备考2023年中考数学压轴题训练 ——二次函数（7）
一、真题
1．（2022·遂宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF周长的最小值；
（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标.
2．（2022·德阳）抛物线的解析式是 .直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 与直线上的点 关于 轴对称.
（1）如图①，求射线 的解析式；
（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线 有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（ ），求 的值；
（3）如图②，当抛物线经过点 时，分别与 轴交于 ， 两点，且点 在点 的左侧.在 轴上方的抛物线上有一动点 ，设射线 与直线 交于点 .求 的最大值.
3．（2022·自贡）已知二次函数 .
（1）若 ，且函数图象经过 ， 两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与 轴交点及顶点的坐标；
（2）在图①中画出⑴中函数的大致图象，并根据图象写出函数值 时自变量 的取值范围；
（3）若 且 ，一元二次方程 两根之差等于 ，函数 图象经过 两点，试比较 的大小 .
4．（2022·眉山）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为.
（1）求点的坐标；
（2）如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；
（3）如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
5．（2022·乐山）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且.
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图2，过点C作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连接PB、PC，若，求点P的坐标；
（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q.设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值.
6．（2022·广元）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C.
（1）求a，b满足的关系式及c的值；
（2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值；
（3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值.
7．（2022·达州）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象经过点 ， ，与y轴交于点C.
（1）求该二次函数的表达式；
（2）连接 ，在该二次函数图象上是否存在点P，使 ？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E.若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线 ， 分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中， 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
8．（2022·黔东南）如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
9．（2022·毕节）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为，抛物线的对称轴交直线于点E.
（1）求抛物线的表达式；
（2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求h的最大值；
（3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线上一点.是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
10．（2022·黔西）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2022·西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ ＋（m﹣1）x＋2m与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
（2）如图甲，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM＋OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图乙，过点P作PF⊥BC，垂足为F，过点C作CD⊥BC，交x轴于点D，连接DP交BC于点E，连接CP．设△PEF的面积为S1，△PEC的面积为S2，是否存在点P，使得最大，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
12．（2022·武威）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，点 在 轴上，且 ， ， 分别是线段 ， 上的动点（点 ， 不与点 ， ， 重合）.
（1）求此抛物线的表达式；
（2）连接 并延长交抛物线于点 ，当 轴，且 时，求 的长；
（3）连接 .
①如图2，将 沿 轴翻折得到 ，当点 在抛物线上时，求点 的坐标；
②如图3，连接 ，当 时，求 的最小值.
二、模拟预测
13．（2023·成都模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线与抛物线交于C，D两点（点D在第一象限）．
（1）如图，当点C与点A重合时，求抛物线的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，连接，点E在抛物线上，若，求出点E的坐标；
（3）将抛物线L向上平移1个单位得到抛物线，抛物线的顶点为P，直线与抛物线交于M，N两点，连接，若，求a的值．
14．（2023·内江模拟）如图，二次函数y＝-x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC，点D在函数图象上，CD∥x轴且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点.
（1）求b、c的值；
（2）如图1，连BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标；
（3）如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M、与抛物线交于点N.试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.
15．（2023·南充模拟） 抛物线经过、两点，且，直线过点，，点是线段不含端点上的动点，过作轴交抛物线于点，连接、.
（1）求抛物线与直线的解析式；
（2）求证：为定值；
（3）在第四象限内是否存在一点，使得以、、、为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
16．（2023·新都模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（-6，0），OA＝3OB＝ OC，D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D做DG⊥AC于G.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求△ACD面积的最大值；
（3）连接BC，是否存在点D，使得△CDG中有一个角与∠BCO相等？若存在，请求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由.
17．（2023·四川模拟）已知抛物线经过原点，交x轴于点A，抛物线上一点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，若，，P为上的一动点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）P在第一象限，且在抛物线内，设点P的横坐标为.
（ⅰ）若直线与抛物线交于点，作轴，求的值（用x的代数式表示）；
（ⅱ）F在y轴的正半轴上，且.连接，直线交x轴于点H，交y轴于点G，过点P作交x轴于点I，过点I作y轴的平行线交于点J，连接，过点I作，交于点Q，的角平分线交x轴于点M，过点M作，交于点L，过点L作于点N，若，求点P的坐标.
18．（2023·游仙模拟）抛物线与x轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线对称轴为，点是第一象限抛物线上动点，连接，.
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）如图1，连接，交于点，设的面积为，的面积为，求的最小值及此时点的坐标；
（3）如图2，设，在直线上方的抛物线上是否存在点，使得恰好等于，若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由.
19．（2022九下·凯里开学考）如图，在直角坐标系中，直线 与 轴、 轴的交点分别为 、 ，以 为对称轴的抛物线 与 轴分别交于点 、 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为 .设抛物线的对称轴 与 轴交于点 ，连接 ，交 于 ，求出当以 、 、 为顶点的三角形与 相似时点 的坐标；
（3）点 是对称轴上任意一点，在抛物线上是否存在点 ，使以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由.
20．（2023九上·安顺期末）如图，已知抛物线y＝+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点 E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，﹣3）.
∴
∴ ，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3
（2）解：如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2.
由对称性可知DE＝D1E，DF＝D2F，△DEF的周长＝D1E+EF+D2F，
∴当D1，E.F.D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵BC垂直平分DD2，且D（﹣2，0），
∴D2（1，﹣3），
∵D，D1关于x轴的长，
∴D1（0，2），
∴D1D2 ＝ ，
∴△DEF的周长的最小值为 .
（3）解：∵M到x轴距离为d，AB＝4，连接BM.
∴S△ABM＝2d，
又∵S△AMN＝2d，
∴S△ABM＝S△AMN，
∴B，N到AM的距离相等，
∵B，N在AM的同侧，
∴AM∥BN，
设直线BN的解析式为y＝kx+m，
则有
∴
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴设直线AM的解析式为y＝x+n，
∵A（﹣1，0），
∴直线AM的解析式为y＝x+1，
由 ，解得 或
∴M（4，5），
∵点N在射线BC上，
∴设N（t，t﹣3），
过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q.
∵A（﹣1，0），M（4，5），N（t，t﹣3），
∴AM＝5 ，AN＝
∵△AMN是等腰三角形，
当AM＝AN时，5 ＝ ，
解得t＝1± ，
当AM＝MN时，5 ＝ ，
解得t＝6± ，
当AN＝MN时， ＝ ，
解得t＝ ，
∵N在第一象限，
∴t＞3，
∴t的值为 ，1+ ，6+ ，
∴点N的坐标为（ ， ）或（1+ ，﹣2+ ）或（6+ ，3+ ）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）将A（-1，0），C（0，-3）代入y＝x2+bx+c中求出b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2，由对称性可知DE＝D1E，DF＝D2F，推出当D1、E、F、D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，令y=0，求出x的值，可得B（3，0），则OB＝OC＝3，推出△BOC是等腰直角三角形，易得D2（1，-3），D1（0，2），然后利用两点间距离公式进行计算即可；
（3）连接BM，则S△ABM＝S△AMN=2d，AM∥BN，求出直线BC、AM的解析式，联立直线AM的解析式与抛物线解析式求出x、y，可得点M的坐标，设N（t，t-3），过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q，根据两点间距离公式表示出AM、AN、MN，然后分AM＝AN、AM＝MN、AN＝MN，求出t的值，结合点N在第一象限可得t>3，据此解答.
2．【答案】（1）解：∵直线 与坐标轴交于点M、E，
∴令x=0时，y=2；令y=0时，x=2，
∴M点坐标为(2，0)，E点坐标为(0，2)，
∵G(5 -3)，且点G、F关于x轴对称，
∴F(5，3)，
设射线MF的解析式为 ， ，
∵M点坐标为(2，0)，F(5，3)，
∴ ，解得： ，
∴射线MF的解析式为 ，
（2）解：根据题意可知射线ME的解析式为： ， ，
在（1）中已求得射线MF的解析式为 ， ，
∵ 的对称轴为x=2，
又∵M点(2，0)，
∴M点刚好在 对称轴为x=2上，
∴抛物线 与折线EMF的两个交点，必然是一个点落在射线ME上，一个点落在射线MF，
∵ ，
∴此时交点的坐标为 、 ，且 、 ，
∵ 、 在抛物线 上，
∴ ，
由①-②，得： ，
整理得：
∵ 、 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵抛物线 过点C(0，5)，
∴代入C点坐标可得a=5，
∴抛物线解析式为 ，
令y=0，得 ，
解得： ， ，
∴A点坐标(-1，0)、B点坐标为(5，0)，
∵P点在抛物线 上，
∴设P点坐标为 ，
显然A、P不重合，即a≠-1，
∵P点在x轴上方，
∴ ，
设直线AP的解析式为 ，
∴即有 ，解得 ，
即直线AP的解析式为： ，
联立 ，解得 ，
∴N点坐标为 ，
∵P点坐标为 ，A点坐标(-1，0)，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，且通过图象可知，只有当P点在直线ME上方时， 的值才有可能取得最大值，
∴ ，即 ，
∴即有 ，
∴ ，
∴当 时， 取的最大值，且最大值为： ，
即 的最大值为 .
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；偶次方的非负性；二次函数与一次函数的综合应用；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）分别令y=-x+2中的x=0、y=0，求出y、x的值，可得点M、E的坐标，根据点G、F关于x轴对称可得F(5，3)，设射线MF的解析式为y=kx+b（x≥2），将M、F的坐标代入求出k、b的值，据此可得射线MF的解析式；
（2）根据题意可知射线ME的解析式为y=-x+2（x≤2），根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=2，易得抛物线与折线EMF的两个交点，必然是一个点落在射线ME上，一个点落在射线MF，则交点坐标为（x1，-x1+2）、（x2，x2-2），代入抛物线解析式中并化简可得(x1-x2-1)[4-(x1+x2)]=0，据此解答；
（3）将C（0，5）代入y=-x2+4x+a中可得a的值，据此可得抛物线的解析式，令y=0，求出x的值，可得点A、B的坐标，设P（a，-a2+4a+5），表示出直线AP的解析式，联立y=-x+2求出x、y，可得点N的坐标，根据两点间距离公式表示出AN2、PN2，然后表示出，推出只有当P点在直线ME上方时，的值才有可能取得最大值，则-x2+4x+5>-x+2，即有-a2+5a+3>0，然后结合偶次幂的非负性进行解答.
3．【答案】（1）解：∵ ，且函数图象经过 ， 两点
∴
解之：
∴二次函数解析式为y=-x2-2x+3.
当y=0时-x2-2x+3=0
解之：x1=-3，x2=1
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-3，0），（1，0）；
∵y=-（x+1）2-4
∴抛物线的顶点坐标为（-1，4）.
（2）解：图象如下
当y=3时-x2-2x+3=3
解之：x1=0，x2=-2
由图象可知当-2≤x≤0时y≥3.
（3）解：∵a+b+c=0且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，-b=a+c，且一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为x=1，
∵一元二次方程ax2+bx+c=0两根之差等于a-c，
∵，
∴方程的另一个根为x2=1+c-a，
∴抛物线的对称轴为直线
∴-b=2a+ac-a2，
∴a+c=2a+ac-a2，
∴a+ac-c-a2=0
∴（a-1）（a-c）=0
∴a=1或a=c
∴b=-1-c；
∴y=x2-（1+c）x+c；
∵ 函数 图象经过 两点
∴
∴
∴y1＜y2.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）将a=-1和点（0，3），（2，-5）代入函数解析式，可求出b，c的值，可得到抛物线的解析式；由y=0，建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到抛物线与x轴的交点坐标；再将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标.
（2）利用抛物线的顶点坐标及点（-3，0），（1，0），画出函数图象；再求出当y=3时的x的值；结合函数图象可得到当y≥3时的x的取值范围.
（3）由已知可得到-b=a+c，同时可知此方程有一根为x=1，利用一元二次方程ax2+bx+c=0两根之差等于a-c，可得到方程的另一个根为x2=1+c-a，利用抛物线的对称轴可得到方程，解方程求出a的值，从而可表示出b；可将函数解析式转化为y=x2-（1+c）x+c；再将点P和点Q的坐标代入，可得到y1，y2，然后求出y2-y1的值，根据其值可得到它们的大小关系.
4．【答案】（1）解：∵点在抛物线的图象上，
∴
∴，
∴点的坐标为；
（2）解：过作于点，过点作轴交于点，如图：
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当最大时，最大，
设直线解析式为，
将代入得，
∴，
∴直线解析式为，
设，，则，
∴，
∵，
∴当时，最大为，
∴此时最大为，即点到直线的距离值最大；
（3）解：存在.点的坐标为：或（3，-16）或.
【知识点】二次函数的最值；平行四边形的性质；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（3）存在.
∵
∴抛物线的对称轴为直线，
设点N的坐标为（-2，m），点M的坐标为（x，）
分三种情况：①当AC为平行四边形ANMC的边时，如图，
∵A（-5，0），C（0，5），
∴，即
解得，x=3.
