0，求出y、x的值，据此可得点A、B、C的坐标；
（2）将C（0，4）向下平移至C′，使CC′=PQ，连接BC′交抛物线的对称轴l于Q，则四边形CC′QP是平行四边形，CP=C′Q，CP+PQ+BQ=BC′+PQ，故当B，Q，C′共线时，CP+PQ+BQ最小，最小值为BC′+PQ的值，易得C′（0，3），结合两点间距离公式可得BC′，据此求解；
（3）易得对称轴为直线x=，设Q（，t），则P（，t+1），M（0，t+1），N（，0），结合点B、C的坐标可得BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t-3|，△CPM和△QBN相似，只需＝或＝，据此求出t的值，进而可得点Q的坐标.
7．（2022·海南）如图1，抛物线经过点，并交x轴于另一点B，点在第一象限的抛物线上，交直线于点D.
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当点P的坐标为时，求四边形的面积；
（3）点Q在抛物线上，当的值最大且是直角三角形时，求点Q的横坐标；
【答案】（1）解：∵抛物线经过点，
∴解得
∴该抛物线的函数表达式为
（2）解：如图，连接，
令，
∴.
∴
∵，
∴.
∴.
∴
（3）解：如图，作轴，交直线于点F，
则.
∴.
∵是定值，
∴当最大时，最大.
设，
∵，
∴.
设，则.
∴.
∴当时，取得最大值，此时.
设点，若是直角三角形，则点Q不能与点P、A重合，
∴，下面分三类情况讨论：
①若，如图，
过点P作轴于点，作交的延长线于点，则.
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
②若，如图，过点P作直线轴于点，过点Q作轴于点，.
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
③若，如图，过点Q作轴于点，作交的延长线于点，则.
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
综上所述，当的值最大且是直角三角形时，点Q的横坐标为，，，1.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）将A（-1，0）、C（0，3）代入y=ax2+2x+c中可求出a、c的值，进而可得抛物线的解析式；
（2）连接OP，令y=0，求出x的值，可得点B的坐标，然后根据S四边形BOCP=S△POC+S△BOP结合三角形的面积公式进行解答；
（3）作PF∥x轴，交直线BC于点F，则△PFD∽△ABD，可得：当PF最大时，最大，利用待定系数法求出直线BC的解析式，设P（m，-m2+2m+3），则F（m2-2m，-m2+2m+3），表示出PF，根据二次函数的性质可得PF的最大值以及对应的点P的坐标，设Q（t，-t2+2t+3），①若∠APQ=90°，过点P作PP2⊥x轴于点P2，作QP1⊥P2P交P2P的延长线于点P1，则△PP1Q∽△AP2P，根据相似三角形的性质可得t；②若∠PAQ=90°，如图，过点P作直线PA1⊥x 轴于点A1，过点Q作QA2⊥x轴于点A2，则△APA1∽△QAA2，根据相似三角形的性质可得t；③若∠AQP=90°，过点Q作QQ1⊥x轴于点Q1，作PQ2⊥Q1Q交q1q的延长线于点q2，则△PQQ2∽△QAQ1，根据相似三角形的性质可得t.
8．（2022·云南）已知抛物线 经过点（0，2），且与 轴交于A、B两点．设k是抛物线 与 轴交点的横坐标；M是抛物线 的点，常数m>0，S为△ABM的面积．已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和．
（1）求c的值；
（2）且接写出T的值；
（3）求 的值．
【答案】（1）解：当x=0时，
y=c=2.
（2）解： 由(1)得，抛物线的解析式为 ，
∵当S=m时恰好有三个点M满足S=m，
∴必有一个点M为抛物线的顶点，另外两点的纵坐标和顶点的纵坐标互为相反数，
当x=-=-时，=，
则另外两点的纵坐标为：，
∴
.
（3）解：由题意知：，
∴，
∴，
∴，
∴原式
.
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】(1)把x=0代入函数式求c即可；
(2)根据当S=m时恰好有三个点M满足S=m，得出必有一个点M为抛物线的顶点，另外两点的纵坐标和顶点的纵坐标互为相反数，依此先求出顶点坐标，则可求出另外两点的纵坐标，再求纵坐标之和，即可解答；
(3)由题意得到，根据配方法求出，，然后将原式变形，最后代值计算即可解答.
