2022-2023 学年第二学期期中教学质量监测
高二数学参考答案：
1． B（(测试 8第 1题改).）
2．C (测试 7第 2题).
3．D
【详解】解:由 a= (1,m),b= (1,-1),得 a + b= (2,m- 1),
因为 (a + b)⊥ b, 所以 (a+ b) b= 0,所以 1× 2- 1× (m- 1) = 0,所以m= 3.
4．D (作业 6.1.1 第 10题)
【详解】根据题意，分 2种情况讨论：
①若甲选择牛，此时乙的选择有 2种，丙的选择有 10种，此时有 2× 10= 20种不同的选法：
②若甲选择马，此时乙的选择有 3种，丙的选择有 10种，此时有 3× 10= 30种不同的选法：
则共有 20+ 30= 50种选法.
5．A
2 6 r 6-r 2 r r r 6-2r
【详解】 x+ 展开式的通项为Tr+1=C6x =C6 2 x ,r= 0,1,2, ,6，x x
x2 T=C2 2 2 x2= 60x2 2则含 的项为 3 6 ，故含x 项的系数为 60.
6．D
3 3
【详解】解：设“第一次拿到的是红球”为事件A, “第二次拿到白球”为事件B，可得：P(A) = ，P(A B) =
10 10
2
× 2 = 2 P(A B), 则所求事件的概率为：P 30 B A = = = 2 ,9 30 P(A) 3 9
10
7．C
详解：∵ O:x2圆 +y2= 4，∴圆心O(0，0) ，半径 r= 1．
由题意可知，点P到圆O:x2+y2= 4的切线长最小时，OP⊥直线x+ y- 3= 0．
∵ 3 2 18 2圆心到直线的距离d= ，∴切线长的最小值为 - 4= ．
2 4 2
8．A(周三测试 9第 10题改).
【详解】因为AB⊥AC，BC= 2 2，易知三角形ABC为等腰直角三角形，
又PB⊥平面ABC，所以PB为三棱锥P-ABC的高，
则可将三棱锥P-ABC放入长方体内，如图，
长方体的体对角线即为外接球直径，即PC为球直径，
4 PC 3∴V= π = 36π, ∴PC= 63 2
又PC= PB2+BC2= PB2+8= 6，
解得PB= 2 7,
BC2=AB2+AC2≥ 2AB×AC所以AB×AC≤ 4
1 1 4 7
所以三棱锥的体积V= × ×AB×AC× 2 7≤ ，
3 2 3
9．AC
【详解】甲班的极差为 9.5- 8= 1.5,故A正确；
9.5+ 9.5+ 9+ 9.5+ 8 9.5+ 9+ 9.5+ 9+ 8.5
甲班的平均数 = 9.1, 乙班的平均数 = 9.1,故B错误；
5 5
甲班的成绩从低到高：8，9，9.5，9.5，9.5，中位数为 9.5,
乙班的成绩从低到高排列：8.5，9，9，9.5，9.5，中位数 9，故C正确；
1 2 2 2 2 2
甲班的成绩的方差为M= 0.4 +0.4 +0.1 +0.4 +1.1 , 5
1 2 2 2 2
乙班的成绩的方差为N= 0.4 +0.1 +0.4 +0.1 +0.62 , M-N= 1 0.42+1.12-0.12-0.625 5 > 0,
10．AB
【分析】对于ABC根据等比数列的性质及通项公式求解判断即可，对于D结合基本不等式即可判断.
【详解】由题意，a a a = a31 5 9 5= 64，即 a5= 4，故A正确；
当 a 41= 1时，a5= a1 q = 4，所以 q=± 2，故B正确；
因为 a1a9= a25= 16，所以 a1和 a9的等比中项为 4或-4，故C错误；
当 a1= 1时，a5= 4，a9= 16，故D不正确.
11．BCD
4
【详解】对于A，若瑜伽被安排在同一和周六，则共有A4= 24种不同的安排方法，故A不正确；
对于B 4 2 2，若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则由间接法可得，不同的安排方法种数为A6-A4A4= 216，故B
正确
1 2
对于C，若周一不练习瑜伽，周三爬山，则共有C3A4= 36种不同的安排方法，故C正确；
对于D 4，若瑜伽不被安排在相邻的两天，则先排其他四项运动，共有A4种不同的安排方法，再从 5个空位里插入 2
A4C2个安排练习瑜伽，故共有 4 5= 240种不同的安排方法，故D正确.