∴
∴点M的坐标为（3，-16）
②当AC为平行四边形AMNC的边长时，如图，
方法同①可得，，
∴
∴点M的坐标为（-7，-16）；
③当AC为对角线时，如图，
∵A（-5，0），C（0，5），
∴线段AC的中点H的坐标为，即H（）
∴，解得，。
∴
∴点M的坐标为（-3，8）
综上，点的坐标为：或（3，-16）或.
【分析】（1）将A（-5，0）代入y=-x2-4x+c中可求出c的值，据此可得点C的坐标；
（2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，根据点A、C的坐标可得OA=OC，推出△AOC是等腰直角三角形，得到∠CAO=45°，易得△PHE是等腰直角三角形，则PE=，求出直线AC的解析式，设P（m，-m2-4m+5），则H（m，m+5），表示出PH，结合二次函数的性质可得PH的最大值，进而可得PE的最大值；
（3）根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=-2，设N（-2，m），M（x，-x2-4x+5），然后分①AC为平行四边形ANMC的边，②AC为平行四边形AMNC的边，③AC为对角线，结合中点坐标公式求出x的值，据此可得点M的坐标.
5．【答案】（1）解：∵A（-1，0），
∴OA=1，
又∵∠AOC=90°，tan∠OAC=，
∴OC=2OA=2即点C的坐标为（0，-2），
设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-2），
将C点坐标代入得：a=1，
∴y=（x+1）（x-2）=；
（2）解：设点P（a，），如图所示，当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E，
∵B（2，0），C（0，-2），
∴直线BC的解析式为：y=x-2，
∴当时，x=y+2=，
∴PE==，
∴S△PBC=PE·OC，
∵抛物线的对称轴为y=，CD∥x轴，C（0，-2），
∴点D（1，-2），
∴CD=1，
∴S△BCD=CD·OC，
∴PE·OC=CD·OC，
∴a2-2a=1，
解得a1=1+（舍去），a2=1-；
当x=1-时，y==a-1=-，
∴P（1-，-），
如图，当点P在第一象限时，作PE⊥x轴于点E，交直线BC于F，
∴F（a，a-2），
∴PF=（）-（a-2）=，
∴S△PBC=PF·OB=CD·OC，
∴=1，
解得a1=1+，a2=1-（舍去）；
当a=1+时，y==，
∴P（1+，），
综上所述，P点坐标为（1+）或（1-）；
（3）解：如图，作PN⊥AB于N，交BC于M，
由题意可知，P（t，），M（t，t-2），
∴PM=（t-2）-（）=-，
又∵PN∥OC，
∴△PQM∽△OQC，
∴+，
∴当t=1时，()最大=.
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1） 根据点A的坐标可得OA=1，根据三角函数的概念可得OC=2OA=2，则C（0，-2），设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-2)，将点C的坐标代入求出a的值，据此可得二次函数的解析式；
（2）设P（a，a2-a-2），当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E，求出直线BC的解析式，令y=a2-a-2，得x=a2-a，则PE=a2-2a，S△PBC=PE·OC，易得S△BCD=CD·OC，结合S△PBC=S△BCD可求出a的值，据此可得点P的坐标；当点P在第一象限时，作PE⊥x轴于点E，交直线BC于F，则F（a，a-2），PF=a2-2a，S△PBC=PF·OB=CD·OC，求解可得a的值，进而可得点P的坐标；
（3）作PN⊥AB于N，交BC于M，由题意可知：P（t，t2-t-2），M（t，t-2），PM=-t2+2t，证明△PQM∽△OQC，然后根据相似三角形的性质以及二次函数的性质进行解答.
6．【答案】（1）解：∵直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(0，-2)，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，
∴，
∴2a=b+1，c=-2；
（2）解：当a=时，则b=-，
∴抛物线的解析式为y=x2-x-2，
抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点A的坐标为(-2，0)，
∴点C的坐标为(4，0) ，
△PAB的周长为：PB+PA+AB，且AB是定值，
∴当PB+PA最小时，△PAB的周长最小，
∵点A、C关于直线x=1对称，
∴连接BC交直线x=1于点P，此时PB+PA值最小，
∵AP=CP，
∴△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，
∵A（-2，0），B（0，-2），C（4，0），
∴OA=2，OB=2，OC=4，
由勾股定理得BC=2，AB=2，
∴△PAB的周长最小值是：2+2.
（3）解：当a=1时，b=1，
∴抛物线的解析式为y=x2+x-2，
过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，
∵A（-2，0），B（0，-2），
∴OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∵QD⊥AB，
∴∠AEF=∠QED=∠EQD=45°，
∴QD=ED=EQ，
设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），
∴QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t，
∴DQ=QE=-(t2+2t)= -(t+1)2+，
当t=-1时，DQ有最大值，此时Q（-1，-2）.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）令y=-x-2中的x=0、y=0，求出y、x的值，可得点A、B的坐标，然后代入y=ax2+bx+c中就可得到a，b满足的关系式及c的值；
（2）当a=时，则b=-，则抛物线的解析式为y=x2-x-2，对称轴为直线x=1，结合对称性可得C(4，0) ，△PAB的周长为PB+PA+AB，且AB是定值，故当PB+PA最小时，△PAB的周长最小，连接BC交直线x=1于点P，此时PB+PA值最小，△PAB的周长的最小值为BC+AB，根据点A、B、C的坐标可得OA、OB、OC的值，利用勾股定理求出BC、AB，据此解答；
（3）当a=1时，b=1，则抛物线的解析式为y=x2+x-2，过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E， 易得△OAB为等腰直角三角形，∠AEF=∠QED=∠EQD=45°，QD=ED=EQ，设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2）， 表示出DQ，然后结合二次函数的性质可得DQ的最大值以及对应的点Q的坐标.
7．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（-1，0），B（3，0），
∴2=-，-3=，
∴a=-，b=，
∴二次函数的表达式为y=-x2+x+2.
（2）解：存在，理由如下：设CP交x轴于点D，
①如图，当点P在BC上方时，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴CP∥AB，
∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，
∵C（0，2），抛物线的对称轴为x=1，
∴P（2，2）；
②如图，当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（d，0），
∴OD＝d，DB＝3-d，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴CD＝BD＝3-d，
在Rt△COD中，OC2+OD2＝CD2，即22+d2＝（3-d）2，
解得：d=，
∴D（，0），
设直线CD的解析式为y=kx+2（k≠0），
∴=-，
∴k=-，
∴yCD=-x+2，
∴-x+2=-x2+x+2，
整理，解得：x=0（舍去）或x=，
∴P（，-），
综上所述，存在点P（2，2）或（，-）使得∠PCB＝∠ABC.
（3）解：∵抛物线的对称轴为x=1，
∴E（1，0），
设Q（m，-m2+m+2），-1＜m＜3，
设直线AQ的解析式为y=k'x+b'，
∴0=-k'+b'，-m2+m+2=mk'+b'，
整理，解得：k'=-m+2，b'=- m+2，
∴yAQ=（- m+2）x- m+2，
∴M（1，- m+4），
同理求得直线BQ的解析式为y=（- m- ）x+ 2 m+2，
∴N（1， m+），
∴EM=- m+4，EN= m+，
∴EM+EN=- m+4+m+=，
∴EM+EN的值为定值.
【知识点】平行线的性质；勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解，即把点A（-1，0），B（3，0）代入抛物线表达式，求得a和b的值，即可求得二次函数的表达式；
（2）分两种情况：①当点P在BC上方时，利用平行线性质及抛物线的对称性求出P点坐标；②当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（d，0），表示出CD＝BD＝3-d，再由勾股定理得OC2+OD2＝CD2，即22+d2＝（3-d）2，解得d值并求得D（，0），再利用待定系数法求出直线CD的解析式，再与抛物线解析式联立方程，即可求得P点坐标；
（3）设Q（m，-m2+m+2），-1＜m＜3，直线AQ的解析式为y=k'x+b'，利用待定系数法求得直线AQ的解析式，即得M（1，-m+4），同理求得直线BQ的解析式为y=（-m- ）x+ 2 m+2，即得N（1， m+），分别表示出EM=- m+4，EN= m+，再求和即可得出EM+EN的值为定值.
8．【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，解得：a=-1，
∵抛物线过点，
∴，解得：c=3，
∴抛物线解析式为
（2）解：存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形.理由如下：
令y=0，则，
解得：，
∴点A的坐标为（-1，0），
∴OA=1，
当x=0时，y=3，
∴点C的坐标为（0，3），即OC=3，
∴，
设直线BC的解析式为，
把点B（3，0），C（0，3）代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
设点N（m，-m+3），
∴MN=-m+3，AM=m+1，
∴，，
当AC=AN时，，
解得：m=2或0（舍去），
∴此时点N（2，1）；
当AC=CN时，，
解得：或（舍去），
∴此时点N；
当AN=CN时，，
解得：，
∴此时点N；
综上所述，存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形；
（3）解：存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】(3)解：存在，理由如下：
∵点B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC，
∴BC，
设点E（1，n），点F（s，t），
当BC为边时，点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到点B，同样E（F）向右平移3个单位向下平移3个单位得到点F（E），且BE=CF（CE=BF），如图，
∴或，
解得：或，
∴此时点F的坐标为（4，1）或（-2，1）；
当BC为对角线时，BC=EF，且EF与BC的中点重合，如图，
，解得：或，
∴此时点F的坐标为或；
综上所述，存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或.
【分析】（1）利用抛物线的对称轴为直线x=1，可求出a的值，再将点B的坐标代入函数解析式，可求出c的值，即可得到抛物线的解析式.
（2）利用二次函数解析式，由y=0求出对应的x的值，可得到点A的坐标，同时求出OA的长，由x=0求出对应的y的值，可得到点C的值，即可求出OC的长；利用勾股定理求出AC2；利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，设点N（m，-m+3），分别表示出MN，AM，AN2，CN2；利用等腰三角形的定义再分情况讨论： 当AC=AN时；当AC=CN时；当AN=CN时，分别得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到符合题意的点N的坐标.
（3）由点B，C的坐标可证得OB=OC，利用勾股定理求出BC的长，设点E（1，n），点F（s，t），分情况讨论：当BC为边时，点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到点B，同样E（F）向右平移3个单位向下平移3个单位得到点F（E），且BE=CF（CE=BF），可得到关于n，s，t的方程组，解方程组求出n，s，t的值，可得到符合题意的点F的坐标；当BC为对角线时，BC=EF，且EF与BC的中点重合，利用中点坐标及勾股定理可得到关于n，s，t的方程组，解方程组求出n，s，t的值，可得到符合题意的点F的坐标；综上所述可得到点F的坐标.
9．【答案】（1）解：由可知，
解得：，
∴
（2）解：分别令中，得，，；
设BC的表达式为：，
将，代入得，
解得：；
∴BC的表达式为：；
抛物线平移后的表达式为：，
根据题意得，，即，
∵该抛物线与直线始终有交点，
∴，
∴，
∴h的最大值为
（3）解：存在，理由如下：
将代入中得，
∵四边形DEMN是平行四边形，
∴
设，
当时，解得：（舍去），
∴
当时，解得：，
∴或，
综上，点N的坐标为：或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用抛物线的顶点式，可得到关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值，可得到抛物线的解析式；或利用抛物线的顶点式，代入顶点坐标可求出抛物线的解析式.
（2）利用抛物线的解析式，由y=0求出对应的x的值，由x=0求出对应的y的值，可得到点B，C的坐标；再利用待定系数法求出直线BC的函数解析式；再利用已知条件把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h，可得到平移后的抛物线的解析式，将其与直线BC联立方程组，可得到关于x的一元二次方程，由平移后的抛物线与直线BC始终有交点，可得到b2-4ac≥0，可得到关于h的不等式，然后求出不等式的解集的最大值即可.
（3）将x=2代入一次函数解析式，可求出对应的y的值，可得到点E的坐标；利用平行四边形的性质：对边平行且相等，可得到DE∥MN，DE=MN，利用函数解析式设点M（m，-m2+4m-3），N（m，m-3），利用利用DE=MN，可得到两个关于m的方程，解方程求出m的值可得到符合题意的m的值，然后求出点N的坐标.
10．【答案】（1）解：∵抛物线过点，∴，解得，∴抛物线的表达式为．
（2）解：设直线AB的解析式为：，∵直线AB经过，，∴，∴，∴直线AB的表达式为．
∵轴，可设，，其中．当M在N点上方时，．解得，（舍去）．∴．当M在N点下方时， ．解得，．∴，．综上所述，满足条件的点M的坐标有三个，，．
（3）解：解：(3)存在．满足条件的点Q的坐标有4个．，，，．理由如下：①如图，若AC是四边形的边．
当时，∴拋物线的对称轴与直线AB相交于点．过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点，，∵，，∴，，．∵，∴．∴．∴点与点D重合．当时，四边形是矩形．∵向右平移1个单位，向上平移1个单位得到．∴向右平移1个单位，向上平移1个单位得到．此时直线的解析式为．∵直线与平行且过点，∴直线的解析式为．∵点是直线与拋物线的交点，∴．解得，（舍去）．∴．当时，四边形是矩形．∵向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．∴向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．②如图，若AC是四边形的对角线，
当时．过点作轴，垂足为H，过点C作，垂足为K．可得，．∴．∴．∴．∵点P不与点A，C重合，∴和．∴．∴．∴如图，满足条件的点P有两个．即，．
当时，四边形是矩形．∵向左平移个单位，向下平移个单位得到．∴向左平移个单位，向下平移个单位得到．当时，四边形是矩形．∵向右平移个单位，向上平移个单位得到．∴向右平移个单位，向上平移个单位得到．综上，满足条件的点Q的坐标为或或或
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点A，O的坐标代入函数解析式，可求出b，c的长，可得到二次函数解析式.