二、综合题
9．（2023·惠东模拟）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点， 与轴的另一个交点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点，使 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：直线与x轴交于点，
∴可有，解得，
∴点，
∵抛物线经过点，
∴将点代入，可得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如下图，过点作交于点，
∵抛物线与轴的交点为，
当时，可有，
解得，
∴点，
设点，则点，
∴，
∵四边形面积，
∴当时，四边形面积有最大值，
此时点；
（3）解：如下图，当点在上方时，设交轴于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴点，
设直线解析式为，将点，点代入，
可得，解得，
∴直线解析式为，
联立方程组可得，
解得：或，
∴点，
当点在下方时，
∵，
∴，
∴点的纵坐标为-2，
∴点的坐标为．
综上所述，点坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出 点， 再利用待定系数法求出 抛物线的解析式为即可作答；
（2）根据题意先求出 点， 再求出 ， 最后求解即可；
（3）分类讨论，结合图象，利用勾股定理和平行线的性质求解即可。
10．（2023·阳山模拟）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的正半轴上，在轴的正半轴上，、的长分别是方程的两根（），抛物线过、两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，将沿折叠，使点落在抛物线上的点处，求的面积；
（3）有一平行于轴的动直线，从轴开始以一个单位长度每秒的速度向右平移，平移到与重合为止．直线扫过的面积为（如图3的阴影部分），运动时间为秒，试求与的函数关系式，并写出相应的取值范围．
【答案】（1）解：由得或，
，，
四边形是矩形，
，，，
把，代入，
得：，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：沿折叠，使点落在抛物线上的点处，
，，，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
的面积为；
（3）解：过作于，如图：
由（2）得，
，
，
，，
，
，即，
，，
，
由得直线解析式为，
由得直线解析式为，
由，得直线解析式为，
当时，设直线交于，交于，如图：
在中令得，
，
在中令得，
，
，
；
当时，设直线交于，交于，如图：
在中令得，
，
在中令得，
，
，
，
；
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点A，B和点C的坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出BE=OE，再利用勾股定理和三角形的面积公式计算求解即可；
（3）利用勾股定理先求出CE=3，再利用相似三角形的判定与性质，结合函数图象求解即可。
11．（2023·福田模拟）如图9，已知抛物线y＝a(x-1)2+h与x轴交于点A（-2，0）和点B，与y轴交于点C（0，4）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点E是线段BC的中点，连结AE并延长与抛物线交于点D，求点D的坐标．
【答案】（1）解：由题意，抛物线y＝a(x-1)2+h与x轴交于点A（-2，0），与y轴交于点C（0，4），则
解之得
∴该抛物线的表达式为
（2）解：当y=0时，，
解得：x1=-2，x2=4，
∴A（-2，0），B（4，0）
又∵点E是线段BC的中点，
∴E（2，2），
设直线AE的解析式为：y=kx+b，
解得
直线A E的解析式为
解得
由图可得点D的坐标为（3，）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【分析】（1）把A，C坐标代入解析式，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）令y＝0，解方程求出B的坐标，再根据中点坐标公式求出E的坐标，用待定系数法求出AE的解析式，再联立直线AE和抛物线解析式，解方程组求出D的坐标．
12．（2023·高明模拟）二次函数．
（1）当时，函数图象与轴交于点、，与轴交于点．
①写出函数的一个性质；
②如图1，点是第四象限内函数图象上一动点，求出点坐标，使得的面积最大；
③如图2，点为第一象限内函数图象上一动点，过点作.轴，垂足为，的外接圆与交于点，求的长度；
（2）点、为函数图象上任意两点，且.若对于时，都有，求的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
①函数图象的顶点坐标为；
②令，由得，，
当时，，
∴，，，
设直线的解析式为，
将代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
过点P作轴于H， 与交于G，
设，则，，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为；
③设圆心为H，过H作轴于N，于M，连接，，
则，，，
设，，
∵轴，
∴，
∴，，，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
则，
解得，即；
（2）解：由于
∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵点、为函数图象上任意两点，且，若对于即时，都有，
∴．
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）①根据函数解析式及函数图象直接求解即可；
②过点P作轴于H， 与交于G，设，则，求出，再利用二次函数的性质求解即可；
③设圆心为H，过H作轴于N，于M，连接，，设，，求出，，，，再结合，可得，求出x的值即可；
（2）利用二次函数的性质求解即可。
13．（2023·东莞模拟）如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交点C，连接，顶点为M．
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）若D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点E，当的值最大时，求点D的坐标；
（3）已知点G是抛物线上的一点，连接，若，求点G的坐标．
【答案】（1）解：将、代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵
，
∴顶点M的坐标为；
（2）解：如图，过D作交于F，
设直线为，
把点代入得
设，则，
∴
∵
∴，
∴
=，
∴当时，有最大值为1； 此时
∴点D的坐标为
（3）解：当点G在上方时，
过C作交抛物线于G，
∵
∴
∴
∴
∴（舍去）或
当点G在下方时，交x轴于H
∵
∴
设
则
∴
∴
设直线为
把代入得
由得
（舍去）或，
∴，
综上所述，若，点G的坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入求出a、b的值可得二次函数解析式，再求出点M的坐标即可；
（2）过D作交于F，先求出直线BC的解析式，设，则，再结合，可得=，再求出点D的坐标即可；
（3）分类讨论：①当点G在上方时，②当点G在下方时，再分别画出图象并求解即可。
14．（2023·南海模拟）如图，抛物线与轴相交于点，与轴交于点为线段上的一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，交该抛物线于点．
（1）求直线的表达式；
（2）当为直角三角形时，求点的坐标；
（3）当时，求的面积．
【答案】（1）解：令，则，
∴或，
∴，
令，则，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：设，
①如图1，当时，，
∴，
∴，
∴（舍去）或，
∴；
②如图2，当时，过点作轴，垂足为点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（舍去）或，
∴；
综上所述：点的坐标为或；
（3）解：如图3，作的垂直平分线交轴于点，连接，过点作于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
则，，
∵，，，，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出 或， 再求出点A和点B的坐标，最后利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）分类讨论，结合函数图象，利用相似三角形的判定与性质，列方程计算求解即可；
（3）先求出 ， 再利用勾股定理求出 ， 最后利用锐角三角函数和三角形的面积公式计算求解即可。
15．（2023·南山模拟）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
图1 备用图
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，是上方抛物线上一点，连接交线段于点，若，求点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点使得，如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把，代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线与轴交于点，
，
设直线的解析式为，把，代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
设，过点作轴于点，过点作轴于点，
，，
，
，
，即，，
，，
又点在直线上，
，
解得或，
当时，，即点的坐标为，
当时，，即点的坐标为；
（3）解：存在点使得，如图，
①当点是抛物线上与点对称的点时，则有，
点关于对称轴的对称点坐标为，
；
②当时，则有，
直线的解析式，
直线的解析式一次项系数为，设直线的解析式为，
把代入，得，
解得，
直线的解析式为，
联立，
解得，（舍去），
，
综上，存在点使得，点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）求出C（0，3），利用待定系数法求出直线的解析式为， 设，过点作轴于点，过点作轴于点， 证明， 可得 ，即，， 从而求出，， 将点E坐标代入中，即可求出t值，继而得出D坐标；
（3） 分两种情况：①当点是抛物线上与点对称的点时，则有， ②当时，则有， 据此分别求解即可.
