绝密★启用前
山东中学联盟2023年高考考前热身押题
5.定义两个向量u与v的向量积u×v是一个向量，它的模|u×l=u·lsin
它的方向与u和v同时垂直，且以u,v,n的顺序符合右手法则（如图），
在棱长为2的正四面体ABCD中，则AB×AD·AC=
数学
2023.5
A.4v2
B.4
C.43
D.2v3
6.已知55<8，设a=log45,b=log34,c=号则
注意事项：
A.a>c>b
B.b>c>aC.c>b>a·
D.b>a>c
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
7.从古至今，中国人一直追求着对称美学.世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构一一故宫：金
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶…沿着一条
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
子午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，映衬着蓝天白云，宛如
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
东方仙境.再往远跳，一线贯穿的对称风格，撑起了整座北京
城.某建筑物的外形轮廓部分可用函数f(x)=√x-2a+√：的
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
图象来刻画，满足关于x的方程f(x)=b恰有三个不同的实数根
1.若集合A=xx是质数}，B={n∈NIA经≤90}，则AnB=
1,x2,x3,且x1A.{3,5,7)
B.23,5,7)C.3,5,79
D.{2,3,5,7,11,13]
A-器
B.
C.m
2.已知x1,x2是方程x2+2x+3.=0的两个根，则x1一x2值为
8.已知非零数列[an小，bn=a12aga,点(ab)在函数y=22的图象上，则数列{，2}的前2023
A.-8
B.2
C.2v2
D.2v2i
项的和为
3.在正六边形ABCDEF中，C丽=2D,若A丽=xA正+yAF,则x+y=
A.2-253205
B.2-2532mC.1-25324m
D.含2592a
1
A号
B.3
C.
n.号
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
4.物理学中的凸凹透镜的表面一般都是抛物面（抛物线绕着其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），我
国天文学家南仁东先生于1994年提出构想，2016年9月25日落成，2020年1月11日投入正式运行
9.甲、乙两人6次模拟考试英语成绩（不含听力）的统计折线图如下图所示，下列说法中正确的是
的“中国天眼”一一500m口径射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（如图1），若其上边缘一点P
A.若甲、乙两组成绩的平均数分别为元1，元2，则元1>元2
y1分一甲…乙
20
距离底部的落差约为156.25m,它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线的一部分，放入（如图2)所
B.若甲、乙两组成绩的方差分别为s吊，s吃，则s子>s吃
90
示的平面直角坐标系内.一条平行于对称轴的光线射到Q点，经抛物面反射后经过焦点射到P点，则PQ1
C.甲成绩的中位数大于乙成绩的第三四分位数
的长为
D.甲成绩的极差大于乙成绩的极差
10.设函数g(x)=sinωx(w>0)向左平移个单位长度得到函数f(x),若
0123456x1x
f(x)在(0，)上恰有2个零点，3个极值点，则下列说法正确的是
A9)在[受1上单调递减
B.ω的取值范围为（尝，纠
C.若g)的图象关于直线x=对称，则a=号
几.f)-9在区间（停，号）上存在最大值
11.已知点M(2,4),若过点N5,-2)的直线交圆C:(x-7)2+y2=9于A、B两点，R是圆C上的动点，则
A.AB列的最小值为2
图1
图2
B.IMA+M的最大值为v4I+v2
A.290m
B.420.25m
C.490m
D.620.25m
C.MN·MR的最小值为39-9V5
D.当SAMNRE取最大值时，底边MW上的高所在的直线方程为x-2y-7=0
高三数学试题第1页（共4页）
高三数学试题第2页（共4页）山东中学联盟 2023 年高考考前热身押题
数学答案解析 2023.5
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.答案：B
解析：由题意知： A {2,3,5, 7,11，13，17 }
由 A2 90得： n(n 1) 90，所以 9 n 10，n
即 B { x 9 n 10， n N且 n 2} {2 ，，3，4，5，6，7，8，9，10}
所以 A B {2,3,5，7}.
