安徽省合肥市庐江县2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题（含答案）

2022-2023学年安徽省合肥市庐江县九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题:（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的。
1．在实数2，﹣1，0，﹣3中，最小的数是（　　）
A．2 B．﹣1 C．0 D．﹣3
2．下列计算正确（　　）
A．a2+a2＝2a4 B．a a5＝a5 C．a6÷a2＝a4 D．a5﹣a2＝a3
3．安徽省农业农村厅发布通知，下达2023年度全省农田建设任务，据通知，2023年全省计划新建高标准农田200万亩，“200万”用科学记数法表示为（　　）
A．2×102 B．2×106 C．200×104 D．0.2×107
4．这是一个水平放置的木陀螺（上面是圆柱体，下面是圆锥体）玩具，它的主视图（　　）
A． B．
C． D．
5．两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠ABD＝90°，∠C＝45°，∠D＝30°，AD与BC交于点E．则∠AEB＝（　　）
A．75° B．95° C．100° D．105°
6．某通讯公司推出一种每月话费的套餐，其用户应缴费用s（元）与通话时间t（分）之间的关系如图所示，若某用户缴费40元，则其通话时间为（　　）
A．120分钟 B．160分钟 C．180分钟 D．200分钟
7．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，若∠BCO＝40°，AO＝4，则的长为（　　）
A．π B．π C．π D．π
8．已知a，b，c是互不相等的三个实数，且a＝2b﹣c，则下列结论正确的是（　　）
A．b2﹣ac＞0 B．b2﹣ac＝0 C．b2﹣ac＜0 D．b2﹣ac≥0
9．如图、点M，N，P，Q分别是菱形ABCD各边的中点，连接MP，NQ交于点O，从图中任取一个四边形，恰好是菱形的概率是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴，y轴上的动点，且AB＝7，点P的坐标为（3，4），若点M是AB的中点，则PM的最小值为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．不等式﹣1＞1的解集为 　 　．
12．因式分解：2x2﹣18＝　 　．
13．如图，⊙O的直径AB＝12，弦CD⊥AB于点E，连接BD，若BD＝CD，则AE的长是 　 　．
14．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD．则：
（1）∠ABE　 　∠C（填“＞”或“＝”或“＜”）；
（2）若BD：BC＝2：5，AD＝12，则DE的长是 　 　．
三、解答题：（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：（2023+π）0﹣2sin60°+|﹣|．
16．如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线l经过小正方形的边．
（1）画出△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1；
（2）将（1）中的△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1，画出△A2B2C1．
四、解答题：（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．观察下列等式：
第1个等式：﹣﹣＝﹣；
第2个等式：﹣﹣＝﹣；
第3个等式：﹣﹣＝﹣；
第4个等式：﹣﹣＝﹣；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：　 　；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示）．并证明．
18．某家电超市销售一款智能水壶，平均每天可售出20件，每件赢利60元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，超市决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件水壶每降价1元，超市平均每天可多售出2件，若超市销售水壶平均每天要赢利2000元，每件水壶应降价多少元？
五、解答题：（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．小亮和小强同时登青阳山，小亮从北坡山脚C处出发，以12米/分钟的速度攀登，小强从南坡山脚B处出发．如图，已知青阳山北坡的坡度i＝1：2，北坡长为120米，南坡的坡角是45°．问小强以什么速度攀登才能和小亮同时到达山顶A？（将山路AB，AC看成线段）
20．如图，一次函数y＝ax+b（a，b是常数，a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A（﹣2，﹣2）和点B（m，4）．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）已知x轴上的一点C（3，0），连接CB，CA，求△ABC的面积．
六、（本题满分12分）
21．为了解“双减政策”落实情况，某校随机抽取了部分学生每天的睡眠时间进行调查，分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的统计图表．
等级 每天睡眼时间（x小时） 频数 频率
A x≤6 m 0.05