16．（2023·三水模拟）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．连接，，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求的面积；
（3）若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使得以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由与轴交于，两点，
则有，解得，
所以抛物线的解析式为
（2）解：∵，得顶点坐标是，
当时，，
∴，
由勾股定理，得
，
，
，
则，
∴是直角三角形，
∴．
（3）解：①如图1，
平行四边形，由对角线互相平分，得，；
②如图2，
平行四边形，，点的横坐标为，
当时，，即，；
③如图3，
平行四边形，，点的横坐标为，
当时，，即，，
综上所述，存在满足条件的点的坐标有，，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理的应用；平行四边形的判定；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法可得抛物线的解析式；
（2）根据勾股定理可得AC、CD、AD的长，根据勾股定理的逆定理可得 是直角三角形， 再求出 的面积；
（3）分类讨论： ①平行四边形，由对角线互相平分，得，； ② 平行四边形，根据平行四边形对边相等可得，点的横坐标为，再求出点P的纵坐标即可； ③ 平行四边形，根据平行四边形对边相等可得， 点的横坐标为，再求出点P的纵坐标即可。
17．（2023·惠城模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝-x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；
（3）点M在抛物线上，且△AOM的面积与△AOC的面积相等，求出点M的坐标．
【答案】（1）解：∵二次函数y＝- x2+bx+c过点A（-3，0），B（4，0），
∴抛物线的解析式为y＝-（x+3）（x-4）＝-x2+x+4；
（2）解：在点P，Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形，
理由：由（1）知，抛物线的解析式为y＝-x2+x+4，
∴C（0，4），
∵A（-3，0），B（4，0），
∴AC＝5，OA＝3，OC＝4，
由运动知，AP＝t，OQ＝t，
∴AQ＝3+t，（0＜t＜4）
∵∠OAP是Rt△AOC的一个锐角，
∵△APQ是直角三角形，
①当∠AQP＝90°时，
∵∠AOC＝90°＝∠AQP，
∴PQ∥y轴，
∵点Q在OB上，
∴点P不可能在第二象限内，此种情况不存在，
②当∠APQ＝90°时，
∵∠AOC＝90°＝∠APQ，
∵∠PAQ＝∠OAC，
∴△AOC∽△APQ，
∴，
∴ ，
∴t＝ ，
∵0＜t＜4，
∴此种情况不符合题意，
即在点P，Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形；
（3）解：由（2）知，OA＝3，OC＝4，
∴S△AOC＝OA OC＝6，
∵△AOM的面积与△AOC的面积相等，
∴S△AOM＝6，
设点M（m，-m2+m+4），
∴S△AOM＝OA |-m2+m+4|＝|-m2+m+4|＝6，
∴m＝0（舍）或m＝1或 ，
∴M（1，4）或（，-4）或（，-4）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用交点式二次函数解析式进行求解即可；
（2）分两种情况： ①当∠AQP＝90°时， 判断出点P不可能在第二象限内，此种情况不存在， 当∠APQ＝90°时，证明 △AOC∽△APQ， 根据相似三角形的性质可得，则 ，
解之t＝ ，由于0＜t＜4，故此种情况不符合题意，即在点P，Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形；
（3）先求出△AOC的面积，进而求出△AOM的面积 ，设点M（m，-m2+m+4）， 建立方程求解即可。
18．（2023·封开模拟）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点P为直线上方抛物线上的动点，连接，直线与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线的解析式；
（3）求的面积最大值．
【答案】（1）解：将，代入，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：令，则，解得，，
∴，且，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为．
（3）解：如图所示，过点P作轴交于G，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，的面积有最大值，最大值为，
∴的面积最大值为32．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点A、C的坐标代入求出a、c的值即可；
（2）先求出B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；
（3）过点P作轴交于G，设，则，求出PG的长，再利用三角形的面积公式可得，最后利用二次函数的性质求解即可。
19．（2023·佛山模拟）如图，抛物线经过，，三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线下方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求点D的坐标以及的面积的最大值．
（3）点P是抛物线上一个动点，过P作轴于M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
【答案】（1）解：由题意可设抛物线解析式为，则把点代入得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为，即为；
（2）解：过点D作轴，交于点E，如图所示：
设直线的解析式为，则有：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设点，则有，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积最大，最大值为，