故选：B
2.答案：C
解析: = 22 4 × 1 × 3 = 8 < 0,方程有两个虚根，则 = 2+2 2i1 = 1 + 2i, =
2 2 2i
2 = 1 2i,2 2
所以| 1 2| = 1 + 2i + 1 + 2i = 2 2i = 2 2.
故选：C
3.答案：D
解析： 2 2 1 2 5 ,AH AB BC CD AB AF AD AB AF AB AF 2 AB AF
3 3 2 3 3
所以 ， .
x 2, y 5 11 x y
3 3
故选 D.
4.答案：B
解析：由题意知：抛物线 过点 250,156.25 ，设抛物线 : 2 = 2 > 0 ，
所以2502 = 2 × 156.25 ，解得： = 200，即抛物线 的方程为： 2 = 400 .焦点 （0,100）
= 156.25 100 =
9 9
;所以 的方程为 = + 100
250 40 40
2 = 400
联立方程组 2 = 9 + 100，消 得 90 40000 = 0, 1 + 2 = 90,
40
9
所以 1 + 2 = 1 + 2 + 200 = 220.25,所以 = 1 + 2 + = 420.25.40
故选：B
5.答案：A
解析： AB AD AB AD sin AB, AD 3 2 2 2 3， = 3 × × 2 = 2 3 , = 4 4 = 2 6,
2 2 3 3 3 3
数学试题解析 第 1 页（共 9 页）
2 6
在 ACO中， cos AC,OC OC 6 3 ,所以 × = 2 3 2
6
4 2 .
AC 2 3 3
故选：A.
6．答案：B
6
解析：因为36 < 45，所以 34 > 335，即 4 >
6
3 ，故 > ；5
因为55 < 84,所以 25 5 < 26，所以 45＝ 2 5 <
6 6
22 5 ，即 45 < ，故 > ；5
综上可知 > > ．
故选：B
7.答案：C
解析：因为 + 2 = | + 2 2 | + | + 2 | = | 2 | + | | = ，则 关于 = 对称
64
= + = 2 = =
所以 ,解方程组得： 81
16 64 80
16，所以 = = . = 2 + = = 9 81 81
9
故选：C
8.答案：A
解析：由已知条件知bn a1 a2 a3 an 1 an，则bn 1 a1 a2 a3 an 1(n 2)．
bn
所以 ab n． （*）n 1
x an 1
因为点 (an ,bn )在函数 y 的图象上，所以bn 2a 2 , 将（*）带入得
b b
2x 2 n n 1
．
n 2
3
当 n 1 3 1时，由 a1 b1，得 b1 ．所以数列 bn 是以 为首项， 为公差的等差数列．2 2 2
3 2b 2 n
所以bn n 1
1 n
1 , an n ，
2 2 2 2bn 1 1 n
an 2 n 1 1
因为 n (b 1) 2 n(n 1) 2n 1
n 2 n 1 ,
n n 2 (n 1) 2
1 1 1 1 1 1 1
所以 1 0 2 .1 2 2 2 2 20 3 21 2023 22021 2024 22022 253 22025
故选：A.
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得
5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9.答案：AC
解析：由折线图可知,甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学,其他次考试成绩都高于乙同学,所以 1 > 2.故选项 A
正确；
由折线图的变化趋势可知,甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定,由方差的意义可得 21 < 22.故选项 B 错误；
由折线图可得甲同学的成绩的第 3 和第 4 均大于 95，乙同学的成绩的第三四分位数小于 95，所以甲成绩的中位数
数学试题解析 第 2 页（共 9 页）
大于乙成绩的第三四分位数. 故选项 C 正确；
因为极差为数据样本的最大值与最小值的差,所以甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差,故选项 D 错误.