12．AC
【详解】∵ f 1+ x = f 1- x ，∴ f 2+ x = f -x ，且 f x 关于直线x= 1对称；
又 f x- 2 + f -x = 0，∴ f x+ 2 =-f x- 2 ，且 f x 关于 -1,0 中心对称；
∴ f x+ 4 =-f x ，∴ f x+ 8 =-f x+ 4 = f x ，则 f x 是周期为 8的周期函数；
对于A，令 g x = f x+ 1 ，则 g -x = f -x+ 1 = f 1+ x = g x ，∴ f x+ 1 为偶函数，A正确；
对于B，令h x = f x+ 3 =-f x- 1 ，则h -x =-f -x- 1 =-f 2+ x+ 1 =-f x+ 3 =
-h x ，
∴ f x+ 3 为奇函数，B不正确； 对于C，作出 f x 和 y= lg x 的图象如下图所示，
当 x > 10时，lg x > 1，又 f x ∈ -1,1 ，由图象可知：f x 与 y= lg x 共有 10个不同的交点，
则 y= f x - lg x 有 10个不同的零点，C正确；对于D，∵ f 1 + f 2 + +f 8 = 0，
2023
∴ f k = 253× f 1 + f 2 + +f 8 - f 2024 = 0- f 8 =-1，D错误.
k=1
13． 2 5
10 10 1- 2i 10 1- 2i 10 1- 2i
【详解】z= = = = + = 2- 4i，故 z = 2
2+42= 2 5.
1 2i 1+ 2i 1- 2i 1- 4i2 5
14．x+ y= 0
【详解】由题意，函数 f x = x3-2x2，可得 f ' x = 3x2-4x，则 f ' 1 = 3- 4=-1，
即切线的斜率为k=-1，又 f 1 = 1- 2=-1，
所以函数 f x = x3-2x2在点 1,f 1 处的切线方程为 y- -1 =- x- 1 ，即x+ y= 0．
15． 2
CB= a
【详解】设 ，CD= b，CC1= c
，则AC1=AC +CC1=CC1-CB-CD= c
- a - b，
底面ABCD是边长为 1的正方形，且∠C1CD=∠C1CB= π ，DD1= 2，3
a 2
= 2 2
1 1
则有 ，b = 1，c = 4，a b= 0，a c= 1× 2× = 1，b c= 1× 2× 1 = 1，
2 2
2
则 AC1 = (c
- a - b)2= 2 2 2a +b +c +2a b- 2a c - 2b c = 1+ 1+ 4+ 0- 2- 2= 2 ，所以 AC1 =
2.
606716． ,
6070
3 3
【详解】f x = sinωx+ sin ωx+ π = sinωx+ sinωxcos π + cosωxsin π3 3 3
= 3 sinωx+ 3 cosωx= 3 3 sinωx+ 1 cosωx = 3sin ωx+ π2 2 2 2 6
当x∈ 0,π π π π π π π 时，ωx+ ∈
6
,ωπ+ ，令 t=ωx+ ，则 t∈ ,ωπ+6 6 6 6 6 ，
y= 3sint π作出函数 ≤ t≤ωπ+ π ,ω> 0 的图象如图所示：6 6
由于函数 f x 在 0,π 上有且仅有 2023个极值点，
2022π+ π ≤ωπ+ π则 < 2023π+ π 6067 6070，解得ω∈ ,
2 6 2 3 3 .
17.(晚练9第1题)
解：选①，(1)由Sn+1=Sn+an+2得：an+1-a = 2(n∈N *n )，
∴数列 {an}是以 a1为首项，2为公差的等差数列．
由 a1，a2，a5成等比数列可得 a22= a1a5，
即 (a +2)21 = a1(a1+8)，解得 a1= 1．
∴ an= 2n- 1(n∈N *)．
选②，(1)由Sn+1=Sn+an+2，得 an+1-an= 2(n∈N *)，
∴数列 {an}是以 a1为首项，2为公差的等差数列．
由 4a3-1,2a4+3，a8成等差数列，
得 (4a3-1) + a8= 2(2a4+3)，即 4a1+16- 1+ a1+14= 4(a1+6) + 6，
解得 a1= 1，
∴ an= 2n- 1(n∈N *)．
选③，(1)由S *n+1=Sn+an+2，得 an+1-an= 2(n∈N )，
∴数列 {an}是以 a1为首项，2为公差的等差数列，
由 a2=S S 得 (a +4)2= a (5a +20)，即：a23 1 5 1 1 1 1+3a1-4= 0
解得 a1= 1，
∴ an= 2n- 1(n∈N *)．
(2)由 (1)得 an= 2n- 1，bn= 1 = 1 1 - 1 ，(2n- 1) (2n+ 1) 2 2n- 1 2n+ 1
数列 {bn}前n项和为
T= 1 n 1- 1 + 1 - 1 + + 1 - 1 12 3 3 5 2n- 1 2n+ =1 2 1-
1
2n+ 1 ，
∵n∈N ,
∴ 1
2n+ > 01
∴ 1 1- 1 < 1 T< 1故2 2n+ 1 2 n 2
18.（来源作业 6.1.1第 11题）
解：在△ABC a b c中，设正弦定理 = = = 2R，
sinA sinB sinC
则 sinA= a ,sinB= b ,sinC= c
2R 2R 2R
又∵ sin2A- sin2B- sin2C= sinBsinC，
∴ a2-b2-c2= bc即：b2+c2-a2=-bc
b2+c2-a2cosA= = -bc由余弦定理可得： =- 1
2bc 2bc 2
∵ 0
∴A= 2π . .. .. .. .. . 6分
3
(2)∵BC= 3，A= 2π
3
由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA，得 b2+c2+bc= 9
2
∴ (b+ c)2-9= bc≤ b+ c2
∴ (b+ c)2≤ 12 ，当且仅当 b= c时，等号成立
∵ b> 0,c> 0
∴ b+ c≤ 2 3
∴ a+ b+ c≤ 3+ 2 3
∴△ABC的周长的最大值为 3+ 2 3．. .. 12分
19．（来源 晚练 8 第 2题改）
【详解】(1)解：因为△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC= 2，则BC⊥AC，
因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，
因为BC 平面ABC，所以，BC⊥CC1，
因为AC∩CC1=C，AC、CC1 平面ACC1A1，故BC⊥平面ACC1A1.
