博罗县 2022-2023 学年下学期高二期中调研考试
数学参考答案与评分细则
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分．
1 2 3 4 5 6 7 8
A B C D A D C A
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题满分 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分．
9 10 11 12
ABC AD ABC ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. ; 14. ; 15. （答案不唯一）;
16. ,
1．【解析】由，或，
故选：A
2．【解析】李明上学骑单车准时到校的概率为，乘坐公共汽车准时到校的概率为，因此李明准时到校的概率为：， 故选：B
3．【解析】因为，所以.
令得，
当时，，当时，.
故的单调递增区间为和，单调递减区间为.
则当时，取得极小值，且极小值为. 故选：C
4．【解析】由导函数的图象可知，0是极大值点2是极小值点，故选：D.
5．【解析】根据题意，分2步进行分析：①将5名优秀学生分为3组，若分为3、1、1的三组，有种分组方法，若分为2、2、1的三组，有种分组方法，故共有种分组方法，②将分好的3组安排到3个地方进行研学旅行，有种情况，则有种安排方法. 故选：A.
6．【解析】观察分析出“杨辉三角”中的数的特点：每一行有个数字，每一行两端的数字均为1，从第二行起，每一行中间的数字等于它上一行对应（即两肩上）的两个数字的和，即 ，所以 故选：D
7．【解析】由题意可得，
则，解得，所以， 所以．
故选：C．
8．【解析】由题意知，对任意的，恒成立
不妨设，可得，即，
设函数，则在上的单调递减函数，
又由，所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，
由二次函数的性质，可得在上为单调递减函数，
所以，所以，所以，
解得，即实数的取值范围为.故选：A.
9．【解析】二项式的展开式的通项为，
当时，，知A正确；
当时，，知B正确；
当时，，知C正确；
当时，，知D错误．故选：ABC．
10．【解析】A，因为，所以，故正确；
B，因为，所以，故错误；
C，因为，所以，故错误；
D，因为，所以，故正确. 故选：AD.
11．【解析】安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，
选项A：如果社区A必须有同学选择，
则不同的安排方法有（种）.判断正确；
选项B：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种）.判断正确；
选项C：如果三名同学选择的社区各不相同，
则不同的安排方法共有（种）.判断正确；
选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，
再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，
则不同的安排方法共有（种）.判断错误. 故选：ABC
12．【解析】由题意得：，
有两个极值点，有两个变号零点，
又，只需，即有两个不等实根，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，又当时，；时，，
可得图象如下图所示，
当，即时，有两个不等实根，且，
即当时，有两个极值点，A正确，B错误；
，，即，，
，又，，
，C正确；
当，时，；当时，；
所以在，上单调递减，在上单调递增，
，，，，D正确.
故选：ACD.
13．【解析】令得，，
令得，，两式相加得.
故答案为：
14．【解析】依题意，，，
所以． 故答案为：.
15．【解析】，故，
则函数在点处的切线为，
不妨令，，故在上，
，故，则函数在点处的切线为，满足要求.故答案为：（答案不唯一）
16．【解析】由题设，当时，，且单调递减；
当时，，且单调递增；
当，，且单调递减；
当，，且单调递增；
综上，的函数图象如下：
所以有四个不同零点，即与有四个交点，由图知：，
则在上，在上，
令，则，即是的两个根，故，
而是，即的两个根，故，
所以. 故答案为：，
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.（1）解：因为，........................................................................................1分
所以，....................................................................................................................2分
又，所以曲线在处的切线方程为，
即；...................................................................................................................4分
解：设切点为，则，
所以切线方程为， .................................................................7 分
因为切线过点，所以，
即，解得， ....................................................................................... 9分
故所求切线方程为． .................................................................................10分
18. 解：(1)根据题意，若必须在内，先在其余6人中选出4人，
再与全排列即可，一共有种排法， ..............................................4分
(2)根据题意，在7人中选出5人排成一排，有种排法，
若都在内，有种排法，
则三人不全在内的排法有种， .....................................8分
(3)根据题意，先在其他4人中选出2人，有种选法，
将看成一个整体，与选出2人全排列，有种排法，
排好后，有2个空位可用，在其中选出1个，安排，有2种情况，
则有种排法． ..............................................................................12分
19.（1），解得 ..................2分
设中位数为x，因为学生成绩在的频率为，
在的频率为
所以中位数满足等式，解得
故这100名学生本次历史测试成绩的中位数为。.................................................6分
（2）成绩在的频数为 .....................................................7分
成绩在的频数为 ..........................................................8分
按分层抽样的方法选取5人，则成绩在的学生被抽取人，
在的学生被抽取人. ........................................................................9分
从这5人中任意选取2人，都不选考历史科目的概率为，
故这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率为. ...................12分
20.（1）由①可知，解得；
由②得令得；
由③得，要使该项为常数，则；
则条件①与③得到的是同一结果，所以只有选择条件①与②或条件②与③；............2分