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A，B的坐标代入，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的长，可得到直线AB的函数解析式；利用MN∥y轴，根据两函数解析式设，，其中；分情况讨论：当M在N点上方时，利用MN=2，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到点M的坐标；当点M在点的下方时，利用MN=2，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到点M的坐标；综上所述可得到符合题意的点M的坐标.
（3）分情况讨论：①如图，若AC是四边形的边，将x=2代入函数解析式求出对应的y的值，可得到点R的坐标，过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点P1，P2，利用点C，D的坐标求出CD，CR，RD的长；可证得点P1和点D重合，当CP1∥AQ1，CP1=AQ1时，四边形ACP1Q1是矩形，利用点的坐标平移可得到点P1，Q1的坐标，同时可求出直线P1C，直线P2A的函数解析式，将直线P2A和抛物线联立方程组，解方程组，可得到点P2的坐标；当AC∥P2Q2，AC=P2Q2时，四边形ACQ2P2是矩形，将点A向左平移3个单位，向上平移3个单位得到定C的坐标，因此将点P2向3个单位，向上平移3个单位得到点Q2的坐标；②如图，若AC是四边形的对角线，当∠AP3C=90°，过点P3作P3H⊥x轴，过点C作CK⊥P3H，易证△P3CK∽△AP3H，利用相似三角形的对应边成比例，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，利用点P不与点A，C重合，可知t≠1，t≠4，可得到符合题意的t的值，即可得到点P的坐标；当点CP3∥AQ3，CP3=AQ3使四边形AP3CQ3是矩形，利用点的坐标平移，可得到点Q的坐标；当P4C∥AQ4，P4C=AQ4，四边形AP4CQ4是矩形，利用点的坐标平移，可得到点Q的坐标；综上所述可得到符合题意的点Q的坐标.
11．【答案】（1）解：将B（4，0）代入y＝﹣＋（m﹣1）x＋2m，
∴﹣8＋4（m﹣1）＋2m＝0，
解得m＝2，
∴y＝﹣＋x＋4；
A（﹣2，0）；C（0，4）
（2）解：存在点M使AM＋OM最小，理由如下：
作O点关于BC的对称点，连接A交BC于点M，连接B，
由对称性可知，OM＝M，
∴AM＋OM＝AM＋MA，
当A、M、三点共线时，AM＋OM有最小值，
∵B（4，0），C（0，4），
∴OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
由对称性可知∠BM＝45°，
∴B⊥BO，
∴（4，4），
设直线A的解析式为y＝kx＋b，
∴，
解得，
∴y＝x＋，
设直线BC的解析式为，
∴4＋4＝0，
∴＝﹣1，
∴y＝﹣x＋4，
联立方程组，
解得，
∴M（）；
（3）解：存在点P，使得最大，理由如下：
连接PB，过P点作PGy轴交CB于点G，
设P（t，﹣＋t＋4），则G（t，﹣t＋4），
∴PG＝﹣＋2t，
∵OB＝OC＝4，
∴BC＝4，
∴S△BCP＝×4×（﹣＋2t）＝﹣＋4t＝×4×PF，
∴PF＝﹣＋t，
∵CD⊥BC，PF⊥BC，
∴PFCD，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∵B、D两点关于y轴对称，
∴CD＝4，
∴＝﹣（﹣4t）＝﹣＋，
∵P点在第一象限内，
∴0＜t＜4，
∴当t＝2时，有最大值，
此时P（2，4）．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；二次函数的最值；轴对称的应用-最短距离问题；平行线分线段成比例；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
令y＝0，则﹣＋x＋4＝0，
解得x＝4或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0）；
【分析】（1）将B（4，0）代入y＝-x2＋(m-1)x＋2m 中可得m的值，进而可得抛物线的解析式，分别令x=0、y=0，求出y、x的值，可得点A、C的坐标；
（2）作O点关于BC的对称点O′，连接AO′交BC于点M，连接BO′，由对称性可知OM＝O′M，则AM＋OM＝AM＋O′MAO′，故当A、M、O′三点共线时，AM＋OM有最小值，根据点B、C的坐标可得OB＝OC，则∠CBO＝45°，由对称性可知∠O′BM＝45°，则O′（4，4），利用待定系数法求出直线AO′、BC的解析式， 联立求出x、y，据此可得点M的坐标；
（3）连接PB，过P点作PG∥y轴交CB于点G，设P（t，-t2＋t＋4），则G（t，-t＋4），表示出PG，根据三角形的面积公式可得S△BCP，然后表示出PF，根据平行线分线段成比例的性质可得＝，则＝，表示出，然后根据二次函数的性质进行解答.
12．【答案】（1）解：∵ 在抛物线 上，
∴ ，解得 ，
∴ ，即
（2）解：在 中，令 ，得 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
（3）解：①连接 交 于点 ，如图1所示：
∵ 与 关于 轴对称，
∴ ， ，
设 ，则 ，
，
∴ ，
∵点 在抛物线 上，
∴ ，
解得 （舍去）， ，
∴ ；
②在 下方作 且 ，连接 ， ，如图2所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 ， ， 三点共线时， 最小，最小为 ，
过 作 ，垂足为 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
， ，
，
∴
，
即 的最小值为 .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的性质；锐角三角函数的定义；二次函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）将B（4，0）代入求出a的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）易得A（-3，0）、C（0，4），则OA=3，根据三角函数的概念可得DE，由OE=OA-AE可得OE，进而得到点E的坐标，易得xP=xD=xE=-2，将x=-2代入抛物线解析式中求出y，据此可得PE，然后根据DP=DE+PE进行计算；
（3）①连接DG交AB于点M，根据轴对称的性质可得DG⊥AB，DM=GM，设OM=a，则AM=3-a，根据三角函数的概念可得MG，表示出点G的坐标，代入抛物线解析式中可得a的值，据此可得点G的坐标；
②在AB下方作 ∠EAQ=∠DCB且AQ=BC，连接EQ、CQ，易证△AEQ≌△CDB，得到EQ=BD，推出当C、E、Q三点共线时，BD+CE=EQ+CE最小，最小为CQ，过C作CH⊥AQ，垂足为H，易得∠CBA=45°，BC=，∠CAH=45°，利用勾股定理求出AC，根据等腰直角三角形的性质可得AH，由HQ=AH+AQ=AH+BC可得HQ，然后利用勾股定理计算即可.
13．【答案】（1）解：令，则，
解得，，
∴，，
将代入，解得，
∴，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：联立，解得， ，
∴，，
设直线的函数表达式为，
将 坐标代入得，，解得，
∴直线的函数表达式为：，
①当直线时，可以得到，
设直线的表达式为，
将，代入得：，解得，
∴直线的表达式为，
联立，解得，，
∴；
②如图1，过点D作轴于点F，则，，
∴，
如图，记，连接，则，
∴，
∴，
∴直线与抛物线的交点即为点E，
设直线的函数关系式为，
将代入得，，解得，
∴直线的函数关系式为，
联立，解得，，
∴；
综上所述，，；
（3）解：由题意得，抛物线，直线，
设抛物线与直线两个交点M，N的坐标分别为，，
联立，得：，
∴，，，，P点坐标为，
如图2，过点M，N分别作过点P的水平线的垂线，垂足分别为G，H，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
不妨设，则；即，
将，，；，，代入整理得，
解得，（不合题意，舍去），
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；两一次函数图象相交或平行问题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）令抛物线解析式中的y=0，求出x的值，可得点A、B的坐标，然后将点A的坐标代入y=ax+1中求出a的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）联立抛物线与一次函数解析式求出x、y的值，可得点A、D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，①当直线AE∥BD时，设直线AE的表达式为y=5x+m，将点A坐标代入求出m的值，得到直线AE的解析式，联立抛物线解析式，求出x、y，可得点E的坐标；②过点D作DF⊥x轴于点F，则DF=AF=5，根据三角函数的概念求出tan∠BDF的值，得到∠ADF=∠DAF=45°，记G（4，1），连接AG，求出tan∠GAF的值，推出∠GAD=∠ADB，则直线AG与抛物线的交点即为点E，求出直线AG的解析式，联立抛物线解析式，求出x、y，据此可得点E的坐标；
（3）由题意得抛物线L1：y=ax2-2ax-3a+1，直线y=ax+1，设抛物线与直线两个交点M，N的坐标分别为M（x1，y1），N（x2，y2），联立并根据根与系数的关系可得x1+x2=3，x1x2=-3，y1+y2=3a+2，y1y2=-3a2+3a+1，P（1，1-4a），过点M，N分别作过点P的水平线的垂线，垂足分别为G，H，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△MPG∽△PNH，由相似三角形的性质可得MG·NH=PG·PH，不妨设m=1-4a，则(y1-m)(y2-m)=(1-x1)(x2-1)，即y1y2-m(y1+y2)+m2=-x1x2+(x1+x2)-1，代入求解可得a的值.
14．【答案】（1）解：∵CD∥x轴，CD＝2，
∴抛物线对称轴为x＝1.
∴-＝1，b＝2.
∵OB＝OC，C（0，c），
∴B点的坐标为（c，0），
∴0＝-c2+2c+c，解得c＝3或c＝0（舍去），
∴c＝3；
（2）解：设点F的坐标为（0，m）.
∵对称轴为直线x＝1，
∴点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）.
由（1）可知抛物线解析式为y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4，
∴E（1，4），
∵直线BE经过点B（3，0），E（1，4），
∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y＝-2x+6.
∵点F在BE上，
∴m＝-2×2+6＝2，即点F的坐标为（0，2）；
（3）解：存在点Q满足题意.
设点P坐标为（n，0），则PA＝n+1，PB＝PM＝3-n，PN＝-n2+2n+3.
作QR⊥PN，垂足为R，
∵S△PQN＝S△APM，
∴（n+1）（3-n）＝（-n2+2n+3） QR，
∴QR＝1.
①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n-1，-n2+4n），R点的坐标为（n，-n2+4n），N点的坐标为（n，-n2+2n+3）.
∴在Rt△QRN中，NQ2＝1+（2n-3）2，
∴n＝时，NQ取最小值1.此时Q点的坐标为（ ，）；
②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1，-n2+4）.
同理，NQ2＝1+（2n-1）2，
∴n＝时，NQ取最小值1.此时Q点的坐标为（，）.
综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为（，）或（，）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1） 由题意可得：抛物线对称轴为x＝-=1，则b=2，由已知条件可知OB＝OC，C（0，c），则B（c，0），代入y=-x2+2x+c中可求出c的值；
（2）设F（0，m），根据对称性可得点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m），根据抛物线的解析式可得顶点E（1，4），利用待定系数法求出直线BE的解析式，将F（0，m）代入求出m的值，进而可得点F的坐标；
（3）设P（n，0），则PA＝n+1，PB＝PM＝3-n，PN＝-n2+2n+3，作QR⊥PN，垂足为R，根据S△PQN＝S△APM以及三角形的面积公式可得QR＝1，①点Q在直线PN的左侧时，Q（n-1，-n2+4n），R（n，-n2+4n），N（n，-n2+2n+3），则NQ2＝1+(2n-3)2，据此不难得到NQ取得最小值时点Q的坐标；②点Q在直线PN的右侧时，同理解答即可.