(2)解：因为CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，
以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则C 0,0,0 、D 2,0,1 、B1 0,2,2 、C1 0,0,2 ，
设平面B1CD
的法向量为m= x,y,z ，CD= 2,0,1 ，CB1= 0,2,2 ，
m
C D = 2x+ z= 0则 ，取x= 1
，可得m= 1,2,-2 ，
m CB1= 2y+ 2z= 0
易知平面CC1D的一个法向量为n
= 0,1,0 ，
m n cos 2 m,n = = × =
2
，则 sin m
,n = 1- cos2
m,n
3 1 3 = m n
2
1- 2 = 5 ，3 3
5
因此，二面角B1-CD-C1的正弦值为 .3
20．【详解】(1) n n由题意，数列 an 满足an+1+an= 3 2 ，即an+1=-an+3 2 ，
a -2n+1 -a +3 2n-2n+1n+1 = n = 2
n-an
则 =-1，
a n n nn-2 an-2 an-2
1
又由a1= 1，可得a1-2 =-1，
n
所以数列 an-2 表示首项为-1，公比为-1的等比数列.
所以 a -2nn =-1× (-1)n-1= (-1)n a = (-1)n+2n，所以 n ,
(2)由 (1)知:na n nn= (-1) n+n2
设 bn= (-1)n n,记数列 bn 的前n项和为Kn;设 cn=n 2n,记数列 cn 的前n项和为Tn;
则S2n=K2n+T2n
K2n= b1+b2+b3+b4+...+b2n-1+b2n=-1+ 2- 3+ 4+...- (2n- 1) + 2n=n
∵ T = 1× 21+2× 22+3× 232n +...+2n× 22n （1）
∴ 2T2n= 1× 22+2× 23+3× 24+...+2n× 22n+1 （2）
（1）-（2）得： -T2n= 1× 21+1× 22+1× 23+...+1× 22n-2n× 22n+1
2(1- 22n= )- - 2n× 2
2n+1
1 2
= 22n+1-2- 2n× 22n+1
∴ T2n= (2n- 1) × 22n+1+2
∴S =K +T =n+ (2n- 1) × 22n+12n 2n 2n +2
所以S2n=K2n+T2n=n+ 2+ (2n- 1) × 22n+1
21．【详解】(1)k= 0时，f(x) = (x- 1)ex+2，f (x) = xex，令 f (x) = xex= 0，解得 x= 0，
当 x变化时，f x ，f x 的变化如下表：
x -∞，0 0 0，+∞
f x - +
f x 递减 极小值 f 0 递增
∴ x= 0时，函数 f(x)取得极小值，f(0) = 1；无极大值；
(2)f (x) = xex-2kx= x(ex-2k)，
①当 k≤ 0时，ex-2k> 0，
所以，当 x< 0时，f (x)< 0，当 x> 0时，f (x)> 0，
则 f(x)在区间 (-∞,0)上是减函数，在区间 (0,+∞)上是增函数，
所以 f(x)在区间 0,+∞ 上的最小值为 f(0)，且 f(0) = 1，符合题意；
②当 k> 0时，令 f (x) = 0，得 x= 0或 x= ln2k，
所以，当 0< k≤ 1 时，ln2k≤ 0，在区间 (0,+∞)上 f (x)> 0，f(x)为增函数，
2
所以 f(x)在区间 0,+∞ 上的最小值为 f(0)，且 f(0) = 1，符合题意；
1
当 k> 时，ln2k> 0，
2
当 x∈ (0,ln2k)时，f (x)< 0，f(x)在区间 (0,ln2k)上是减函数，
所以 f(ln2k)< f(0) = 1，不满足对任意的 x∈ 0,+∞ ，f(x)≥ 1恒成立，
1
综上，k的取值范围是 -∞, 2 ．
x2 y
2
22．【详解】(1)因为椭圆E: + = 1(a> b> 0)过点为A -2,0 ,B 0,1 ，
a2 b2
4 + 0 2 2 = 1 2a b a = 4 x2 2所以有 0 + 1 = 1 2= + y = 1；b 1 4a2 b2
(2)依题意过点P -2,1 的直线为 y- 1= k x+ 2 ，设C x1,y1 、D x2,y2 ，不妨令-2< x1< x2≤ 2，
y- 1= k x+ 2 y 1+ 4k2 2 2由 x2 + 2= ，消去 整理得 x + 16k +8k x+ 16k
2+16k= 0，
4 y 1
所以Δ= 16k2+8k 2-4 1+ 4k2 16k2+16k > 0，解得k< 0，
2 2
所以x1+x =- 16k +8k2 ，x1 x = 16k +16k，
1+ 24k2 1+ 4k2
- = y1-1直线BC的方程为 y 1 x x x，令 y= 0，解得 x = 1 1
x M1 1-
= ，
