辽宁省锦州市辽西育明高级中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

辽西育明高级中学2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试题
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每一个小题只有一项是正确的）
1．设等差数列的前n项和为，若，是方程的两根，则（ ）
A．72 B．52 C．45 D．39
2．从4名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名男生和1名女生的选法共有（ ）
A．20种 B．16种 C．24种 D．36种
3．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．3月21日是世界睡眠日，2022年世界睡眠日的中国主题是“良好睡眠，健康同行”．中国睡眠研究会常务理会吕云辉教授围绕这一主题进行了深度解读，以严谨的理论和丰富的案例佐证了良好睡眠于健康体魄的重要性．某中学数学兴趣小组为了研究良好睡眠与学习状态的关系，调查发现该校3000名学生平均每天的睡眠时间，则该校每天平均睡眠时间为6~7小时的学生人数约为（ ）（结果四舍五入保留整数）
附：若，则，，．
A．64 B．815 C．472 D．408
5．已知数列的前n项和，设，则（ ）
A． B． C． D．
6．端午节是中国非常重要的传统节日，某班级准备举行“端午节福气到”抽奖活动，福袋中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个相同小球，从袋中一次性摸出三个小球，若号码之和是3的倍数，则获奖若有5名同学参与此次活动，则恰好3人获奖的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．若，，当时，都有，则实数a的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
8．已知是数列的前n项和，若，数列的首项，，则（ ）
A． B． C．2023 D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多项选项是正确的，全选对的得5分，部分选对的得2分，错选或者不选的得0分）
9．下列各选项中，使数列为递增数列的是（ ）
A． B．
C．， D．，
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数有极大值点
C．
D．若方程恰有两个不等的实根，则实数m的取值范围是
11．为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程．则（ ）
A．甲乙丙三人选择课程方案有120种方法
B．恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为
C．已知甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率为
D．设三名同学选择课程“礼”的人数为，则
12．已知数列满足，若对，都有成立，则整数的值可能是（ ）
A． B． C．0 D．1
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为30%，20%，50%，且三家工厂的次品率分别为3%，3%，1%，则市场上该品牌产品的次品率为________．
14．已知的展开式的各二项式系数的和为64，则常数项为________．（用数字作答）
15．已知函数的极值点为1，且（为的导函数），则的极小值为________．
16．已知数列，满足，，．设数列的前n项和为，若存在m使得对任意的都成立，则正整数m的最小值为________．
四、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）记为各项均为正数的等比数列的前n项和，，且，，成等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）在和之间插入n个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）已知函数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围．
19．（本小题满分12分）为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了传统艺术书画知识趣味竞赛活动．一共3道题，答题规则如下：每队2人，其中1人先答题，若回答正确得10分，此队继续回答下一道题；若回答错误，则另一人可补答，补答正确也得10分，得分后此队继续按同样方式答下一题；若2人都回答错误，则得0分且不进入下一题，答题结束．已知第一队含有甲、乙两名队员，其中甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，每道题都是甲先回答，且两人每道题目是否回答正确相互独立．甲乙两人回答正确与否也互相独立．
（1）求第一队答对第1题的概率；
（2）记X为第一队获得的总分，求随机变量X的分布列和数学期望．
20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，为等边三角形，，，M是棱上一点，且．
（1）求证：平面MBD；
（2）求二面角的余弦值．
21．（本小题满分12分）已知数列的首项，，．
（1）设，求数列的通项公式；
（2）是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且，，成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）已知在平面直角坐标系中，椭圆焦距等于，且经过点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）椭圆C的右顶点为A，若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为，试问直线PQ是否过定点，如果是，求出定点的坐标，如果不是，请说明理由．
辽西育明高级中学2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试题参考答案
一、单选题
1．【答案】D
【详解】由题可得，，所以，即．故选：D．
2．【答案】B
【详解】3名志愿者为1名男生，2名女生时，选法的种数为；3名志愿者为2名男生，1名女生时，选法的种数为．所以，根据分类加法计数原理可知，至少有1名男生和1名女生的选法共有种．故选：B．
3．【答案】B
【详解】，，，曲线在点处的切线方程为，
即．故选：B．
4．【答案】D
【详解】，，，
，
该校每天平均睡眠时间为6~7小时的学生人数约为．故选：D．
5．【答案】A
【详解】因为，所以当，时，有，两个式子相减，得
，由，所以数列是1为首项，为公比的等比数列，
所以，即，
，故选：A
6．【答案】C
【详解】每次抽奖中，总情况数为种，获奖的共有、、、这4种，所以，设5人中获奖人数为X，则，所以，故选：C．
7．【答案】C
【详解】因为，，当时，都有，
即，即，
令，，则恒成立，
即在上单调递增，又，所以在上恒成立，
所以在上恒成立，因为在上单调递减，
所以，所以，即实数a的最大值为．故选：C
8．【答案】A
【详解】令，得．又因为，所以．
由，得，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，
所以，所以．故选：A．
二、多选题
9．【答案】ABD
【详解】对选项A：，是递增数列，正确；
对选项B：，是递增数列，正确；
对选项C：，，则，，不是递增数列，错误；