15．【答案】（1）解：由题意得，点，，
将点的坐标代入得：，
解得：
抛物线的解析式为：；
设直线为，将点，的坐标代入得，
，解得：，
直线的解析式是：；
（2）证明：设点，，如图，过点作轴于点，
则，则，，，
为定值；
（3）解：存在，理由：
当是平行四边形的边时，
如下图：设直线交轴于点，交于点，
由的表达式知，，，
过点作于点，则，
则，
则以、、、为顶点的平行四边形面积，
其中为常数，
故当最大时，平行四边形的面积最大，
设点，则点，
则，
即的最大值为，此时点；
当是平行四边形的对角线时，如下图，
同理可得：以、、、为顶点的平行四边形面积，
此时，
当时，的值随最大而增大，而，
当时，最大值为，
故该种情况，不符合题设要求，
综上，点，即四边形为平行四边形时，符合题设要求，
设点，
由中点坐标公式得：，
解得：，
故点
【知识点】二次函数的最值；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用；平行四边形的面积；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）由题意可得A（4，0）、B（0，-4），将A（4，0）代入y=ax2-4中可求出a的值，据此可得抛物线的解析式，设直线CE的解析式为y=mx+n，将E（4，-1）、C（0，-3）代入求出m、n的值，据此可得直线CE的解析式；
（2）设P（t，t2-4），过P作PF⊥y轴于点F，则PF=t，FC=|t2-1|，PD=4-t2，PC=t2+1，据此求解；
（3）当CE是平行四边形的边时，设直线CE交x轴于点M，DP交CE于点H，过点P作PN⊥CE于点N，则∠NPD=∠OMC，由三角函数的概念可得PN=PH，则以C、P、E、Q为顶点的平行四边形面积=CE·PH，故当PH最大时，平行四边形的面积最大，设P（x，x2-4），则H（x，x-3），表示出PH，根据二次函数的性质可得PH的最大值以及对应的点P的坐标；当CE是平行四边形的对角线时，同理进行解答，设Q（s，t），由中点坐标公式可得s、t的值，进而可得点Q的坐标.
16．【答案】（1）解：∵OA＝3OB＝ OC＝6，
故点B（2，0）、点C（0，-4），
设抛物线的表达式为：y＝a（x-x1）（x-x2），
则y＝a（x+6）（x-2）＝a（x2+4x-12），
即-12a＝-4，
解得：a＝ ，
∴y＝ x2+ x-4
（2）解：过点D作DE⊥x轴于点E，交AC于点F.
∵A（-6，0），C（0，-4），
设直线AC的表达式为：y＝kx+b，
则 ，
解得： ，
则直线AC的表达式为：yAC＝- x-4，
设D（x， x2+ x-4），则F（x，- x-4），
则DF＝（- x-4）-（ x2+ x-4）＝- x-2x，
则S△ACD＝S△ADF+S△CDF＝ DF |xC-xA|＝ ×6×（- x-2x）＝-（x+3）2+9≤9，
∴当x＝-3时，△ACD面积的最大值为9；
（3）解：过点A作AC垂线交CD延长线于点Q，过点Q作QM⊥x轴于点M.
①当∠BCO＝∠DCG，即∠1＝∠2时，
∵∠5+∠6＝∠6+∠4＝90°，
∴∠5＝∠4，又∠QMA＝∠AOC＝90°，
∴△QMA∽△AOC，
∴
又tan∠2＝ ＝tan∠1＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴QM＝3，MA＝2，
∴Q（-8，-3）又C（0，-4），
∴直线QC的表达式：y＝- x-4，
联立得： ，
解得：x＝0或x＝- ，
∴x＝- ；
②当∠BCO＝∠CDG，即∠1＝∠3时，
由①可知△QMA∽△AOC，
∴
又∵DG⊥AC，QA⊥AC，
∴DG∥AQ，
∴∠3＝∠AQC，
∴tan∠AQC＝ ＝tan∠3＝tan∠1＝ ＝ ，
∴ ＝2，
∴QM＝12，MA＝8，
∴Q（-14，-12），
又∵C（0，-4），
∴直线QC的表达式：y＝ x-4，
联立得： ，
解得：x＝0或x＝- ，
∴x＝- ，
综上，存在，点D其横坐标为：- 或- .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1） 由OA＝3OB＝ OC 求出B、C坐标，再利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）过点D作DE⊥x轴于点E，交AC于点F，先求yAC＝- x-4， 设D（x， x2+ x-4），则F（x，- x-4）， 根据S△ACD＝S△ADF+S△CDF＝ DF |xC-xA|列出函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）过点A作AC垂线交CD延长线于点Q，过点Q作QM⊥x轴于点M，分两种情况： ①当∠BCO＝∠DCG，即∠1＝∠2， ②当∠BCO＝∠CDG，即∠1＝∠3时，据此分别解答即可.
17．【答案】（1）解：抛物线经过原点，
设抛物线的解析式为，
把，代入解析式，得，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：（ⅰ）直线与抛物线交于点，作轴，点P的横坐标为，
点P与点重合，
；
（ⅱ）过点P作轴于点T，交于点K，过点B作轴于点R，如图所示：
平分，，
，
，
，轴，
，
，
，
，
，
，，
，
，
又，，
，，
，
，
在y轴的正半轴上，且，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，，
，
，
令，则，
解得，即，
令，则，即，
，即，
即，
，
，
，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：，
把代入直线的解析式得，
点P的坐标为.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；待定系数法求二次函数解析式；平行线的性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由题意可设抛物线的解析式为y=ax2+bx，将A（10，0）、B（2，6）代入求出a、b的值，据此可得抛物线的解析式；
（2） （ⅰ）由题意可得点P与点D′重合，则PD′+2EP=2EP，据此求解；
（ⅱ）过点P作PT⊥x轴于点T，交CJ于点K，过点B作BR⊥x轴于点R，根据平行线的性质以及角平分线的概念可得∠LMI=∠CJM=∠MJI，推出LM=JL，由同角的余角相等可得∠NJL=∠MLI，利用AS证明△NJL≌△MLI，得到JN=LI，由线段的和差关系可得JI=IQ，则∠IJQ=∠IQJ，由平行线的性质可得∠KPJ=∠IJQ，∠KJP=∠IQJ，进而可推出CK=KJ=KP，易得∠ODC=∠PHC，结合三角函数的概念可得RH，表示出点H的坐标，然后利用待定系数法求出直线BP的解析式，联立直线解析式求出x、y的值，据此可得点P的坐标.
18．【答案】（1）解：∵与轴交于点，抛物线对称轴为，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∵抛物线与x轴分别交于，两点（点在点的左侧），
令，即，
解得：，
∴，
∵，设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：过点作轴交于点，
∴
∵，
∴
∴，
设，则的纵坐标为，
，
解得：，
∴
∴，
∴
∵，抛物线开口向下，有最大值，
当，时取得最大值，最大值为，
即的最小值为，此时；
（3）解：∵，
∴，
如图所示，取点，则，设交于点，过点作于点，延长交轴于点，
设直线的解析式为，
∴，解得：
∴直线的解析式为
则，
∴
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵
∴，
又∵
∴
∴
∴，
∴
设直线的解析式为，
∴
解得：，
∴直线的解析式为，
联立
解得：
∴
设直线的解析式为
则
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：（舍去）或
∴的横坐标为.
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点C的坐标代入抛物线可求出c的值，根据抛物线的对称轴直线公式可求出b的值，从而求出抛物线的解析式，令解析式找那个的y=0算出对应的x的值，可得点A、B的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式；
（2） 过点P作PN∥x轴交BC于点N， 易证△PMN∽△ABM，由同高三角形的面积之比等于底之比可得 ， 根据抛物线上点的坐标特点设 设，则的纵坐标为， 再结合直线上的点坐标特点可得 ，从而可得点N的坐标，从而即可得出关于 与t的函数关系式，进而根据所得函数的性质即可解决问题；
（3）易得BC=5， 取点D（9，0），则BC=BD，设DC、PB交于点F，过点F作FE⊥CB于点E，延长FE交y轴于点G，利用待定系数法求出直线CD的解析式，由等腰三角形的三线合一得CE=EB，证出△BCO∽△GCE，由相似三角形对应边成比例建立方程求出CG，从而得出点G的坐标，利用待定系数法求出直线GE的解析式，联立直线GE与CD的解析式组成的方程组可求出点F的坐标，利用待定系数法求出直线BF的解析式，再联立直线BF与抛物线的解析式，求解可得P点的横坐标.
19．【答案】（1）解：∵直线 与x轴交点为A，
∴点A的坐标为（﹣3，0），
∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴点C的坐标为（1，0），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、C，
∴抛物线为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3
（2）解：∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为x＝﹣1，
∴点D的坐标为（﹣1，0），
①当∠ADE＝90°时，△ADE∽△AOB.此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，坐标为（﹣1，4）；
②当∠AED＝90°时，△AED∽△AOB.
过点P作PG⊥AC于点G，则△AED∽△PGD.
于是 ，
∴PG＝3GD.
即：﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），
解得t1＝﹣2，t2＝3（不合题意，舍去）.
当t＝﹣2时，﹣22+2×2+3＝3，
所以此时点P的坐标为（﹣2，3）.
综上所述，点P的坐标是（﹣1，4）或（﹣2，3）；
（3）解：存在，点N的坐标分别是：N1（2，﹣5），N2（﹣4，﹣5），N3（﹣2，3）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；相似三角形的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（3）点N的坐标为：以线段AB为边时，N1（2，﹣5），N2（﹣4，﹣5），
以线段AB为对角线时，N3（﹣2，3）.
综上所述，点N的坐标分别是：N1（2，﹣5），N2（﹣4，﹣5），N3（﹣2，3）.
【分析】（1）根据直线方程易求点A的坐标，由抛物线的对称性可以求得点C的坐标，然后写出抛物线的交点式方程即可；
（2）需要分类讨论：①当∠ADE＝90°时，△ADE∽△AOB．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，坐标为（ 1，4）；
②当∠AED＝90°时，△AED∽△AOB．过点P作PG⊥AC于点G，则△AED∽△CGD．根据相似三角形的对应边成比例列出关于t的一元二次方程： t2＋2t＋3＝3（ 1 t），通过解该方程求得t的值；
（3）根据以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，分类讨论进行：①以AB为边时，点A与点N或点B与点N为对应顶点，再根据平行四边形性质，对角线互相平分，利用中点坐标公式即可求出符合条件的N坐标；②以AB为对角线时，点A与点B对应顶点，M和N为对应顶点，再根据平行四边形性质，对角线互相平分，利用中点坐标公式即可求出符合条件的N坐标，即可求解.
20．【答案】（1）解：∵y＝ x2+bx+c经过A（0，1），B（﹣9，10），
∴ ，
解得b＝2，c＝1，
∴抛物线的解析式是y＝ x2+2x+1，
故答案为：y＝ x2+2x+1；
（2）解：设直线AB的解析式为y＝mx+n，将A（0，1），B（﹣9，10）代入得： ，
解得m＝﹣1，n＝1，
∴AB解析式为y＝﹣x+1，
由 x2+2x+1＝1解得x1＝0，x2＝﹣6，
∴C（﹣6，1），AC＝6，
∵P在AC下方抛物线上，设P（t， t2+2t+1），
∴﹣6＜t＜0
∵过点P且与y轴平行的直线l与直线AB交于点E，
∴E（t，﹣t+1），
∴EP＝（﹣t+1）﹣（ t2+2t+1）＝﹣ t2﹣3t，
而四边形AECP的面积S四边形AECP＝S△EAC+S△PAC＝ AC EF+ AC PF＝ AC EP，
∴S四边形AECP＝ ×6×（﹣ t2﹣3t）＝﹣t2﹣9t＝﹣（t+ ）2+ ，
∵﹣6＜﹣ ＜0，
∴t＝﹣ 时，S四边形AECP最大为 ，此时 t2+2t+1＝ ×（﹣ ）2+2×（﹣ ）+1＝﹣ ，
故答案为：P（﹣ ，﹣ ）；
（3）解：∵抛物线y＝ x2+2x+1顶点为P，
∴P（﹣3，﹣2），
∵过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点 E、F，且AB解析式为y＝﹣x+1，
∴E（﹣3，4），F（﹣3，1），
而C（﹣6，1），A（0，1），B（﹣9，10），
∴CF＝FP＝EF＝FA＝3，AB＝9 ，CP＝3 ，
∴∠PCF＝∠CPF＝∠AEF＝∠EAF＝45°，
∴以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，∠PCQ与∠BAC为45°故对应，
设Q（k，1），则CQ＝k+6，分两种情况：
① 如答图1，△CPQ1∽△ABC，
则 可得 ，
解得k＝﹣4，此时Q1（﹣4，1），
②如答图2，△CQ2P∽△ABC，
则 可得 ，
解得k＝3，此时Q2（3，1），
综上所述，存在直线AC上的点Q，使以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，这种Q有两个，分别是Q1（﹣4，1）、Q2（3，1），
故答案为：存在直线AC上的点Q，使以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q坐标分别是Q1（﹣4，1）、Q2（3，1）．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标代入函数解析式，可得到关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值，可得到函数解析式.
（2）利用待定系数法求出直线AB的函数解析式，再利用二次函数解析式，由y=1，可求出对应得x的值，可得到点C及AC的长；根据点P在AC下方抛物线上，设P（t， t2+2t+1），同时可表示出点E的坐标，可得到EP的长；然后根据S四边形AECP＝S△EAC+S△PAC，利用三角形的面积公式，表示出S与t的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出点P的坐标及四边形AECP面积的最大值.
（3）利用两函数解析式，可得到点E，F的坐标，同时可求出CP，AB的长，可得到CF＝FP＝EF＝FA＝3，由此可推出∠PCF＝∠CPF＝∠AEF＝∠EAF＝45°，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，∠PCQ与∠BAC为45°故对应，设Q（k，1），则CQ＝k+6，分情况讨论：△CPQ1∽△ABC；△CQ2P∽△ABC；利用相似三角形的对应边成比例，可得到关于k的方程，解方程求出k的值，然后求出点Q的坐标.