B 6＜x≤7 21 0.35
C 7＜x≤8 n a
D x＞8 6 0.1
根据图表信息，回答下列问题：
（1）这次随机抽查的学生人数是 　 　人；表中：m＝　 　，n＝　 　，a＝　 　；
（2）随机抽查的学生睡眠时间的中位数在哪个等级（直接写出结果）；
（3）若全校有1400人，请估计睡眠时间超过7小时的学生人数．
七、（本题满分12分）
22．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为原点），A两点，已知二次函数图象经过点（﹣2，6），且其对称轴为直线x＝2．
（1）试确定二次函数的表达式；
（2）已知y轴上一点B（0，4），点P是二次函数图象上位于x轴下方的一点，连接PA，PB，AB．设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S．
①求S与t之间的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）；
②当S取最大值时，求点P的坐标．
八、（本题满分14分）
23．如图，正方形ABCD中，E是AD上一点，作AP⊥BE于点P，连接CP，作PF⊥PC交AB于点F．
（1）求证：∠AFP＝∠BCP；
（2）求证：AE＝AF；
（3）若正方形ABCD的边长为3，BF＝2，求PF2的值．
参考答案
一、选择题:（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的。
1．在实数2，﹣1，0，﹣3中，最小的数是（　　）
A．2 B．﹣1 C．0 D．﹣3
【分析】正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，由此即可比较大小．
解：∵|﹣1|＜|﹣3|，
∴2＞0＞﹣1＞﹣3，
∴最小的数是﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查实数的大小比较，关键是掌握实数的大小比较方法．
2．下列计算正确（　　）
A．a2+a2＝2a4 B．a a5＝a5 C．a6÷a2＝a4 D．a5﹣a2＝a3
【分析】直接利用整式的乘除运算法则、合并同类项法则分别化简，进而判断即可．
解：A．a2+a2＝2a2，故此选项不合题意；
B．a a5＝a6，故此选项不合题意；
C．a6÷a2＝a4，故此选项符合题意；
D．a5﹣a2，无法合并，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了整式的乘除运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．安徽省农业农村厅发布通知，下达2023年度全省农田建设任务，据通知，2023年全省计划新建高标准农田200万亩，“200万”用科学记数法表示为（　　）
A．2×102 B．2×106 C．200×104 D．0.2×107
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．
解：200万＝2000000＝2×106．
故选：B．
【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．
4．这是一个水平放置的木陀螺（上面是圆柱体，下面是圆锥体）玩具，它的主视图（　　）
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
解：观察图形可知，该几何体的主视图如下：
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
5．两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠ABD＝90°，∠C＝45°，∠D＝30°，AD与BC交于点E．则∠AEB＝（　　）
A．75° B．95° C．100° D．105°
【分析】利用三角形内角和定理求解即可．
解：由题意，∠BAD＝60°，∠ABC＝45°，
∴∠AEB＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
故选：A．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．某通讯公司推出一种每月话费的套餐，其用户应缴费用s（元）与通话时间t（分）之间的关系如图所示，若某用户缴费40元，则其通话时间为（　　）
A．120分钟 B．160分钟 C．180分钟 D．200分钟
【分析】先用待定系数法求出函数解析式，再把s＝40代入解析式求t即可．
解：设用户应缴费用s（元）与通话时间t（分）之间的关系为s＝kt+b，
把（0，20）和（100，30）代入解析式得：，
解得，
∴s＝t+20，
当s＝40时，t+20＝40，
解得t＝200，
∴某用户缴费40元，其通话时间为200分钟，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是根据图象求出函数关系式．
7．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，若∠BCO＝40°，AO＝4，则的长为（　　）
A．π B．π C．π D．π
【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形外角性质计算出∠AOC＝80°，然后利用弧长公式求解．
解：∵OB＝OC，
∴∠B＝∠BCO＝40°，
∴∠AOC＝∠B+∠BCO＝80°，
∴的长为＝π．
故选：D．
【点评】本题考查了弧长的计算：l＝，其中弧长为l，圆心角度数为n°，圆的半径为R．
8．已知a，b，c是互不相等的三个实数，且a＝2b﹣c，则下列结论正确的是（　　）