此时点；
（3）解：存在，当点A、P、M为顶点的三角形与相似时，则点或或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）如图所示：
由，可知：，
∴，
设点，
∴，，且③，
∵，
∴以点A、P、M为顶点的三角形与相似，则有：
①当时，
∴④，
联立③④解得：或（舍去）或，
∴或；
②当时，
∴⑤，
联立③⑤解得：（舍去）或或，
∴或；
综上所述：当点A、P、M为顶点的三角形与相似时，则点或或或．
【分析】（1）将点C的坐标代入求出a的值即可；
（2）过点D作轴，交于点E，先求出直线AC的解析式，设点，则有，求出DE的长，再求出，最后利用二次函数的性质求解即可；
（3）分类讨论：①当时，②当时，再分别求解即可。
20．（2023·梅州模拟）如图，在平面直角坐标系中，绕原点O逆时针旋转得到，其中，．
（1）若二次函数经过A、B、C三点，求该二次函数的解析式；
（2）在（1）条件下，在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使得最小？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由．
（3）在（1）条件下，若E为x轴上一个动点，F为抛物线上的一个动点，使得B、C、E、F构成平行四边形时，求E点坐标．
【答案】（1）解：∵，，
∴点，点．
将绕原点旋转得到，
∴，
∴点．
设二次函数的关系式为，将，，代入，得
解得，
所以二次函数的关系式为；
（2）解：存在，理由如下：
∵二次函数的关系式为，
∴对称轴，
∴点A和点B关于直线l对称，
要求最小，即求最小，
根据两点之间线段最短可知，连接与直线l交于点P，
设直线的关系式为，将点，点代入，得
，
解得，
所以一次函数的关系式为．
当时，，
所以点P的坐标是；
（3）解：如图所示．以为边时，四边形时平行四边形，过点作轴，于点D．
可知，，
∴，
∴．
∵，
∴≌，
∴，．
当时，，
解得，，
∴点，，
∴，，
∴，，
∴点，点；
以为对角线，过点C作轴，
当时，，
解得或（舍），
∴点，
∴，
∴，
∴点．
所以点E的坐标是或，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出点A、B、C的坐标，再将点A、B、C的坐标代入求出a、b、c的值即可；
（2）根据两点之间线段最短可知，连接与直线l交于点P，先利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求出点P的坐标即可；
（3）分类讨论：①以为边时，四边形时平行四边形，过点作轴，于点D，②以为对角线，过点C作轴，再分别求解即可。
21．（2023·平南模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过两点.P是抛物线上一点，且在直线的上方.
（1）求抛物线的表达式；
（2）若面积是面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，交于点C，交于点D.记，的面积分别为，判断是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：将代入
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解：设直线的解析式为：，
将代入得，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵，
∴，
∴，
即，
过点P作轴于点M，与交于点N，过点B作于点E，如图，
∴，
∴，
设点P的横坐标为m，
∴，
∴，
解得：或；
∴或；
（3）解：存在最大值.理由如下：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
设直线交y轴于点F，则 ，
过点P作轴，垂足为H，交于点G，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设
由（2）可知，，
∴，
∵，
∴当时，的最大值为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）将A（4，0）、B（1，3）代入y=ax2+bx中求出a、b的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，根据三角形的面积公式可得S△OAB=6，结合题意可得S△PAB=3，过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，则S△PAB=S△PNB+S△PNA=3，结合三角形的面积公式可得PN的值，设点P的横坐标为m，则P（m，-m2+4m），表示出PN，根据PN的值可求出m的值，据此可得点P的坐标；
（3）由平行线的性质可得∠DPC=∠BOC，∠PDC=∠OBC，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△DPC∽△BOC，根据相似三角形的性质以及三角形的面积公式可得 ，设直线AB交y轴于点F，则F（0，4） ，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交AB于点G，证明△PDG∽△OBF，得到PD：OB=PG：OF，设P（n，-n2+4n），由（2）可知PG，然后表示出，接下来根据二次函数的性质进行解答.
22．（2023·覃塘模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的负半轴上，抛物线经过A，C两点，连接.
（1）请直接写出b，c的值；
（2）若动点在边（不与O，A两点重合）上，过点E作x轴的垂线l交于点F，交于点M，交抛物线于点P，连接.
①设线段的长为h，求h与m的函数关系式；
②当点P在下方的抛物线上时，以P，C，F为顶点的三角形与是否相似？若相似，请求出此时点E的坐标；若不相似，请说明理由.
【答案】（1），
（2）解：①设直线的表达式为，
∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，解得，
∴直线的表达式为，
又抛物线的表达式为，
∴由题意得：点M的坐标为，点P的坐标为，
∴，
∴h与m的函数关系式为，其中.
②由题意，得：，，，
，
∵，
∴若以P，C，F为顶点的三角形与相似，需分两种情况：
如图1，若，则，
∴，
∵，，
∴，
此时点E的坐标为；
如图2，若，则，
∴，
∵，，
∴，
此时点E的坐标为.