故选:AC
10.答案：BCD
解析：由题意知： f (x) sin( x )，
3
2
因为 ( )在(0, 2π )上恰有 2 个零点，3 个极值点，因为 x （0, ），所以 x （ , 2 ）
3 3 3 3 3 3
5 2 13
所以 3 ,解得 4，故选项 B 正确；
2 3 3 4
当 4时， x [ , ] [ , 2 ] g(x) [ ，所以 在 , ]上不单调，故选项 A 错误；
12 6 3 3 12 6
2 3 3k 13
对于 C 选项，若 ( )的图象关于直线 ＝ 2 对称，则 k ，k Z ，所以 ，因为 4，
3 3 2 4 2 4
15所以 ，故选项 C 正确；
4
对于 D 选项， f (x) g(x) sin( x ) sin x 1 sin x 3 cos x sin x =cos( x
)
3 2 2 6
x 2k ,k Z x 12k 1 (5 , 4 令 ，得 )，
6 6 6 3
(12k 1 12k 1 , ),k Z，当 k 2时， (
23 , 23) (13 , 4]，故选项 D正确；
8 5 8 5 4
故选：BCD
11. 答案：ACD
解析：对于 A 选项，当CN AB时， AB的值最小， CN 4 4 2 2，
AB 2 9 8 2，故选项 A 正确；
对于 B 选项，取 AB的中点P，CN 1的中点Q(6, 1)， PQ CN 2，2
P的轨迹方程为 (x 6)2 (y 1)2 2，
MA MB 2MP 2(MQ 2) 2 41 2 2，故选项 B 错误；
对于 C 选项，设 R(7 3cos ,3sin )，MN (3, 6)，MR (5 3cos ,3sin 4)，
=15 9cos 18sin 24 =39 9 5 sin( ) 39 9 5，故选项 C 正确；
对于 D 选项，当CR MN时， MNR的面积最大，
k 1MN 2, kCR ，2
所以底边 上的高所在的直线方程为 2 7 = 0，故选项 D 正确.
故选：ACD.
12.答案：ABD
数学试题解析 第 3 页（共 9 页）
解析：对于 A 选项，取CD、BB 的中点分别为M、N，则 EFGMHN构成平面六边形，故选项 A 正确；1
对于 B 选项，把直线 与直线 25的 ， 点平移到 1点，由余弦定理可求直线 与直线 所成角的余弦值为 ，26
故选项 B 正确；
对于 C 选项，当球与直四棱柱的上底面和 4 个侧面有交线时， 的取值范围是 (2 3,4) ,
当球与直四棱柱的下底面和 4 个侧面有交线时， 的取值范围是 (4 3,8) .故选项 C 错误；
对于 D 选项，此直四棱柱 - 1 1 1 1内切球最大半径为 3，此时两球心的距离为 31，
所以球 1的半径的最大值为 31 3 .故选项 D 正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.
解析：由题意知： 2sin( ) 4 sin( ) 2 5 ， ，sin = sin[( ) ] sin( ) 2 .
6 3 6 3 6 6 6 3
2
答案： .
3
14.
解析：由图可知: AB DE FG IJ JK MA 1, BCQ QCG GCP 600 , ABC 900 ,
ABC AQC , ACB 300 3, BC 3,S ABC ,2
3十三边形的面积为 16 8 3 .
2
答案：8 3
15．
解析: a2 2 1 a (a 2b) 2ab 2 1 6 ,
ab a(a 2b) ab a (a 2b )
1
ab a 3 ab
当且仅当 取等号,即 取等号．
a(a 2b) 1
3
b
a(a 2b) 3
所以 2 + 2 + 1 的最小值为 6.
( 2 )
答案：6
16.
解析：如图，记△AF1F2的内切圆圆心为 ，
内切圆在边 AF1、 AF2、 F1F2上的切点分别为M 、 N 、 E，
易知C、 E两点横坐标相等， AM AN ， F1M F1E ， F2N F2E ，
数学试题解析 第 4 页（共 9 页）
由 AF1 AF2 2a，即 AM F1M AN F2N 2a，
得 F1M F2N 2a，即 F1E F2E 2a，
记C点的横坐标为 x0，则 E x0 ,0 ，
则 x0 c c x0 2a，得 x0 a .