y1 -k(x1+2)
y -1
直线BD y- 1= 2的方程为 x x x，令 y= 0，解得 x = 2 2
x N2 1-
= ，
y2 -k(x2+2)
+ = x1 + x2 = x1(x2+2) + x (xx x 2 1+2) = 2x1x2+2(x1+x2)M N ，-k(x1+2) -k(x2+2) -k(x1+2) (x2+2) -k[x1x2+2(x1+x2) + 4]
2
x +x =- 16k +8k x x = 16k
2+16k
因为 1 2 ， ，
1+ 1 24k2 1+ 4k2
2 16k
2+16k + 2 - 16k
2+8k
x +x = 1+ 4k
2 1+ 4k2 = 16k所以 M N =-4，
16k2-k +16k
2
+ 2 - 16k +8k + 4 -4k1+ 4k2 1+ 4k2
因为-2< x1< x2≤ 2，
x
所以 x 1M-xN= -
x2 = x1(x2+2) - x2(x1+2) = 2(x1-x2) < 0，
-k(x1+2) -k(x2+2) -k(x1+2) (x2+2) -k(x1+2) (x2+2)
即xM< xN，
AM
于是有 (-2) - xM= xN- (-2)，即 AM = AN = 1.
AN
【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数的关系，得到xM+xN=-4是解题的关键.2022-2023 学年第二学期期中教学质量监测
高二数学
一、单选题：共 8小题，每小题 5分，共 40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1.已知集合A= x|x2+2x< 0 ,B= x|x>-1 ，则A∩B= ( )
A. -2,0 B. -1,0 C. 1,+∞ D. -2,+∞
2.已知数列 an
1
满足 a1= 2，an= 1+ (n≥ 2)，则 a = ( )a 3n-1
A. 3 B. 1 C. 5 D. 2
5 2 3 3
3. 已知向量 a= 1，m ，b= 1,-1 a 且 + b ⊥ b，则实数m= ( )
A. -3 B. 1 C. - 1 D. 3
2 2
4.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物 (鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、
马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马，乙同学
喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，
若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有 ( )
A. 90种 B. 80种 C. 60种 D. 50种
6
5. 2在 x+ 的展开式中，含 x2项的系数为 ( )x
A. 60 B. -60 C. 12 D. -12
6.已知盒中装有大小形状完全相同的 3个红球、2个白球、5个黑球. 甲每次从中任取一球且不放
回，则在他第一次拿到的是红球的前提下，第二次拿到白球的概率为 ( )
A. 3 B. 1 C. 3 D. 2
10 3 8 9
7.点P是直线 x+ y- 3= 0上的动点，由点P向圆O:x2+y2= 4作切线，则切线长的最小值为 ( )
A. 2 2 B. 3 2 C. 2 D. 1
2 2 2
8.已知三棱锥P-ABC的顶点都在球O的球面上，AB⊥AC，BC= 2 2，PB⊥平面ABC，若
球O的体积为 36π，则该三棱锥的体积的最大值是 ( )
A. 4 7 B. 5 C. 8 7 D. 8
3 3 3
二、多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9.某学校为了促进学生德、智、体、美、劳全面发展，制订了一套量化评价标准.下表是该校甲乙两个
班级在某次活动中的德、智、体、美、劳的评价得分如下表 (得分越高，说明该项教育越好)，下列说
法正确的是 ( )
德 智 体 美 劳
甲班 9.5 9.5 9 9.5 8
乙班 9.5 9 9.5 9 8.5
A. 甲班五项得分的极差为 1.5
B. 甲班五项得分的平均数高于乙班五项得分的平均数
C. 甲班五项得分的中位数大于乙班五项得分的中位数
D. 甲班五项得分的方差小于乙班五项得分的方差
10.设公比为 q的等比数列 an ，若 a1a5a9= 64 ，则 ( )
A. a5= 4 B. 当 a1= 1时，q=± 2
C. a1和 a9的等比中项为 4 D. a1+a9= 8
11.健康身体在于运动，小兰给自己制定了周一到周六的运动计划，这六天每天安排一项运动，其中
有两天练习瑜伽，另外四天的运动项目互不相同，且运动项目为跑步、爬山、打羽毛球和跳绳.