综上所述：当以P，C，F为顶点的三角形与相似时，点E的坐标为或
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求二次函数解析式；两点间的距离；矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵矩形的边，，
∴，
∴，
把点代入得：
，解得：；
【分析】（1）根据矩形的性质可得OC=AB=4，则A（3，0）、C（0，-4），代入y=x2+bx+c中可求出b、c的值；
（2）①利用待定系数法求出直线AC的解析式，设M（m，m-4），则P（m，m2-m-4），表示出PM，据此可得h与m的函数关系式；
②由题意得：AE=3-m，CF=m，EM=-m+4，表示出PF，然后分△PCF∽△MAE、△PCF∽△AME，根据相似三角形的性质求出m的值，进而可得点E的坐标.
23．（2023·广西模拟）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，且，设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N.
（1）求抛物线对应的函数表达式和顶点M的坐标；
（2）P为抛物线的对称轴上一点，且在线段（含端点）上运动，为x轴上一点，且，求m的最大值；
（3）在（2）的条件下，当m取最大值时，将线段向上平移p个单位长度，使得线段与抛物线有两个交点，直接写出p的取值范围.
【答案】（1）解：∵，
∴点C的坐标为，代入，
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式是：，
抛物线的对称轴为直线，
把代入得：，
∴顶点坐标M为.
（2）解：作于点E，作于点D，如图所示：
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，.
（3）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象与几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）设直线的解析式为，
把点，代入得：，
解得：，
∴的解析式为，
∴平移后的解析式为：，
又得：
，
当时，，与抛物线只有一个公共点，
当时，，
∴当时，线段与抛物线有两个交点.
【分析】（1）根据OC=3可得C（0，3），代入y=a(x+2)(x-6)中可求出a的值，据此可得抛物线的解析式以及顶点M的坐标；
（2）作PE⊥OC于点E，作QD⊥PE于点D，由同角的余角相等可得∠ECP=∠QPD，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△CPE∽△PQD，根据相似三角形的性质可得m，然后利用二次函数的性质进行解答；
（3）利用待定系数法求出直线CQ的解析式，得到平移后CQ的解析式，联立抛物线解析式并结合判别式为0可得p的值，此时CQ与抛物线只有一个公共点，令x=4，求出y的值，据此解答.
24．（2023·宾阳模拟）二次函数的图象与x轴交于、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点，顶点为E.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接，连接.当，求点P的坐标.
【答案】（1）解：把、代入，得：
解得
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图①：
令，则，解得，
，
对称轴为x=，
设，
∵点C在线段的垂直平分线上，
∴，
又∵，
∴，
∴，
解得，
∴或.
（3）解：设交抛物线的对称轴于点M，如图②：
∵，
∴，
设，直线的解析式为，
将P坐标代人得：
∴，
∴直线的关系式：，
当时，
∴
∴，
∴ ，=
即：，
∴，
解得 (舍去)
当时，，
综上所述，满足条件的点P的坐标为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）将A（2，0）、C（0，3）代入y=ax2-2x+c中求出a、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）令y=0，求出x的值，可得点B的坐标，设D（4，n），根据垂直平分线的性质可得CB=CD，根据两点间距离公式可得CB2、CD2，然后根据CB=CD可得n的值，进而可得点D的坐标；
（3）设CP交抛物线的对称轴于点M，易得E（4，-1），设P（n，n2-2n+3），利用待定系数法求出直线CP的解析式，令x=4，求出y的值，可得点M的坐标，根据题意结合三角形的面积公式可得n的值，据此可得点P的坐标.
25．（2023·广西模拟）已知二次函数的图象与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C.
（1）直接写出点A和点B的坐标.
（2）如图1，若点P是二次函数图象上位于下方的一个动点，连接交于点Q.设点P的横坐标为t，设，求w的最大值.
（3）如图2，已知点，P是二次函数图象上不同于点D的一个动点，连接、、，当的面积等于时，求点P的坐标.
【答案】（1），
（2）解：如图，过点P作于点N，交于点M，
∵二次函数的图象与y轴交于点C，
时，，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，
∵直线的图象过点，
∴把点代入直线的解析式为，即，
解得，
∴直线的解析式为，
，，
，
，
，，
，
，
，
∴时，w的最大值为.
（3）解：如图，当点P在直线的上方时，过点P作轴，交于点F，的延长线交x轴于点E，
设点P的坐标为，则点F的坐标为，
，
，，
，
∵点，点C的坐标为，
，
，
，
，
解得：，
∴点时，；当时，，
或；
当点P在的下方时，过点P作，交于点G，延长交的延长线于点L，
设点P的坐标为，则点G的坐标为，
，
，
，
，
，
，
，解得，
时，，此时点P与点D重合，故舍去，
∴点P的坐标为或.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）∵次函数的图象与x轴交于点A，点B，
时，，
解得：，，
∴A点坐标为，B点坐标为.
