5月段考数学答案
1-8 DBCC BCAB 9-12 CD BC ABD BD
3 3
13-16 60 10 1500 4
2π17.（1）因为 | a | 4,|b | 2,a ,b的夹角为 ，
3
a 2π所以 b a b cos 4
1
2 4 .........................2 分3 2
2 2
所以 3a b 9 a 6a b b 9 4 2 6 4 2 2 2 31 .........................5 分
（2 1 ）由（ ）知， a b 4， | a | 4,| b | 2，
因为 a 2b ka b ，
2 2所以 a 2b ka b 0，即 k a a b 2ka b 2 b 0，........................7 分
所以16k 4 8k 8 1 0，解得k .........................9 分
2
1
所以当k 时， a 2b ka b .........................10 分
2
a c
18.（1）由 cosC 3 sinC
sin A sinC
结合正弦定理可得 cosC 3 sinC，.......1 分
b sin B
则 sin A sinC sin B cosC 3 sin B sinC，........................2 分
而 sin A sin(B C) sin B cosC cosB sinC，........................3 分
所以 cosB sinC sinC 3 sinB sinC，而 sinC 0，故 cosB 1 3 sinB，....................4 分
3 sin B cosB 2sin(B π) 1 sin(B π 1所以 ，则 ) ，........................5 分
6 6 2
π B π 5π π π B B π由 ，所以 即 .........................6 分
6 6 6 6 6 3
（2）由b2 a2 c2 2ac cosB，则 a2 c2 ac 4 ac，........................8 分
仅当 a c 2时等号成立，...........................9 分
1
所以 S ABC acsinB
3
ac 3，........................11 分
2 4
即△ABC面积的最大值为 3 .........................12 分
19.（1）连接 AC，在 ABC中，由余弦定理，得
AC 2 AB2 BC 2 2AB BC cos120 1 4 25 2 2 5 39，所以 AC 39，..............2 分
2
由余弦定理，得 AC2 AD2 CD2 2AD CDcosD 39，........................3 分
即 AD2 36 2AD 6
1
39，所以 AD 3；........................5 分
6
（2）在 ABC和△ADC中， AC2 AB2 BC2 2AB BC cosB 29 20cosB，....................6 分
AC2 AD2 CD2 2AD CDcosD 45 36cosD，........................7 分
所以9cosD 5cosB 4，........................8 分
S S S 1 1又 ADC ABC 3 6sinD 2 5sin B 9sinD 5sin B，........................9 分2 2
所以 S 2 16 9sinD 5sin B 2 9cosD 5cosB 2 106 90cos B D 106 90 196，.......11 分
B D 3π所以当 时，S取最大值为6 5 .........................12 分
2
20.（1）
PE DF
因为 1，所以 E,F 分别为PC,BD的中点.........................1 分
EC FB
如图，连接 AC，所以 AC∩ BD = F
所以EF / /PA .........................3 分
因为 EF 平面 PAD， PA 平面 PAD，........................5 分
所以 EF / /平面 PAD .........................6 分
（2）因为2GC BG，所以GB
2
BC ..........................7 分
3
1 1 2
因为 S DFG S2 DBG
S BCD ........................8 分2 3
1 1 2 S 1 1 2 2 ABCD 2 2 ，........................10 分2 2 3 2 2 3 3
1 1 1 1 1 2 1
所以VG DEF VE DFG VP DFG PD S DFG 1 .........................12 分2 2 3 2 3 3 9
21（1）∵ PA PD，O是 AD的中点，∴ PO AD ..........................1 分
∵平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD AD， PO 平面 PAD，
∴PO 平面 ABCD..........................2 分
∵ BD 平面 ABCD，∴ PO BD ..........................3 分
设 AB = a，则 AD 2a， BAD 60 ，
在△ABD中，由余弦定理得 BD2 AB2 AD2 2AB AD cos BAD 3a2，
∴ AB2 BD2 AD2 ，∴ AB BD ..........................4 分
∵E是 BC中点，四边形 ABCD是平行四边形，
∴OE∥AB，∴ BD OE ..........................5 分
∵PO，OE是平面 POE内的两条相交直线，∴BD 平面 POE..........................6 分
（2）连接 OC.