记△BF1F2的内切圆圆心为D，同理得内心D的横坐标也为 a,则CD x轴，
设直线 AB的倾斜角为 ，则 OF2D ， CF2O ，2 2 2
tan CF O tan r
r
在△CEF2中， 2
1 2
2 2
F E ，同理，在
△DEF2中， tan DF2O tan ， 2 2 F2E
tan
r 2
所以 1 3，即 tan
3
，所以 60 ，
r k 3 .2 tan 2 3
2
答案： 3
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(10 分)
解析：(1)在 中， = + ,所以, sin ( + ) + sin = 2 2 .即, 2 sin =
2 2 . …………………………………………2分
又因为 ≠ ，所以 ≠ 0,所以 = 2 ∈ (0,1],由正弦定理得， = 2 ,所以 为锐角，
2
所以 ∈ (0, 2 ] ,所以 ∈ (0, ]. ……………………………………………………4 分
2 4
（2）选①因为 = 2 , ∈ (0, ), 所以 = 3 或 ，………………………………………5分
2 4 4
当 = 时， = = 3 , = 2 = 2 sin 3 = + ,所以 =
4 4 4 4
0，…………………………………………6分
即 = 2 3 ，所以由正弦定理得 2 = ,所以 = 2 6; …………………………………………8分2
2 2
当 = 3 时， = 3 = , = 2 = 2 sin = ,所以 =
4 4 4 4
2 ，…………………………………………9分
5 2 3
所以 = ，所以由正弦定理得 2 = 5,所以 =
2 30
; …………………………10 分
5 5
2 5
选② B = + , = 2 = 2 sin = ,所以 = 0，………8 分
4 4
即 = 3 ，所以由正弦定理得 2 = ,所以 = 6; …………………………………………10 分2
2 2
选③因为 = 1，由（1）知 ∈ (0, ] ，所以 = , = 2 = 2,所以 = 3 或 = ，且
2 4 6 2 4 4
> …………………………………………5 分
数学试题解析 第 5 页（共 9 页）
= = = 7 所以 , ，…………………………………………7 分
4 6 4 12
又因为 = 2 ，由余弦定理得：
( 3 + 1)2 = 2 + 1 2 2 × × 2 × 2 6,解得 = 2,所以 = 2 = 2 2. ……………10 分
2 2 4
18.(12 分)
解：（1）由题意知，本月共卖出 70 台车，设 A 事件=“售价不低于 10 万”，A包括第一、二、三、四类，共 62 台
车，B事件=“利润率低于 0.1”，B包括第三类和第四类，共有 47 台．
则 ( | ) = ．…………………………………………3分
（2）用销售总额除以销售量得到汽车的销售单价，可知第一类到第五类的汽车的利润分别为 4.5 万元，2.5 万元，
1.6 万元，0.9 万元，1.2 万元，
+ +
设 2 台车的利润之和不低于 6 万元为事件 ，则 ( ) = = ．………………………………6 分
（3）由题意可得，随机变量 可能取的值为 . , . , . , . , . .
= . = = ， ( = . ) = = ， ( = . ) = ( = . ) = ， = ， ( = . ) = ，
…………………………………………8分
随机变量 的分布列为
0.9 1.2 1.6 2.5 4.5
因此 ( ) = × . + × . + × . + × . + × . = . ； …………………………………………10
分
. + . + . + . + .
又 = = 2.14，…………………………………………11 分
所以 ( ) < .………………………………………12 分
19. (12 分)
解：（1）由题意知
当 n 2时， a2n a(2n 1) 1 a2n 1 2 a(2n 2) 1 2 2a2n 2 4 .………………………………………2 分
设 a2n t 2(a2n 2 t)，则 a2n 2a2n 2 t，所以 t 4，即 a2n 4 2(a2n 2 4) .………………………3 分
又 a2 a1 2 0， a2 4 4 .
所以{a2n 4}是首项为 4，公比为 2的等比数列.