1 / 1备考2023年中考数学压轴题训练 ——二次函数（7）
一、真题
1．（2022·遂宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF周长的最小值；
（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标.
【答案】（1）解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，﹣3）.
∴
∴ ，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3
（2）解：如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2.
由对称性可知DE＝D1E，DF＝D2F，△DEF的周长＝D1E+EF+D2F，
∴当D1，E.F.D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵BC垂直平分DD2，且D（﹣2，0），
∴D2（1，﹣3），
∵D，D1关于x轴的长，
∴D1（0，2），
∴D1D2 ＝ ，
∴△DEF的周长的最小值为 .
（3）解：∵M到x轴距离为d，AB＝4，连接BM.
∴S△ABM＝2d，
又∵S△AMN＝2d，
∴S△ABM＝S△AMN，
∴B，N到AM的距离相等，
∵B，N在AM的同侧，
∴AM∥BN，
设直线BN的解析式为y＝kx+m，
则有
∴
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴设直线AM的解析式为y＝x+n，
∵A（﹣1，0），
∴直线AM的解析式为y＝x+1，
由 ，解得 或
∴M（4，5），
∵点N在射线BC上，
∴设N（t，t﹣3），
过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q.
∵A（﹣1，0），M（4，5），N（t，t﹣3），
∴AM＝5 ，AN＝
∵△AMN是等腰三角形，
当AM＝AN时，5 ＝ ，
解得t＝1± ，
当AM＝MN时，5 ＝ ，
解得t＝6± ，
当AN＝MN时， ＝ ，
解得t＝ ，
∵N在第一象限，
∴t＞3，
∴t的值为 ，1+ ，6+ ，
∴点N的坐标为（ ， ）或（1+ ，﹣2+ ）或（6+ ，3+ ）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）将A（-1，0），C（0，-3）代入y＝x2+bx+c中求出b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2，由对称性可知DE＝D1E，DF＝D2F，推出当D1、E、F、D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，令y=0，求出x的值，可得B（3，0），则OB＝OC＝3，推出△BOC是等腰直角三角形，易得D2（1，-3），D1（0，2），然后利用两点间距离公式进行计算即可；
（3）连接BM，则S△ABM＝S△AMN=2d，AM∥BN，求出直线BC、AM的解析式，联立直线AM的解析式与抛物线解析式求出x、y，可得点M的坐标，设N（t，t-3），过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q，根据两点间距离公式表示出AM、AN、MN，然后分AM＝AN、AM＝MN、AN＝MN，求出t的值，结合点N在第一象限可得t>3，据此解答.
2．（2022·德阳）抛物线的解析式是 .直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 与直线上的点 关于 轴对称.
（1）如图①，求射线 的解析式；
（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线 有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（ ），求 的值；
（3）如图②，当抛物线经过点 时，分别与 轴交于 ， 两点，且点 在点 的左侧.在 轴上方的抛物线上有一动点 ，设射线 与直线 交于点 .求 的最大值.
【答案】（1）解：∵直线 与坐标轴交于点M、E，
∴令x=0时，y=2；令y=0时，x=2，
∴M点坐标为(2，0)，E点坐标为(0，2)，
∵G(5 -3)，且点G、F关于x轴对称，
∴F(5，3)，
设射线MF的解析式为 ， ，
∵M点坐标为(2，0)，F(5，3)，
∴ ，解得： ，
∴射线MF的解析式为 ，
（2）解：根据题意可知射线ME的解析式为： ， ，
在（1）中已求得射线MF的解析式为 ， ，
∵ 的对称轴为x=2，
又∵M点(2，0)，
∴M点刚好在 对称轴为x=2上，
∴抛物线 与折线EMF的两个交点，必然是一个点落在射线ME上，一个点落在射线MF，
∵ ，
∴此时交点的坐标为 、 ，且 、 ，
∵ 、 在抛物线 上，
∴ ，
由①-②，得： ，
整理得：
∵ 、 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵抛物线 过点C(0，5)，
∴代入C点坐标可得a=5，
∴抛物线解析式为 ，
令y=0，得 ，
解得： ， ，
∴A点坐标(-1，0)、B点坐标为(5，0)，
∵P点在抛物线 上，
∴设P点坐标为 ，
显然A、P不重合，即a≠-1，
∵P点在x轴上方，
∴ ，
设直线AP的解析式为 ，
∴即有 ，解得 ，
即直线AP的解析式为： ，
联立 ，解得 ，
∴N点坐标为 ，
∵P点坐标为 ，A点坐标(-1，0)，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，且通过图象可知，只有当P点在直线ME上方时， 的值才有可能取得最大值，
∴ ，即 ，
∴即有 ，
∴ ，
∴当 时， 取的最大值，且最大值为： ，
即 的最大值为 .
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；偶次方的非负性；二次函数与一次函数的综合应用；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）分别令y=-x+2中的x=0、y=0，求出y、x的值，可得点M、E的坐标，根据点G、F关于x轴对称可得F(5，3)，设射线MF的解析式为y=kx+b（x≥2），将M、F的坐标代入求出k、b的值，据此可得射线MF的解析式；
（2）根据题意可知射线ME的解析式为y=-x+2（x≤2），根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=2，易得抛物线与折线EMF的两个交点，必然是一个点落在射线ME上，一个点落在射线MF，则交点坐标为（x1，-x1+2）、（x2，x2-2），代入抛物线解析式中并化简可得(x1-x2-1)[4-(x1+x2)]=0，据此解答；
（3）将C（0，5）代入y=-x2+4x+a中可得a的值，据此可得抛物线的解析式，令y=0，求出x的值，可得点A、B的坐标，设P（a，-a2+4a+5），表示出直线AP的解析式，联立y=-x+2求出x、y，可得点N的坐标，根据两点间距离公式表示出AN2、PN2，然后表示出，推出只有当P点在直线ME上方时，的值才有可能取得最大值，则-x2+4x+5>-x+2，即有-a2+5a+3>0，然后结合偶次幂的非负性进行解答.
3．（2022·自贡）已知二次函数 .
（1）若 ，且函数图象经过 ， 两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与 轴交点及顶点的坐标；
（2）在图①中画出⑴中函数的大致图象，并根据图象写出函数值 时自变量 的取值范围；
（3）若 且 ，一元二次方程 两根之差等于 ，函数 图象经过 两点，试比较 的大小 .
【答案】（1）解：∵ ，且函数图象经过 ， 两点
∴
解之：
∴二次函数解析式为y=-x2-2x+3.
当y=0时-x2-2x+3=0
解之：x1=-3，x2=1
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-3，0），（1，0）；
∵y=-（x+1）2-4
∴抛物线的顶点坐标为（-1，4）.
（2）解：图象如下
当y=3时-x2-2x+3=3
解之：x1=0，x2=-2
由图象可知当-2≤x≤0时y≥3.
（3）解：∵a+b+c=0且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，-b=a+c，且一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为x=1，
∵一元二次方程ax2+bx+c=0两根之差等于a-c，
∵，
∴方程的另一个根为x2=1+c-a，
∴抛物线的对称轴为直线
∴-b=2a+ac-a2，
∴a+c=2a+ac-a2，
∴a+ac-c-a2=0
∴（a-1）（a-c）=0
∴a=1或a=c
∴b=-1-c；
∴y=x2-（1+c）x+c；
∵ 函数 图象经过 两点
∴
∴
∴y1＜y2.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）将a=-1和点（0，3），（2，-5）代入函数解析式，可求出b，c的值，可得到抛物线的解析式；由y=0，建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到抛物线与x轴的交点坐标；再将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标.
（2）利用抛物线的顶点坐标及点（-3，0），（1，0），画出函数图象；再求出当y=3时的x的值；结合函数图象可得到当y≥3时的x的取值范围.
（3）由已知可得到-b=a+c，同时可知此方程有一根为x=1，利用一元二次方程ax2+bx+c=0两根之差等于a-c，可得到方程的另一个根为x2=1+c-a，利用抛物线的对称轴可得到方程，解方程求出a的值，从而可表示出b；可将函数解析式转化为y=x2-（1+c）x+c；再将点P和点Q的坐标代入，可得到y1，y2，然后求出y2-y1的值，根据其值可得到它们的大小关系.
4．（2022·眉山）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为.
（1）求点的坐标；
（2）如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；
（3）如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵点在抛物线的图象上，
∴
∴，
∴点的坐标为；
（2）解：过作于点，过点作轴交于点，如图：
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当最大时，最大，
设直线解析式为，
将代入得，
∴，
∴直线解析式为，
设，，则，
∴，
∵，
∴当时，最大为，
∴此时最大为，即点到直线的距离值最大；
（3）解：存在.点的坐标为：或（3，-16）或.
【知识点】二次函数的最值；平行四边形的性质；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（3）存在.
∵
∴抛物线的对称轴为直线，
设点N的坐标为（-2，m），点M的坐标为（x，）
分三种情况：①当AC为平行四边形ANMC的边时，如图，
∵A（-5，0），C（0，5），
∴，即
解得，x=3.
∴
∴点M的坐标为（3，-16）
②当AC为平行四边形AMNC的边长时，如图，
方法同①可得，，
∴
∴点M的坐标为（-7，-16）；
③当AC为对角线时，如图，
∵A（-5，0），C（0，5），
∴线段AC的中点H的坐标为，即H（）
∴，解得，。
∴
∴点M的坐标为（-3，8）
综上，点的坐标为：或（3，-16）或.
【分析】（1）将A（-5，0）代入y=-x2-4x+c中可求出c的值，据此可得点C的坐标；
（2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，根据点A、C的坐标可得OA=OC，推出△AOC是等腰直角三角形，得到∠CAO=45°，易得△PHE是等腰直角三角形，则PE=，求出直线AC的解析式，设P（m，-m2-4m+5），则H（m，m+5），表示出PH，结合二次函数的性质可得PH的最大值，进而可得PE的最大值；
（3）根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=-2，设N（-2，m），M（x，-x2-4x+5），然后分①AC为平行四边形ANMC的边，②AC为平行四边形AMNC的边，③AC为对角线，结合中点坐标公式求出x的值，据此可得点M的坐标.
5．（2022·乐山）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且.
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图2，过点C作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连接PB、PC，若，求点P的坐标；
（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q.设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值.
【答案】（1）解：∵A（-1，0），
∴OA=1，
又∵∠AOC=90°，tan∠OAC=，
∴OC=2OA=2即点C的坐标为（0，-2），
设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-2），
将C点坐标代入得：a=1，
∴y=（x+1）（x-2）=；
（2）解：设点P（a，），如图所示，当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E，
∵B（2，0），C（0，-2），
∴直线BC的解析式为：y=x-2，
∴当时，x=y+2=，
∴PE==，
∴S△PBC=PE·OC，
∵抛物线的对称轴为y=，CD∥x轴，C（0，-2），
∴点D（1，-2），
∴CD=1，
∴S△BCD=CD·OC，
∴PE·OC=CD·OC，
∴a2-2a=1，
解得a1=1+（舍去），a2=1-；
当x=1-时，y==a-1=-，
∴P（1-，-），
如图，当点P在第一象限时，作PE⊥x轴于点E，交直线BC于F，
∴F（a，a-2），
∴PF=（）-（a-2）=，
∴S△PBC=PF·OB=CD·OC，
∴=1，
解得a1=1+，a2=1-（舍去）；
当a=1+时，y==，
∴P（1+，），
综上所述，P点坐标为（1+）或（1-）；
（3）解：如图，作PN⊥AB于N，交BC于M，
由题意可知，P（t，），M（t，t-2），
∴PM=（t-2）-（）=-，
又∵PN∥OC，
∴△PQM∽△OQC，
∴+，
∴当t=1时，()最大=.
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1） 根据点A的坐标可得OA=1，根据三角函数的概念可得OC=2OA=2，则C（0，-2），设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-2)，将点C的坐标代入求出a的值，据此可得二次函数的解析式；
（2）设P（a，a2-a-2），当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E，求出直线BC的解析式，令y=a2-a-2，得x=a2-a，则PE=a2-2a，S△PBC=PE·OC，易得S△BCD=CD·OC，结合S△PBC=S△BCD可求出a的值，据此可得点P的坐标；当点P在第一象限时，作PE⊥x轴于点E，交直线BC于F，则F（a，a-2），PF=a2-2a，S△PBC=PF·OB=CD·OC，求解可得a的值，进而可得点P的坐标；
（3）作PN⊥AB于N，交BC于M，由题意可知：P（t，t2-t-2），M（t，t-2），PM=-t2+2t，证明△PQM∽△OQC，然后根据相似三角形的性质以及二次函数的性质进行解答.
6．（2022·广元）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C.
（1）求a，b满足的关系式及c的值；
（2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值；
（3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值.