A．b2﹣ac＞0 B．b2﹣ac＝0 C．b2﹣ac＜0 D．b2﹣ac≥0
【分析】根据完全平方公式以及偶次方的非负性解决此题．
解：∵a＝2b﹣c，
∴b＝．
∴＝．
∵a≠c，
∴b2﹣ac＞0．
故选：A．
【点评】本题主要考查完全平方公式、偶次方的非负性，熟练掌握完全平方公式以及偶次方的非负性是解决本题的关键．
9．如图、点M，N，P，Q分别是菱形ABCD各边的中点，连接MP，NQ交于点O，从图中任取一个四边形，恰好是菱形的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先确定图中四边形的总个数，再确定菱形的个数，根据概率公式计算即可．
解：∵图中四边形的总个数为9个，其中菱形的个数为5个，
∴从图中任取一个四边形，恰好是菱形的概率是．
故选：C．
【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴，y轴上的动点，且AB＝7，点P的坐标为（3，4），若点M是AB的中点，则PM的最小值为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【分析】连接OP、OM，则OM＝AB＝3.5，由点P的坐标为（3，4），根据勾股定理求得OP＝5，再根据“两点之间线段最短”得3.5+PM≥5，即可求得PM的最小值为1.5，于是得到问题的答案．
解：连接OP、OM，
∵∠AOB＝90°，点M是AB的中点，AB＝7，
∴OM＝AB＝×7＝3.5，
∵点P的坐标为（3，4），
∴OP＝＝5，
∵OM+PM≥OP，
∴3.5+PM≥5，
∴PM≥1.5，
∴PM的最小值为1.5，
故选：B．
【点评】此题重点考查图形与坐标、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．不等式﹣1＞1的解集为 　x＞4　．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
解：﹣1＞1，
＞1+1，
＞2，
∴x＞4．
故答案为：x＞4．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
12．因式分解：2x2﹣18＝　2（x+3）（x﹣3）　．
【分析】先提公因式，再运用平方差公式分解．
解：2x2﹣18＝2（x2﹣9）＝2（x+3）（x﹣3），
故答案为：2（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13．如图，⊙O的直径AB＝12，弦CD⊥AB于点E，连接BD，若BD＝CD，则AE的长是 　3　．
【分析】连接BC，OC，AC，如图，先根据垂径定理得到CE＝DE，则可判断△BCD为等边三角形，所以∠D＝60°，利用圆周角定理得到∠A＝∠D＝60°，再证明△OCA为等边三角形，
然后根据等边三角形的性质得到AE＝OA．
解：连接BC，OC，AC，如图，
∵直径AB＝12，
∴OA＝6，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE，
即AB垂直平分CD，
∴BC＝BD，
∵BD＝CD，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠D＝60°，
∴∠A＝∠D＝60°，
∵OA＝OC，
∴△OCA为等边三角形，
∵CE⊥OA，
∴OE＝AE＝OA＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等边三角形的判定与性质．
14．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD．则：
（1）∠ABE　＝　∠C（填“＞”或“＝”或“＜”）；
（2）若BD：BC＝2：5，AD＝12，则DE的长是 　4　．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠BED＝∠BDE，由等角的补角相等得到∠AEB＝∠ADC，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）先证明△ABE∽△ACD，根据相似三角形的性质证得AE与AD的比值，根据AD＝12求出AE的值，进而求出DE的值．
解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE，
∴∠AEB＝∠ADC，
∴∠ABE＝∠C．
故答案为：＝；
（2）由（1）得∠BAD＝∠CAD，∠AEB＝∠ADC，
∴△ABE∽△ACD，
∴，
∵BD：BC＝2：5，
∴，
∵BE＝BD，
∴，
∵AD＝12，
∴AE＝8，
∴DE＝12﹣8＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
三、解答题：（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：（2023+π）0﹣2sin60°+|﹣|．
【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
解：（2023+π）0﹣2sin60°+|﹣|
＝1﹣2×+
＝1﹣+
＝1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
16．如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线l经过小正方形的边．
（1）画出△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1；
（2）将（1）中的△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1，画出△A2B2C1．
