备考2023年中考数学压轴题训练 ——二次函数（5）
一、真题
1．（2022·孝感）抛物线y＝x2－4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D.
（1）直接写出点B和点D的坐标；
（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；
（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E.设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值.
【答案】（1）解：B（5，5），D为（2，-4）；
（2）解：如图所示，过D作DE⊥x轴与点E，
则E（2，0），则tan∠EDO=，当P在E上时，则满足tan∠PDO＝，
则，
如图所示，当时，过O作于点G，
∵，
∴OG=OE=2，DG=DE=4，
设，则，
则，
则或n=0（舍去），
则，则
综上所述，；
（3）解：由题易得：M（-1，5），，
则直线MQ的解析式为：，
令，解得，
∴，
∵BM=6，
∴，
且，，
∴，
∵，函数开口向下，
当时，取最大值为.
【知识点】锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）将y＝x2－4x与y＝x联立得：x＝x2－4x，
解得：x=5或x=0（舍去），
将x=5代入y＝x得y=5，
故B点坐标为（5，5），
将函数y＝x2－4x转换为顶点式得，故顶点D为（2，-4），
故B（5，5），D为（2，-4）；
【分析】（1）联立抛物线与直线解析式求出x、y，据此可得点B的坐标，将抛物线解析式化为顶点式，据此可得顶点D的坐标；
（2）过D作DE⊥x轴与点E，则E（2，0），则tan∠EDO=，当P在E上时，则满足tan∠PDO＝，则P1（2，0）；当∠ODP2=∠ODE时，过O作OG⊥P2D于点G，则OG=OE=2，DG=DE=4，设P2G=n，则P2D=n+4，根据三角函数的概念可得n，进而可得OP2，据此可得点P2的坐标；
（3）由题易得：M（-1，5），Q（m，m2-4m），表示出直线MQ的解析式联立y=x可得x，进而可得点E的坐标，根据三角形的面积公式表示出S△BMQ、S2，根据面积间的和差关系可得，然后结合二次函数的性质进行解答.
2．（2022·宜昌）已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 .直线 由直线 平移得到，与 轴交于点 .四边形 的四个顶点的坐标分别为 ， ， ， .
（1）填空： ， ；
（2）若点 在第二象限，直线 与经过点 的双曲线 有且只有一个交点，求 的最大值；
（3）当直线 与四边形 、抛物线 都有交点时，存在直线 ，对于同一条直线 上的交点，直线 与四边形 的交点的纵坐标都不大于它与抛物线 的交点的纵坐标.
①当 时，直接写出 的取值范围；
②求 的取值范围.
【答案】（1）；
（2）解：设直线 的解析式为 ，
∵直线 经过 和 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 ： .
∵直线 平移得到直线 ，且直线 与 轴交于点 ，
∴直线 ： ，
∵双曲线 经过点 ，
∴ ，
∴ .
∵直线 与双曲线有公共点，
联立解析式得： ，
∴ ，
整理得： ，
∵直线 与双曲线有且只有一个交点，
∴ ，
即 ，
整理得： ，
化简得： ，
∴ ，【注：或得到 】
∵点 在第二象限，
∴ ，
解得， .
∴当 时， 可以取得最大值，最大值为2.
（3）解：① 的取值范围为： 或 ；
②（Ⅰ）当 的值逐渐增大到使矩形 的顶点 在直线 上时，直线 与四边形 、抛物线 同时有交点，且同一直线 与四边形 的交点的纵坐标都小于它与抛物线的交点的纵坐标.
，
解得， .
（Ⅱ）如图5，
当 的值逐渐增大到使矩形 的顶点 在这条开口向上的抛物线上（对称轴左侧）时，存在直线 （即经过此时点 的直线 ）与四边形 、抛物线 同时有交点，且同一直线 与四边形 的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标.
，
化简，得： .
解得， （舍）， ，
从（Ⅰ）到（Ⅱ），在 的值逐渐增大的过程中，均存在直线 ，同时与矩形 、抛物线 相交，且对于同一条直线 上的交点，直线 与矩形 的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标.
综上所述， 的取值范围： .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）将点 ， 代入函数解析式 得
解得
故答案为： ， ；
（3）如图1，
当直线 与抛物线有交点时，联立直线 与抛物线 的解析式.
得： ，
得： ，
整理得： ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
当 时，直线 ： 与抛物线有且只有一个交点 .
①当 时，四边形 的顶点分别为 ， ， ， .
第一种情况：如图2，
当直线 经过 时，此时 与 重合.
∴ 时，直线 与四边形 ，抛物线 都有交点，且满足直线 与矩形 的交点的纵坐标都不大于与抛物线 的交点的纵坐标.
第二种情况：当直线 经过点 时，如图3所示.
，解得， ，
当直线 经过点 时，如图4所示
，解得， ，
∴ ，
综上所述， 的取值范围为： 或 .
【分析】（1）将点A（-1，0）、B（4，0）代入y=ax2+bx-2中进行计算可得a、b的值；
（2）求出直线BC、直线l的解析式，将M(m+1，m+3)代入反比例函数解析式中可得k，表示出反比例函数的解析式，联立直线l的解析式结合△=0可得n2+2m2+8m+6=0，表示出n2，根据点M在第二象限可得m的范围，然后结合二次函数的性质可得n2 最大值；
（3）①联立直线l与抛物线的解析式，结合△≥0可得n的范围，当m=-3时，四边形MNPQ的顶点分别为M（-2，0）、M（-2，-3）、P（2，-3）、Q（2，0），当直线l经过点P时，P与F重合，当n=-4时，直线l与四边形MNPQ，抛物线都有交点，且满足直线l与矩形MNPQ的交点的纵坐标都不大于与抛物线的交点的纵坐标；当直线l经过点A时，将点A坐标代入求出n的值，当直线l经过点M时，同理可得n的值，据此解答；
②当m的值逐渐增大到使矩形MNPQ的顶点M（m+1，m+3）在直线y=x-4上时，直线与四边形、抛物线同时有交点，且同一直线l与四边形的交点的纵坐标都小于它与抛物线的交点的纵坐标，据此不难求出m的值；当m的值逐渐增大到使矩形的顶点在抛物线上时，存在直线与四边形、抛物线同时有交点，且同一直线l与四边形的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标，代入求出m的值，据此解答.
3．（2022·黄冈）抛物线与直线交于原点和点，与轴交于另一点，顶点为.
（1）直接写出点和点的坐标；
（2）如图1，连接，为轴上的动点，当时，求点的坐标；
（3）如图2，是点关于抛物线对称轴的对称点，是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接，，与直线交于点设和的面积分别为和，求的最大值.
【答案】（1）解：B（5，5）；C（2，-4）
（2）解：如图，过点作轴于点F，
由易得D(2，-4)
，，
，
又∵，
∴，
∴，
∴PD=OP，
设点P(t，0)，
由勾股定理得，
∴，解得t=5，
.
（3）解：∵点与点关于对称轴对称，
.
如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，
，，
点横坐标为，
，，
.
，，
，
，
当时，的最大值为.
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）令，
解得或，
；
，
顶点.
【分析】（1）联立抛物线解析式与直线解析式求出x、y，可得点B的坐标，将抛物线解析式化为顶点式，据此可得顶点D的坐标；
（2）由抛物线易得点D坐标，结合D点与联想二者关联，将问题已知转化成等腰OP=PD，进而设出点P结合坐标系边长问题利用勾股定理建立等量关系得出点P；
（3）易得M（-1，5），分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N、K，则N（-1，-1），MN=6，Q（m，m2-4m），K（m，m），表示出KQ，根据三角形的面积公式可得S1、S2，然后表示出，再结合二次函数的性质解答即可.
4．（2022·武汉）抛物线交轴于，两点（在的左边），是第一象限抛物线上一点，直线交轴于点.
（1）直接写出，两点的坐标；
（2）如图（1），当时，在抛物线上存在点（异于点），使，两点到的距离相等，求出所有满足条件的点的横坐标；
（3）如图（2），直线交抛物线于另一点，连接交轴于点，点的横坐标为.求的值（用含的式子表示）.
【答案】（1）解：，
（2）解：∵，∴，
∴直线的解析式为.
①若点在下方时，
过点作的平行线与抛物线的交点即为.
∵，，
∴的解析式为.
联立，
解得，，（舍）.
∴点的横坐标为0.
②若点在上方时，点关于点的对称点为.
过点作的平行线，则与抛物线的交点即为符合条件的点.
直线的解析式为.
联立，∴，
解得，，.
∴点，的横坐标分别为，.
∴符合条件的点的横坐标为：0，或.
另解：设，过点作轴垂线交于点，根据求解.
（3）解：设点的横坐标为.过点的直线解析式为.
联立，∴.
设，是方程两根，则.（*）
∴.
∵，∴，∴.
∵，∴，∴.
设直线的解析式为，
同法可得，
∴.
∴.
∴.
∵，∴.
∴.
求的值的另解：∵，.
∴①，
②，
消去得，，
∵，
∴
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；两一次函数图象相交或平行问题；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）当y=0时x2-2x-3=0，
解之：x1=3，x2=-1
∴点A（-1，0），点B（3，0）.
【分析】（1）令y=x2-2x-3中的y=0，求出x的值，据此可得点A、B的坐标；
（2）易得P（0，1），求出直线AC的解析式，①若点D在AC下方时，过点B作AC的平行线与抛物线的交点为D1，求出直线BD1的解析式，联立抛物线解析式求出x，据此可得点D1的横坐标；②若点D在AC上方时，点D1（0，-3）关于点P的对称点为G（0，5），过点G作AC的平行线l，则l与抛物线的交点即为符合条件的点D，求出直线l的解析式，联立抛物线解析式求出x，据此可得点D2的横坐标；
（3）设点E的横坐标为n，过点P的直线解析式为y=kx+b，联立抛物线解析式并结合根与系数的关系可得xAxC=xB·xE=-3-b，则xC=3+b，xE=-1-，据此可得m、n，设直线CE的解析式为y=px+q，同理可得mn=-3-q，则q=-mn-3，代入m、n可得q=b2+2b，然后表示出OF、FP，据此求解.
5．（2022·十堰）已知抛物线 与 轴交于点 和点 两点，与 轴交于点 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 是抛物线上一动点（不与点 ， ， 重合），作 轴，垂足为 ，连接 .
①如图1，若点 在第三象限，且 ，求点 的坐标；
②直线 交直线 于点 ，当点 关于直线 的对称点 落在 轴上时，求四边形 的周长.
【答案】（1）解：把点 ， 代入得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为
（2）解：①如图，过点C作CQ⊥DP于点Q，
∵点C（0，-3），
∴OC=3，
∵ ，
∴△CPQ为等腰直角三角形，
∴CQ=PQ，
设点 ，则OD=-m， ，
∵ 轴，
∴∠COD=∠ODQ=∠CQD=90°，
∴四边形OCQD为矩形，
∴QC=OD=PQ=-m，DQ=OC=3，
∴ ，
∴ ，
解得： 或0（舍去），
∴点 ；
②如图，过点E作EM∥x轴于点M，
令y=0， ，
解得： （舍去），
∴点B（-4，0），
∴OB=4，
∴ ，
设直线BC的解析式为 ，
把点B（-4，0），C（0，-3）代入得：
，解得： ，
∴直线BC的解析式为 ，
∵点 关于直线 的对称点 落在 轴上时，
∴ ， ， ，
∵DP⊥x轴，
∴PD∥CE′，
∴ ，
∴ ，
∴CE=PE，
∴ ，
∴四边形 为菱形，
∵EM∥x轴，
∴△CEM∽△CBO，
∴ ，
设点 ， 则点 ，
当点P在y轴左侧时，EM=-t，
当-4＜t＜0时， ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或0（舍去），
∴ ，
∴四边形 的周长为 ；
当点P在y轴右侧时，EM=-t，
当t≤-4时， ，
∴ ，解得： 或0（舍去），
此时 ，
∴四边形 的周长为 ；
当点P在y轴右侧，即t＞0时，EM=t， ，
∴ ，解得： 或0，
不符合题意，舍去；
综上所述，四边形 的周长为 或 .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）①过点C作CQ⊥DP于点Q，易得△CPQ为等腰直角三角形，可得CQ=PQ，根据抛物线上点的坐标特点，设点 ，则OD=-m， ，可证四边形OCQD为矩形，可得QC=OD=PQ=-m，DQ=OC=3，从而得出=-m ，解出m即得点P坐标；②过点E作EM∥x轴于点M，先求出B坐标，再求出BC的长，利用待定系数法求直线BC的解析式为 ，由于点E关于直线PC的对称点E'落在y轴上时，可得， ， ， 从而可证四边形PECE'为菱形，利用平行线可证△CEM∽△CBO，可得 ， 设点 ， 则点 ， 分点P在y轴左侧时和点P在y轴右侧时分别进行求解即可.