所以 a2n 4 4 2
n 1 2n 1 .即a n 12n 2 4 .…………………………………………4 分
（2）当n为偶数时，
S2n a1 a2 a2n 1 a2n a1 a2 a3 a4 a2n 1 a2n
21 1 6 21 1 4 22 1 6 22 1 4 2n 1 6 2n 1 4
21 2 10 22 2 10 2n 2 10
数学试题解析 第 6 页（共 9 页）
23 1 2n 23 24 2n 2 10n 10n 2n 3 10n 8……………………………………7 分1 2
令 S 2n 3 10n 8 250.则可解得 n 48 .即 S 250 S 250 .………………………………， 9 分2n 96 94
又因为
S95 S94 a95 2
47 3 10 47 8 a 2 25096 480 2
49 250……………………………………11 分
故 n的最小值为 95. …………………………………12 分
20.(12 分)
解析： (1) A B B D O A， ABD为等边三角形，AC BD，
所以 为底面圆的直径. …………………………………………1分
设AC 4，则AD 2 3，CD 2 S 3 （2 3）2 3 3 S 1 1， AC BD 4 2 3 4 3 ABD 4 四边形 ABCD 2 2
设E，G到底面的距离分别为 h1,h2，
V 9 V 1 9 1
h
1
3 AE 3
A BDE 16 G ABCD
即 3 3h1 4 3h2，所以 h 4 即 = …………………………………………4分3 16 3 AG 42
AM 3 AM AE 3
设AC，BD的交点为 M，AM 3 ,所以 ，即 ，连接EM，则EM//GC ,
AC 4 AC AG 4
EM 面EBD，GC 面EBD ，
所以GC//面EBD .…………………………………………5分
（2）设底面圆的圆心为O，过O作ON / /BD，
以 为坐标原点， ， ， 的方向为 , , 轴建立空间直角坐标系，…………………………6分
设F（2cos ，2 sin ，0）(0 2 )，则GF （2cos ，2 sin ， 2 3）
3
设平面 的一个法向量为 =( , , )
DB （0，2 3,0）,BE 3 3 3 （ ， 3， ），………………………8 分
2 2
2 3y 0
3 3 3 ，所以 =( 3, 0,1)……………………………9 分
x 3y z 0
2 2
sin cos GF,n 2 3 cos 2 3 2 3 cos 2 3 3 ………………………………………11 分
2 4 12 2 4 8
2
当且仅当 = ，即 与 重合时取等号.
3
所以 的最小值为 3. …………………………………………12 分
8
21.(12 分)
解析：(1）分别过F1,F2作 L的垂线，垂足分别为 E,F，连接 F1S,F2S,OK，由抛物线的定义，可得 F1S FE ，1 F2S F F ，2
数学试题解析 第 7 页（共 9 页）
则 F1S F2S F1E F2F 2 OK 4.…………………………………………2 分
因为 4 > | 1 2| = 2 3，所以焦点 的轨迹是以 1, 2为焦点的椭圆，其中 a 2,c 3,b 1，
x2
所以抛物线的焦点 的轨迹方程为 y2 1( ≠± 2).………………4 分
4
（1）设点 0, 0 ,过点 的直线的斜率为 ,则方程为 0 = ( 0),
0 = ( 0)
联立方程组 2 + 4 2 = 4 ,消 得 1 + 4
2 2 + 8 0 0 + 4 0 20 4 = 0,
= 64 0 2 2 4 1 + 4 20 4 0 20 4 = 0,
整理得 4 2 2 20 + 2 0 0 + 1 0 = 0，(*)
= 1
2
0 2 2 2 2
1 2 4 2
= 1,即 0 + 0 = 5,所以点 P 在方程为 + = 5 的圆上. ……………………6分
0
2 2
设 1, 1 , , , 点在椭圆上，则
1 + 2 2 2 2 12 2 4 1 = 1,则 4 1 = 4 1，1 1 = ,4
由(*)知， 1, 满足： 4 21 1 2 + 2 1 21 + 1 1 = 0
2
则 4 2 21 + 2
1
1 1 + = 0,即(2 1 +
1 )2 = 0,故 =
1 1
2 4 ,从而得切线 1的方程为 1 = ( 1)4 1 4 1
, 0 1整理得 1 + 1 = 1,点 0 0 满足方程，则 + = 1
0 2
4 0 1 ,同理可得
+ = 1
4 4
0 2
即点 1, 1 , 2, 满足方程
0
2 + 0 = 1，所以 的方程为
0 + 0 = 1. ………………………8分4 4
0 + 0 = 14 2 1 + 0 2 2 0 4 8 0 16(1
2
0)
2
消 得
4 2
2 + 2 4 = 0, 1 + = 2 2 , +4 2 1 2 = 2 ,2 0 0 0 0 0 0+4 2+ = 1 0
4
= 1+ 2 = 2 5(1+3
2
0)
1 2 2 .…………………………………………9分5+3 0
2 20
4 +
2
0 1 0+
2
+ = + 1 = 4 0 = 5+3
2
0
1 2
2 2 2 2 ;
2+ 0 2
+ 0 2
0 5 3 +1
0 16 0 16 0+
0
16
2 2
1四边形 = 1 + 2 =
5(1+3 0) 5+3 0 = 3 2 + 1, ( 22 0 0 ∈ [0,5])2 5+3 . ……………………………11 分0 5 3 20+1
所以 四边形 ∈ [1,4] .…………………………………………12 分
22. (12 分)
解：（1）设函数 f (x) ex 1的切点为 (m,em 1)，因为 f (x) ex 1，所以 k em 1.