∵O，E分别是 AD，BC中点，底面 ABCD是平行四边形，∴OE∥DC
∵OE 平面 PDC，DC 平面 PDC，∴OE∥平面 PDC..........................7 分
∴点 E到平面 PCD的距离等于点 O到平面 PCD的距离.
∵ PA PD 2 2， AD 2 AB 4 ，∴ PO OD DC 2，
∴OC 2 OD2 DC 2 2OD DC cos120 12，
∴ PC PO2 OC2 4 ..........................8 分
PC 2 CD2 PD2 3
在 PCD中，由余弦定理得 cos PCD ，
2PC CD 4
7 S 1∴ sin PCD ，∴ PCD的面积 △PCD PC CD sin PCD 7 ..........................9 分
4 2
设 O到平面 PCD的距离为 d，因三棱锥 O—PCD与三棱锥 C—POD是同一三棱锥，
1 1
所以VO PCD VC POD，即 S PCD d S POD AB sin 60 ，3 3
7d 1 2 2 2 3∴ ，........................11 分
2 2
d 2 21解得 .所以点 E到平面 PCD 2 21的距离为 ..........................12 分
7 7
a b c
22（1）依题意，由正弦定理， ，
sinA sinB sinC
由 asinA asinCcosB bsinCcosA bsinB csinA
可得 a2 accosB bccosA b2 ac，......................................1 分
由余弦定理 2accosB a 2 c 2 b 2, 2bccosA b 2 c 2 a 2 ，......................................2 分
a2 c2 22 2 2 cosB b 1则 a c b ac，则 ，
2ac 2
因为0 B π π，所以 B ；......................................3 分
3
π π
（2）由 ABC π 为锐角三角形， B ，可得 A , ，3 6 2
2 b c
a b c
由正弦定理 ，则 sinA 3 sin 2π A ，......................................4 分sinA sinB sinC
2 3
2sin 2π A
则 b 3 c 3 sin A 3cos A 3cos A ， , 1
sinA sinA sinA sinA
cosA 1 2cos
2 A
则 ABC的周长为 a b c 3 3 3 3 2 3
3
，..............5 分
sinA 2sin A cos A tan A
2 2 2
π
A π , π A π , π π
2 tan
由 ，则 ，因为 tan 12
3
，整理得：
6 2 2 12 4 6 1 tan 2 π 3
12
tan2 π 2 3 tan π π π 1 0，解得 tan 2 3 或 tan 2 3（舍去），.............7 分
12 12 12 12
所以 tan
A
2 3,1 ，则周长范围是 3 3,6 2 3 ；......................................8 分2
b
（3）由正弦定理 2R，则b 2 3，则B ac b
2 12，
sin
由 a2 c2 b2 ac，可得 a2 c2 24，则 a c 2 3，........................9 分
则三角形 ABC为等边三角形，取 AB中点M ，如图所示：
则 PA PB PM MA PM MB
2 PM PM MA MB MA MB
2 2 2
PM MA PM 3，........................11 分
由OP 2,OM 1，则 PM 1,3 ，则 PA PB 2,6 ．........................12 分2022-2023 学年高一级段考数学试卷
使用时间：2023 年 5 月
一、单选题（8 小题，每题 5 分）
1．设 z1 3 2i, z2 1 mi （其中 i为虚数单位），若 z1z2为纯虚数，则实数m （ ）
2 2 3 3
A． B． C． 3 D．3 2 2
2．设 e1， e2是两个不共线向量，若向量 a 3e1 5e2与向量b me1 3e2共线，则m的值等于（ ）
5 9 3 5
A． B． C．- D．
3 5 5 9
3．已知圆台的上、下底面的半径分别为 R，r，若 R 2r 2，高 h 3，则该圆台的侧面积为（ ）
A． 9 B．11 C．6 D．3
4．已知向量 a，b满足 | a | 2，| b | 1，a b ，若 (a b) (a b)，则实数 的值为（ ）
9
A． 2 B．2 3 C． 4 D．
2
5．在 ABC中，内角A，B，C所对的边分别是 a，b，c，已知 c cosB bcosC 2a cos A，a 2，
ABC的面积为 3，则 ABC的周长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．18
6．在 ABC中，角A， B，C的对边分别为 a，b，c，且 c bcos A 0，则 ABC形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
7．如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为 4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 P出发，绕
圆锥爬行一周后回到点 P处，若该小虫爬行的最短路程为 4 3，则这个圆锥的体积为（ ）
A 128 2π． B 32 35π C 15π． ． D 8 3．
81 27 3 3
8．已知四棱锥 P ABCD的底面 ABCD是矩形，高为 2, AD 2 6, AB 2, AB PD,PA PD，则
四棱锥 P ABCD的外接球的体积为（ ）
256
A．12 6π B．36π C． 48 6π D． π3
二、多选题（4 小题，全对 5 分，部分对 2 分，有错和不选 0 分）
9．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形
开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成，巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.