6．（2022·恩施）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点.
（1）直接写出抛物线的解析式.
（2）如图，将抛物线向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C.判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由.
（3）直线BC与抛物线交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.
（4）若将抛物线进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出拋物线平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标.
【答案】（1）解：∵抛物线与y轴交于点
∴
抛物线解析式为
（2）解：以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
的顶点坐标为
依题意得，
平移后的抛物线解析式为
令，解
得
令，则，即
以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形
（3）解：存在，或，理由如下，
，，
是等腰直角三角形
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
联立
解得，
，，是等腰直角三角形
，
设直线的解析式为，
直线的解析式为
当时，
设的解析式为，由NT过点
则
解得
的解析式为，
令
解得
，
②当时，则
即
解得
综上所述，或
（4）解：如图，作，交轴于点，过点作于点，则是等腰直角三角形，作于
直线的解析式为
设与平行的且与只有一个公共点的直线解析式为
则
整理得：
则
解得
直线的解析式为
，
即拋物线平移的最短距离为，方向为方向
∴把点P先向右平移EF的长度，再向下平移FC的长度即得到平移后的坐标
平移后的顶点坐标为，即
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将P（0，4）代入y=-x2+c中求出c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）易得P（0，4），Q（-1，4），则平移后的抛物线解析式为y=-(x+1)2+4，令y=0，求出x的值，可得点A、B的坐标，令x=0，求出y的值，可得点C的坐标，然后利用两点间距离公式求出BC2、CQ2、QB2，再结合勾股定理逆定理进行判断；
（3）易得△OBC是等腰直角三角形，利用待定系数法求出直线BC的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，可得点N的坐标，求出直线AC的解析式，当NT∥AC时，△BNT∽△BCA，求出直线NT的解析式，令y=0，求出x的值，可得点T的坐标，据此可得BT，根据相似三角形的性质可得BN；②当△BNT∽△BAC时，根据相似三角形对应边成比例可得BT的值，结合OB的值就可得到点T的坐标；
（4）作l∥BC，交y轴于点D，过点C作CE⊥l于点E，则△DEC是等腰直角三角形，作EF⊥DC于F，设与BC平行且与y=-x2+4只有一个公共点的直线l解析式为y=x+b，联立并结合△=0可得b的值，据此可得直线l的解析式，然后求出CD、EF、CE，据此不难求出平移后的顶点坐标.
7．（2022·仙桃）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为A，与y轴交于点C，线段轴，交该抛物线于另一点B.
（1）求点B的坐标及直线的解析式：
（2）当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值为p，最小值为q，且.求m的值：
（3）平移抛物线，使其顶点始终在直线上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围.
【答案】（1）解：，
∴顶点坐标A（1，-4），对称轴x=1，
当x=0时y=-3，即C（0，-3），
点B、C关于对称轴x=1对称，则B（2，-3），
设直线AC：y=kx+b，由A（1，-4），C（0，-3），可得
，解得：
∴直线AC为：y=-x-3；
（2）解：①当m+2≤1时，即m≤-1时，
x=m时取最大值，x=m+2时取最小值，
∴，
解得：，不符合题意；
②当m+2＞1且m＜1，1-m＞m+2-1时，即-1＜m＜0时，
x=m时取最大值，x=1时取最小值，
∴，
解得：m=，或m=（舍去），
③当m+2＞1且m＜1，1-m＜m+2-1时，即0＜m＜1时，
x=m+2时取最大值，x=1时取最小值，
∴，
解得：m=，m=（舍去），
④当m≥1时，
x=m+2时取最大值，x=m时取最小值，
∴，
解得：，不符合题意；
m=0时，二次函数在0≤x≤2上最大值-3，最小值-4，-3-（-4）=1不符合题意；
综上所述：m=或m=；
（3）解：由题意作图如下，过点A作直线AE⊥BC于E，作直线AF⊥y轴于F，
由A（1，-4）、B（2，-3）可得
直线AB解析式为：y=x-5，
∵C（0，-3），
∴F（0，-4），E（1，-3），
∵AF=1，AE=1，CF=1，CE=1，∠AEC=90°，
∴四边形AECF是正方形，
∴∠CAE=∠CAF=45°，
根据对顶角相等，可得当点A沿直线AC平移m长度时，横坐标平移m cos45°，纵坐标平移m cos45°，
即点A沿直线AC平移时，横纵坐标平移距离相等，
设抛物线向左平移m单位后，与直线AB只有1个交点，则
令△=0，解得：m=，
∴n=1-=，
由图象可得当抛物线由点A向右平移至左半部分过点B时，与射线BA只有一个交点，
设抛物线向右平移m单位后，左半部分过点B，则
B（2，-3）在抛物线上，
，
解得：m=0（舍去）或m=3，
∴1＜n≤4，
综上所述n=或1＜n≤4；
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式可得顶点坐标A（1，-4），对称轴x=1，令x=0，求出y的值，可得C（0，-3），根据对称性可得B（2，-3），然后利用待定系数法就可求出直线AC的解析式；
（2）①当m+2≤1，即m≤-1时，x=m时取最大值，x=m+2时取最小值，根据最大值与最小值的差为2可得m的范围，然后结合m的范围进行验证；②当m+2＞1且m＜1，1-m＞m+2-1时，即-1＜m＜0时，x=m时取最大值，x=1时取最小值，同理可得m的值；③当m+2＞1且m＜1，1-m＜m+2-1时，即0＜m＜1时，x=m+2时取最大值，x=1时取最小值，同理可得m的值；④当m≥1时，x=m+2时取最大值，x=m时取最小值，同理可得m的值；
（3）过点A作直线AE⊥BC于E，作直线AF⊥y轴于F，求出直线AB的解析式，易得AF=1，AE=1，CF=1，CE=1，推出四边形AECF是正方形，得到∠CAE=∠CAF=45°，则点A沿直线AC平移时，横纵坐标平移距离相等，设抛物线向左平移m单位后，与直线AB只有1个交点，则(x+m-1)2-4+m=x-5，结合△=0可得m的值，然后求出n的值；设抛物线向右平移m单位后，左半部分过点B，则B（2，-3）在抛物线y′=(x-m-1)2-4-m上，代入求解可得m的值，据此可得n的范围.
8．（2022·随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分则点A和点，与y轴交于点C，对称轴为直线，且，P为抛物线上一动点.
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：抛物线的解析式为：.
（2）解：方法一：连接OP，
设，易知，，
∵，，
∴四边形PABC的面积，
∴
又∵，
∴
∴当时，，
∴此时P点的坐标为；
方法二：易知，，故直线AC的方程为
设，
∵过点P作PQ⊥x轴，交AC于点Q，
∴，
∵点P在AC上方，
∴，
∴
，
∴四边形PABC面积，
∴当时，S有最大值，
∴此时P点的坐标为.
（3）解：存在点N.，；，；，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】(1)解：∵，
∴，，
∵，对称轴为直线，，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：.
(3)存在点N.
①当N在y轴上时，
∵四边形PMCN为矩形，
此时，，；
②当N在x轴负半轴上时，如图所示，四边形PMCN为矩形，过M作y轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的垂线，垂足为E，设，则，
∴，
∵四边形PMCN为矩形，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵点M在对称轴上，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴P点的坐标为，
∵P点在抛物线上，
∴
解得，（舍），
∴，；
③当N在x轴正半轴上时，如图所示，四边形PMCN为矩形，过M作y轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的垂线，垂足为E，设，则，
∴，
∵四边形PMCN为矩形时，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵点M在对称轴上，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴P点的坐标为，
∵P点在抛物线上，
∴
解得（舍），，
∴，，
综上：，；，；，
【分析】利用OA=OC，可得到点C（0，c），点A（-c，0），再利用对称轴为直线x=-1.可得到关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的长，可得到二次函数解析式.
（2）方法一：利用函数解析式，设P(m，n），利用三角形的面积公式可表示出四边形PABC的面积S与mn之间的函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出点P的坐标及四边形PABC的面积的最大值；方法二：利用待定系数法求出直线AC的函数解析式，利用函数解析式数点，，可表示出PQ的长；再利用三角形的面积公式表示出△APC的面积；再利用四边形PABC的面积=△APC的面积+△AOC的面积，由此可得到S与x之间的函数解析式，将其转化为顶点式，可得到点P 的坐标及S的最大值.
（3）分情况讨论：当点N在y轴上时，利用矩形的性质可得到点P1和点N1的坐标；②当N在x轴负半轴上时，如图所示，四边形PMCN为矩形，过M作y轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的垂线，垂足为E，设点N（t，0），可得到ON的长；再证明△CMD∽△CNO，利用相似三角形的性质，可得对应边成比例，可表示出CD的长；再证明△CMD≌△NPE，利用全等三角形的性质可得到NE，EP的长，从而可求出OE的长，可得到点P的坐标，将点P的坐标代入二次函数解析式，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到点P2，N2的坐标；③当N在x轴正半轴上时，如图所示，四边形PMCN为矩形，过M作y轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的垂线，垂足为E，可得到ON的长；再证明△CMD∽△CNO，利用相似三角形的性质可表示出CD的长；再利用AAS证明△CMD≌△NPE，利用全等三角形的性质可求出NE，EP的长，即可得到OE的长；，由此可表示出点P的坐标，将点P的坐标代入二次函数解析式，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到点P3，N3的坐标；综上所述可得到符合题意的点P，N的坐标.
9．（2022·黄石）如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．
（1）A，B，C三点的坐标为 ， ， ；
（2）连接，交线段于点D，
①当与x轴平行时，求的值；
②当与x轴不平行时，求的最大值；
（3）连接，是否存在点P，使得，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（-2，0）；（3，0）；（0，4）
（2）解：①∵轴，，
∴，，
又∵轴，
∴△CPD∽△BAD
∴；
②过P作交于点Q，
设直线BC的解析式为，
把B(3，0)，C(0，4)代入，得
，解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴△QPD∽△BAD
∴，
∴当时，取最大值；
（3）解：假设存在点P使得，即，
过C作轴，连接CP，延长交x轴于点M，
∴∠FCP=∠BMC，
∵，
∴平分，
∴∠BCP=∠FCP，
∴∠BCP=∠BMC，
∴BC=BM，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，，，
设直线CM解析式为y=kx+b，
把C(0，4)，代入，得
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得或(舍)，
∴存在点P满足题意，即．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】（1）解：令x=0，则y=4，
∴C(0，4)；
令y=0，则=0，
∴x=-2或x=3，
∴A(-2，0)，B(3，0)．
故答案为：(-2，0)；(3，0)；(0，4)；
【分析】（1）利用函数解析式，由y=0求出对应的x的值，可得到点A，B的坐标，由x=0求出y的值，可得到点C的坐标；
（2）①由CP∥x轴及点C的坐标，可得到点P的坐标，由此可求出CP，AB的长，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似可证△CPD∽△BAD，利用相似三角形的对应边成比例可求出PD与DA的比值；②过点P作PQ∥AB交BC于点Q，由点B，C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式；利用函数图象上的点的坐标特点及平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相同可设处点P、Q的坐标， 可表示出PQ的长；由PQ∥AB，可证得△QPD∽△BAD，利用相似三角形的对应边成比例，可得到与m的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出最大值；
（3）过C作CF∥x轴，连接CP，并延长交x轴于点M，可证得∠FCP=∠BMC，则∠BCO+2∠BCP=90°，利用角平分线的定义可证得∠BCP=∠FCP，可推出∠BCP=∠BMC，利用等角对等边可证得BC=BM，可推出△CBM是等腰三角形，即可得到BM，OM的长，可得到点M的坐标；利用待定系数法求出直线CM的函数解析式，将直线CM和二次函数解析式联立方程组，解方程组求出x的值，可得到符合题意的m的值.