( )
A. 若瑜伽被安排在周一和周六，则共有 48种不同的安排方法
B. 若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则共有 216种不同的安排方法
C. 若周一不练习瑜伽，周三安排爬山.则共有 36种不同的安排方法
D. 若瑜伽不被安排在相邻的两天，则共有 240种不同的安排方法
12. 设函数 y = f x 的定义域为 R，且满足 f 1+ x = f 1- x ，f x- 2 + f -x = 0，当 x ∈
-1,1 时，f x =- x + 1，则下列说法一定正确的是 ( )
A. y= f x+ 1 是偶函数
B. y= f x+ 3 不是奇函数
C. 函数 y= f x - lg x 有 10个不同的零点
2023
D. f k = 1
k=1
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
13．若复数 z满足 1+ 2i z= 10(i是虚数单位)，则 z =________.
14．函数 f(x) = x3-2x2在点 (1,f(1))处的切线方程为________.
15．如图，已知斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为 1的正方
形，且∠C1CD=∠C CB= π1 ，DD3 1= 2，则线段AC1的长为______．
16．设函数 f(x) = sinωx+ sin ωx+ π (ω> 0)，已知 f(x)在 0,π 上有且仅3
有 2023个极值点，则ω的取值范围是___________
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；请把解答过程写
在答题卡对应的答题区内，不能超出规定的答题区域．
17.(本题满分 10分)
已知各项都为正数的数列 {an}的前n项和为Sn，且Sn+1=Sn+a *n+2 (n∈N )，______；
(1)求数列 {an}的通项公式；
(2)若 bn= 1 ，记数列 {b } n T T< 1n 前 项和为 n，证明： ．a nnan+1 2
请在下面三个条件中任选一个补充在上面题干中，再解答问题．
① a1，a2，a5成等比数列；② 4a3-1，2a4+3，a8成等差数列； ③ a23=S1S5
18. (本题满分 12分)
在△ABC中，三个内角A, B, C的对边分别为 a,b,c，且 sin2A- sin2B- sin2C= sinBsinC；
(1)求角A的大小；
(2)若BC= 3，求△ABC周长的最大值.
19． (本题满分 12分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=CC1= 2，D为
侧棱AA1的中点.
(1)求证：BC⊥平面ACC1A1；
(2)求二面角B1-CD-C1的正弦值.
20． (本题满分 12分)
已知数列 an 的首项为 a1= 1 ，且满足 a nn+1+an= 3 2 (n∈N *)；
(1)求证 a nn-2 是等比数列，并求数列 an 的通项；
(2)记数列 n an 的前n项和为Sn,求S2n．
21． (本题满分 12分)
已知函数 f(x) = (x- 1)ex-kx2+2,其中 k∈R,e为自然对数的底
(1)若 k= 0,求 f(x)的极值;
(2)若 x∈ 0,+∞ ,都有 f(x)≥ 1成立,求 k的取值范围.
22． (本题满分 12分)
x2 y
2
已知椭圆E: + = 1(a> b> 0)过点为A -2,0 ,B 0,12 2 .a b
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点P -2,1 的直线与椭圆E交于不同的两点C,D，直线BC,BD分别与 x轴交于点M ,N，求
AM
的值.
AN
参考答案：
1． B（(测试 8第 1题改).）
2．C (测试 7第 2题).
3．D
: a
【详解】解 由 = (1,m),b= (1,-1),得 a + b= (2,m- 1),
因为 (a + b)⊥ b, 所以 (a+ b) b= 0,所以 1× 2- 1× (m- 1) = 0,所以m= 3.
4．D (作业 6.1.1 第 10题)
【详解】根据题意，分 2种情况讨论：
①若甲选择牛，此时乙的选择有 2种，丙的选择有 10种，此时有 2× 10= 20种不同的选法：
②若甲选择马，此时乙的选择有 3种，丙的选择有 10种，此时有 3× 10= 30种不同的选法：
则共有 20+ 30= 50种选法.
5．A
2 6 r
【详解】 x+ r 6-r 2 r r 6-2r展开式的通项为Tr+1=C6x =C6 2 x ,r= 0,1,2, ,6，x x
则含x2的项为T3=C26 2 2 x2= 60x2 x2，故含 项的系数为 60.
6．D
【详解】解：设“第一次拿到的是红球”为事件A, “ 3第二次拿到白球”为事件B，可得：P(A) = ，P(A B) = 3
10 10
2
× 2 = 2 = P(A B), P B A = 30 2则所求事件的概率为： = ,
9 30 P(A) 3 9
10
7．C
2 2
详解：∵圆O:x +y = 4，∴圆心O(0，0) ，半径 r= 1．
2 2
由题意可知，点P到圆O:x +y = 4的切线长最小时，OP⊥直线x+ y- 3= 0．
∵ 3 2 18 2圆心到直线的距离d= ，∴切线长的最小值为 - 4= ．
2 4 2
8．A(周三测试 9第 10题改).