【分析】（1）根据轴对称的性质画出点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1，即可画出△A1B1C1；
（2）根据旋转的性质即可将△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1．
解：（1）如图所示；△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示；△A2B2C1即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握旋转和轴对称的性质．
四、解答题：（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．观察下列等式：
第1个等式：﹣﹣＝﹣；
第2个等式：﹣﹣＝﹣；
第3个等式：﹣﹣＝﹣；
第4个等式：﹣﹣＝﹣；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：　　；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示）．并证明．
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；
（2）分析所给的等式的形式，再把式子的左边进行整理即可求证．
解：（1）由题意得：第5个等式为：，
故答案为：；
（2）猜想：第n个等式为：，
证明：等式左边＝
＝
＝
＝
＝
＝右边，
故猜想成立．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
18．某家电超市销售一款智能水壶，平均每天可售出20件，每件赢利60元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，超市决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件水壶每降价1元，超市平均每天可多售出2件，若超市销售水壶平均每天要赢利2000元，每件水壶应降价多少元？
【分析】设每件水壶应降价x元，则每件盈利（60﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，利用商场每天销售该款水壶获得的总利润＝每件水壶的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽快减少库存，即可得出每件水壶应降价40元．
解：设每件水壶应降价x元，则每件盈利（60﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，
依题意得：（60﹣x）（20+2x）＝2000，
整理得：x2﹣50x+400＝0，
解得：x1＝40，x2＝10．
又∵要尽快减少库存，
∴x＝40符合题意．
答：每件水壶应降价40元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．
五、解答题：（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．小亮和小强同时登青阳山，小亮从北坡山脚C处出发，以12米/分钟的速度攀登，小强从南坡山脚B处出发．如图，已知青阳山北坡的坡度i＝1：2，北坡长为120米，南坡的坡角是45°．问小强以什么速度攀登才能和小亮同时到达山顶A？（将山路AB，AC看成线段）
【分析】过A作BC的垂线AD，在Rt△ACD中，可通过解直角三角形求出AD的长，进而在Rt△ABD中求出坡面AB的长得解．
解：过点A作AD⊥BC于D．
在Rt△ACD中，tanC＝i＝，
设AD＝x，则CD＝2x，
根据勾股定理得AD2+CD2＝AC2，
即x，
解得x＝120，
∴AD＝120（米），
在Rt△ABD中，∠B＝45°，
∴AB＝＝240（米），
240÷（120）＝240÷10＝24（米/分），
答：小强以24米/分钟速度攀登才能和小亮同时到达山顶A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是添加辅助线，构造出直角三角形；在两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边是解此类题的一般思路．
20．如图，一次函数y＝ax+b（a，b是常数，a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A（﹣2，﹣2）和点B（m，4）．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）已知x轴上的一点C（3，0），连接CB，CA，求△ABC的面积．
【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数，再把B点坐标代入所求得的反比例函数解析式，求得m，进而把A、B的坐标代入一次函数解析式便可求得一次函数的解析式；
（2）由一次函数的解析式求得与x轴的交点D的坐标，然后根据S△ABC＝S△ACD+S△BCD即可求得．
解：（1）点∵A（﹣2，﹣2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝﹣2×（﹣2）＝4，
∴反比例函数的解析式为：y＝，
把B（m，4）代入y＝，得m＝1，
∴B（1，4），
把A（﹣2，﹣2），B（1，4）都代入一次函数y＝ax+b，得，
解得，
∴一次函数的解析式为：y＝2x+2；
（2）设直线y＝2x+2与x轴的交点为D，
对于y＝2x+2，当y＝0时，2x+2＝0，解得x＝﹣1，
∴D（﹣1，0），
∵C（3，0），
∴CD＝4，
