宁波市重点中学
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分.
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、单项选择题：共8题，每题3分，共24分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 已知集合,则
A． B． C． D．
2． 设,则命题“,方程有实根”的否定是
A．,方程无实根 B．,方程有实根 C．,方程无实根 D．,方程有实根
3． 的展开式中二项式系数最大的是,则不可能是
A．8 B．9 C．10 D．11
4． 甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园学雷锋活动,将教师随机分成三组,每组至少一人,
则甲、乙在同一组的概率为
A． B． C． D．
5． 已知函数若的值域为,则实数的取值范围是
A． B． C． D．
6． 某停车场有两排空车位,每排4个.现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车,若每排都有车辆停泊,且 甲、乙两车停泊在同一排,则不同的停车方案有
A．288种 B．336种 C．384种 D．672种
7．一枚质地均匀的骰子,其六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6.现将此骰子抛掷2次,正面向上的点数分
别为.设,,记事件“”,事件“”,
则
A． B． C． D．
8． 已知函数,若在定义域上恒成立,则实数
的取值范围是
A． B． C． D．
二、多项选择题：共4题，每题3分，共12分．在每题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9． 市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价（元）
和销售量（件）之间的一组数据如表所示：
价格 9 9.5 10 10.5 11
销售量 11 10 8 6 5
按公式计算，与的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法 正确的是
A． B．变量线性正相关
C．相应于点的残差约为 D．当时, 的估计值为14.4
10．若,则以下说法正确的是
A． B． C． D．
11． 若实数满足,则下列不等式正确的是
A． B． C． D．
12．已知函数的定义域均为,且,,若
的图象关于直线对称，则以下说法正确的是
A．为偶函数 B．
C．, D．若的值域为,则
第Ⅱ卷（非选择题 共64分）
三、填空题：共4题，每题4分，共16分．
13．若随机变量,且,则 ▲ ．
14．若,则的取值范围为 ▲ ．
15．已知甲盒中有2个白球,2个红球,1个黑球,乙盒中有4个白球,3个红球,2个黑球.现从甲盒中随 机取出一个球放入乙盒,再从乙盒中随机取出一个球.记事件“甲盒中取出的球与乙盒中取 出的球颜色不同”,则 ▲ ．
16．正方体六个面上分别标有六个字母，现用种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有 ▲ 种.
四、解答题：共5题，17-18题每题9分，19-21题每题10分，共48分．解答应写出文字说明，证 明过程或演算步骤．
17．已知.
（1）若,求的值；
（2）求的展开式中系数最大的项.
18．设是定义在上的偶函数,且当时, .
（1）求的解析式；
（2）若“”是“”的充分条件,求实数的取值范围.
19．我国风云系列卫星可以检测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨
量(单位:dm)与遥测雨量(单位:dm)的关系,统计得到该地区10组雨量数据如下:
样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
人工测雨量 5.38 7.99 6.37 6.71 7.53 5.53 4.18 4.04 6.02 4.23
5遥测雨量 5.43 8.07 6.57 6.14 7.95 5.56 4.27 4.15 6.04 4.49
0.05 0.08 0.2 0.57 0.42 0.03 0.09 0.11 0.02 0.026
并计算得
（1）求该地区汛期遥测雨量与人工测雨量的样本相关系数(精确到0.01),并判断它们是否
具有较强的线性相关关系(若,则认为两个变量有较强的线性相关性)
（2）规定：数组满足为“Ⅰ类误差”,满足为“Ⅱ类 误差”,满足为“Ⅲ类误差”.为进一步研究,该地区水文研究人员从“Ⅰ类误 差”、“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比,记抽到“Ⅰ类误差” 的数据的组数为,求的概率分布与数学期望.
附：相关系数.
20． 某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽 取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 40
女生 30
合计
（1）根据所给数据完成上表,依据的独立性检验,能否认为该校学生喜欢足球与性别 有关？
（2）社团知道老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知这两名 男生进球的概率均为,这名女生进球的概率为,每人射门一次,假设不同学生射门相互 独立,求3人进球总次数的分布列和数学期望.