【详解】因为AB⊥AC，BC= 2 2，易知三角形ABC为等腰直角三角形，
又PB⊥平面ABC，所以PB为三棱锥P-ABC的高，
则可将三棱锥P-ABC放入长方体内，如图，
长方体的体对角线即为外接球直径，即PC为球直径，
3
∴V= 4 π PC = 36π, ∴PC= 63 2
又PC= PB2+BC2= PB2+8= 6，
解得PB= 2 7,
BC2=AB2+AC2≥ 2AB×AC所以AB×AC≤ 4
1 1 4 7
所以三棱锥的体积V= × ×AB×AC× 2 7≤ ，
3 2 3
9．AC
【详解】甲班的极差为 9.5- 8= 1.5,故A正确；
9.5+ 9.5+ 9+ 9.5+ 8 = 9.1, 9.5+ 9+ 9.5+ 9+ 8.5甲班的平均数 乙班的平均数 = 9.1,故B错误；
5 5
甲班的成绩从低到高：8，9，9.5，9.5，9.5，中位数为 9.5,
乙班的成绩从低到高排列：8.5，9，9，9.5，9.5，中位数 9，故C正确；
1
甲班的成绩的方差为M=
5
0.42+0.42+0.12+0.42+1.12 ,
乙班的成绩的方差为N= 1 0.42+0.12+0.42+0.12+0.62 , M-N= 1 0.42+1.12-0.12-0.62 > 0,5 5
10．AB
【分析】对于ABC根据等比数列的性质及通项公式求解判断即可，对于D结合基本不等式即可判断.
【详解】由题意，a a a = a31 5 9 5= 64，即 a5= 4，故A正确；
当 a 41= 1时，a5= a1 q = 4，所以 q=± 2，故B正确；
因为 a 21a9= a5= 16，所以 a1和 a9的等比中项为 4或-4，故C错误；
当 a1= 1时，a5= 4，a9= 16，故D不正确.
11．BCD
4
【详解】对于A，若瑜伽被安排在同一和周六，则共有A4= 24种不同的安排方法，故A不正确；
对于B，若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则由间接法可得，不同的安排方法种数为A46-A2 24A4= 216，故B
正确
1 2
对于C，若周一不练习瑜伽，周三爬山，则共有C3A4= 36种不同的安排方法，故C正确；
4
对于D，若瑜伽不被安排在相邻的两天，则先排其他四项运动，共有A4种不同的安排方法，再从 5个空位里插入 2
4 2
个安排练习瑜伽，故共有A4C5= 240种不同的安排方法，故D正确.
12．AC
【详解】∵ f 1+ x = f 1- x ，∴ f 2+ x = f -x ，且 f x 关于直线x= 1对称；
又 f x- 2 + f -x = 0，∴ f x+ 2 =-f x- 2 ，且 f x 关于 -1,0 中心对称；
∴ f x+ 4 =-f x ，∴ f x+ 8 =-f x+ 4 = f x ，则 f x 是周期为 8的周期函数；
对于A，令 g x = f x+ 1 ，则 g -x = f -x+ 1 = f 1+ x = g x ，∴ f x+ 1 为偶函数，A正确；
对于B，令h x = f x+ 3 =-f x- 1 ，则h -x =-f -x- 1 =-f 2+ x+ 1 =-f x+ 3 =
-h x ，
∴ f x+ 3 为奇函数，B不正确； 对于C，作出 f x 和 y= lg x 的图象如下图所示，
当 x > 10时，lg x > 1，又 f x ∈ -1,1 ，由图象可知：f x 与 y= lg x 共有 10个不同的交点，
则 y= f x - lg x 有 10个不同的零点，C正确；对于D，∵ f 1 + f 2 + +f 8 = 0，
2023
∴ f k = 253× f 1 + f 2 + +f 8 - f 2024 = 0- f 8 =-1，D错误.
k=1
13． 2 5
z= 10
10 1- 2i 10 1- 2i 10 1- 2i
【详解】 + = = = = 2- 4i，故2 z = 2
2+42= 2 5.
1 2i 1+ 2i 1- 2i 1- 4i 5
14．x+ y= 0
3 2 2
【详解】由题意，函数 f x = x -2x ，可得 f ' x = 3x -4x，则 f ' 1 = 3- 4=-1，
即切线的斜率为k=-1，又 f 1 = 1- 2=-1，
所以函数 f x = x3-2x2在点 1,f 1 处的切线方程为 y- -1 =- x- 1 ，即x+ y= 0．
15． 2
【详解】设 CB= a，CD= b，CC1= c
，则AC1=AC +CC1=CC1-CB-CD= c
- a - b，
底面ABCD是边长为 1的正方形，且∠C1CD=∠C1CB= π ，DD1= 2，3
a 2
则有 = 2 21，b = 1，c = 4 ，a b= 0 a ， c = 1× 2× 1 = 1，b c = 1× 2× 1 = 1，
2 2
2
则 AC1 = (c- a- b)2=
2+ 2+ 2a b c +2a b- 2a c - 2b c = 1+ 1+ 4+ 0- 2- 2= 2 ，所以 AC1 =
2.
