甘肃省庆阳市宁县第二中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（含答案）

宁县第二中学2022-2023学年高一下学期期中考试
数学试卷
考试范围：必修第二册（平面向量及其应用、三角恒等变换）；考试时间：120分钟；
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、单选题(每道小题5分，共40分)
1．化简（ ）
A． B． C． D．
2．（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，则（ ）
A．30° B．45° C．30°或150° D．60°
4．已知向量、的夹角为，，，则（ ）
A．4 B．5 C． D．
5．已知点是角终边上一点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．结果为（ ）
A． B． C． D．
7．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
8．已知是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量的模为（ ）
A． B．2 C． D．4
8(春晖班)．已知向量满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(每道小题5分，错选得0分，少选得2分，共20分)
9．已知向量，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．与可以作为基底
C． D．与方向相同
10．已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则（ ）
A．的最小正周期为π B．在区间上单调递增
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称
11．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，对于有如下命题，其中正确的是（ ）
A．若，则是锐角三角形
B．若，，则的外接圆的面积等于
C．若是锐角三角形，则
D．若，则是等腰直角三角形
12(春晖班)．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则是直角三角形
C．若是等腰三角形，则
D．若，则的面积最大值为3
第II卷（非选择题）
三、填空题(每道小题5分，共20分）
13．已知，则___________.
14．设是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则________.
15．如图，为测量山高，选择和另一座的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高__________.
16．已知向量，满足，，，的夹角为150°，则与的夹角为______.
16（春晖班）．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，则ABC面积的最大值为________．
四、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(本题10分)
（1）化简：.
（2）已知，求的值.
18．(本题12分)已知，均为锐角，，.
(1)求的值；
(2)求的值.
19．(本题12分)已知，，．
(1)当时，求的值；
(2)若，求实数的值．
20．(本题12分)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α．
21．(本题12分)已知的内角的对边分别为，．
(1)求A；
(2)若，，求的面积．
22．(本题12分)已知函数在区间上的最大值为5，
(1)求常数的值；
(2)当时，求使成立的x的取值集合.
22．（春晖班），
(1)当=1时，求的最大值，并求此时的取值．
(2)若有4个零点，求的取值范围。
参考答案：
一、单选题(每道小题5分，共40分)
D 2．D 3．A 4．B 5．A 6．B 7．B 8．A 8(春晖)．B
【分析】由向量的运算作出图形进行分析，再由圆的对称性得出的最大值.
【详解】如下图所示：
圆的半径为1，设，因为，所以点在圆上，
则，由图可知，，即的最大值为.
故选：A
二、多选题(每道小题5分，错选得0分，少选得2分，共20分)
9．BD 10．AD 11．AD 12．BC
12（春晖班）．BCD
三、填空题(每道小题5分，共20分）
14．4 15． 16．
16（春晖班）．
【分析】又正弦定理可得，再由面积公式结合余弦定理和基本不等式即可求出最值.
【详解】由正弦定理得：，所以，即，
故.
由余弦定理可得：，
由基本不等式得：，等且仅当时取得等号，此时，所以ABC面积的最大值为.
故答案为：
.
17．（1）4；（2）.
【分析】（1）通分，利用辅助角公式和正弦的倍角公式进行化简求解；
（2）对两边平方后，结合同角三角函数关系及正弦倍角公式进行求解.
【详解】（1）；
（2），两边平方得：，
即，所以
(1)
(2)
【分析】运用二倍角公式、同角三角函数平方关系、配凑角及差角公式求解即可.
【详解】（1）由题意知，，
（2）∵、为锐角，
∴，
又∵，，
∴，，
∴
19．(1)9
(2)
【分析】（1）利用平面向量的运算法则和数量积运算法则进行计算；（2）由向量垂直得到等量关系，求出实数的值.
(1)
当时，，
故，
(2)
，
，
因为，
所以，
解得：.
所以实数的值为.
20．(1)7 n mile/h
(2)
【分析】(1)根据余弦定理求解；
(2)利用正弦定理即可求解.
【详解】（1）依题意，知
在中，由余弦定理，
得
解得甲船的速度为＝7，
所以渔船甲的速度为7 n mile/h．
（2）在中，
由正弦定理，得＝，
即.
21．(1)
(2)
【分析】(1)利用正弦定理及条件，进行边转角即可求出结果；
(2)利用余弦定理及条件，建立方程求出的值，再用面积公式求出结果.
【详解】（1）(1)由正弦定理及，得，
所以，
即，所以
因为，所以，又，所以
（2）(2)，，又由(1)知
由余弦定理得，
即，则
所以的面积为
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的数量积及三角恒等变换化简，再根据三角函数的图象与性质即可求；
（2）由（1）求得，根据三角函数的图象与性质即可解不等式.
【详解】（1）
，
，
，，
∴函数的最大值为，，，
（2）由（1）得，
由得，∴
解得：.
成立的x的取值集合是．
22（春晖班）．(1)时，有最大值；
(2)
【分析】（1）根据题意，设，化简后利用二次函数性质可求解；
（2）由（1）可得，根据，可得函数零点的取值范围，进而求出的值.
【详解】（1）根据题意，设，
因为，所以，所以，
所以，
将两边平方可得，，
所以，因为，
所以，
对称轴为，所以，
此时，即，
所以，因为，
所以，即时，有最大值；
（2）由（1）可得，，
因为有4个零点，所以有两个零点，
方程在有两个根，所以，
在中，，
可得或，
的零点为，
所以，解得，
即.