所以 f (x) ex 1在 (m,em 1)处的切线方程为 y em 1x (1 m)em 1，……………………………………1分
1
设函数 g(x) lnx a的切点为 (n,lnn a)，因为 g (x) 1 ，则 k ,
x n
所以 g(x) lnx a在点 (n,lnn a) 1处的切线方程为 y x lnn a 1，
n
em 1
1
由题意得 n ，则 (m 1)em 1 m a 0，………………………………………2 分
(1 m)e
m 1 lnn a 1
数学试题解析 第 8 页（共 9 页）
令 h(m) (m 1)em 1 m a，则 h (m) mem 1 1， h (m) (m 1)em 1,(m R)，
当m 1时， h (m) 0；当m 1时， h (m) 0， h (m)单调递增，
又 h （1） 0，m 1时， h (m) 0，当m 1时， h (m) 0.
所以当m 1时， h (m) 0， h(m)在( ∞,1)上单调递减；当m 1时， h (m) 0， h(m)在(1, + ∞)上单调递增，
h(m)min h(1) 1 a 0，即 a 1.…………………………………………4分
下证当 a 1时， h(m)存在两个零点.
h(a 1) (a 2)ea 2 1 1 1 0，又 h(3 a) (2 a)e2 a 2a 3 (2 a)(3 a) 2a 3 3 3 (a )2 0，
e 2 4
h（1） a 1 0，所以函数 h(m)在 (a 1,1)和 (1,3 a)内各有一个零点，
故当 a 1时，总存在两条直线与曲线 y f (x)与 y g(x)都相切；…………………………………………6 分
= 1 1 1 1（2）因为 ，由（1）知，取 = ,则函数 = + 的切线为 = ,2 2
令 = 2 2 1, ， = 2 2 = 0，解得 = ,
当 ∈ 0, 时， ， < 0, ( )，在 0, 上单调递减，
当 ∈ , + ∞ 时， ， > 0, ( )在 , + ∞ 上单调递增，…………………………………………7 分
所以 ( ) = = 0
2
,即 x 2ln x 1，……………………………………8 分
e
ex 1 2
下证不等式 x成立.
x e
令 k(x)
2
e x x 2 1,k (x) e x 4 x,k (x) 4 e x 0 ，解得 x 2ln2 1 ,
e e e 2
当 x (0,2 ln 2
1
)时,k (x) 0,当x (2 ln 2 1 , )时,k (x) 0,…………………………10 分
2 2
所以 k (x)在 (0,2 ln 2 1 1 )上单调递减，在 (2 ln 2 , )上单调递增，
2 2
所以 k (x)min g (2 ln 2
1
) 2(3 ln 2) 0.114 0 .所以函数 k(x)在 (0, )上单调递增，k(x) k(0) 0，即
2 4
x
对任意 x (0, ) e 1 2， x,……………11 分
x e
ex 1 2
所以 x 2ln x 1，即不等式 e xx e 2 x ln x x 1得证.
所以 2 > 1成立.…………………………12 分
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