6067 , 607016． 3 3
【详解】f x = sinωx+ sin ωx+ π = sinωx+ sinωxcos π + cosωxsin π3 3 3
= 3 sinωx+ 3 cosωx= 3 3 sinωx+ 1 cosωx = 3sin ωx+ π2 2 2 2 6
当x∈ 0,π ωx+ π ∈ π ,ωπ+ π π π π 时， ，令 t=ωx+ ，则 t∈
,ωπ+
，
6 6 6 6 6 6
π π
作出函数 y= 3sint ≤ t≤ωπ+ ,ω> 0 的图象如图所示：6 6
由于函数 f x 在 0,π 上有且仅有 2023个极值点，
则 2022π+ π ≤ωπ+ π < 2023π+ π 6067 6070，解得ω∈
2 6 2
, .3 3
17.(晚练9第1题)
解：选①，(1)由S *n+1=Sn+an+2得：an+1-an= 2(n∈N )，
∴数列 {an}是以 a1为首项，2为公差的等差数列．
由 a1，a2，a5成等比数列可得 a22= a1a5，
即 (a +2)21 = a1(a1+8)，解得 a1= 1．
∴ an= 2n- 1(n∈N *)．
选②，(1)由S *n+1=Sn+an+2，得 an+1-an= 2(n∈N )，
∴数列 {an}是以 a1为首项，2为公差的等差数列．
由 4a3-1,2a4+3，a8成等差数列，
得 (4a3-1) + a8= 2(2a4+3)，即 4a1+16- 1+ a1+14= 4(a1+6) + 6，
解得 a1= 1，
∴ an= 2n- 1(n∈N *)．
选③，(1)由Sn+1=Sn+an+2，得 an+1-an= 2(n∈N *)，
∴数列 {an}是以 a1为首项，2为公差的等差数列，
由 a23=S1S5得 (a 21+4) = a1(5a1+20)，即：a21+3a1-4= 0
解得 a1= 1，
∴ an= 2n- 1(n∈N *)．
(2)由 (1)得 an= 2n- 1，b = 1 = 1 1 - 1n ，(2n- 1) (2n+ 1) 2 2n- 1 2n+ 1
数列 {bn}前n项和为
Tn= 1 1- 1 + 1 - 1 + + 1 - 1 = 1 1- 1 ，2 3 3 5 2n- 1 2n+ 1 2 2n+ 1
∵n∈N ,
∴ 1 > 0
2n+ 1
∴ 1 1- 1 < 1 12 2n+ 故T1 2 n< 2
18.（来源作业 6.1.1第 11题）
a b c
解：在△ABC中，设正弦定理 = = = 2R，
sinA sinB sinC
sinA= a ,sinB= b则 ,sinC= c
2R 2R 2R
又∵ sin2A- sin2B- sin2C= sinBsinC，
∴ a2-b2-c2= bc即：b2+c2-a2=-bc
b2+c2-a2 -bc 1
由余弦定理可得：cosA= = =-
2bc 2bc 2
∵ 0∴A= 2π . .. .. .. .. . 6分
3
(2)∵BC= 3，A= 2π
3
由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA，得 b2+c2+bc= 9
∴ (b+ c)2-9= bc≤ b+ c
2
2
∴ (b+ c)2≤ 12 ，当且仅当 b= c时，等号成立
∵ b> 0,c> 0
∴ b+ c≤ 2 3
∴ a+ b+ c≤ 3+ 2 3
∴△ABC的周长的最大值为 3+ 2 3．. .. 12分
19．（来源 晚练 8 第 2题改）
【详解】(1)解：因为△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC= 2，则BC⊥AC，
因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，
因为BC 平面ABC，所以，BC⊥CC1，
因为AC∩CC1=C，AC、CC1 平面ACC1A1，故BC⊥平面ACC1A1.
(2)解：因为CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，
以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则C 0,0,0 、D 2,0,1 、B1 0,2,2 、C1 0,0,2 ，
设平面B1CD
的法向量为m= x,y,z ，CD= 2,0,1 ，CB1= 0,2,2 ，
m C D = 2x+ z= 0 则 ，取x= 1，可得m= 1,2,-2 ，m CB1= 2y+ 2z= 0
CC D n 易知平面 1 的一个法向量为 = 0,1,0 ，
m n
cos m ,n = = 2 = 2 sin m 2
，则 ,n = 1- cos3× 1 3 m,n = m n
2
1- 2 = 5 ，3 3
因此，二面角B1-CD-C 51的正弦值为 .3
20 (1) a a +a = 3 2n．【详解】 由题意，数列 n 满足 n+1 n ，即an+1=-an+3 2n，
a n+1 n n+1 nn+1-2
则 n =
-an+3 2 -2 = 2 -an
a -2 a -2n a -2n
=-1，
n n n
1
又由a1= 1，可得a1-2 =-1，
所以数列 a -2nn 表示首项为-1，公比为-1的等比数列.