该两种组合都会得到，
所以，解得；...................................................................................3分
所以二项式系数最大的项为：
或 ..................................5分
（2）由（1）可知，，所以有 .............7分
所以展开式中的项为
....................................9分
令， .............................................................................10分
解得； ..........................................................................................................11分
所以常数项为. .......................................................................................12分
（1）由已知，，（其中）；
∴；........................................................................2分
由，即， 解得；
即加工产品订单金额时，该企业的加工费随的增加不断增长..................4分
（2）依题意，企业加工生产不出现亏损，
则当时，都有，
即，...........................................................................................5分
令，，则
；......................................7分
令，则
，
可知在上单调递减，从而；.....................................9分
又，..........................................................10分
即时，知在上单调递减，
因此，，........................................................................................11分
即；
故当美元的贬值指数时，该企业加工生产不会亏损.......................12分
（1）依题意：，
在上递增，
对恒成立，...................................................................1分
即对恒成立，.....................................................................................2分
只需...............................................................................................................3分
，
，当且仅当时取等号，
，
的取值范围是；......................................................................................................4分
（2）由己知得，即，
两式相减得：，
即，.......................................................................................6分
由，
得：
，............8分
令，其中；........................................................9分
则有恒成立，
是上的减函数，.......................................................................................................10分
，
所以，.....................................................................................................11分
又，，
.......................................................................................................................12分
答案第1页，共6页博罗县 2022-2023 学年度第二学期高二期中学科质量检测
数学试题
总分：150 分，测试时间：120 分钟
第一部分（选择题，共 60 分）
一、单项选择题：本题共有 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出
的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位
置上用铅笔涂黑。
1．函数 f x 1 x3 1 x2的单调递增区间是（ ）
3 2
A． , 1 , 0, B． , 1 0,
C． 1,0 D. ,0 , 1,
2．“保护环境，绿色出行”是现代社会提倡的一种环保理念，李明早上上学的时候，可以乘
坐公共汽车，也可以骑单车，已知李明骑单车的概率为 0.7，乘坐公共汽车的概率为 0.3，而
且骑单车与乘坐公共汽车时，李明准时到校的概率分别为 0.9 与 0.8，则李明准时到校的概
率是（ ）
A．0.9 B．0.87 C．0.83 D．0.8
3．函数 f x x3 1 x2 4x的极小值为（ ）
2
A． 4 B．1 C． 5 104 D．
3 2 27
4．设 f ' (x)是函数 f（x）的导函数， y f ' (x)的图像如图所示，则 y f (x)的图像最有
可能的是（ ）
试卷第 1页，共 6页
A． B．
C． D．
5．安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，
因此山地较多，著名的山也有很多，比如：黄山、九华山、天柱山.某校开设了研学旅行课
程，计划将 5名优秀学生分别派往这三个地方进行研学旅行，每座山至少有一名学生参加，
则不同的安排方案种数是（ ）
A．150 B．120 C．160 D．180
6．杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详解九章算法》一书中，画的一张
表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．下
面是 (a b)n n N ，当 n 1, 2,3, 4,5,6时展开式的二项式系数表示形式．
借助上面的表示形式，判断 与 的值分别是（ ）
A．5,9 B．5,10 C．6,9 D．6,10
7．若函数 f x x3 f 1 x2 3，则 f 1 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
f (x ) f (x )
8．已知函数 f x ax2 ln(x 1) x，对任意的 x1, x 1 22 (1, ), 1x x 恒成立，则实1 2
数 的取值范围是（ ）
1
A． a B． a 1 1 1 C． a D． a
4 4 4 4
试卷第 2页，共 6页
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题满分 5 分，共 20 分．在每小题给出的
四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选
错的得 0分.