【答案】（1）解：∵直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(0，-2)，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，
∴，
∴2a=b+1，c=-2；
（2）解：当a=时，则b=-，
∴抛物线的解析式为y=x2-x-2，
抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点A的坐标为(-2，0)，
∴点C的坐标为(4，0) ，
△PAB的周长为：PB+PA+AB，且AB是定值，
∴当PB+PA最小时，△PAB的周长最小，
∵点A、C关于直线x=1对称，
∴连接BC交直线x=1于点P，此时PB+PA值最小，
∵AP=CP，
∴△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，
∵A（-2，0），B（0，-2），C（4，0），
∴OA=2，OB=2，OC=4，
由勾股定理得BC=2，AB=2，
∴△PAB的周长最小值是：2+2.
（3）解：当a=1时，b=1，
∴抛物线的解析式为y=x2+x-2，
过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，
∵A（-2，0），B（0，-2），
∴OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∵QD⊥AB，
∴∠AEF=∠QED=∠EQD=45°，
∴QD=ED=EQ，
设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），
∴QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t，
∴DQ=QE=-(t2+2t)= -(t+1)2+，
当t=-1时，DQ有最大值，此时Q（-1，-2）.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）令y=-x-2中的x=0、y=0，求出y、x的值，可得点A、B的坐标，然后代入y=ax2+bx+c中就可得到a，b满足的关系式及c的值；
（2）当a=时，则b=-，则抛物线的解析式为y=x2-x-2，对称轴为直线x=1，结合对称性可得C(4，0) ，△PAB的周长为PB+PA+AB，且AB是定值，故当PB+PA最小时，△PAB的周长最小，连接BC交直线x=1于点P，此时PB+PA值最小，△PAB的周长的最小值为BC+AB，根据点A、B、C的坐标可得OA、OB、OC的值，利用勾股定理求出BC、AB，据此解答；
（3）当a=1时，b=1，则抛物线的解析式为y=x2+x-2，过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E， 易得△OAB为等腰直角三角形，∠AEF=∠QED=∠EQD=45°，QD=ED=EQ，设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2）， 表示出DQ，然后结合二次函数的性质可得DQ的最大值以及对应的点Q的坐标.
7．（2022·达州）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象经过点 ， ，与y轴交于点C.
（1）求该二次函数的表达式；
（2）连接 ，在该二次函数图象上是否存在点P，使 ？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E.若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线 ， 分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中， 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（-1，0），B（3，0），
∴2=-，-3=，
∴a=-，b=，
∴二次函数的表达式为y=-x2+x+2.
（2）解：存在，理由如下：设CP交x轴于点D，
①如图，当点P在BC上方时，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴CP∥AB，
∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，
∵C（0，2），抛物线的对称轴为x=1，
∴P（2，2）；
②如图，当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（d，0），
∴OD＝d，DB＝3-d，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴CD＝BD＝3-d，
在Rt△COD中，OC2+OD2＝CD2，即22+d2＝（3-d）2，
解得：d=，
∴D（，0），
设直线CD的解析式为y=kx+2（k≠0），
∴=-，
∴k=-，
∴yCD=-x+2，
∴-x+2=-x2+x+2，
整理，解得：x=0（舍去）或x=，
∴P（，-），
综上所述，存在点P（2，2）或（，-）使得∠PCB＝∠ABC.
（3）解：∵抛物线的对称轴为x=1，
∴E（1，0），
设Q（m，-m2+m+2），-1＜m＜3，
设直线AQ的解析式为y=k'x+b'，
∴0=-k'+b'，-m2+m+2=mk'+b'，
整理，解得：k'=-m+2，b'=- m+2，
∴yAQ=（- m+2）x- m+2，
∴M（1，- m+4），
同理求得直线BQ的解析式为y=（- m- ）x+ 2 m+2，
∴N（1， m+），
∴EM=- m+4，EN= m+，
∴EM+EN=- m+4+m+=，
∴EM+EN的值为定值.
【知识点】平行线的性质；勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解，即把点A（-1，0），B（3，0）代入抛物线表达式，求得a和b的值，即可求得二次函数的表达式；
（2）分两种情况：①当点P在BC上方时，利用平行线性质及抛物线的对称性求出P点坐标；②当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（d，0），表示出CD＝BD＝3-d，再由勾股定理得OC2+OD2＝CD2，即22+d2＝（3-d）2，解得d值并求得D（，0），再利用待定系数法求出直线CD的解析式，再与抛物线解析式联立方程，即可求得P点坐标；
（3）设Q（m，-m2+m+2），-1＜m＜3，直线AQ的解析式为y=k'x+b'，利用待定系数法求得直线AQ的解析式，即得M（1，-m+4），同理求得直线BQ的解析式为y=（-m- ）x+ 2 m+2，即得N（1， m+），分别表示出EM=- m+4，EN= m+，再求和即可得出EM+EN的值为定值.
8．（2022·黔东南）如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，解得：a=-1，
∵抛物线过点，
∴，解得：c=3，
∴抛物线解析式为
（2）解：存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形.理由如下：
令y=0，则，
解得：，
∴点A的坐标为（-1，0），
∴OA=1，
当x=0时，y=3，
∴点C的坐标为（0，3），即OC=3，
∴，
设直线BC的解析式为，
把点B（3，0），C（0，3）代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
设点N（m，-m+3），
∴MN=-m+3，AM=m+1，
∴，，
当AC=AN时，，
解得：m=2或0（舍去），
∴此时点N（2，1）；
当AC=CN时，，
解得：或（舍去），
∴此时点N；
当AN=CN时，，
解得：，
∴此时点N；
综上所述，存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形；
（3）解：存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】(3)解：存在，理由如下：
∵点B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC，
∴BC，
设点E（1，n），点F（s，t），
当BC为边时，点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到点B，同样E（F）向右平移3个单位向下平移3个单位得到点F（E），且BE=CF（CE=BF），如图，
∴或，
解得：或，
∴此时点F的坐标为（4，1）或（-2，1）；
当BC为对角线时，BC=EF，且EF与BC的中点重合，如图，
，解得：或，
∴此时点F的坐标为或；
综上所述，存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或.
【分析】（1）利用抛物线的对称轴为直线x=1，可求出a的值，再将点B的坐标代入函数解析式，可求出c的值，即可得到抛物线的解析式.
（2）利用二次函数解析式，由y=0求出对应的x的值，可得到点A的坐标，同时求出OA的长，由x=0求出对应的y的值，可得到点C的值，即可求出OC的长；利用勾股定理求出AC2；利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，设点N（m，-m+3），分别表示出MN，AM，AN2，CN2；利用等腰三角形的定义再分情况讨论： 当AC=AN时；当AC=CN时；当AN=CN时，分别得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到符合题意的点N的坐标.
（3）由点B，C的坐标可证得OB=OC，利用勾股定理求出BC的长，设点E（1，n），点F（s，t），分情况讨论：当BC为边时，点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到点B，同样E（F）向右平移3个单位向下平移3个单位得到点F（E），且BE=CF（CE=BF），可得到关于n，s，t的方程组，解方程组求出n，s，t的值，可得到符合题意的点F的坐标；当BC为对角线时，BC=EF，且EF与BC的中点重合，利用中点坐标及勾股定理可得到关于n，s，t的方程组，解方程组求出n，s，t的值，可得到符合题意的点F的坐标；综上所述可得到点F的坐标.
9．（2022·毕节）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为，抛物线的对称轴交直线于点E.
（1）求抛物线的表达式；
（2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求h的最大值；
（3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线上一点.是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由可知，
解得：，
∴
（2）解：分别令中，得，，；
设BC的表达式为：，
将，代入得，
解得：；
∴BC的表达式为：；
抛物线平移后的表达式为：，
根据题意得，，即，
∵该抛物线与直线始终有交点，
∴，
∴，
∴h的最大值为
（3）解：存在，理由如下：
将代入中得，
∵四边形DEMN是平行四边形，
∴
设，
当时，解得：（舍去），
∴
当时，解得：，
∴或，
综上，点N的坐标为：或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用抛物线的顶点式，可得到关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值，可得到抛物线的解析式；或利用抛物线的顶点式，代入顶点坐标可求出抛物线的解析式.
（2）利用抛物线的解析式，由y=0求出对应的x的值，由x=0求出对应的y的值，可得到点B，C的坐标；再利用待定系数法求出直线BC的函数解析式；再利用已知条件把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h，可得到平移后的抛物线的解析式，将其与直线BC联立方程组，可得到关于x的一元二次方程，由平移后的抛物线与直线BC始终有交点，可得到b2-4ac≥0，可得到关于h的不等式，然后求出不等式的解集的最大值即可.
（3）将x=2代入一次函数解析式，可求出对应的y的值，可得到点E的坐标；利用平行四边形的性质：对边平行且相等，可得到DE∥MN，DE=MN，利用函数解析式设点M（m，-m2+4m-3），N（m，m-3），利用利用DE=MN，可得到两个关于m的方程，解方程求出m的值可得到符合题意的m的值，然后求出点N的坐标.
10．（2022·黔西）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线过点，∴，解得，∴抛物线的表达式为．
（2）解：设直线AB的解析式为：，∵直线AB经过，，∴，∴，∴直线AB的表达式为．
∵轴，可设，，其中．当M在N点上方时，．解得，（舍去）．∴．当M在N点下方时， ．解得，．∴，．综上所述，满足条件的点M的坐标有三个，，．
（3）解：解：(3)存在．满足条件的点Q的坐标有4个．，，，．理由如下：①如图，若AC是四边形的边．
当时，∴拋物线的对称轴与直线AB相交于点．过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点，，∵，，∴，，．∵，∴．∴．∴点与点D重合．当时，四边形是矩形．∵向右平移1个单位，向上平移1个单位得到．∴向右平移1个单位，向上平移1个单位得到．此时直线的解析式为．∵直线与平行且过点，∴直线的解析式为．∵点是直线与拋物线的交点，∴．解得，（舍去）．∴．当时，四边形是矩形．∵向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．∴向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．②如图，若AC是四边形的对角线，
当时．过点作轴，垂足为H，过点C作，垂足为K．可得，．∴．∴．∴．∵点P不与点A，C重合，∴和．∴．∴．∴如图，满足条件的点P有两个．即，．
当时，四边形是矩形．∵向左平移个单位，向下平移个单位得到．∴向左平移个单位，向下平移个单位得到．当时，四边形是矩形．∵向右平移个单位，向上平移个单位得到．∴向右平移个单位，向上平移个单位得到．综上，满足条件的点Q的坐标为或或或
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点A，O的坐标代入函数解析式，可求出b，c的长，可得到二次函数解析式.
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A，B的坐标代入，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的长，可得到直线AB的函数解析式；利用MN∥y轴，根据两函数解析式设，，其中；分情况讨论：当M在N点上方时，利用MN=2，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到点M的坐标；当点M在点的下方时，利用MN=2，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到点M的坐标；综上所述可得到符合题意的点M的坐标.
（3）分情况讨论：①如图，若AC是四边形的边，将x=2代入函数解析式求出对应的y的值，可得到点R的坐标，过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点P1，P2，利用点C，D的坐标求出CD，CR，RD的长；可证得点P1和点D重合，当CP1∥AQ1，CP1=AQ1时，四边形ACP1Q1是矩形，利用点的坐标平移可得到点P1，Q1的坐标，同时可求出直线P1C，直线P2A的函数解析式，将直线P2A和抛物线联立方程组，解方程组，可得到点P2的坐标；当AC∥P2Q2，AC=P2Q2时，四边形ACQ2P2是矩形，将点A向左平移3个单位，向上平移3个单位得到定C的坐标，因此将点P2向3个单位，向上平移3个单位得到点Q2的坐标；②如图，若AC是四边形的对角线，当∠AP3C=90°，过点P3作P3H⊥x轴，过点C作CK⊥P3H，易证△P3CK∽△AP3H，利用相似三角形的对应边成比例，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，利用点P不与点A，C重合，可知t≠1，t≠4，可得到符合题意的t的值，即可得到点P的坐标；当点CP3∥AQ3，CP3=AQ3使四边形AP3CQ3是矩形，利用点的坐标平移，可得到点Q的坐标；当P4C∥AQ4，P4C=AQ4，四边形AP4CQ4是矩形，利用点的坐标平移，可得到点Q的坐标；综上所述可得到符合题意的点Q的坐标.