所以 a -2nn =-1× (-1)n-1= (-1)n，所以an= (-1)n+2n,
(2)由 (1)知:nan= (-1)n n+n2n
设 b = (-1)n n,记数列 b 的前n项和为K ;设 c =n 2nn n n n ,记数列 cn 的前n项和为Tn;
则S2n=K2n+T2n
K2n= b1+b2+b3+b4+...+b2n-1+b2n=-1+ 2- 3+ 4+...- (2n- 1) + 2n=n
∵ T2n= 1× 21+2× 22+3× 23+...+2n× 22n （1）
∴ 2T = 1× 22+2× 23+3× 24+...+2n× 22n+12n （2）
（1）-（2）得： -T = 1× 21+1× 22+1× 23+...+1× 22n-2n× 22n+12n
2(1- 22n= ) - 2n× 22n+1
1- 2
= 22n+1-2- 2n× 22n+1
∴ T2n= (2n- 1) × 22n+1+2
∴S2n=K2n+T2n=n+ (2n- 1) × 22n+1+2
所以S2n=K 2n+12n+T2n=n+ 2+ (2n- 1) × 2
21．【详解】(1)k= 0时，f(x) = (x- 1)ex+2，f (x) = xex，令 f (x) = xex= 0，解得 x= 0，
当 x变化时，f x ，f x 的变化如下表：
x -∞，0 0 0，+∞
f x - +
f x 递减 极小值 f 0 递增
∴ x= 0时，函数 f(x)取得极小值，f(0) = 1；无极大值；
(2)f (x) = xex-2kx= x(ex-2k)，
①当 k≤ 0时，ex-2k> 0，
所以，当 x< 0时，f (x)< 0，当 x> 0时，f (x)> 0，
则 f(x)在区间 (-∞,0)上是减函数，在区间 (0,+∞)上是增函数，
所以 f(x)在区间 0,+∞ 上的最小值为 f(0)，且 f(0) = 1，符合题意；
②当 k> 0时，令 f (x) = 0，得 x= 0或 x= ln2k，
1
所以，当 0< k≤ 时，ln2k≤ 0，在区间 (0,+∞)上 f (x)> 0，f(x)为增函数，
2
所以 f(x)在区间 0,+∞ 上的最小值为 f(0)，且 f(0) = 1，符合题意；
当 k> 1 时，ln2k> 0，
2
当 x∈ (0,ln2k)时，f (x)< 0，f(x)在区间 (0,ln2k)上是减函数，
所以 f(ln2k)< f(0) = 1，不满足对任意的 x∈ 0,+∞ ，f(x)≥ 1恒成立，
综上，k的取值范围是 -∞, 1 ．2
2 y2
22．【详解】( ) E: x1 因为椭圆 + = 1(a> b> 0)过点为A -2,0 ,B 0,1 ，
a2 b2
4 0
a2 + = 1b2 a2= 4 x2所以有 0 1 2= + y
2= 1；
+ b 1 4
a2 b2
= 1
(2)依题意过点P -2,1 的直线为 y- 1= k x+ 2 ，设C x1,y1 、D x2,y2 ，不妨令-2< x1< x2≤ 2，
y- 1= k x+ 2 2 2 2 2由 x2 + 2= ，消去 y整理得 1+ 4k x + 16k +8k x+ 16k +16k= 0，4 y 1
所以Δ= 16k2+8k 2-4 1+ 4k2 16k2+16k > 0，解得k< 0，
2 2
所以x1+x2=- 16k +8k，x1 x2= 16k +16k，
1+ 4k2 1+ 4k2
y1-1 x x
直线BC的方程为 y- 1= x，令 y= 0，解得 x = 1 = 1
x M
，
1 1- y1 -k(x1+2)
y -1
直线BD的方程为 y- 1= 2 x x x，令 y= 0，解得 x = 2 2
x N2 1-
= ，
y2 -k(x2+2)
+ = x1 + x2 = x1(x2+2) + x2(x1+2) = 2x1x2+2(x +x )x x 1 2M N ，-k(x1+2) -k(x2+2) -k(x1+2) (x2+2) -k[x1x2+2(x1+x2) + 4]
x +x =- 16k
2+8k 16k2+16k
因为 1 2 ，x x+ 2 1 2
= ，
1 4k 1+ 4k2
2 2
2 16k +16k + 2 - 16k +8k2
x +x = 1+ 4k 1+ 4k
2 16k
所以 M N = =-4，
-k 16k
2+16k 2
+ 2 + 2 -
16k +8k -4k
1 4k 1+ 4k2 + 4
因为-2< x1< x2≤ 2，
- = x1 - x2 = x1(x2+2) - x2(x1+2) 2(x -x )所以 xM x =
1 2
N < 0，-k(x1+2) -k(x2+2) -k(x1+2) (x2+2) -k(x1+2) (x2+2)
即xM< xN，
AM
于是有 (-2) - xM= xN- (-2)，即 AM = AN = 1.
AN
【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数的关系，得到xM+xN=-4是解题的关键.