10．（2022·襄阳）在平面直角坐标系中，直线y＝mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C．
（1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．
①求A，B，C，D四点的坐标；
②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；
（2）在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，
①求m的取值范围；
②求线段BC长度的最大值．
【答案】（1）解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A（2，0），B（0，-2m）．
∵，
∴抛物线的顶点坐标是D（m，2）．
令x=0，则，
∴．
①当m=2时，-2m=-4，则，
∴点B（0，-4），C（0，-2），D（2，2）；
②由上可知，直线AB的解析式为，抛物线的解析式为，
如图，过点P作轴交直线AB于点E．
设点P的横坐标为t，
∴，，
∴，
∴△PAB的面积=，
∵-1＜0，
∴当t=1时，△PAB的面积的最大值为3，此时P（1，1）；
（2）解：由（1）可知，B（0，-2m），C（0，-m2+2），
①∵y轴上有一点，点C在线段MB上，
∴需分两种情况讨论：
当时，解得：，
当时，解得：，
∴m的取值范围是或；
②当时，
∵，
∴当m=1时，BC的最大值为3；
当时，
∴，
当m=-3时，点M与点C重合，BC的最大值为13，
∴BC的最大值是13．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）①利用一次函数解析式，可求出点A，B的坐标，再将二次函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点D的坐标；由x=0可求出点C的坐标；当m=2时，可得到点B，C，D的坐标；②由①可得到两函数解析式，利用函数图象上的点的坐标特点及平行于y轴的直线上所有点的横坐标相同设出点P、E的坐标， 表示出PE的长，再利用三角形的面积公式，可得到△APB与t之间的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求解；
（2）①分情况讨论： 当时，可得到关于m的不等式，解不等式求出m的取值范围；当时，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集，综上所述可得到m的取值范围； ② 当时，可表示出BC与m的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出BC的最大值及m的值； 当时，可表示出BC与m的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出BC的最大值及m的值，综上所述可得到BC的最大值.
二、综合题
11．（2023·天门模拟）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点D，与x轴交于点A和点B，其中B的坐标为.直线l与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为.
（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）直线l与抛物线的对称轴交于点E，P为线段上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为t.当t为何值时，四边形是平行四边形？
（3）在（2）的条件下，设的面积为S，当t为何值时，S最大？最大值是多少？
【答案】（1）解：将点、点代入抛物线解析式可得，解得，
即抛物线为.
设直线l的解析式为，
将点、点代入得解得，
即直线l的解析式为；
（2）解：由题意可得，抛物线的对称轴为，顶点，
则，所以，
点，，点.
连接，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
化简可得：，解得，（舍去），
即，四边形是平行四边形；
（3）解：连接、，如图：
由题意可得：
，
∴，
∵，开口向下，对称轴为，
∴当时，面积最大，为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）将B（1，0）、B（-2，-3）代入y=x2+bx+c中求出b、c的值，据此可得抛物线的解析式，设直线l的解析式为y=kx+m，将B（1，0）、B（-2，-3）代入求出k、m的值，进而可得直线l的解析式；
（2）根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=-1，顶点D（-1，-4），则E（-1，-2），DE=2，设P（t，t-1），F（t，t2+2t-3），连接DF，根据平行四边形的性质可得DE=PF=2，进而可求出t的值；
（3）连接CF、BF，根据三角形的面积公式可得S△BCF=t2-t+3，然后根据二次函数的性质可得其最大值以及对应的t的值.
12．（2023·房县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，直线与抛物线在第一象限交于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，点Q是直线上不与A、B重合的点，若，请求出点Q的坐标；
（3）在x轴上有一动点H，平面内是否存在一点N，使以点A、H、C、N为顶点的四边形是菱形 若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意可知抛物线经过点、，
把点、代入可得：
，解得，
∴抛物线的解析式为：.
（2）解：、，
，
，
设直线的表达式为，
将点、代入可得：
，解得，
∴直线的表达式为：，
设点Q的坐标为，
，
解得：或，
当时，，
当时，，
∴点Q的坐标为或.
（3）或或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；菱形的性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）存在一点N，使以点A、H、C、N为顶点的四边形是菱形，理由如下：
①当为菱形的对角线时，如图所示：
∵直线与y轴交于点B，
，
，
，
，
∴菱形是正方形，
，
∴点N的坐标为；
②如图所示，当为菱形的对角线时，C、N关于x轴对称，
∴点N的坐标为；
③当为对角线时，如图所示：
，
，
∴点N的坐标为或
综上所述，点N的坐标为或或或.
【分析】（1）由题意可得A（-4，0）、C（2，6），代入y=x2+bx+c中求出b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）根据三角形的面积公式结合题意可得S△OAQ=24，利用待定系数法求出直线AC的解析式，设Q（m，m+4），根据三角形的面积公式可求出m的值，进而可得点Q的坐标；
（3）①当AC为菱形的对角线时，易得OA=OB=4，则∠BAO=45°，推出菱形AHCN为正方形，得到AH=AN=NC=6，据此可得点N的坐标；②当AH为菱形的对角线时，C、N关于x轴对称，据此不难得到点N的坐标；③当AN为对角线时，由勾股定理可得AC，据此可得点N的坐标.
13．（2023九下·荆州月考）如图，已知抛物线：交x轴于点，交y轴于点C.
（1）直接写出点的坐标；
（2）将直线向下平移m个单位，使直线与抛物线恰好只有一个公共点，求m的值；
（3）在抛物线上存在点D，使，求点D的坐标.
【答案】（1）
（2）解：设直线的解析式为，
∵，
∴可有，解得，
∴直线的解析式为，
∵将直线向下平移m个单位，
∴平移后的直线解析式为，
若此时直线与抛物线恰好只有一个公共点，
则方程有两个相等的实数解，
将方程整理可得，
则有，
解得，
∴m的值为；
（3）解：由（1）可知，，
∴，，
∴当点D与点A重合时，，
此时点；
∵如下图，在抛物线上取点D，使得，且交y轴于点F，过点C作于点E，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，，
∴在中，可有，
即，
∴①，
在中，可有，
即，整理可得②，
联立①②，可得，
可解得③，
将③代入①，可得，
解得，（舍去），
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将点代入，可得，解得，
∴直线的解析式为，
将直线的解析式与抛物线解析式联立，
可得，解得（舍去），，
将代入抛物线解析式，
可得，
∴.
综上所述，点D坐标为或.
【知识点】一次函数图象与几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；直角三角形全等的判定（HL）；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）对于抛物线：，
当时，可有，解得，
∴，
当时，，
∴；
【分析】（1）分别令x=0、y=0，求出y、x的值，据此可得点A、B、C的坐标；
（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，结合一次函数图象的几何变换可得平移后的直线解析式为y=x+-m，联立抛物线解析式并结合判别式为0可求出m的值；
（3）根据点B、C的坐标可得OB、OC的值，利用三角函数的概念求出tan∠CBO的值，当点D与点A重合时，tan∠CBD=，此时点D（1，0），在抛物线上取点D，使得∠CBD=∠CBO，且BD交y轴于点F，过点C作CE⊥BD于点E，利用HL证明△COB≌△CEB，得到EB=OB=3，设CF=a，EF=b，在Rt△CEF、Rt△OBF中，由勾股定理可得a、b的值，进而得到点F的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，联立抛物线C1的解析式求出x、y的值，进而可得点D的坐标.
14．（2023·天门模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线与x轴交于另一点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为直线下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当的面积最大时，求的最小值.
【答案】（1）解：由题意，令，即
∴A的坐标为（4，0）
令，即
∴B的坐标为（0，-2）
将A、B、C三点坐标代入抛物线，得
解得
∴抛物线解析式为：；
（2）解：如图1，当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线于点P，
∵OP∥AB，
∴△ABP和△ABO是等底等高的两个三角形，
∴S△PAB＝S△ABO，
∵OP∥AB，
∴直线PO的解析式为y＝x，
联立方程组可得，
解得：或，
∴点P（2＋，1＋）或（2 ，1 ）；
当点P"在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP"∥AB，交抛物线于点P"，连接AP"，BP"，
∴AB∥EP"∥OP，OB＝BE，
∴S△AP"B＝S△ABO，
∵EP"∥AB，且过点E（0， 4），
∴直线EP"解析式为y＝x 4，
联立方程组可得，
解得，
∴点P"（2， 3），
综上所述：点P坐标为（2＋，1＋）或（2 ，1 ）或（2， 3）；
（3）解：如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于F，
设点M（m，），则点F（m，m 2），
∴MF＝m 2 （）＝ （m 2）2＋2，
∴△MAB的面积＝×4×[ （m 2）2＋2]＝ （m 2）2＋4，
∴当m＝2时，△MAB的面积有最大值，
∴点M（2， 3），
如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，
∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，
∴KN＝ON，
∴MN＋ON＝MN＋KN，
∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN＋ON有最小值，即最小值为MP，
∵∠KOB＝30°，
∴直线OK解析式为y＝x，
当x＝2时，点Q（2，2），
∴QM＝2＋3，
∵OB∥QM，
∴∠PQM＝∠PON＝30°，
∴PM＝QM＝＋，
∴MN＋ON的最小值为＋.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平行线之间的距离；三角形的面积；含30°角的直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）分别令直线中的x=0与y=0 ，算出对应的y与x的值，可得点A、B的坐标，进而利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2） 当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线于点P， 由同底等高的两个三角形面积相等得 S△PAB＝S△ABO， 由互相平行的两直线的比例系数相同得 直线PO的解析式为y＝x， 联立直线OP与抛物线的解析式，求解可得点P的坐标； 当点P"在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP"∥AB，交抛物线于点P"，连接AP"，BP"， 由同底等高的两个三角形面积相等得 S△AP"B＝S△ABO， 由于EP"∥AB，且过点E（0， 4），利用待定系数法易得直线EP"解析式， 联立直线EP"与抛物线的解析式，求解可得点P的坐标；
（3）根据抛物线与直线上点的坐标特点设 点M（m，），则点F（m，m 2）， 表示出MF，根据三角形面积计算公式表示出△MAB的面积，根据解析式知当m＝2时，△MAB的面积有最大值，则点M（2， 3）， 如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q， 由含30°角直角三角形的性质得 KN＝ON， 则MN＋ON＝MN＋KN， 当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN＋ON有最小值，即最小值为MP， 进而根据直角三角形的性质可求解.
15．（2023·仙桃模拟）如图，抛物线y＝-x2+bx+c与x轴相交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC相交于点E，与x轴相交于点F.
（1）求抛物线和直线AC的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使以点A、C、P为顶点的三角形是直角三角形，且AP为斜边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
（3）设过E的直线与抛物线相交于点M（x1，y1），N（x2，y2），求|x1-x2|的最小值.
【答案】（1）解：把点B（3，0），C（0，3）代入y＝-x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
把y=0代入得：，
解得：，
∴A（-1，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b1（b1≠0），
∴，解得：，
∴直线AC的解析式为y=3x+3
（2）解：存在.设，
∵点A（-1，0），C（0，3），
∴，，，
∵AP为斜边，
∴，
∴，
解得：或m=0（舍去），
∴存在点，使以点A、C、P为顶点的三角形是直角三角形；
（3）解：设直线BC的解析式为y=nx+m（n≠0），
把点B（3，0），C（0，3）代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点E（1，2），
设直线MN的解析式为，
∴，
∴，
∴直线MN的解析式为，
联立得：得：，
∴，
∵，
∴当b2=2时，最小值为.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y＝-x2+bx+c可得关于字母b、c的方程组，求解得b、c的值，从而可得抛物线的解析式；再利用待定系数法求出直线AC的解析式即可；
（2）根据抛物线上点的坐标特点设P（m，-m2+2m+3），根据两点间的距离公式分别表示出AC2、PC2、AP2，进而根据勾股定理建立方程，求解可得m的值，从而得出点P的坐标；
（3）利用待定系数法求出直线BC的解析式，将抛物线的解析式配成顶点式可得抛物线的对称轴为直线x=1， 则点E（1，2）， 用待定系数法得直线MN的解析式为y=k2x+b2， 联立直线MN与抛物线的解析式得x2-b2x+b2-3=0，由根与系数的关系得x1+x2=b2，x1x2=b2-3，根据二次根式的性质及完全平方公式的恒等变形得 ，结合偶数次幂的非负性即可得出答案.
16．（2022·黄冈模拟）抛物线与轴交于点，（在左边），与轴交于点.
（1）直接写出，，点的坐标；
（2）如图，在第三象限的抛物线上求点，使；
（3）如图，点为第一象限的抛物线上的一点，过点作交抛物线于另一点，交轴于点，且满足，求的解析式.