对选项D：，是递增数列，正确；故选：ABD
10．【答案】ABC
【详解】由函数，，所以，
令，得，可得当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在时，取极大值，且极大值为，
所以A正确，B正确；
又3，，所以，C正确；
又因为当时，，所以若方程恰有两个不等的实根，则实数m的取值范围是，D错误．故选：ABC
11．【答案】BCD
【解析】A选项考查了排列组合的内容；B选项利用排列组合分别算出基本事件总数与满足题意的基本事件个数，代入古典概型公式计算；C选项利用条件概率的公式代入求解；D选项利用二项分布的公式求解．
【详解】甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程，则选择方法有种，故A错误；恰有三门课程没有被三名同学选中，表示三位同学每个人选择了不重复的一门课程，所以概率为，故B正确；已知甲不选择课程“御”的概率为，甲乙丙都不选择“御”的概率为，所以条件概率为，故C正确；三名同学选择课程“礼”的人数为，则服从二项分布，则，故D正确．故选：BCD．
12．【答案】BC
【详解】由可得，
若对，都有成立，即，
整理可得，所以对都成立；
当n为奇数时，恒成立，所以，即；
当n为偶数时，恒成立，所以，即；
所以的取值范围是，则整数的值可能是－1，0．故选：BC
三、填空题
13．【答案】0.02
【详解】设，，分别表示买到一件甲、乙、丙的产品；B表示买到一件次品，由题意有，，，，，
由全概率公式，得
．
14．【答案】
【详解】由题意可得，解得，．设展开式中的第项为，
令，解得．所以该展开式的常数项为．故答案为：．
15．【答案】4
【详解】，，，所以，解得：，，
，所以，得，时，，，，
所以是函数的极小值点，．
16．【答案】3
【详解】因为，，所以，即，又，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，
，
则，
则对任意的都成立，即对任意的都成立，
即对任意的都成立，
即对任意的都成立，因为，所以，
则恒成立，所以，所以正整数m的最小值为3．故答案为：3．
四、解答题
17．【详解】（1）设数列的首项为，公比为q，则①，
因为，，成等差数列，则，即②，------------------------------2分
因为，所以由②式可得，解得或（舍），------------------------------4分
代入①式可得， ------------------------------5分
（2）由题可得，即，所以，------------------------7分
则，所以①，
则②，
故①－②得： ---------------9分
所以． -------------------------------10分
18．【详解】（1）因为，所以，即函数的定义域为，------------------------1分
当时，，有，，
所以， -----------------------------------------------3分
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，-----------------------------------------------5分
即函数的递增区间是，递减区间是． --------------------------------------------6分
（2）因为函数在区间上单调递增，
所以在上恒成立，所以在上恒成立， -------------8分
所以
因为，所以，即， ---------------------------------10分
所以，
所以，即实数a的取值范围为． ----------------------------------12分
19．【详解】（1）设甲、乙答对每题的事件为A、B，
则，，所以，， ----------------------------------------2分
答对第一题分为两种情况：甲先答对，甲先答错乙补答对，
所以答对第一题的概率为
． ----------------------------------------4分
（2）由题意得，，
，
，
，
． （4个值每个1分） ----------------------------8分
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
------------------------------------10分
数学期望为． -------------------------------------12分
20．【详解】（1）连接AC，记AC与BD的交点为H，连接MH．
由，得，，又，则， ------------2分
∴，又平面MBD，平面MBD，
∴平面MBD． -----------------------------4分
（2）记O为CD的中点，连接PO，BO．
∵为等边三角形，∴，
∵平面平面ABCD，平面平面，
∴平面ABCD．
以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为x轴，建立空间直角坐标系，如下图，
则，，，，，
，． ---------------------------------------6分
设平面BDM的法向量，则，
取得， -----------------------------------------8分
平面BCD的一个法向量． ----------------------------------------9 分
设二面角的平面角为θ，则． ----------------------------------------11 分
∴二面角的余弦值为． -----------------------------------------12分
（第（2）个问不建立直角坐标系的酌情给分）
21．【详解】（1）因为，，所以，
取倒得，所以， -----------------------------------------2分
因为，所以，
所以是，的等比数列， -----------------------------------------4分
所以． ----------------------------------------------5分
（2）假设存在，则，，
由（1）得，所以，-------------------------------------7分
化简得， ---------------------------------------10分
因为，当且仅当时等号成立，
又m，s，n互不相等，
所以，即不存在符合条件的m，s，n． -----------------------------------------12分
22．【详解】（1）解法一：由已知得，
则椭圆的两焦点坐标分别为，，
又，即， -------------------------------2分
解得，又，
所以椭圆G的方程为； --------------------------------4分
解法二：由题意可得， ---------------------------------2分
解得，椭圆方程为； -----------------------------------4分
（2）由（1）知，
由已知直线AP，AQ斜率同号，因此直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为，设，，
由得，
，，
由韦达定理得，， -----------------------------------6分
--------8分
代入，，
得，整理得或（k≠0），--------------------------10分
时，满足，此时直线PQ方程为，过定点，不合题意，
时，由得，直线PQ方程为，过定点．-------12分