如图是一个蜂巢的正六边形 ABCDEF，下列说法正确的是（ ）
试卷第 1页，共 4页
2
A． AC AE BF B． AC AE AD3
2 C． AD AB | AB | D． AD在 AB上的投影向量为 AB
10．设 , 是两个不同的平面， a,b,c是三条不同的直线，下列命题正确的是（ ）
A．若 a b,a c，则b / /c B．若 a ,b ，则 a / /b
C．若 a ,a ，则 / / D．若 a / /b， a / / ，则b / /
11．一艘轮船航行到 A处时看灯塔 B在 A的北偏东75 方向上，距离为 12 3海里，灯塔 C在 A的
北偏西 30°方向上，距离为 6 6 海里，该轮船从 A处沿正北方向继续航行到 D处时再看灯塔 B在其
南偏东60 方向上，下面结论正确的有（ ）
A． AD 12 2海里 B．CD 6 2海里
C． CDA 60 或 CDA 120 D．灯塔 C在 D的南偏西60 方向上
12．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直
角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在阳马 P－ABCD中，侧棱 PD⊥底面 ABCD，PA 2 ，PB 6，
PC 5，则下列结论正确的有（ ）
A．四面体 P－ACD 2是鳖臑 B．阳马 P－ABCD的体积为 3
C．阳马 P－ABCD的外接球表面积为3 D．D到平面 PAC 2的距离为 3
三、填空题（4 小题，每题 5 分）
13．如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是 AB，AD的中点，则异面直线 B1C与 EF
所成的角的大小为 .
试卷第 2页，共 4页
14．若 i 1 z 1 2，则 | z 1| _______．
15．如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M 点的仰角
MAN 60 ，C点的仰角 CAB 45 以及 MAC 75 ；从C点测得 MCA 60 ，已知山高
BC 1000m，则山高MN __________m .
16．如图，在 ABC中，AC 2, ACB
π π
.延长 BA到点D，使得 AD 2, CDA ，则 ABC的
3 6
面积为__________.
（15题图） （16题图）
四、解答题（6 大题，第 17 题 10 分，其余的 12 分）
2π
17 ．已知 | a | 4,|b | 2,a ,b的夹角为 ，
3
(1)求 3a
b 的值；
(2)当 k为何值时， a 2b ka b .
a c
18．已知 a，b，c是△ABC的三个内角 A，B，C的对边，且 cosC 3 sinC．
b
(1)求 B；
(2)若b 2，求△ABC面积的最大值．
19．如图，在平面凸四边形 ABCD中（凸四边形指没有角度数大于 180°的四边形），AB 2，BC 5，
CD 6．
B cosD 1(1)若 120 ， ，求 AD；
6
(2)已知 AD 3，求四边形 ABCD的面积为 S的最大值．
试卷第 3页，共 4页
20．阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体．如
PE DF
图，四棱锥 P－ABCD就是阳马结构，PD⊥平面 ABCD，且 PD 1， AB AD 2， 1．
EC FB
(1)证明： EF / /平面 PAD；
(2)若 2GC BG，求三棱锥G DEF的体积．
21．如图，四棱锥P ABCD的底面 ABCD是平行四边形，平面 PAD 平面 ABCD， BAD 60 ，
AD 2AB， PA PD .O，E分别是 AD，BC中点.
(1)证明： BD 平面 POE；
(2) AB 2， PA 2 2，求点 E到平面 PCD的距离.
22．在 ABC中，角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，已知 asinA asinCcosB bsinCcosA bsinB csinA．
(1)求角 B的大小；
(2)若 a 2，且 ABC为锐角三角形，求 ABC的周长的取值范围；
(3)若b2 ac，且外接圆半径为 2，圆心为O,P为 O上的一动点，试求 PA PB的取值范围．
试卷第 4页，共 4页