【答案】（1）解：对于，令，解得或1，令，则，
故点A、、的坐标分别为、、；
（2）解：延长交轴于点，过点作交轴于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，设，则，
在中，，，，
由勾股定理得：，解得；
∴，
∵，故设直线的表达式为，
将点A的坐标代入上式得：，
联立，解得 ：（不合题意的值已舍去），
故点的坐标为；
（3）解：过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，
∵，
∴，
∵，
∴和相似比为2：3，
即，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
由点A、的坐标得，直线的表达式为，
联立可得：，故，
同理可得，直线的表达式为，
同理可得，，
∵=-4，=1，
∴，
又∵，解得，，
∴点、的坐标分别为、，
由、的坐标得，直线的表达式为：.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；两一次函数图象相交或平行问题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）分别令x=0、y=0，求出y、x的值，据此可得点A、B、C的坐标；
（2）延长AP交y轴于点H，过点C作CN∥AP交x轴于点N，由平行线的性质可得∠NCA=∠CAP，结合已知条件可得∠CAO=∠NCA，则AN=CN，设ON=x，则AN=CN=4-x，利用勾股定理求出x，根据三角函数的概念可得tan∠ONC的值，根据两直线平行的条件可求出直线AP的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，据此可得点P的坐标；
（3）过点M、N分别作x轴的垂线，垂足分别为S、T，易证△NEB∽△MEA，根据相似三角形的性质可得ME∶EN=3∶2=AE∶BE，结合AB的值可得AE，求出点E的坐标，证明△MES∽△NET，根据相似三角形的性质可得ES∶ET=ME∶EN=3∶2，则(xM+1)∶(-1-xN)=3∶2，表示出直线AM的解析式，联立抛物线解析式并结合根与系数的关系可得xA+xM=2k-3，同理可得xB+xN=2k-3，结合点A、B的坐标可得xM-xN=5，根据(xM+1)∶(-1-xN)=3∶2可得xM、xN，得到点M、N的坐标，然后利用待定系数法就可求出直线MN的表达式.
17．（2023·云梦模拟）如图1，二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C.
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为抛物线上一动点.
①如图2，过点C作x轴的平行线与抛物线交于另一点D，连接，.当时，求点P的坐标；
②如图3，若点P在直线上方的抛物线上，连接与交于点E，求的最大值.
【答案】（1）解：∵的图像与x轴交于点，，
∴，
解得：，
；
（2）解：①，
点P到直线的距离是点D到直线距离的2倍，
令，则，
，
，，
直线的解析式为：，
如图，过点D作的平行线与y轴交于点M，
设直线的解析式为：，
轴，，
，
在直线上，
，
，
直线的解析式为：，
直线可看作是将直线向上平移2个单位得到，将直线向下平移4个单位得到直线l：，则它与抛物线的交点就是满足条件的点P，
（将直线向上平移4个单位得到直线，它与抛物线没有交点）
令，解得：，，
当时，；当时，，
点P的坐标为或；
②如图，过点P作y轴的平行线与交于点Q，
设点，则点，
，
轴，
，
，
，
的最大值为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）①由可知点P到直线的距离是点D到直线距离的2倍，求出直线BC为y=-x+3，过点D作的平行线与y轴交于点M，可求直线MD解析式为y=-x+5，可得直线可看作是将直线向上平移2个单位得到，将直线向下平移4个单位得到直线l，则它与抛物线的交点就是满足条件的点P， 联立与为方程组并解之，即得点P坐标； ②过点P作y轴的平行线与交于点Q，设点，则点， 可得PQ=-x2+3x，由平行线可证△OCE∽△PQE，可得，利用二次函数的性质即可求解.
18．（2023九下·大冶月考）如图，已知抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于.
（1）求点A的坐标；
（2）点P在抛物线上，若，求出点P的坐标；
（3）如图2，点D在线段上，直线于点E，当时，直接写出点D的坐标.
【答案】（1）解：将，代入中，
，
解得：，
，
当时，，
解得：，
；
（2）解：，
当时，；
，
过点A作的角平分线交于y轴于F，
过点F作垂直交于G，如下图：
，
设，则，
，
即，
解得：，
，
，
，
当点P到第一象限中，
，
解得：（舍去），
，
，
当点P到第四象限中，
，
解得：（舍去），
，
，
故若，点P的坐标为或；
（3）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（3）由题意得出，
，
，
，
设，则，
，
，
解得：（舍去），
故.
【分析】（1）将B（4，0）、C（0，-4）代入求出b、c的值，据此可得抛物线的解析式，令y=0，求出x的值，可得点A的坐标；
（2）易得C（0，-4），过点A作∠BAC的角平分线交于y轴于F，过点F作垂直AC交于G，由勾股定理可得AC的值，设OF=x，则GF=x，根据三角形的面积公式结合面积间的和差关系可得x的值，求出tan∠BAC、tan∠OAF的值，推出∠PAB=∠BAC，然后分点P到第一象限、第四象限中，利用三角函数的概念求出x的值，代入抛物线解析式中求出y的值，据此可得点P的坐标；
（3）由题意得出∠COD=∠BED=90°，∠ODC=∠EDB，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△ODC∽△EDB，根据S△OCD=4S△BED可得，设OD=x，则BD=4-x，根据勾股定理可得CD，由CD=2DB可得x的值，进而可得点D的坐标.
19．（2023九下·青山月考）如图1，抛物线交x轴于A、B两点（A在B左侧），交y轴于点C，.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点T在抛物线上，且，求点T的坐标；
（3）如图3，将线段绕点C逆时针旋转至（），轴于H，点P为的内心，直接写出的最小值 .
【答案】（1）解：当时，，
∴，
则，
∵，
∴，
则，
将点代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：如图2：过点T作轴，垂足是M.
设，
∵，
∴点T只能在点B的左边，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
当
解得：或（舍），
此时，
即点，
当时，
解得：或（舍），
此时，
即点，
综上，点或；
（3）
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）解：∵点D的运动轨迹在以点C为圆心，CO长为半径的弧上，点P是△CDH的内心，
∴，
∴点P的运动轨迹是以OC为弦的圆上的一段劣弧，
∵，
∴点Q的纵坐标为2，
取CO得中点E，则，
当点P在CO的垂直平分线上时，
此时点Q、点E、点P三点共线，
如图3：过点P分别作，垂足是F，，垂足是G.
∵点P为的内心，，
∴，
∵点P为的内心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
在中，
根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
∴，
设的半径为r，
∴，
在中，
根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
∴，
∴点Q的坐标为，
如图4：当点Q、点P、点B共线时，BP最短.
∵，
∴，
∴此时，
故当点Q、点P、点B共线时，BP最短为.
【分析】（1）求出当x=0时的函数值可得点C的坐标，根据OC=OB=2OA，可得点A、B的坐标，进而利用待定系数法可求出抛物线的解析式；
（2） 过点T作TM⊥x轴，垂足是M，根据抛物线上点的坐标特点设 ，根据∠TBA=∠ACO得出点T只能在点B的左边， 根据两点间的距离公式表示出TM，由等角的同名三角函数值相等并结合正切函数的定义可得 ，求解并检验得出a的值，从而得出点T的坐标；
（3）先分析出点P的运动轨迹是以OC为弦的圆上的一段劣弧，求出点Q的坐标，当点Q、点P、点B共线时，BP最短，据此求解即可.
20．（2023九下·仙桃会考）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），B（-4，0），与y轴交于C（0，-3），连接BC.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作PE∥y轴交BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线沿射线AC方向平移，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，在平移后的抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：设y＝a（x-2）（x+4），
把C（0，-3）代入得：，
∴，
∴；
（2）解：如图，延长PE交x轴于点F，
设点，△PDE的周长是l，
∵B（-4，0），C（0，-3），
∴OB=4，OC=3，
∵BC＝5，
∴△BOC的周长是12，
设直线BC的解析式为，
把B（-4，0），C（0，-3），代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式是：，
∴E（x，-x-3），
∴PE＝（-x-3）-（x2+x-3）＝-x2-x，
∵PD⊥BC，
∴∠PDE＝∠BOC＝90°，
∵PE∥y轴，
∴∠PED＝∠BEF=∠BCO，
∴△PDE∽△BOC，
∴，
∴＝，
∴l＝-（x+2）2+，
∴当x＝-2时，l最大＝，即△PDE周长的最大值为，
当x＝-2时，y＝×（-2+4）×（-2-2）＝-3，
∴P（-2，-3）；
（3）解：存在，F（-3，2）或（-3，-2）或（-3，1）或（-3，-7）或（-3，-）.
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（3）如图2，设原抛物线的顶点为M，平移后的抛物线的顶点为N，连接MN，
∵y＝x2+x-3＝（x+1）2-，
∴M（-1，-），
设直线AC的解析式为，
把点A（2，0），C（0，-3），代入得：
，解得：，
∴直线AC的解析式为，
∵MN∥AC，
∴可设直线MN的解析式为，
把点M（-1，-），代入得：
，解得：，
∴直线MN的解析式为y＝x-，
设点，
∴新抛物线解析式是y＝（x-m）2+m-，
∵平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，
∴m2m-＝-3，
∴m＝-3或m＝-1（舍去），
∴新抛物线对称轴是x＝-3，
∴设点F（-3，n），
当BF＝BC＝5时，
1+n2＝25，
∴n＝±2，
当CF＝BC＝5时，
9+（n+3）2＝25，
∴n＝1或n＝-7，
当FB＝FC时，
1+n2＝9+（n+3）2，
∴n＝-，
∴F（-3，2）或（-3，-2）或（-3，1）或（-3，-7）或（-3，-）.
【分析】（1）此题给出了抛物线与x轴两交点的坐标，故设出交点式，再代入点C的坐标可求出二次项的系数a的值，从而就求出了抛物线的解析式；
（2） 延长PE交x轴于点F， 根据抛物线上点的坐标特点，设 点，△PDE的周长是l ；先算出△BOC的周长，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，根据直线上的点的坐标特点设 E（x，-x-3）， 根据两点间的距离公式表示出PE，接着证明△PDE∽△BOC， 根据相似三角形周长的比等于相似比建立出i关于x的函数关系式，进而根据所得函数的性质即可解决问题；
（3）设原抛物线的顶点为M，平移后的抛物线的顶点为N，连接MN，将原抛物线解析式配成顶点式得出顶点M的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据互相平行直线的k值相同，利用待定系数法求出直线MN的解析式，根据直线上的点的坐标特点设，从而可表示出平移后新抛物线的解析式，由于平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，故将点C的坐标代入可得关于字母m的方程，求解可得m的值，得出新抛物线的对称轴直线，设点F（-3，n），然后分当BF＝BC＝5时，当CF＝BC＝5时，当FB＝FC时，三种情况建立方程，求解即可.
21．（2023九下·广水月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线，且经过A、C两点与x轴的另一交点为B.
（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线的解析式；
（2）点E为直线上方抛物线上的一动点，过点E作x轴于点G，交于点D，连接，当四边形面积最大时，求出E点的坐标.
（3）抛物线上是否存在点M，过点M作轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的与相似？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：①（1，0）；
②∵抛物线过，，
∴可设抛物线解析式为，
又∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设，
四边形面积
，
当时，四边形面积有最大值，
，
∴；
（3）解：存在，点M的坐标为或或或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：(1)①，
当时，，当时，，
∴，，
由抛物线的对称性可知：点A与点B关于对称，
∴点B的坐标为.
(3)在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如下图：
当M点与C点重合，即时，；
根据抛物线的对称性，当时，；
当点M在第四象限时，设，则，
∴，，
当时，，即，
整理得：，
解得：（舍），，
∴；
当时，，即，
整理得：，
解得：（舍），，
∴.
综上所述：存在，点M的坐标为或或或，使得以点A、M、N为顶点的三角形与相似.
【分析】（1）①分别令x=0、y=0，求出y、x的值，得到点A、C的坐标，由抛物线的对称性可知：点A与点B关于对称，据此可得点B的坐标；
②将A、B、C的坐标代入y=ax2+bx+c中求出a、b、c的值，得到抛物线的解析式；
（2）设E（m，m2-m+2），根据面积公式表示出四边形AGCE的面积，然后根据二次函数的性质可得面积的最大值以及对应的m的值，进而可得点E的坐标；
（3）根据三角函数的概念求出tan∠CAO、tan∠BCO的值，得到∠CAO=∠BCO，证明△ABC∽△ACO∽△CBO，当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△ABC；当点M在第四象限时，设M（n，n2-n+2），则N（n，0），表示出MN、AN，当时，，求解可得n的值，据此可得点M的坐标；当时，MN=2AN，代入求解可得n的值，据此可得点M的坐标.
1 / 1备考2023年中考数学压轴题训练 ——二次函数（5）
一、真题
1．（2022·孝感）抛物线y＝x2－4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D.