【分析】（1）由求出y=0时x值，即得A、B坐标；
（2）过点P作于点N，交于点M，由可求C（0，-2），利用待定系数法求出直线BC为，由 ，则， 可得PM=-t2+2t，由平行线可证 ， 可得 ， 继而得出W关于t的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可；
（3）当点P在直线的上方时，过点P作轴，交于点F，的延长线交x轴于点E， 设点P，则点F，可得PF=m2-2m， 从而得出 =m2-2m=S△DBC=1， 解之即可； 当点P在的下方时，过点P作，交于点G，延长交的延长线于点L，设点P的坐标为，则点G的坐标为，则PG= -n2+2n，从而得出=GP·OB=GP= -n2+2n=S△DBC=1，解之即可.
26．（2023·柳州模拟）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点.
（1）求抛物线解析式；
（2）求开口向下的二次函数的最大值时采用的步骤是：第一，求出二次函数的顶点坐标；第二，确定自变量x的取值范围；第三判定是否在其范围内，若在，则最大值是顶点纵坐标，若不在，要根据其增减性求最大值，即当时，时，y最大；当时，时，y最大.若，时，二次函数的最大值是t，求t的值.
（3）如图，若点P是第一象限抛物线上一点，且，求点P的坐标.
【答案】（1）解：把，两点代入抛物线得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
∴在对称轴的左侧，
∵，
∴当时，抛物线有最大值，
∴，
解得：或（舍去），
∴.
（3）解：延长，过点D作轴，过点D作交的延长线于点M，过点M作于点N，交x轴于点Q，过点A作于点K，如图所示：
把代入得：，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∵，轴，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设的解析式为，把，代入得：
，解得：，
∴的解析式为，
联立，
解得：或，
∵点P在第一象限，
∴舍去，
∴点P的坐标为：.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；矩形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=-x2+bx+c中求出b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=1，由t<0可得t≤x≤t+1在对称轴的左侧，由二次函数的性质可得：当x=t+1时，抛物线有最大值y=t，然后代入求解即可；
（3）延长AP，过点D作KN∥x轴，过点D作DM⊥AD交AP的延长线于点M，过点M作MN⊥KN于点N，交x轴于点Q，过点A作AK⊥KN于点K，易得抛物线的顶点坐标为D（1，4），四边形AKNQ为矩形，NQ=AK=4，利用AAS证明△ADK≌△DMN，得到DN=AK=4，MN=DK=2，求出MQ的值，表示出点M的坐标，利用待定系数法求出直线AM的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，据此可得点P的坐标.
27．（2023·柳北模拟）如图1，拋物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C.
（1）求该拋物线的函数表达式；
（2）在平面直角坐标系内是否存在一点P使得以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有满足该条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点D在该抛物线上且横坐标为2，直线l与抛物线交于A，D两点，点M在y轴上，当时，求点M的坐标.
【答案】（1）解：将点，代入抛物线解析式得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）点P的坐标为或或
（3）解：，
当时，，
∴，
设，过点A作于点H，过点H作轴，过点A作于点T，过点D作于点K，
当点M在上方时，如图所示：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，将点，代入得：
，
解得：，
∴直线解析式为，
令得，
∴；
当点M在下方时，如图所示：
同理可得，
∵，
∴，
解得：，
∴，
此时点M与点H重合，即点，
综上可得：M的坐标为或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（2）存在，理由如下：∵，
当 时， ，
∴点，
设点，
当AB为对角线时，另一条对角线为CP，
∴ ，
解得： ，
∴此时点；
当AC为对角线时，另一条对角线为BP，
∴ 解得： ，
∴此时点；
当AP为对角线时，另一条对角线为BC，
∴，解得：，
∴此时点；
综上所述，点P的坐标为（2，1）或（-4，-1）或（4，-1）；
【分析】（1）将点A、B的坐标分别代入y=ax2+bx-1可得关于字母a、b的方程组，求解可得a、b的值，从而求得抛物线的解析式；
（2）存在，理由如下：令抛物线解析式式中x=0算出y的值，可得点C的坐标，设P（x，y），分类讨论：①当AB为对角线时，另一条对角线为CP，②当AC为对角线时，另一条对角线为BP，③当AP为对角线时，另一条对角线为BC，分别根据中点坐标公式及平行四边形的对角线互相平分即可建立出关于x、y的方程组，求解可得x、y的值，从而得到点P的坐标；
（3）将x=2代入抛物线的解析式算出对应的y的值，可得点D的坐标， 设H（p，q），过点A作AH⊥DM于点H，过点H作TK∥x轴，过点A作AT⊥TK于点T，过点D作DK⊥TK于点K， 当点M在AD上方时，首先用AAS判断出△AHT≌△HDK，得AT=HK，TH=DK，从而可得方程组 ，求解得到p、q的值，从而求出点H的坐标，利用待定系数法求出直线DH的解析式，再令解析式中的x=0算出y的值，得到点M的坐标； 当点M在AD下方时，同理可求出点H的坐标，此时 此时点M与点H重合， 从而求出点M的坐标，综上即可得出答案.