5
9．在二项式 3x2 2 的展开式中，有（ ）
x
A．含 x的项 B．含 1
x2
的项
C．含 x4的项 D．含
1
4 的项x
10．下列求导运算正确的是（ ）
A．若 f x sin 2x 1 ，则 f x 2cos 2x 1
B．若 f x e 0.05x 1，则 f x e 0.05x 1
C．若 f (x) x ，则 f x 1 x x e ex
D．若 f x x ln x，则 f x ln x 1
11．高二年级安排甲、乙、丙三位同学到 A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，
每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法
正确的有（ ）
A．如果社区 A必须有同学选择，则不同的安排方法有 61 种
B．如果同学甲必须选择社区 A，则不同的安排方法有 25 种
C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有 60 种
D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有 20 种
12．已知 a为常数，函数 f x ex x aex 有两个极值点 x1, x2 x1 x2 ，则（ ）
A． a
1 1
的取值范围是 0, B． a的取值范围是 ,2 2
C． f x1 0 D． f x2
1
2
试卷第 3页，共 6页
第二部分（非选择题，共 90 分）
三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在答题卷
相应横线上。
13．若 x 2 5 a 2 3 4 50 a1x a2x a3x a4x a5x ，则 a0 a2 a4 ____________.
14．从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 9 个数字中不放回地依次取 2个数，事件 A “第一
次取到的是偶数”， B “第二次取到的是奇数”，则 P B A ___________.
15．与函数 f x e3x 1在点 0,0 处具有相同切线的一个函数的解析式是__________．
e|x 1|, x 0
16．已知函数 f (x) 4 ，函数 y f x a有四个不同零点，从小到大依次为
x 3,x 0 x
x1, x2 , x3 , x4，则实数 a的取值范围为___________； x1x2 x3x4的取值范围为___________.
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
17．（本小题 10分）
3
已知函数 f x x 2 .
(1)曲线 y f x 在与直线 x 1的交点处的切线方程；
(2)曲线 y f x 过点 B 0,4 的切线方程.
18．（本小题 12分）
从 A,B,C等 7人中选 5人排成一排（写出必要的数学式，结果用数字作答）.
(1)若 A必须在内，有多少种排法？
(2)若 A,B,C三人不全在内，有多少种排法？
(3)若 A,B,C都在内，且 A,B必须相邻，C与 A,B都不相邻，有多少种排法？
试卷第 4页，共 6页
19．（本小题 12分）
新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权．新高考地区某校为
了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了 100名高一学生，将他们某次历史
测试成绩（满分 100分）按照 0,20 ， 20,40 ， 40,60 ， 60,80 ， 80,100 分成 5组，制
成如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中 a的值并估计这 100名学生本次历史测试成绩的中位数；
(2)据调查，本次历史测试成绩不低于 60分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于 60分的
学生，高考将不选考历史科目．按分层抽样的方法从测试成绩在 0,20 ， 80,100 的学生中选
取 5人，再从这 5人中任意选取 2人，求这 2人中至少有 1人高考选考历史科目的概率。
20．（本小题 12分）
a n
已知二项式 x n N * 的展开式中 ， 。给出下列条件：
x
①第二项与第三项的二项式系数之比是1：4；
②各项系数之和为512；
③第7项为常数项.
在上面三个条件中选择两个合适的条件分别补充在上面的横线上，并完成下列问题.
(1)求实数 a 的值和展开式中二项式系数最大的项；
a n(2)求 x x 1 x 的展开式中的常数项.
x
试卷第 5页，共 6页
21．（本小题 12分）
广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产，按国际惯例以美元为结算货币，
依据以往加工生产的数据统计分析，若加工产品订单的金额为 x万美元，可获得的加工费近
1
似地为 ln 2x 1 万美元，受美联储货币政策的影响，美元贬值，由于生产加工签约和成品
2
交付要经历一段时间，收益将因美元贬值而损失mx万美元，其中m为该时段美元的贬值指
1
数是m 0,1 ，从而实际所得的加工费为 f x ln 2x 1 mx（万美元）.
2
1
（1）若某时期美元贬值指数m ，为确保企业实际所得加工费随 x的增加而增加，该企
200
业加工产品订单的金额 x应在什么范围内？
1
（2）若该企业加工产品订单的金额为 x万美元时共需要的生产成本为 x万美元，已知该
20
企业加工生产能力为 x 10, 20 （其中 x为产品订单的金额），试问美元的贬值指数m在何
范围时，该企业加工生产将不会出现亏损。
22．（本小题 12分）
2
设函数 f x ln x ax bx．
(1)当a 2时，若函数 f x 在其定义域内单调递增．求b的取值范围；
(2)若 f x 有两个零点 x1, x2，且 x
x x
1 x
2，求证： f 1 2 0
2
试卷第 6页，共 6页