（1）直接写出点B和点D的坐标；
（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；
（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E.设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值.
2．（2022·宜昌）已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 .直线 由直线 平移得到，与 轴交于点 .四边形 的四个顶点的坐标分别为 ， ， ， .
（1）填空： ， ；
（2）若点 在第二象限，直线 与经过点 的双曲线 有且只有一个交点，求 的最大值；
（3）当直线 与四边形 、抛物线 都有交点时，存在直线 ，对于同一条直线 上的交点，直线 与四边形 的交点的纵坐标都不大于它与抛物线 的交点的纵坐标.
①当 时，直接写出 的取值范围；
②求 的取值范围.
3．（2022·黄冈）抛物线与直线交于原点和点，与轴交于另一点，顶点为.
（1）直接写出点和点的坐标；
（2）如图1，连接，为轴上的动点，当时，求点的坐标；
（3）如图2，是点关于抛物线对称轴的对称点，是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接，，与直线交于点设和的面积分别为和，求的最大值.
4．（2022·武汉）抛物线交轴于，两点（在的左边），是第一象限抛物线上一点，直线交轴于点.
（1）直接写出，两点的坐标；
（2）如图（1），当时，在抛物线上存在点（异于点），使，两点到的距离相等，求出所有满足条件的点的横坐标；
（3）如图（2），直线交抛物线于另一点，连接交轴于点，点的横坐标为.求的值（用含的式子表示）.
5．（2022·十堰）已知抛物线 与 轴交于点 和点 两点，与 轴交于点 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 是抛物线上一动点（不与点 ， ， 重合），作 轴，垂足为 ，连接 .
①如图1，若点 在第三象限，且 ，求点 的坐标；
②直线 交直线 于点 ，当点 关于直线 的对称点 落在 轴上时，求四边形 的周长.
6．（2022·恩施）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点.
（1）直接写出抛物线的解析式.
（2）如图，将抛物线向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C.判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由.
（3）直线BC与抛物线交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.
（4）若将抛物线进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出拋物线平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标.
7．（2022·仙桃）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为A，与y轴交于点C，线段轴，交该抛物线于另一点B.
（1）求点B的坐标及直线的解析式：
（2）当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值为p，最小值为q，且.求m的值：
（3）平移抛物线，使其顶点始终在直线上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围.
8．（2022·随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分则点A和点，与y轴交于点C，对称轴为直线，且，P为抛物线上一动点.
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由.
9．（2022·黄石）如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．
（1）A，B，C三点的坐标为 ， ， ；
（2）连接，交线段于点D，
①当与x轴平行时，求的值；
②当与x轴不平行时，求的最大值；
（3）连接，是否存在点P，使得，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
10．（2022·襄阳）在平面直角坐标系中，直线y＝mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C．
（1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．
①求A，B，C，D四点的坐标；
②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；
（2）在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，
①求m的取值范围；
②求线段BC长度的最大值．
二、综合题
11．（2023·天门模拟）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点D，与x轴交于点A和点B，其中B的坐标为.直线l与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为.
（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）直线l与抛物线的对称轴交于点E，P为线段上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为t.当t为何值时，四边形是平行四边形？
（3）在（2）的条件下，设的面积为S，当t为何值时，S最大？最大值是多少？
12．（2023·房县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，直线与抛物线在第一象限交于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，点Q是直线上不与A、B重合的点，若，请求出点Q的坐标；
（3）在x轴上有一动点H，平面内是否存在一点N，使以点A、H、C、N为顶点的四边形是菱形 若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由.
13．（2023九下·荆州月考）如图，已知抛物线：交x轴于点，交y轴于点C.
（1）直接写出点的坐标；
（2）将直线向下平移m个单位，使直线与抛物线恰好只有一个公共点，求m的值；
（3）在抛物线上存在点D，使，求点D的坐标.
14．（2023·天门模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线与x轴交于另一点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为直线下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当的面积最大时，求的最小值.
15．（2023·仙桃模拟）如图，抛物线y＝-x2+bx+c与x轴相交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC相交于点E，与x轴相交于点F.
（1）求抛物线和直线AC的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使以点A、C、P为顶点的三角形是直角三角形，且AP为斜边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
（3）设过E的直线与抛物线相交于点M（x1，y1），N（x2，y2），求|x1-x2|的最小值.
16．（2022·黄冈模拟）抛物线与轴交于点，（在左边），与轴交于点.
（1）直接写出，，点的坐标；
（2）如图，在第三象限的抛物线上求点，使；
（3）如图，点为第一象限的抛物线上的一点，过点作交抛物线于另一点，交轴于点，且满足，求的解析式.
17．（2023·云梦模拟）如图1，二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C.
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为抛物线上一动点.
①如图2，过点C作x轴的平行线与抛物线交于另一点D，连接，.当时，求点P的坐标；
②如图3，若点P在直线上方的抛物线上，连接与交于点E，求的最大值.
18．（2023九下·大冶月考）如图，已知抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于.
（1）求点A的坐标；
（2）点P在抛物线上，若，求出点P的坐标；
（3）如图2，点D在线段上，直线于点E，当时，直接写出点D的坐标.
19．（2023九下·青山月考）如图1，抛物线交x轴于A、B两点（A在B左侧），交y轴于点C，.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点T在抛物线上，且，求点T的坐标；
（3）如图3，将线段绕点C逆时针旋转至（），轴于H，点P为的内心，直接写出的最小值 .
20．（2023九下·仙桃会考）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），B（-4，0），与y轴交于C（0，-3），连接BC.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作PE∥y轴交BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线沿射线AC方向平移，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，在平移后的抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.
21．（2023九下·广水月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线，且经过A、C两点与x轴的另一交点为B.
（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线的解析式；
（2）点E为直线上方抛物线上的一动点，过点E作x轴于点G，交于点D，连接，当四边形面积最大时，求出E点的坐标.
（3）抛物线上是否存在点M，过点M作轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的与相似？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：B（5，5），D为（2，-4）；
（2）解：如图所示，过D作DE⊥x轴与点E，
则E（2，0），则tan∠EDO=，当P在E上时，则满足tan∠PDO＝，
则，
如图所示，当时，过O作于点G，
∵，
∴OG=OE=2，DG=DE=4，
设，则，
则，
则或n=0（舍去），
则，则
综上所述，；
（3）解：由题易得：M（-1，5），，
则直线MQ的解析式为：，
令，解得，
∴，
∵BM=6，
∴，
且，，
∴，
∵，函数开口向下，
当时，取最大值为.
【知识点】锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）将y＝x2－4x与y＝x联立得：x＝x2－4x，
解得：x=5或x=0（舍去），
将x=5代入y＝x得y=5，
故B点坐标为（5，5），
将函数y＝x2－4x转换为顶点式得，故顶点D为（2，-4），
故B（5，5），D为（2，-4）；
【分析】（1）联立抛物线与直线解析式求出x、y，据此可得点B的坐标，将抛物线解析式化为顶点式，据此可得顶点D的坐标；
（2）过D作DE⊥x轴与点E，则E（2，0），则tan∠EDO=，当P在E上时，则满足tan∠PDO＝，则P1（2，0）；当∠ODP2=∠ODE时，过O作OG⊥P2D于点G，则OG=OE=2，DG=DE=4，设P2G=n，则P2D=n+4，根据三角函数的概念可得n，进而可得OP2，据此可得点P2的坐标；
（3）由题易得：M（-1，5），Q（m，m2-4m），表示出直线MQ的解析式联立y=x可得x，进而可得点E的坐标，根据三角形的面积公式表示出S△BMQ、S2，根据面积间的和差关系可得，然后结合二次函数的性质进行解答.
2．【答案】（1）；
（2）解：设直线 的解析式为 ，
∵直线 经过 和 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 ： .
∵直线 平移得到直线 ，且直线 与 轴交于点 ，
∴直线 ： ，
∵双曲线 经过点 ，
∴ ，
∴ .
∵直线 与双曲线有公共点，
联立解析式得： ，
∴ ，
整理得： ，
∵直线 与双曲线有且只有一个交点，
∴ ，
即 ，
整理得： ，
化简得： ，
∴ ，【注：或得到 】
∵点 在第二象限，
∴ ，
解得， .
∴当 时， 可以取得最大值，最大值为2.
（3）解：① 的取值范围为： 或 ；
②（Ⅰ）当 的值逐渐增大到使矩形 的顶点 在直线 上时，直线 与四边形 、抛物线 同时有交点，且同一直线 与四边形 的交点的纵坐标都小于它与抛物线的交点的纵坐标.
，
解得， .
（Ⅱ）如图5，
当 的值逐渐增大到使矩形 的顶点 在这条开口向上的抛物线上（对称轴左侧）时，存在直线 （即经过此时点 的直线 ）与四边形 、抛物线 同时有交点，且同一直线 与四边形 的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标.
，
化简，得： .
解得， （舍）， ，
从（Ⅰ）到（Ⅱ），在 的值逐渐增大的过程中，均存在直线 ，同时与矩形 、抛物线 相交，且对于同一条直线 上的交点，直线 与矩形 的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标.
综上所述， 的取值范围： .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）将点 ， 代入函数解析式 得
解得
故答案为： ， ；
（3）如图1，
当直线 与抛物线有交点时，联立直线 与抛物线 的解析式.
得： ，
得： ，
整理得： ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
当 时，直线 ： 与抛物线有且只有一个交点 .
①当 时，四边形 的顶点分别为 ， ， ， .
第一种情况：如图2，
当直线 经过 时，此时 与 重合.
∴ 时，直线 与四边形 ，抛物线 都有交点，且满足直线 与矩形 的交点的纵坐标都不大于与抛物线 的交点的纵坐标.
第二种情况：当直线 经过点 时，如图3所示.
，解得， ，
当直线 经过点 时，如图4所示
，解得， ，
∴ ，
综上所述， 的取值范围为： 或 .
【分析】（1）将点A（-1，0）、B（4，0）代入y=ax2+bx-2中进行计算可得a、b的值；
（2）求出直线BC、直线l的解析式，将M(m+1，m+3)代入反比例函数解析式中可得k，表示出反比例函数的解析式，联立直线l的解析式结合△=0可得n2+2m2+8m+6=0，表示出n2，根据点M在第二象限可得m的范围，然后结合二次函数的性质可得n2 最大值；
（3）①联立直线l与抛物线的解析式，结合△≥0可得n的范围，当m=-3时，四边形MNPQ的顶点分别为M（-2，0）、M（-2，-3）、P（2，-3）、Q（2，0），当直线l经过点P时，P与F重合，当n=-4时，直线l与四边形MNPQ，抛物线都有交点，且满足直线l与矩形MNPQ的交点的纵坐标都不大于与抛物线的交点的纵坐标；当直线l经过点A时，将点A坐标代入求出n的值，当直线l经过点M时，同理可得n的值，据此解答；
②当m的值逐渐增大到使矩形MNPQ的顶点M（m+1，m+3）在直线y=x-4上时，直线与四边形、抛物线同时有交点，且同一直线l与四边形的交点的纵坐标都小于它与抛物线的交点的纵坐标，据此不难求出m的值；当m的值逐渐增大到使矩形的顶点在抛物线上时，存在直线与四边形、抛物线同时有交点，且同一直线l与四边形的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标，代入求出m的值，据此解答.
3．【答案】（1）解：B（5，5）；C（2，-4）
（2）解：如图，过点作轴于点F，
由易得D(2，-4)
，，
，
又∵，
∴，
∴，
∴PD=OP，
设点P(t，0)，
由勾股定理得，
∴，解得t=5，
.
（3）解：∵点与点关于对称轴对称，
.
如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，
，，
点横坐标为，
，，
.
，，
，
，
当时，的最大值为.
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）令，
解得或，
；
，
顶点.
【分析】（1）联立抛物线解析式与直线解析式求出x、y，可得点B的坐标，将抛物线解析式化为顶点式，据此可得顶点D的坐标；
（2）由抛物线易得点D坐标，结合D点与联想二者关联，将问题已知转化成等腰OP=PD，进而设出点P结合坐标系边长问题利用勾股定理建立等量关系得出点P；
（3）易得M（-1，5），分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N、K，则N（-1，-1），MN=6，Q（m，m2-4m），K（m，m），表示出KQ，根据三角形的面积公式可得S1、S2，然后表示出，再结合二次函数的性质解答即可.
4．【答案】（1）解：，
（2）解：∵，∴，
∴直线的解析式为.
①若点在下方时，
过点作的平行线与抛物线的交点即为.