28．（2023·柳南模拟）如图，已知抛物线的图像经过点，与轴交于两点，顶点坐标，连接交对称轴于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点是抛物线上的一个动点，位于直线的上方（点与不重合），过作轴的平行线交于点；
①设点的横坐标为，当四边形是平行四边形时，求的值；
②在①的条件下，抛物线上是否存在点，使得的面积与的面积相等，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵顶点坐标，
∴设二次函数解析式，
把代入，解得，
∴抛物线解析式为
（2）解：①当时，则，
∴，，
∴点，
∵点，
设直线的解析式为，
把，代入直线得，解得，
∴解析式为，
∵点，
∴点，
∴，
设点，则点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，解得（不合题意舍去），，
∴；
②当点、点在直线的同侧时，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当点与点重合时，，
∴点；
当点与点在直线的异侧时，延长交轴于，在上截取，则，过点作的平行线交抛物线于点，
如图所示：
∵，
∴设直线的解析式为，
将代入得到，解得，
∴直线的解析式为，
∴点，
∵，
∴，
∵，，
∴与的距离与与的距离相等，
∴，
∵，点，
∴直线的解析式为y=-x+1，
联立方程组得，解得或，
综上所述，满足题意的点，点，点.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+4，将C（3，0）代入求出a的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）①易得B（3，0），利用待定系数法求出直线BC的解析式，得到E（1，2），则DE=2，设P（m，-m2+2m+3），则F（m，-m+3），表示出PF，根据平行四边形的性质可得PF=DE，据此可得m的值；
②当点Q、P在直线BC的同侧时，由平行四边形的性质可得S△BPC=S△DBC，故当点Q与点D重合时，S△BPC=S△QBC，据此可得点Q的坐标；当点P与点Q在直线BC的异侧时，延长PD交y轴于点H，在OC上截取CN=CH=2，则N（0，1），过点N作BC的平行线交抛物线于点Q，求出直线DP的解析式，得到H（0，5），进而推出S△BCQ=S△BCP，求出直线QN的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，据此可得点Q的坐标.
29．（2023·玉林模拟）已知二次函数的图象经过点.
（1）求该二次函数的表达式；
（2）二次函数图象与轴的另一个交点为，与轴的交点为，点从点出发在线段上以每秒2个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求面积的最大值；
（3）在点、运动的过程中，是否存在使与相似的时刻，如果存在，求出运动时间，如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：把点代入得：，
解得：，
二次函数的表达式为：
（2）解：过作于，如图：
在中，令得，令得，，
，，，
，，，
设运动时间为，则，，
，
，
，即，
，
，
，
当时，面积的最大值为.
（3）解：在点、运动的过程中，存在使与相似的时刻，理由如下：
，，
与相似只需为直角三角形，
当时，如图：
，，
，
是等腰直角三角形，，
，
解得；
当时，如图：
同理可知，
，
解得，
综上所述，的值为或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入y=x2+2bx-3b可算出b的值，从而即可得出抛物线的解析式；
（2） 过Q作QN⊥OB于N，分别令抛物线解析式中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，可得A、B、C三点的坐标，从而即可得出AB=4，OB=OC=3， ， 设运动时间为t，则BQ=t，AP=2t， 根据同角的同名三角函数值相等得 ，据此可表示出NQ，进而根据三角形的面积计算公式表示出△BPQ的面积，根据二次函数的性质即可解决此题；
（3） 在点P、Q运动的过程中，存在使△PBQ与△BOC相似的时刻，由于∠PBQ=∠OBC，∠BOC=90°，故△PBQ与△BOC相似只需要△PBQ为直角三角形，①当∠PQB=90°时，易得△PBQ是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得 ， 据此建立方程，求解即可；②当∠BPQ=90°时， 同理可知， 据此建立方程，求解即可，综上即可得出答案.
30．（2023·澄迈模拟）如图，已知抛物线的图象与x轴交于点A（1，0），B（-3，0），与y轴的正半轴交于点C.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D是线段上一动点，过点D作y轴的平行线，与交于点E，与抛物线交于点F.
①连接，当的面积最大时，求此时点F的坐标；
②探究是否存在点D使得为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：将点A（1，0）、B（ 3，0）代入y＝，
得：，
解得：
∴二次函数解析式为.
（2）解：①令x=0，代入，得：，
∴C（0，3），
∵B（-3，0），
∴设直线BC的解析式为y=kx+b，代入得
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=x+3
设F（x，），则E（x，x+3）
∴FE=-（x+3）=，
∴的面积=（）=，
∴x=-时，的面积最大，此时F（-，）；
②Ⅰ当∠CFE=90°时，如图：
∵DFy轴，
∴DF⊥x轴，
∴∠ODF=∠CFE=90°，
∴CFOB，
∴点F的纵坐标为3，
∴3=--2x+3，
解得=0（舍去），=-2，
∴F（-2，3），
Ⅱ当∠ECF=90°时，过点C作CH⊥EF于H，
∵DFy轴，
∴DF⊥x轴，
∴∠BDE=90°，
∵C（0，3），B（-3，0），
∴OC=OB=3，
∴∠OBC=45°，
∴∠OEB=∠CEH=45°，
∵∠ECF=90°，
∴CE=CF，
∵CH⊥EF，
∴EF=2CH，
设D（m，0），则E（m，m+3），F（m，），
∴EF=-（m+3）=--3m，CH=-m，
∴--3m=-m，
∴=0（舍去），=-1，
∴点D坐标为（-1，0）.