∴S△ABC＝S△ACD+S△BCD＝＝12．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21．为了解“双减政策”落实情况，某校随机抽取了部分学生每天的睡眠时间进行调查，分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的统计图表．
等级 每天睡眼时间（x小时） 频数 频率
A x≤6 m 0.05
B 6＜x≤7 21 0.35
C 7＜x≤8 n a
D x＞8 6 0.1
根据图表信息，回答下列问题：
（1）这次随机抽查的学生人数是 　60　人；表中：m＝　3　，n＝　30　，a＝　0.5　；
（2）随机抽查的学生睡眠时间的中位数在哪个等级（直接写出结果）；
（3）若全校有1400人，请估计睡眠时间超过7小时的学生人数．
【分析】（1）根据D等级的频数和频率求出总人数，再根据“频率＝”求出m，n、a的值；
（2）根据中位数的定义可得答案；
（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．
解：（1）调查的学生人数为6÷0.1＝60（人），
∴m＝60×0.05＝3；
n＝60﹣3﹣21﹣6＝30；
a＝30÷60＝0.5．
故答案为：60；3；30；0.5；
（2）由题意可知，随机抽查的学生睡眠时间的中位数在C等级；
（3）1400×（0.5+0.1）＝840（人），
答：估计睡眠时间超过7小时的学生人数大约为840人．
【点评】本题考查了扇形统计图，频率分布表等知识，掌握利用统计图获取信息是关键．
七、（本题满分12分）
22．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为原点），A两点，已知二次函数图象经过点（﹣2，6），且其对称轴为直线x＝2．
（1）试确定二次函数的表达式；
（2）已知y轴上一点B（0，4），点P是二次函数图象上位于x轴下方的一点，连接PA，PB，AB．设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S．
①求S与t之间的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）；
②当S取最大值时，求点P的坐标．
【分析】解：（1）用待定系数法即可求解；
（2）①由S＝S△PHB+S△PHA＝PH×AO，即可求解；
②由S＝﹣t2+2t+8＝﹣（t﹣1）2+9≤9，即可求解．
解：（1）抛物线过点O，则c＝0，则抛物线的表达式为：y＝ax2+bx，
∵抛物线对称轴为x＝2，则点A（4，0），
将（﹣2，6）和点A的坐标代入抛物线表达式得：
，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x；
（2）①设直线AB的表达式为：y＝kx+4，
将点A的坐标代入上式得：0＝4k+4，
解得：k＝﹣1，
即直线AB的表达式为：y＝﹣x+4，
过点P作PH∥y轴交AB于点H，
∵点P的横坐标为t，则点P（t，t2﹣2t），则点H（t，﹣t+4），
则S＝S△PHB+S△PHA＝PH×AO＝×（﹣t+4t﹣t2+2t）×4＝﹣t2+2t+8，
即S＝﹣t2+2t+8；
②∵S＝﹣t2+2t+8＝﹣（t﹣1）2+9≤9，
即S有最大值，此时，t＝1，
则点P的坐标为：（1，﹣1.5）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，函数的最值等知识，题目较为容易．
八、（本题满分14分）
23．如图，正方形ABCD中，E是AD上一点，作AP⊥BE于点P，连接CP，作PF⊥PC交AB于点F．
（1）求证：∠AFP＝∠BCP；
（2）求证：AE＝AF；
（3）若正方形ABCD的边长为3，BF＝2，求PF2的值．
【分析】（1）根据垂直的定义及直角三角形的性质推出∠APF＝∠CPB，根据正方形的性质及三角形内角和定理即可得解；
（2）结合正方形的性质推出△APF∽△BPC，△APE∽△BPA，根据相似三角形的性质得到＝，＝，根据正方形的性质得到AB＝BC，据此即可得解；
（3）根据正方形的性质、相似三角形的性质结合（2）求出CP＝3PF，连接CF，根据勾股定理求出CF2＝13，再根据勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵AP⊥BE，
∴∠APB＝90°，
∴∠APF+∠BPF＝90°，∠PAB+∠ABP＝90°，
∵PF⊥PC，
∴∠CPF＝90°，
∴∠CPB+∠BPF＝90°，
∴∠APF＝∠CPB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠CBP＝90°，
∴∠PAB＝∠CBP，
∵∠BCP+∠CPB+∠CBP＝180°，∠AFP+∠PAB+∠APF＝180°，
∴∠AFP＝∠BCP；
（2）证明：∵∠APF＝∠CPB，∠PAF＝∠CBP，
∴△APF∽△BPC，
∴＝，
∵∠PAF+∠PAE＝90°，∠PAE+∠PEA＝90°，
∴∠PAF＝∠PEA，
又∵∠APE＝∠BPA＝90°，
∴△APE∽△BPA，
∴＝，
∴＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，
∴AE＝AF；
（3）解：由（2）知，△APF∽△BPC，
∴＝，
∵正方形ABCD的边长为3，BF＝2，
∴AF＝AB﹣BF＝3﹣2＝1，
∴＝，
∴CP＝3PF，
连接CF，
∵∠ABC＝90°，
∴CF2＝BF2+BC2＝22+32＝13，
又∵PF⊥PC，
∴PF2+PC2＝CF2，
∴PF2+（3PF）2＝13，
∴PF2＝．
【点评】此题是四边形综合题，考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质并作出合理的辅助线是解题的关键．