∵，，
∴的解析式为.
联立，
解得，，（舍）.
∴点的横坐标为0.
②若点在上方时，点关于点的对称点为.
过点作的平行线，则与抛物线的交点即为符合条件的点.
直线的解析式为.
联立，∴，
解得，，.
∴点，的横坐标分别为，.
∴符合条件的点的横坐标为：0，或.
另解：设，过点作轴垂线交于点，根据求解.
（3）解：设点的横坐标为.过点的直线解析式为.
联立，∴.
设，是方程两根，则.（*）
∴.
∵，∴，∴.
∵，∴，∴.
设直线的解析式为，
同法可得，
∴.
∴.
∴.
∵，∴.
∴.
求的值的另解：∵，.
∴①，
②，
消去得，，
∵，
∴
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；两一次函数图象相交或平行问题；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）当y=0时x2-2x-3=0，
解之：x1=3，x2=-1
∴点A（-1，0），点B（3，0）.
【分析】（1）令y=x2-2x-3中的y=0，求出x的值，据此可得点A、B的坐标；
（2）易得P（0，1），求出直线AC的解析式，①若点D在AC下方时，过点B作AC的平行线与抛物线的交点为D1，求出直线BD1的解析式，联立抛物线解析式求出x，据此可得点D1的横坐标；②若点D在AC上方时，点D1（0，-3）关于点P的对称点为G（0，5），过点G作AC的平行线l，则l与抛物线的交点即为符合条件的点D，求出直线l的解析式，联立抛物线解析式求出x，据此可得点D2的横坐标；
（3）设点E的横坐标为n，过点P的直线解析式为y=kx+b，联立抛物线解析式并结合根与系数的关系可得xAxC=xB·xE=-3-b，则xC=3+b，xE=-1-，据此可得m、n，设直线CE的解析式为y=px+q，同理可得mn=-3-q，则q=-mn-3，代入m、n可得q=b2+2b，然后表示出OF、FP，据此求解.
5．【答案】（1）解：把点 ， 代入得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为
（2）解：①如图，过点C作CQ⊥DP于点Q，
∵点C（0，-3），
∴OC=3，
∵ ，
∴△CPQ为等腰直角三角形，
∴CQ=PQ，
设点 ，则OD=-m， ，
∵ 轴，
∴∠COD=∠ODQ=∠CQD=90°，
∴四边形OCQD为矩形，
∴QC=OD=PQ=-m，DQ=OC=3，
∴ ，
∴ ，
解得： 或0（舍去），
∴点 ；
②如图，过点E作EM∥x轴于点M，
令y=0， ，
解得： （舍去），
∴点B（-4，0），
∴OB=4，
∴ ，
设直线BC的解析式为 ，
把点B（-4，0），C（0，-3）代入得：
，解得： ，
∴直线BC的解析式为 ，
∵点 关于直线 的对称点 落在 轴上时，
∴ ， ， ，
∵DP⊥x轴，
∴PD∥CE′，
∴ ，
∴ ，
∴CE=PE，
∴ ，
∴四边形 为菱形，
∵EM∥x轴，
∴△CEM∽△CBO，
∴ ，
设点 ， 则点 ，
当点P在y轴左侧时，EM=-t，
当-4＜t＜0时， ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或0（舍去），
∴ ，
∴四边形 的周长为 ；
当点P在y轴右侧时，EM=-t，
当t≤-4时， ，
∴ ，解得： 或0（舍去），
此时 ，
∴四边形 的周长为 ；
当点P在y轴右侧，即t＞0时，EM=t， ，
∴ ，解得： 或0，
不符合题意，舍去；
综上所述，四边形 的周长为 或 .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）①过点C作CQ⊥DP于点Q，易得△CPQ为等腰直角三角形，可得CQ=PQ，根据抛物线上点的坐标特点，设点 ，则OD=-m， ，可证四边形OCQD为矩形，可得QC=OD=PQ=-m，DQ=OC=3，从而得出=-m ，解出m即得点P坐标；②过点E作EM∥x轴于点M，先求出B坐标，再求出BC的长，利用待定系数法求直线BC的解析式为 ，由于点E关于直线PC的对称点E'落在y轴上时，可得， ， ， 从而可证四边形PECE'为菱形，利用平行线可证△CEM∽△CBO，可得 ， 设点 ， 则点 ， 分点P在y轴左侧时和点P在y轴右侧时分别进行求解即可.
6．【答案】（1）解：∵抛物线与y轴交于点
∴
抛物线解析式为
（2）解：以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
的顶点坐标为
依题意得，
平移后的抛物线解析式为
令，解
得
令，则，即
以B、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形
（3）解：存在，或，理由如下，
，，
是等腰直角三角形
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
联立
解得，
，，是等腰直角三角形
，
设直线的解析式为，
直线的解析式为
当时，
设的解析式为，由NT过点
则
解得
的解析式为，
令
解得
，
②当时，则
即
解得
综上所述，或
（4）解：如图，作，交轴于点，过点作于点，则是等腰直角三角形，作于
直线的解析式为
设与平行的且与只有一个公共点的直线解析式为
则
整理得：
则
解得
直线的解析式为
，
即拋物线平移的最短距离为，方向为方向
∴把点P先向右平移EF的长度，再向下平移FC的长度即得到平移后的坐标
平移后的顶点坐标为，即
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将P（0，4）代入y=-x2+c中求出c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）易得P（0，4），Q（-1，4），则平移后的抛物线解析式为y=-(x+1)2+4，令y=0，求出x的值，可得点A、B的坐标，令x=0，求出y的值，可得点C的坐标，然后利用两点间距离公式求出BC2、CQ2、QB2，再结合勾股定理逆定理进行判断；
（3）易得△OBC是等腰直角三角形，利用待定系数法求出直线BC的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，可得点N的坐标，求出直线AC的解析式，当NT∥AC时，△BNT∽△BCA，求出直线NT的解析式，令y=0，求出x的值，可得点T的坐标，据此可得BT，根据相似三角形的性质可得BN；②当△BNT∽△BAC时，根据相似三角形对应边成比例可得BT的值，结合OB的值就可得到点T的坐标；
（4）作l∥BC，交y轴于点D，过点C作CE⊥l于点E，则△DEC是等腰直角三角形，作EF⊥DC于F，设与BC平行且与y=-x2+4只有一个公共点的直线l解析式为y=x+b，联立并结合△=0可得b的值，据此可得直线l的解析式，然后求出CD、EF、CE，据此不难求出平移后的顶点坐标.
7．【答案】（1）解：，
∴顶点坐标A（1，-4），对称轴x=1，
当x=0时y=-3，即C（0，-3），
点B、C关于对称轴x=1对称，则B（2，-3），
设直线AC：y=kx+b，由A（1，-4），C（0，-3），可得
，解得：
∴直线AC为：y=-x-3；
（2）解：①当m+2≤1时，即m≤-1时，
x=m时取最大值，x=m+2时取最小值，
∴，
解得：，不符合题意；
②当m+2＞1且m＜1，1-m＞m+2-1时，即-1＜m＜0时，
x=m时取最大值，x=1时取最小值，
∴，
解得：m=，或m=（舍去），
③当m+2＞1且m＜1，1-m＜m+2-1时，即0＜m＜1时，
x=m+2时取最大值，x=1时取最小值，
∴，
解得：m=，m=（舍去），
④当m≥1时，
x=m+2时取最大值，x=m时取最小值，
∴，
解得：，不符合题意；
m=0时，二次函数在0≤x≤2上最大值-3，最小值-4，-3-（-4）=1不符合题意；
综上所述：m=或m=；
（3）解：由题意作图如下，过点A作直线AE⊥BC于E，作直线AF⊥y轴于F，
由A（1，-4）、B（2，-3）可得
直线AB解析式为：y=x-5，
∵C（0，-3），
∴F（0，-4），E（1，-3），
∵AF=1，AE=1，CF=1，CE=1，∠AEC=90°，
∴四边形AECF是正方形，
∴∠CAE=∠CAF=45°，
根据对顶角相等，可得当点A沿直线AC平移m长度时，横坐标平移m cos45°，纵坐标平移m cos45°，
即点A沿直线AC平移时，横纵坐标平移距离相等，
设抛物线向左平移m单位后，与直线AB只有1个交点，则
令△=0，解得：m=，
∴n=1-=，
由图象可得当抛物线由点A向右平移至左半部分过点B时，与射线BA只有一个交点，
设抛物线向右平移m单位后，左半部分过点B，则
B（2，-3）在抛物线上，
，
解得：m=0（舍去）或m=3，
∴1＜n≤4，
综上所述n=或1＜n≤4；
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式可得顶点坐标A（1，-4），对称轴x=1，令x=0，求出y的值，可得C（0，-3），根据对称性可得B（2，-3），然后利用待定系数法就可求出直线AC的解析式；
（2）①当m+2≤1，即m≤-1时，x=m时取最大值，x=m+2时取最小值，根据最大值与最小值的差为2可得m的范围，然后结合m的范围进行验证；②当m+2＞1且m＜1，1-m＞m+2-1时，即-1＜m＜0时，x=m时取最大值，x=1时取最小值，同理可得m的值；③当m+2＞1且m＜1，1-m＜m+2-1时，即0＜m＜1时，x=m+2时取最大值，x=1时取最小值，同理可得m的值；④当m≥1时，x=m+2时取最大值，x=m时取最小值，同理可得m的值；
（3）过点A作直线AE⊥BC于E，作直线AF⊥y轴于F，求出直线AB的解析式，易得AF=1，AE=1，CF=1，CE=1，推出四边形AECF是正方形，得到∠CAE=∠CAF=45°，则点A沿直线AC平移时，横纵坐标平移距离相等，设抛物线向左平移m单位后，与直线AB只有1个交点，则(x+m-1)2-4+m=x-5，结合△=0可得m的值，然后求出n的值；设抛物线向右平移m单位后，左半部分过点B，则B（2，-3）在抛物线y′=(x-m-1)2-4-m上，代入求解可得m的值，据此可得n的范围.
8．【答案】（1）解：抛物线的解析式为：.
（2）解：方法一：连接OP，
设，易知，，
∵，，
∴四边形PABC的面积，
∴
又∵，
∴
∴当时，，
∴此时P点的坐标为；
方法二：易知，，故直线AC的方程为
设，
∵过点P作PQ⊥x轴，交AC于点Q，
∴，
∵点P在AC上方，
∴，
∴
，
∴四边形PABC面积，
∴当时，S有最大值，
∴此时P点的坐标为.
（3）解：存在点N.，；，；，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】(1)解：∵，
∴，，
∵，对称轴为直线，，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：.
(3)存在点N.
①当N在y轴上时，
∵四边形PMCN为矩形，
此时，，；
②当N在x轴负半轴上时，如图所示，四边形PMCN为矩形，过M作y轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的垂线，垂足为E，设，则，
∴，
∵四边形PMCN为矩形，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵点M在对称轴上，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴P点的坐标为，
∵P点在抛物线上，
∴
解得，（舍），
∴，；
③当N在x轴正半轴上时，如图所示，四边形PMCN为矩形，过M作y轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的垂线，垂足为E，设，则，
∴，
∵四边形PMCN为矩形时，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵点M在对称轴上，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴P点的坐标为，
∵P点在抛物线上，
∴
解得（舍），，
∴，，
综上：，；，；，
【分析】利用OA=OC，可得到点C（0，c），点A（-c，0），再利用对称轴为直线x=-1.可得到关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的长，可得到二次函数解析式.
（2）方法一：利用函数解析式，设P(m，n），利用三角形的面积公式可表示出四边形PABC的面积S与mn之间的函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出点P的坐标及四边形PABC的面积的最大值；方法二：利用待定系数法求出直线AC的函数解析式，利用函数解析式数点，，可表示出PQ的长；再利用三角形的面积公式表示出△APC的面积；再利用四边形PABC的面积=△APC的面积+△AOC的面积，由此可得到S与x之间的函数解析式，将其转化为顶点式，可得到点P 的坐标及S的最大值.