参考公式：.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
21. 已知函数
（1）设不等式的解集为,若,求实数的取值范围;
（2）若在区间内有两个零点,求实数的
取值范围.二〇二二学年度
宁波重点中学 高二数学期中考试参考答案
第 二 学 期
一、单项选择题：共 8 题，每题 3 分，共 24 分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符
合 题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A A A B D B C
二、多项选择题：共 4 题，每题 3 分，共 12 分．在每题给出的四个选项中，有多项符合要
求，全部选对得 3 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分．
题号 9 10 11 12
答案 AD ACD ABC BCD
三、填空题：共 4 题，每题 4 分，共 16 分．
13．0.3
3 1
14． ( , )
4 8
29
15．
50
16．780
四、解答题：共 5 题，17-18 题每题 9 分，19-21 题每题 10 分，共 48 分．解答应写出文字
说明，证明过程或演算步骤．
7 7
17．解：（1）a7 = 64， ai = ai a0 = 0 1= 1，
i=1 i=0
n n n+1 n+1
（2）设Tn =C , 6 2 Tn+1 =C6 2
11
由Tn+1 Tn 得n ,即当n = 4时, Tn 有最大值240
3
因此 f (x)展开式中最大项为240x
4
.
18. 解：（1）当 x 0时, x 0
f (x) = f ( x) = ( x)
2 2x = x2 2x
x2 2
x , x 0
所以 f (x) =
2
x 2
x , x 0
y = x2 y = 2 x （2）因为 与 在[0,+ ) 上单调递增,所以 f (x)在[0,+ ) 上单调递增,
又因为 f (x)为偶函数,所以 f (x)在 ( ,0)上单调递减.
不等式 f (2x t) f (1)等价于 2x t 1,
1
t +1 t 1 t +1 t 1
故 x 或 x , 由题意3 或3
2 2 2 2
所以 t ( ,5) (7,+ ) .
n
xi yi 10xy
19. 解： （1） r = i=1 0.98 0.75 ,故认为具有很强的线性相
n n
x2i 10x
2 y2 2i 10y
i=1 i=1
关性.
（2）分布列如下：
X 0 1 2 3
1 15 15 5
P
56 56 28 28
C3 k k
P(X = k) = 3
C5 (k = 0,1,2，3)
C38
5 15
E(X ) = 3 =
8 8
20. 解：（1）
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 60 40 100
女生 30 70 100
合计 90 110 200
零假设为H0 :设性别与喜欢足球无关.
2 100 (60 70 30 40)
2
根据表中数据可计算得 = 18.182 10.828 .
100 100 90 110
则根据 = 0.001的独立性检验,没有充分证据推断H0 不成立,因此可以认为 H0 成
立,即该校学生喜欢足球与性别有关.
1 1 1
（2）P(X = 0) = ( )
2 =
3 2 18
1 2 1 1 1 1 5
P(X =1) =C2 + ( )
2 =
3 3 2 3 2 18
2 2 1 2 1 1 8
P(X = 2) = ( ) +C
1
2 =
3 2 3 3 2 18
2 2 1 4
P(X = 3) = ( ) =
3 2 18
X 0 1 2 3
1 5 4 2
P
18 18 9 9
11
E(X ) =
6
2
21. 解：（1）令h(x) = f (x) + 4 = x
2 4ax + a2 + 2
2 2
1 若 A= ,此时 =16 4(a + 2) 0 ,
6 6
所以 a
3 3
2 若 A ,则
g(0) 0
g(3) 0
0 2a 3
0
6
解得 a 1
3
2 4ax + a 1, 0 x 1
（2） g(x) =
2x
2 4ax + a2 3,1 x 3
1 g(x) 在 (0,1) 上有一个零点, (1,3)上有一个零点
a2 1
① x1 = (0,1)
4a
1 a 2 5 或1 a 2+ 5
② x2 (1,3)
g(1)g(3) 0
解得2 5 a 6 21或 2+ 5 a 6+ 21
当 g(1) = 0时, g(x) 在 (0,3)上仅有一个零点
当 g(3) = 0时,不符合题意
所以a (1,6 21)
2 g(x) 在 (0,1) 上无零点,在[1,3) 上有两个零点
则a 1或2 5 a 1或 a 2+ 5 且满足
g(1) 0
g(3) 0
0
1 a 3
此时a 不存在
综上a (1,6 21) .
3