11．（2022·西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ ＋（m﹣1）x＋2m与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
（2）如图甲，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM＋OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图乙，过点P作PF⊥BC，垂足为F，过点C作CD⊥BC，交x轴于点D，连接DP交BC于点E，连接CP．设△PEF的面积为S1，△PEC的面积为S2，是否存在点P，使得最大，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将B（4，0）代入y＝﹣＋（m﹣1）x＋2m，
∴﹣8＋4（m﹣1）＋2m＝0，
解得m＝2，
∴y＝﹣＋x＋4；
A（﹣2，0）；C（0，4）
（2）解：存在点M使AM＋OM最小，理由如下：
作O点关于BC的对称点，连接A交BC于点M，连接B，
由对称性可知，OM＝M，
∴AM＋OM＝AM＋MA，
当A、M、三点共线时，AM＋OM有最小值，
∵B（4，0），C（0，4），
∴OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
由对称性可知∠BM＝45°，
∴B⊥BO，
∴（4，4），
设直线A的解析式为y＝kx＋b，
∴，
解得，
∴y＝x＋，
设直线BC的解析式为，
∴4＋4＝0，
∴＝﹣1，
∴y＝﹣x＋4，
联立方程组，
解得，
∴M（）；
（3）解：存在点P，使得最大，理由如下：
连接PB，过P点作PGy轴交CB于点G，
设P（t，﹣＋t＋4），则G（t，﹣t＋4），
∴PG＝﹣＋2t，
∵OB＝OC＝4，
∴BC＝4，
∴S△BCP＝×4×（﹣＋2t）＝﹣＋4t＝×4×PF，
∴PF＝﹣＋t，
∵CD⊥BC，PF⊥BC，
∴PFCD，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∵B、D两点关于y轴对称，
∴CD＝4，
∴＝﹣（﹣4t）＝﹣＋，
∵P点在第一象限内，
∴0＜t＜4，
∴当t＝2时，有最大值，
此时P（2，4）．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；二次函数的最值；轴对称的应用-最短距离问题；平行线分线段成比例；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
令y＝0，则﹣＋x＋4＝0，
解得x＝4或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0）；
【分析】（1）将B（4，0）代入y＝-x2＋(m-1)x＋2m 中可得m的值，进而可得抛物线的解析式，分别令x=0、y=0，求出y、x的值，可得点A、C的坐标；
（2）作O点关于BC的对称点O′，连接AO′交BC于点M，连接BO′，由对称性可知OM＝O′M，则AM＋OM＝AM＋O′MAO′，故当A、M、O′三点共线时，AM＋OM有最小值，根据点B、C的坐标可得OB＝OC，则∠CBO＝45°，由对称性可知∠O′BM＝45°，则O′（4，4），利用待定系数法求出直线AO′、BC的解析式， 联立求出x、y，据此可得点M的坐标；
（3）连接PB，过P点作PG∥y轴交CB于点G，设P（t，-t2＋t＋4），则G（t，-t＋4），表示出PG，根据三角形的面积公式可得S△BCP，然后表示出PF，根据平行线分线段成比例的性质可得＝，则＝，表示出，然后根据二次函数的性质进行解答.
12．（2022·武威）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，点 在 轴上，且 ， ， 分别是线段 ， 上的动点（点 ， 不与点 ， ， 重合）.
（1）求此抛物线的表达式；
（2）连接 并延长交抛物线于点 ，当 轴，且 时，求 的长；
（3）连接 .
①如图2，将 沿 轴翻折得到 ，当点 在抛物线上时，求点 的坐标；
②如图3，连接 ，当 时，求 的最小值.
【答案】（1）解：∵ 在抛物线 上，
∴ ，解得 ，
∴ ，即
（2）解：在 中，令 ，得 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
（3）解：①连接 交 于点 ，如图1所示：
∵ 与 关于 轴对称，
∴ ， ，
设 ，则 ，
，
∴ ，
∵点 在抛物线 上，
∴ ，
解得 （舍去）， ，
∴ ；
②在 下方作 且 ，连接 ， ，如图2所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 ， ， 三点共线时， 最小，最小为 ，
过 作 ，垂足为 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
， ，
，
∴
，
即 的最小值为 .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的性质；锐角三角函数的定义；二次函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）将B（4，0）代入求出a的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）易得A（-3，0）、C（0，4），则OA=3，根据三角函数的概念可得DE，由OE=OA-AE可得OE，进而得到点E的坐标，易得xP=xD=xE=-2，将x=-2代入抛物线解析式中求出y，据此可得PE，然后根据DP=DE+PE进行计算；
（3）①连接DG交AB于点M，根据轴对称的性质可得DG⊥AB，DM=GM，设OM=a，则AM=3-a，根据三角函数的概念可得MG，表示出点G的坐标，代入抛物线解析式中可得a的值，据此可得点G的坐标；
②在AB下方作 ∠EAQ=∠DCB且AQ=BC，连接EQ、CQ，易证△AEQ≌△CDB，得到EQ=BD，推出当C、E、Q三点共线时，BD+CE=EQ+CE最小，最小为CQ，过C作CH⊥AQ，垂足为H，易得∠CBA=45°，BC=，∠CAH=45°，利用勾股定理求出AC，根据等腰直角三角形的性质可得AH，由HQ=AH+AQ=AH+BC可得HQ，然后利用勾股定理计算即可.
二、模拟预测
13．（2023·成都模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线与抛物线交于C，D两点（点D在第一象限）．
（1）如图，当点C与点A重合时，求抛物线的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，连接，点E在抛物线上，若，求出点E的坐标；
（3）将抛物线L向上平移1个单位得到抛物线，抛物线的顶点为P，直线与抛物线交于M，N两点，连接，若，求a的值．
【答案】（1）解：令，则，
解得，，
∴，，
将代入，解得，
∴，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：联立，解得， ，
∴，，
设直线的函数表达式为，
将 坐标代入得，，解得，
∴直线的函数表达式为：，
①当直线时，可以得到，
设直线的表达式为，
将，代入得：，解得，
∴直线的表达式为，
联立，解得，，
∴；
②如图1，过点D作轴于点F，则，，
∴，
如图，记，连接，则，
∴，
∴，
∴直线与抛物线的交点即为点E，
设直线的函数关系式为，
将代入得，，解得，
∴直线的函数关系式为，
联立，解得，，
∴；
综上所述，，；
（3）解：由题意得，抛物线，直线，
设抛物线与直线两个交点M，N的坐标分别为，，
联立，得：，
∴，，，，P点坐标为，
如图2，过点M，N分别作过点P的水平线的垂线，垂足分别为G，H，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
不妨设，则；即，
将，，；，，代入整理得，
解得，（不合题意，舍去），
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；两一次函数图象相交或平行问题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）令抛物线解析式中的y=0，求出x的值，可得点A、B的坐标，然后将点A的坐标代入y=ax+1中求出a的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）联立抛物线与一次函数解析式求出x、y的值，可得点A、D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，①当直线AE∥BD时，设直线AE的表达式为y=5x+m，将点A坐标代入求出m的值，得到直线AE的解析式，联立抛物线解析式，求出x、y，可得点E的坐标；②过点D作DF⊥x轴于点F，则DF=AF=5，根据三角函数的概念求出tan∠BDF的值，得到∠ADF=∠DAF=45°，记G（4，1），连接AG，求出tan∠GAF的值，推出∠GAD=∠ADB，则直线AG与抛物线的交点即为点E，求出直线AG的解析式，联立抛物线解析式，求出x、y，据此可得点E的坐标；
（3）由题意得抛物线L1：y=ax2-2ax-3a+1，直线y=ax+1，设抛物线与直线两个交点M，N的坐标分别为M（x1，y1），N（x2，y2），联立并根据根与系数的关系可得x1+x2=3，x1x2=-3，y1+y2=3a+2，y1y2=-3a2+3a+1，P（1，1-4a），过点M，N分别作过点P的水平线的垂线，垂足分别为G，H，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△MPG∽△PNH，由相似三角形的性质可得MG·NH=PG·PH，不妨设m=1-4a，则(y1-m)(y2-m)=(1-x1)(x2-1)，即y1y2-m(y1+y2)+m2=-x1x2+(x1+x2)-1，代入求解可得a的值.
14．（2023·内江模拟）如图，二次函数y＝-x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC，点D在函数图象上，CD∥x轴且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点.
（1）求b、c的值；
（2）如图1，连BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标；
（3）如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M、与抛物线交于点N.试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：∵CD∥x轴，CD＝2，
∴抛物线对称轴为x＝1.
∴-＝1，b＝2.
∵OB＝OC，C（0，c），
∴B点的坐标为（c，0），
∴0＝-c2+2c+c，解得c＝3或c＝0（舍去），
∴c＝3；
（2）解：设点F的坐标为（0，m）.
∵对称轴为直线x＝1，
∴点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）.
由（1）可知抛物线解析式为y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4，
∴E（1，4），
∵直线BE经过点B（3，0），E（1，4），
∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y＝-2x+6.
∵点F在BE上，
∴m＝-2×2+6＝2，即点F的坐标为（0，2）；
（3）解：存在点Q满足题意.
设点P坐标为（n，0），则PA＝n+1，PB＝PM＝3-n，PN＝-n2+2n+3.
作QR⊥PN，垂足为R，
∵S△PQN＝S△APM，
∴（n+1）（3-n）＝（-n2+2n+3） QR，
∴QR＝1.
①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n-1，-n2+4n），R点的坐标为（n，-n2+4n），N点的坐标为（n，-n2+2n+3）.
∴在Rt△QRN中，NQ2＝1+（2n-3）2，
∴n＝时，NQ取最小值1.此时Q点的坐标为（ ，）；
②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1，-n2+4）.
同理，NQ2＝1+（2n-1）2，
∴n＝时，NQ取最小值1.此时Q点的坐标为（，）.
综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为（，）或（，）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1） 由题意可得：抛物线对称轴为x＝-=1，则b=2，由已知条件可知OB＝OC，C（0，c），则B（c，0），代入y=-x2+2x+c中可求出c的值；
（2）设F（0，m），根据对称性可得点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m），根据抛物线的解析式可得顶点E（1，4），利用待定系数法求出直线BE的解析式，将F（0，m）代入求出m的值，进而可得点F的坐标；
（3）设P（n，0），则PA＝n+1，PB＝PM＝3-n，PN＝-n2+2n+3，作QR⊥PN，垂足为R，根据S△PQN＝S△APM以及三角形的面积公式可得QR＝1，①点Q在直线PN的左侧时，Q（n-1，-n2+4n），R（n，-n2+4n），N（n，-n2+2n+3），则NQ2＝1+(2n-3)2，据此不难得到NQ取得最小值时点Q的坐标；②点Q在直线PN的右侧时，同理解答即可.
15．（2023·南充模拟） 抛物线经过、两点，且，直线过点，，点是线段不含端点上的动点，过作轴交抛物线于点，连接、.
（1）求抛物线与直线的解析式；
（2）求证：为定值；
（3）在第四象限内是否存在一点，使得以、、、为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意得，点，，
将点的坐标代入得：，
解得：
抛物线的解析式为：；
设直线为，将点，的坐标代入得，
，解得：，
直线的解析式是：；
（2）证明：设点，，如图，过点作轴于点，
则，则，，，
为定值；
（3）解：存在，理由：
当是平行四边形的边时，
如下图：设直线交轴于点，交于点，
由的表达式知，，，
过点作于点，则，
则，
则以、、、为顶点的平行四边形面积，
其中为常数，
故当最大时，平行四边形的面积最大，
设点，则点，
则，
即的最大值为，此时点；
当是平行四边形的对角线时，如下图，
同理可得：以、、、为顶点的平行四边形面积，
此时，
当时，的值随最大而增大，而，
当时，最大值为，
故该种情况，不符合题设要求，
综上，点，即四边形为平行四边形时，符合题设要求，
设点，
由中点坐标公式得：，
解得：，
故点
【知识点】二次函数的最值；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用；平行四边形的面积；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）由题意可得A（4，0）、B（0，-4），将A（4，0）代入y=ax2-4中可求出a的值，据此可得抛物线的解析式，设直线CE的解析式为y=mx+n，将E（4，-1）、C（0，-3）代入求出m、n的值，据此可得直线CE的解析式；
（2）设P（t，t2-4），过P作PF⊥y轴于点F，则PF=t，FC=|t2-1|，PD=4-t2，PC=t2+1，据此求解；
（3）当CE是平行四边形的边时，设直线CE交x轴于点M，DP交CE于点H，过点P作PN⊥CE于点N，则∠NPD=∠OMC，由三角函数的概念可得PN=PH，则以C、P、E、Q为顶点的平行四边形面积=CE·PH，故当PH最大时，平行四边形的面积最大，设P（x，x2-4），则H（x，x-3），表示出PH，根据二次函数的性质可得PH的最大值以及对应的点P的坐标；当CE是平行四边形的对角线时，同理进行解答，设Q（s，t），由中点坐标公式可得s、t的值，进而可得点Q的坐标.
16．（2023·新都模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（-6，0），OA＝3OB＝ OC，D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D做DG⊥AC于G.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求△ACD面积的最大值；
（3）连接BC，是否存在点D，使得△CDG中有一个角与∠BCO相等？若存在，请求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵OA＝3OB＝ OC＝6，
故点B（2，0）、点C（0，-4），
设抛物线的表达式为：y＝a（x-x1）（x-x2），
则y＝a（x+6）（x-2）＝a（x2+4x-12），
即-12a＝-4，
解得：a＝ ，
∴y＝ x2+ x-4
（2）解：过点D作DE⊥x轴于点E，交AC于点F.