（3）分情况讨论：当点N在y轴上时，利用矩形的性质可得到点P1和点N1的坐标；②当N在x轴负半轴上时，如图所示，四边形PMCN为矩形，过M作y轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的垂线，垂足为E，设点N（t，0），可得到ON的长；再证明△CMD∽△CNO，利用相似三角形的性质，可得对应边成比例，可表示出CD的长；再证明△CMD≌△NPE，利用全等三角形的性质可得到NE，EP的长，从而可求出OE的长，可得到点P的坐标，将点P的坐标代入二次函数解析式，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到点P2，N2的坐标；③当N在x轴正半轴上时，如图所示，四边形PMCN为矩形，过M作y轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的垂线，垂足为E，可得到ON的长；再证明△CMD∽△CNO，利用相似三角形的性质可表示出CD的长；再利用AAS证明△CMD≌△NPE，利用全等三角形的性质可求出NE，EP的长，即可得到OE的长；，由此可表示出点P的坐标，将点P的坐标代入二次函数解析式，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到点P3，N3的坐标；综上所述可得到符合题意的点P，N的坐标.
9．【答案】（1）（-2，0）；（3，0）；（0，4）
（2）解：①∵轴，，
∴，，
又∵轴，
∴△CPD∽△BAD
∴；
②过P作交于点Q，
设直线BC的解析式为，
把B(3，0)，C(0，4)代入，得
，解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴△QPD∽△BAD
∴，
∴当时，取最大值；
（3）解：假设存在点P使得，即，
过C作轴，连接CP，延长交x轴于点M，
∴∠FCP=∠BMC，
∵，
∴平分，
∴∠BCP=∠FCP，
∴∠BCP=∠BMC，
∴BC=BM，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，，，
设直线CM解析式为y=kx+b，
把C(0，4)，代入，得
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得或(舍)，
∴存在点P满足题意，即．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】（1）解：令x=0，则y=4，
∴C(0，4)；
令y=0，则=0，
∴x=-2或x=3，
∴A(-2，0)，B(3，0)．
故答案为：(-2，0)；(3，0)；(0，4)；
【分析】（1）利用函数解析式，由y=0求出对应的x的值，可得到点A，B的坐标，由x=0求出y的值，可得到点C的坐标；
（2）①由CP∥x轴及点C的坐标，可得到点P的坐标，由此可求出CP，AB的长，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似可证△CPD∽△BAD，利用相似三角形的对应边成比例可求出PD与DA的比值；②过点P作PQ∥AB交BC于点Q，由点B，C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式；利用函数图象上的点的坐标特点及平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相同可设处点P、Q的坐标， 可表示出PQ的长；由PQ∥AB，可证得△QPD∽△BAD，利用相似三角形的对应边成比例，可得到与m的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出最大值；
（3）过C作CF∥x轴，连接CP，并延长交x轴于点M，可证得∠FCP=∠BMC，则∠BCO+2∠BCP=90°，利用角平分线的定义可证得∠BCP=∠FCP，可推出∠BCP=∠BMC，利用等角对等边可证得BC=BM，可推出△CBM是等腰三角形，即可得到BM，OM的长，可得到点M的坐标；利用待定系数法求出直线CM的函数解析式，将直线CM和二次函数解析式联立方程组，解方程组求出x的值，可得到符合题意的m的值.
10．【答案】（1）解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A（2，0），B（0，-2m）．
∵，
∴抛物线的顶点坐标是D（m，2）．
令x=0，则，
∴．
①当m=2时，-2m=-4，则，
∴点B（0，-4），C（0，-2），D（2，2）；
②由上可知，直线AB的解析式为，抛物线的解析式为，
如图，过点P作轴交直线AB于点E．
设点P的横坐标为t，
∴，，
∴，
∴△PAB的面积=，
∵-1＜0，
∴当t=1时，△PAB的面积的最大值为3，此时P（1，1）；
（2）解：由（1）可知，B（0，-2m），C（0，-m2+2），
①∵y轴上有一点，点C在线段MB上，
∴需分两种情况讨论：
当时，解得：，
当时，解得：，
∴m的取值范围是或；
②当时，
∵，
∴当m=1时，BC的最大值为3；
当时，
∴，
当m=-3时，点M与点C重合，BC的最大值为13，
∴BC的最大值是13．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）①利用一次函数解析式，可求出点A，B的坐标，再将二次函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点D的坐标；由x=0可求出点C的坐标；当m=2时，可得到点B，C，D的坐标；②由①可得到两函数解析式，利用函数图象上的点的坐标特点及平行于y轴的直线上所有点的横坐标相同设出点P、E的坐标， 表示出PE的长，再利用三角形的面积公式，可得到△APB与t之间的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求解；
（2）①分情况讨论： 当时，可得到关于m的不等式，解不等式求出m的取值范围；当时，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集，综上所述可得到m的取值范围； ② 当时，可表示出BC与m的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出BC的最大值及m的值； 当时，可表示出BC与m的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出BC的最大值及m的值，综上所述可得到BC的最大值.
11．【答案】（1）解：将点、点代入抛物线解析式可得，解得，
即抛物线为.
设直线l的解析式为，
将点、点代入得解得，
即直线l的解析式为；
（2）解：由题意可得，抛物线的对称轴为，顶点，
则，所以，
点，，点.
连接，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
化简可得：，解得，（舍去），
即，四边形是平行四边形；
（3）解：连接、，如图：
由题意可得：
，
∴，
∵，开口向下，对称轴为，
∴当时，面积最大，为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）将B（1，0）、B（-2，-3）代入y=x2+bx+c中求出b、c的值，据此可得抛物线的解析式，设直线l的解析式为y=kx+m，将B（1，0）、B（-2，-3）代入求出k、m的值，进而可得直线l的解析式；
（2）根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=-1，顶点D（-1，-4），则E（-1，-2），DE=2，设P（t，t-1），F（t，t2+2t-3），连接DF，根据平行四边形的性质可得DE=PF=2，进而可求出t的值；
（3）连接CF、BF，根据三角形的面积公式可得S△BCF=t2-t+3，然后根据二次函数的性质可得其最大值以及对应的t的值.
12．【答案】（1）解：由题意可知抛物线经过点、，
把点、代入可得：
，解得，
∴抛物线的解析式为：.
（2）解：、，
，
，
设直线的表达式为，
将点、代入可得：
，解得，
∴直线的表达式为：，
设点Q的坐标为，
，
解得：或，
当时，，
当时，，
∴点Q的坐标为或.
（3）或或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；菱形的性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）存在一点N，使以点A、H、C、N为顶点的四边形是菱形，理由如下：
①当为菱形的对角线时，如图所示：
∵直线与y轴交于点B，
，
，
，
，
∴菱形是正方形，
，
∴点N的坐标为；
②如图所示，当为菱形的对角线时，C、N关于x轴对称，
∴点N的坐标为；
③当为对角线时，如图所示：
，
，
∴点N的坐标为或
综上所述，点N的坐标为或或或.
【分析】（1）由题意可得A（-4，0）、C（2，6），代入y=x2+bx+c中求出b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）根据三角形的面积公式结合题意可得S△OAQ=24，利用待定系数法求出直线AC的解析式，设Q（m，m+4），根据三角形的面积公式可求出m的值，进而可得点Q的坐标；
（3）①当AC为菱形的对角线时，易得OA=OB=4，则∠BAO=45°，推出菱形AHCN为正方形，得到AH=AN=NC=6，据此可得点N的坐标；②当AH为菱形的对角线时，C、N关于x轴对称，据此不难得到点N的坐标；③当AN为对角线时，由勾股定理可得AC，据此可得点N的坐标.
13．【答案】（1）
（2）解：设直线的解析式为，
∵，
∴可有，解得，
∴直线的解析式为，
∵将直线向下平移m个单位，
∴平移后的直线解析式为，
若此时直线与抛物线恰好只有一个公共点，
则方程有两个相等的实数解，
将方程整理可得，
则有，
解得，
∴m的值为；
（3）解：由（1）可知，，
∴，，
∴当点D与点A重合时，，
此时点；
∵如下图，在抛物线上取点D，使得，且交y轴于点F，过点C作于点E，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，，
∴在中，可有，
即，
∴①，
在中，可有，
即，整理可得②，
联立①②，可得，
可解得③，
将③代入①，可得，
解得，（舍去），
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将点代入，可得，解得，
∴直线的解析式为，
将直线的解析式与抛物线解析式联立，
可得，解得（舍去），，
将代入抛物线解析式，
可得，
∴.
综上所述，点D坐标为或.
【知识点】一次函数图象与几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；直角三角形全等的判定（HL）；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）对于抛物线：，
当时，可有，解得，
∴，
当时，，
∴；
【分析】（1）分别令x=0、y=0，求出y、x的值，据此可得点A、B、C的坐标；
（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，结合一次函数图象的几何变换可得平移后的直线解析式为y=x+-m，联立抛物线解析式并结合判别式为0可求出m的值；
（3）根据点B、C的坐标可得OB、OC的值，利用三角函数的概念求出tan∠CBO的值，当点D与点A重合时，tan∠CBD=，此时点D（1，0），在抛物线上取点D，使得∠CBD=∠CBO，且BD交y轴于点F，过点C作CE⊥BD于点E，利用HL证明△COB≌△CEB，得到EB=OB=3，设CF=a，EF=b，在Rt△CEF、Rt△OBF中，由勾股定理可得a、b的值，进而得到点F的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，联立抛物线C1的解析式求出x、y的值，进而可得点D的坐标.
14．【答案】（1）解：由题意，令，即
∴A的坐标为（4，0）
令，即
∴B的坐标为（0，-2）
将A、B、C三点坐标代入抛物线，得
解得
∴抛物线解析式为：；
（2）解：如图1，当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线于点P，
∵OP∥AB，
∴△ABP和△ABO是等底等高的两个三角形，
∴S△PAB＝S△ABO，
∵OP∥AB，
∴直线PO的解析式为y＝x，
联立方程组可得，
解得：或，
∴点P（2＋，1＋）或（2 ，1 ）；
当点P"在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP"∥AB，交抛物线于点P"，连接AP"，BP"，
∴AB∥EP"∥OP，OB＝BE，
∴S△AP"B＝S△ABO，
∵EP"∥AB，且过点E（0， 4），
∴直线EP"解析式为y＝x 4，
联立方程组可得，
解得，
∴点P"（2， 3），
综上所述：点P坐标为（2＋，1＋）或（2 ，1 ）或（2， 3）；
（3）解：如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于F，
设点M（m，），则点F（m，m 2），
∴MF＝m 2 （）＝ （m 2）2＋2，
∴△MAB的面积＝×4×[ （m 2）2＋2]＝ （m 2）2＋4，
∴当m＝2时，△MAB的面积有最大值，
∴点M（2， 3），
如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，
∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，
∴KN＝ON，
∴MN＋ON＝MN＋KN，
∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN＋ON有最小值，即最小值为MP，
∵∠KOB＝30°，
∴直线OK解析式为y＝x，
当x＝2时，点Q（2，2），
∴QM＝2＋3，
∵OB∥QM，
∴∠PQM＝∠PON＝30°，
∴PM＝QM＝＋，
∴MN＋ON的最小值为＋.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平行线之间的距离；三角形的面积；含30°角的直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）分别令直线中的x=0与y=0 ，算出对应的y与x的值，可得点A、B的坐标，进而利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2） 当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线于点P， 由同底等高的两个三角形面积相等得 S△PAB＝S△ABO， 由互相平行的两直线的比例系数相同得 直线PO的解析式为y＝x， 联立直线OP与抛物线的解析式，求解可得点P的坐标； 当点P"在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP"∥AB，交抛物线于点P"，连接AP"，BP"， 由同底等高的两个三角形面积相等得 S△AP"B＝S△ABO， 由于EP"∥AB，且过点E（0， 4），利用待定系数法易得直线EP"解析式， 联立直线EP"与抛物线的解析式，求解可得点P的坐标；
（3）根据抛物线与直线上点的坐标特点设 点M（m，），则点F（m，m 2）， 表示出MF，根据三角形面积计算公式表示出△MAB的面积，根据解析式知当m＝2时，△MAB的面积有最大值，则点M（2， 3）， 如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q， 由含30°角直角三角形的性质得 KN＝ON， 则MN＋ON＝MN＋KN， 当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN＋ON有最小值，即最小值为MP， 进而根据直角三角形的性质可求解.