∴F（-1，4）
综上，点F的坐标为（-2，3）或（-1，4）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数图象上点的坐标特征；直角三角形的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）①先求出直线BC的解析式y=x+3，设F（x，），则E（x，x+3），可得FE=， 从而得出的面积=（），利用二次函数的性质求解即可；② 分两种情况：当∠CFE=90°时和当∠ECF=90°时 ，据此分别画出图形并求解即可.
31．（2023·海南模拟）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（-2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E.
（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（2）求四边形ABDC的面积；
（3）P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBCS△ABC时，求点P的坐标；
（4）在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）过点A（-2，0）和C（0，8），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为yx2+3x+8.
令y＝0，得.
解得x1＝-2，x2＝8.
∴点B的坐标为（8，0）.
设直线BC的解析式为y＝kx+b.
把点B（8，0），C（0，8）分别代入y＝kx+b，
得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝-x+8.
（2）解：如图1，设抛物线的对称轴l与x轴交于点H.
∵抛物线的解析式为，
∴顶点D的坐标为.
∴S四边形ABDC＝S△AOC+S梯形OCDH+S△BDH
70.
（3）解：∵.
∴.
如图2，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F.
设点，F（t，-t+8）.
∴.
∴.
∴.解得t1＝2，t2＝6.
∴点P的坐标为（2，12）或P（6，8）.
（4）解：存在.
∵△BEM为等腰三角形，
∴BM＝EM或BE＝BM或BE＝EM，
设M（3，m），
∵B（8，0），E（3，5），
∴BE5，EM＝|m-5|，BM，
当BM＝EM时，|m-5|，
∴m2+25＝（m-5）2，解得：m＝0，
∴M（3，0）；、
当BE＝BM时，5，
∴m2+25＝50，
解得：m＝-5或m＝5（舍去），
∴M（3，-5）；
当BE＝EM时，5|m-5|，
解得：m＝5+5或m＝5-5，
∴M（3，5+5）或（3，5-5）.
综上所述，点M的坐标为（3，0）或（3，-5）或（3，5+5）或（3，5-5）.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）将A（-2，0）和C（0，8）代入y＝ax2+3x+c中求出a、c的值，据此可得抛物线的解析式，令y=0，求出x的值，可得点B的坐标，然后利用待定系数法就可求出直线BC的解析式；
（2）设抛物线的对称轴l与x轴交于点H，易得顶点D的坐标为（3，），然后根据S四边形ABDC＝S△AOC+S梯形OCDH+S△BDH进行计算；
（3）根据三角形的面积公式可得S△ABC=40，则S△PBC=24，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，设P（t，t2+3t+8），则F（t，-t+8），表示出PF，根据△PBC的面积公式求出t的值，进而可得点P的坐标；
（4）设M（3，m），根据两点间距离公式表示出BE、EM、BM，然后分BM＝EM、BE＝BM、BE＝EM，求出m的值，进而可得点M的坐标.
32．（2023·儋州模拟）如图，在直角坐标系中有，为坐标原点，，，将此三角形绕原点顺时针旋转，得到，二次函数的图象刚好经过，，三点.
（1）求二次函数的解析式及顶点的坐标；
（2）过定点的直线与二次函数图象相交于M，两点.
①若，求的值；
②证明：无论为何值，恒为直角三角形；
③当直线绕着定点旋转时，外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式.
【答案】（1）解：∵A（0，3），B（-1，0），
∴OA=3，OB=1，
根据旋转的性质得OC=OA=3，
∴C（3，0），
把A（0，3），B（-1，0），C（3，0），分别代入y=ax2+bx+c得
，
解得，
∴二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3，
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴顶点P的坐标为（1，4）；
（2）解：①设，
直线：过定点，抛物线的顶点坐标为，
，
，
，
联立
得，
，
，
；
②证明：过点作轴，垂足为，分别过点，作的垂线，垂足分别为、，
设.
，在二次函数图象上，
，.
，
，，，，
，
，
由①可知，
，
，
，
，
，
，
，即，
无论为何值，恒为直角三角形；
③
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；同角三角函数的关系；旋转的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（2）③∵恒为直角三角形，，
∴外接圆圆心是线段的中点；
设线段的中点，
∵，，.
∴
∴的中点为，
，
化简，得，
抛物线的表达式为.
【分析】（1）根据点A、B的坐标可得OA、OB的长，根据旋转的性质可得OC=OA，从而得出点C的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式，再将解析式配成顶点式可得点点P的坐标；
（2）①设M（x1，y1），N（x2，y2），易得定点Q为（1，3），则PQ=1，根据三角形面积公式得x2-x1=4，联立抛物线与直线的解析式得x2+（k-2）x-k=0，由根与系数的关系得x1+x2=2-k，x2x1=-k，再利用完全平方公式的恒等变形可得关于字母k的方程，求解即可；
② 过P作PG⊥x轴于G，过M，N作PG的垂线，垂足分别为E、F， 设M（x1，y1），N（x2，y2），根据两点间的距离公式表示出PE、ME、PF、NF，由正切函数的定义得tan∠PME=1-x1， ， 然后根据根与系数的关系及等角的同名三角函数值相等证明∠PME=∠FPN，据此即可证得结论；
③根据圆周角定理得Rt△PMN外接圆的圆心是线段MN的中点；根据中点坐标公式计算即可.
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