∵A（-6，0），C（0，-4），
设直线AC的表达式为：y＝kx+b，
则 ，
解得： ，
则直线AC的表达式为：yAC＝- x-4，
设D（x， x2+ x-4），则F（x，- x-4），
则DF＝（- x-4）-（ x2+ x-4）＝- x-2x，
则S△ACD＝S△ADF+S△CDF＝ DF |xC-xA|＝ ×6×（- x-2x）＝-（x+3）2+9≤9，
∴当x＝-3时，△ACD面积的最大值为9；
（3）解：过点A作AC垂线交CD延长线于点Q，过点Q作QM⊥x轴于点M.
①当∠BCO＝∠DCG，即∠1＝∠2时，
∵∠5+∠6＝∠6+∠4＝90°，
∴∠5＝∠4，又∠QMA＝∠AOC＝90°，
∴△QMA∽△AOC，
∴
又tan∠2＝ ＝tan∠1＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴QM＝3，MA＝2，
∴Q（-8，-3）又C（0，-4），
∴直线QC的表达式：y＝- x-4，
联立得： ，
解得：x＝0或x＝- ，
∴x＝- ；
②当∠BCO＝∠CDG，即∠1＝∠3时，
由①可知△QMA∽△AOC，
∴
又∵DG⊥AC，QA⊥AC，
∴DG∥AQ，
∴∠3＝∠AQC，
∴tan∠AQC＝ ＝tan∠3＝tan∠1＝ ＝ ，
∴ ＝2，
∴QM＝12，MA＝8，
∴Q（-14，-12），
又∵C（0，-4），
∴直线QC的表达式：y＝ x-4，
联立得： ，
解得：x＝0或x＝- ，
∴x＝- ，
综上，存在，点D其横坐标为：- 或- .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1） 由OA＝3OB＝ OC 求出B、C坐标，再利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）过点D作DE⊥x轴于点E，交AC于点F，先求yAC＝- x-4， 设D（x， x2+ x-4），则F（x，- x-4）， 根据S△ACD＝S△ADF+S△CDF＝ DF |xC-xA|列出函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）过点A作AC垂线交CD延长线于点Q，过点Q作QM⊥x轴于点M，分两种情况： ①当∠BCO＝∠DCG，即∠1＝∠2， ②当∠BCO＝∠CDG，即∠1＝∠3时，据此分别解答即可.
17．（2023·四川模拟）已知抛物线经过原点，交x轴于点A，抛物线上一点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，若，，P为上的一动点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）P在第一象限，且在抛物线内，设点P的横坐标为.
（ⅰ）若直线与抛物线交于点，作轴，求的值（用x的代数式表示）；
（ⅱ）F在y轴的正半轴上，且.连接，直线交x轴于点H，交y轴于点G，过点P作交x轴于点I，过点I作y轴的平行线交于点J，连接，过点I作，交于点Q，的角平分线交x轴于点M，过点M作，交于点L，过点L作于点N，若，求点P的坐标.
【答案】（1）解：抛物线经过原点，
设抛物线的解析式为，
把，代入解析式，得，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：（ⅰ）直线与抛物线交于点，作轴，点P的横坐标为，
点P与点重合，
；
（ⅱ）过点P作轴于点T，交于点K，过点B作轴于点R，如图所示：
平分，，
，
，
，轴，
，
，
，
，
，
，，
，
，
又，，
，，
，
，
在y轴的正半轴上，且，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，，
，
，
令，则，
解得，即，
令，则，即，
，即，
即，
，
，
，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：，
把代入直线的解析式得，
点P的坐标为.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；待定系数法求二次函数解析式；平行线的性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由题意可设抛物线的解析式为y=ax2+bx，将A（10，0）、B（2，6）代入求出a、b的值，据此可得抛物线的解析式；
（2） （ⅰ）由题意可得点P与点D′重合，则PD′+2EP=2EP，据此求解；
（ⅱ）过点P作PT⊥x轴于点T，交CJ于点K，过点B作BR⊥x轴于点R，根据平行线的性质以及角平分线的概念可得∠LMI=∠CJM=∠MJI，推出LM=JL，由同角的余角相等可得∠NJL=∠MLI，利用AS证明△NJL≌△MLI，得到JN=LI，由线段的和差关系可得JI=IQ，则∠IJQ=∠IQJ，由平行线的性质可得∠KPJ=∠IJQ，∠KJP=∠IQJ，进而可推出CK=KJ=KP，易得∠ODC=∠PHC，结合三角函数的概念可得RH，表示出点H的坐标，然后利用待定系数法求出直线BP的解析式，联立直线解析式求出x、y的值，据此可得点P的坐标.
18．（2023·游仙模拟）抛物线与x轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线对称轴为，点是第一象限抛物线上动点，连接，.
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）如图1，连接，交于点，设的面积为，的面积为，求的最小值及此时点的坐标；
（3）如图2，设，在直线上方的抛物线上是否存在点，使得恰好等于，若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵与轴交于点，抛物线对称轴为，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∵抛物线与x轴分别交于，两点（点在点的左侧），
令，即，
解得：，
∴，
∵，设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：过点作轴交于点，
∴
∵，
∴
∴，
设，则的纵坐标为，
，
解得：，
∴
∴，
∴
∵，抛物线开口向下，有最大值，
当，时取得最大值，最大值为，
即的最小值为，此时；
（3）解：∵，
∴，
如图所示，取点，则，设交于点，过点作于点，延长交轴于点，
设直线的解析式为，
∴，解得：
∴直线的解析式为
则，
∴
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵
∴，
又∵
∴
∴
∴，
∴
设直线的解析式为，
∴
解得：，
∴直线的解析式为，
联立
解得：
∴
设直线的解析式为
则
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：（舍去）或
∴的横坐标为.
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点C的坐标代入抛物线可求出c的值，根据抛物线的对称轴直线公式可求出b的值，从而求出抛物线的解析式，令解析式找那个的y=0算出对应的x的值，可得点A、B的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式；
（2） 过点P作PN∥x轴交BC于点N， 易证△PMN∽△ABM，由同高三角形的面积之比等于底之比可得 ， 根据抛物线上点的坐标特点设 设，则的纵坐标为， 再结合直线上的点坐标特点可得 ，从而可得点N的坐标，从而即可得出关于 与t的函数关系式，进而根据所得函数的性质即可解决问题；
（3）易得BC=5， 取点D（9，0），则BC=BD，设DC、PB交于点F，过点F作FE⊥CB于点E，延长FE交y轴于点G，利用待定系数法求出直线CD的解析式，由等腰三角形的三线合一得CE=EB，证出△BCO∽△GCE，由相似三角形对应边成比例建立方程求出CG，从而得出点G的坐标，利用待定系数法求出直线GE的解析式，联立直线GE与CD的解析式组成的方程组可求出点F的坐标，利用待定系数法求出直线BF的解析式，再联立直线BF与抛物线的解析式，求解可得P点的横坐标.
19．（2022九下·凯里开学考）如图，在直角坐标系中，直线 与 轴、 轴的交点分别为 、 ，以 为对称轴的抛物线 与 轴分别交于点 、 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为 .设抛物线的对称轴 与 轴交于点 ，连接 ，交 于 ，求出当以 、 、 为顶点的三角形与 相似时点 的坐标；
（3）点 是对称轴上任意一点，在抛物线上是否存在点 ，使以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：∵直线 与x轴交点为A，
∴点A的坐标为（﹣3，0），
∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴点C的坐标为（1，0），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、C，
∴抛物线为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3
（2）解：∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为x＝﹣1，
∴点D的坐标为（﹣1，0），
①当∠ADE＝90°时，△ADE∽△AOB.此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，坐标为（﹣1，4）；
②当∠AED＝90°时，△AED∽△AOB.
过点P作PG⊥AC于点G，则△AED∽△PGD.
于是 ，
∴PG＝3GD.
即：﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），
解得t1＝﹣2，t2＝3（不合题意，舍去）.
当t＝﹣2时，﹣22+2×2+3＝3，
所以此时点P的坐标为（﹣2，3）.
综上所述，点P的坐标是（﹣1，4）或（﹣2，3）；
（3）解：存在，点N的坐标分别是：N1（2，﹣5），N2（﹣4，﹣5），N3（﹣2，3）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；相似三角形的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（3）点N的坐标为：以线段AB为边时，N1（2，﹣5），N2（﹣4，﹣5），
以线段AB为对角线时，N3（﹣2，3）.
综上所述，点N的坐标分别是：N1（2，﹣5），N2（﹣4，﹣5），N3（﹣2，3）.
【分析】（1）根据直线方程易求点A的坐标，由抛物线的对称性可以求得点C的坐标，然后写出抛物线的交点式方程即可；
（2）需要分类讨论：①当∠ADE＝90°时，△ADE∽△AOB．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，坐标为（ 1，4）；
②当∠AED＝90°时，△AED∽△AOB．过点P作PG⊥AC于点G，则△AED∽△CGD．根据相似三角形的对应边成比例列出关于t的一元二次方程： t2＋2t＋3＝3（ 1 t），通过解该方程求得t的值；
（3）根据以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，分类讨论进行：①以AB为边时，点A与点N或点B与点N为对应顶点，再根据平行四边形性质，对角线互相平分，利用中点坐标公式即可求出符合条件的N坐标；②以AB为对角线时，点A与点B对应顶点，M和N为对应顶点，再根据平行四边形性质，对角线互相平分，利用中点坐标公式即可求出符合条件的N坐标，即可求解.
20．（2023九上·安顺期末）如图，已知抛物线y＝+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点 E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵y＝ x2+bx+c经过A（0，1），B（﹣9，10），
∴ ，
解得b＝2，c＝1，
∴抛物线的解析式是y＝ x2+2x+1，
故答案为：y＝ x2+2x+1；
（2）解：设直线AB的解析式为y＝mx+n，将A（0，1），B（﹣9，10）代入得： ，
解得m＝﹣1，n＝1，
∴AB解析式为y＝﹣x+1，
由 x2+2x+1＝1解得x1＝0，x2＝﹣6，
∴C（﹣6，1），AC＝6，
∵P在AC下方抛物线上，设P（t， t2+2t+1），
∴﹣6＜t＜0
∵过点P且与y轴平行的直线l与直线AB交于点E，
∴E（t，﹣t+1），
∴EP＝（﹣t+1）﹣（ t2+2t+1）＝﹣ t2﹣3t，
而四边形AECP的面积S四边形AECP＝S△EAC+S△PAC＝ AC EF+ AC PF＝ AC EP，
∴S四边形AECP＝ ×6×（﹣ t2﹣3t）＝﹣t2﹣9t＝﹣（t+ ）2+ ，
∵﹣6＜﹣ ＜0，
∴t＝﹣ 时，S四边形AECP最大为 ，此时 t2+2t+1＝ ×（﹣ ）2+2×（﹣ ）+1＝﹣ ，
故答案为：P（﹣ ，﹣ ）；
（3）解：∵抛物线y＝ x2+2x+1顶点为P，
∴P（﹣3，﹣2），
∵过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点 E、F，且AB解析式为y＝﹣x+1，
∴E（﹣3，4），F（﹣3，1），
而C（﹣6，1），A（0，1），B（﹣9，10），
∴CF＝FP＝EF＝FA＝3，AB＝9 ，CP＝3 ，
∴∠PCF＝∠CPF＝∠AEF＝∠EAF＝45°，
∴以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，∠PCQ与∠BAC为45°故对应，
设Q（k，1），则CQ＝k+6，分两种情况：
① 如答图1，△CPQ1∽△ABC，
则 可得 ，
解得k＝﹣4，此时Q1（﹣4，1），
②如答图2，△CQ2P∽△ABC，
则 可得 ，
解得k＝3，此时Q2（3，1），
综上所述，存在直线AC上的点Q，使以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，这种Q有两个，分别是Q1（﹣4，1）、Q2（3，1），
故答案为：存在直线AC上的点Q，使以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q坐标分别是Q1（﹣4，1）、Q2（3，1）．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标代入函数解析式，可得到关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值，可得到函数解析式.
（2）利用待定系数法求出直线AB的函数解析式，再利用二次函数解析式，由y=1，可求出对应得x的值，可得到点C及AC的长；根据点P在AC下方抛物线上，设P（t， t2+2t+1），同时可表示出点E的坐标，可得到EP的长；然后根据S四边形AECP＝S△EAC+S△PAC，利用三角形的面积公式，表示出S与t的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出点P的坐标及四边形AECP面积的最大值.
（3）利用两函数解析式，可得到点E，F的坐标，同时可求出CP，AB的长，可得到CF＝FP＝EF＝FA＝3，由此可推出∠PCF＝∠CPF＝∠AEF＝∠EAF＝45°，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，∠PCQ与∠BAC为45°故对应，设Q（k，1），则CQ＝k+6，分情况讨论：△CPQ1∽△ABC；△CQ2P∽△ABC；利用相似三角形的对应边成比例，可得到关于k的方程，解方程求出k的值，然后求出点Q的坐标.
1 / 1