15．【答案】（1）解：把点B（3，0），C（0，3）代入y＝-x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
把y=0代入得：，
解得：，
∴A（-1，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b1（b1≠0），
∴，解得：，
∴直线AC的解析式为y=3x+3
（2）解：存在.设，
∵点A（-1，0），C（0，3），
∴，，，
∵AP为斜边，
∴，
∴，
解得：或m=0（舍去），
∴存在点，使以点A、C、P为顶点的三角形是直角三角形；
（3）解：设直线BC的解析式为y=nx+m（n≠0），
把点B（3，0），C（0，3）代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点E（1，2），
设直线MN的解析式为，
∴，
∴，
∴直线MN的解析式为，
联立得：得：，
∴，
∵，
∴当b2=2时，最小值为.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y＝-x2+bx+c可得关于字母b、c的方程组，求解得b、c的值，从而可得抛物线的解析式；再利用待定系数法求出直线AC的解析式即可；
（2）根据抛物线上点的坐标特点设P（m，-m2+2m+3），根据两点间的距离公式分别表示出AC2、PC2、AP2，进而根据勾股定理建立方程，求解可得m的值，从而得出点P的坐标；
（3）利用待定系数法求出直线BC的解析式，将抛物线的解析式配成顶点式可得抛物线的对称轴为直线x=1， 则点E（1，2）， 用待定系数法得直线MN的解析式为y=k2x+b2， 联立直线MN与抛物线的解析式得x2-b2x+b2-3=0，由根与系数的关系得x1+x2=b2，x1x2=b2-3，根据二次根式的性质及完全平方公式的恒等变形得 ，结合偶数次幂的非负性即可得出答案.
16．【答案】（1）解：对于，令，解得或1，令，则，
故点A、、的坐标分别为、、；
（2）解：延长交轴于点，过点作交轴于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，设，则，
在中，，，，
由勾股定理得：，解得；
∴，
∵，故设直线的表达式为，
将点A的坐标代入上式得：，
联立，解得 ：（不合题意的值已舍去），
故点的坐标为；
（3）解：过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，
∵，
∴，
∵，
∴和相似比为2：3，
即，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
由点A、的坐标得，直线的表达式为，
联立可得：，故，
同理可得，直线的表达式为，
同理可得，，
∵=-4，=1，
∴，
又∵，解得，，
∴点、的坐标分别为、，
由、的坐标得，直线的表达式为：.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；两一次函数图象相交或平行问题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）分别令x=0、y=0，求出y、x的值，据此可得点A、B、C的坐标；
（2）延长AP交y轴于点H，过点C作CN∥AP交x轴于点N，由平行线的性质可得∠NCA=∠CAP，结合已知条件可得∠CAO=∠NCA，则AN=CN，设ON=x，则AN=CN=4-x，利用勾股定理求出x，根据三角函数的概念可得tan∠ONC的值，根据两直线平行的条件可求出直线AP的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，据此可得点P的坐标；
（3）过点M、N分别作x轴的垂线，垂足分别为S、T，易证△NEB∽△MEA，根据相似三角形的性质可得ME∶EN=3∶2=AE∶BE，结合AB的值可得AE，求出点E的坐标，证明△MES∽△NET，根据相似三角形的性质可得ES∶ET=ME∶EN=3∶2，则(xM+1)∶(-1-xN)=3∶2，表示出直线AM的解析式，联立抛物线解析式并结合根与系数的关系可得xA+xM=2k-3，同理可得xB+xN=2k-3，结合点A、B的坐标可得xM-xN=5，根据(xM+1)∶(-1-xN)=3∶2可得xM、xN，得到点M、N的坐标，然后利用待定系数法就可求出直线MN的表达式.
17．【答案】（1）解：∵的图像与x轴交于点，，
∴，
解得：，
；
（2）解：①，
点P到直线的距离是点D到直线距离的2倍，
令，则，
，
，，
直线的解析式为：，
如图，过点D作的平行线与y轴交于点M，
设直线的解析式为：，
轴，，
，
在直线上，
，
，
直线的解析式为：，
直线可看作是将直线向上平移2个单位得到，将直线向下平移4个单位得到直线l：，则它与抛物线的交点就是满足条件的点P，
（将直线向上平移4个单位得到直线，它与抛物线没有交点）
令，解得：，，
当时，；当时，，
点P的坐标为或；
②如图，过点P作y轴的平行线与交于点Q，
设点，则点，
，
轴，
，
，
，
的最大值为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）①由可知点P到直线的距离是点D到直线距离的2倍，求出直线BC为y=-x+3，过点D作的平行线与y轴交于点M，可求直线MD解析式为y=-x+5，可得直线可看作是将直线向上平移2个单位得到，将直线向下平移4个单位得到直线l，则它与抛物线的交点就是满足条件的点P， 联立与为方程组并解之，即得点P坐标； ②过点P作y轴的平行线与交于点Q，设点，则点， 可得PQ=-x2+3x，由平行线可证△OCE∽△PQE，可得，利用二次函数的性质即可求解.
18．【答案】（1）解：将，代入中，
，
解得：，
，
当时，，
解得：，
；
（2）解：，
当时，；
，
过点A作的角平分线交于y轴于F，
过点F作垂直交于G，如下图：
，
设，则，
，
即，
解得：，
，
，
，
当点P到第一象限中，
，
解得：（舍去），
，
，
当点P到第四象限中，
，
解得：（舍去），
，
，
故若，点P的坐标为或；
（3）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（3）由题意得出，
，
，
，
设，则，
，
，
解得：（舍去），
故.
【分析】（1）将B（4，0）、C（0，-4）代入求出b、c的值，据此可得抛物线的解析式，令y=0，求出x的值，可得点A的坐标；
（2）易得C（0，-4），过点A作∠BAC的角平分线交于y轴于F，过点F作垂直AC交于G，由勾股定理可得AC的值，设OF=x，则GF=x，根据三角形的面积公式结合面积间的和差关系可得x的值，求出tan∠BAC、tan∠OAF的值，推出∠PAB=∠BAC，然后分点P到第一象限、第四象限中，利用三角函数的概念求出x的值，代入抛物线解析式中求出y的值，据此可得点P的坐标；
（3）由题意得出∠COD=∠BED=90°，∠ODC=∠EDB，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△ODC∽△EDB，根据S△OCD=4S△BED可得，设OD=x，则BD=4-x，根据勾股定理可得CD，由CD=2DB可得x的值，进而可得点D的坐标.
19．【答案】（1）解：当时，，
∴，
则，
∵，
∴，
则，
将点代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：如图2：过点T作轴，垂足是M.
设，
∵，
∴点T只能在点B的左边，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
当
解得：或（舍），
此时，
即点，
当时，
解得：或（舍），
此时，
即点，
综上，点或；
（3）
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）解：∵点D的运动轨迹在以点C为圆心，CO长为半径的弧上，点P是△CDH的内心，
∴，
∴点P的运动轨迹是以OC为弦的圆上的一段劣弧，
∵，
∴点Q的纵坐标为2，
取CO得中点E，则，
当点P在CO的垂直平分线上时，
此时点Q、点E、点P三点共线，
如图3：过点P分别作，垂足是F，，垂足是G.
∵点P为的内心，，
∴，
∵点P为的内心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
在中，
根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
∴，
设的半径为r，
∴，
在中，
根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
∴，
∴点Q的坐标为，
如图4：当点Q、点P、点B共线时，BP最短.
∵，
∴，
∴此时，
故当点Q、点P、点B共线时，BP最短为.
【分析】（1）求出当x=0时的函数值可得点C的坐标，根据OC=OB=2OA，可得点A、B的坐标，进而利用待定系数法可求出抛物线的解析式；
（2） 过点T作TM⊥x轴，垂足是M，根据抛物线上点的坐标特点设 ，根据∠TBA=∠ACO得出点T只能在点B的左边， 根据两点间的距离公式表示出TM，由等角的同名三角函数值相等并结合正切函数的定义可得 ，求解并检验得出a的值，从而得出点T的坐标；
（3）先分析出点P的运动轨迹是以OC为弦的圆上的一段劣弧，求出点Q的坐标，当点Q、点P、点B共线时，BP最短，据此求解即可.
20．【答案】（1）解：设y＝a（x-2）（x+4），
把C（0，-3）代入得：，
∴，
∴；
（2）解：如图，延长PE交x轴于点F，
设点，△PDE的周长是l，
∵B（-4，0），C（0，-3），
∴OB=4，OC=3，
∵BC＝5，
∴△BOC的周长是12，
设直线BC的解析式为，
把B（-4，0），C（0，-3），代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式是：，
∴E（x，-x-3），
∴PE＝（-x-3）-（x2+x-3）＝-x2-x，
∵PD⊥BC，
∴∠PDE＝∠BOC＝90°，
∵PE∥y轴，
∴∠PED＝∠BEF=∠BCO，
∴△PDE∽△BOC，
∴，
∴＝，
∴l＝-（x+2）2+，
∴当x＝-2时，l最大＝，即△PDE周长的最大值为，
当x＝-2时，y＝×（-2+4）×（-2-2）＝-3，
∴P（-2，-3）；
（3）解：存在，F（-3，2）或（-3，-2）或（-3，1）或（-3，-7）或（-3，-）.
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（3）如图2，设原抛物线的顶点为M，平移后的抛物线的顶点为N，连接MN，
∵y＝x2+x-3＝（x+1）2-，
∴M（-1，-），
设直线AC的解析式为，
把点A（2，0），C（0，-3），代入得：
，解得：，
∴直线AC的解析式为，
∵MN∥AC，
∴可设直线MN的解析式为，
把点M（-1，-），代入得：
，解得：，
∴直线MN的解析式为y＝x-，
设点，
∴新抛物线解析式是y＝（x-m）2+m-，
∵平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，
∴m2m-＝-3，
∴m＝-3或m＝-1（舍去），
∴新抛物线对称轴是x＝-3，
∴设点F（-3，n），
当BF＝BC＝5时，
1+n2＝25，
∴n＝±2，
当CF＝BC＝5时，
9+（n+3）2＝25，
∴n＝1或n＝-7，
当FB＝FC时，
1+n2＝9+（n+3）2，
∴n＝-，
∴F（-3，2）或（-3，-2）或（-3，1）或（-3，-7）或（-3，-）.
【分析】（1）此题给出了抛物线与x轴两交点的坐标，故设出交点式，再代入点C的坐标可求出二次项的系数a的值，从而就求出了抛物线的解析式；
（2） 延长PE交x轴于点F， 根据抛物线上点的坐标特点，设 点，△PDE的周长是l ；先算出△BOC的周长，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，根据直线上的点的坐标特点设 E（x，-x-3）， 根据两点间的距离公式表示出PE，接着证明△PDE∽△BOC， 根据相似三角形周长的比等于相似比建立出i关于x的函数关系式，进而根据所得函数的性质即可解决问题；
（3）设原抛物线的顶点为M，平移后的抛物线的顶点为N，连接MN，将原抛物线解析式配成顶点式得出顶点M的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据互相平行直线的k值相同，利用待定系数法求出直线MN的解析式，根据直线上的点的坐标特点设，从而可表示出平移后新抛物线的解析式，由于平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，故将点C的坐标代入可得关于字母m的方程，求解可得m的值，得出新抛物线的对称轴直线，设点F（-3，n），然后分当BF＝BC＝5时，当CF＝BC＝5时，当FB＝FC时，三种情况建立方程，求解即可.
21．【答案】（1）解：①（1，0）；
②∵抛物线过，，
∴可设抛物线解析式为，
又∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设，
四边形面积
，
当时，四边形面积有最大值，
，
∴；
（3）解：存在，点M的坐标为或或或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：(1)①，
当时，，当时，，
∴，，
由抛物线的对称性可知：点A与点B关于对称，
∴点B的坐标为.
(3)在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如下图：
当M点与C点重合，即时，；
根据抛物线的对称性，当时，；
当点M在第四象限时，设，则，
∴，，
当时，，即，
整理得：，
解得：（舍），，
∴；
当时，，即，
整理得：，
解得：（舍），，
∴.
综上所述：存在，点M的坐标为或或或，使得以点A、M、N为顶点的三角形与相似.
【分析】（1）①分别令x=0、y=0，求出y、x的值，得到点A、C的坐标，由抛物线的对称性可知：点A与点B关于对称，据此可得点B的坐标；
②将A、B、C的坐标代入y=ax2+bx+c中求出a、b、c的值，得到抛物线的解析式；
（2）设E（m，m2-m+2），根据面积公式表示出四边形AGCE的面积，然后根据二次函数的性质可得面积的最大值以及对应的m的值，进而可得点E的坐标；
（3）根据三角函数的概念求出tan∠CAO、tan∠BCO的值，得到∠CAO=∠BCO，证明△ABC∽△ACO∽△CBO，当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△ABC；当点M在第四象限时，设M（n，n2-n+2），则N（n，0），表示出MN、AN，当时，，求解可得n的值，据此可得点M的坐标；当时，MN=2AN，代入求解可得n的值，据此可得点M的坐标.
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