北华高中2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试题
考试时间：120分钟
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题），页数在试卷下端；考试结束后，将答题纸（答题卡）上交，本卷留存。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将考号、科目等填涂正确。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I卷（选择题）
第I卷共8小题。在每小题给出的四个选项汇总，只有一项符合题目要求。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
2. 已知，则（ ）
A 6 B. 7 C. 8 D. 9
3. 下列导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知直线l是曲线的切线，切点横坐标为，直线l与x轴和y轴分别相交于A、B两点，则面积为（ ）
A. B. 1 C. D.
5. 某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（ ）（单位：万元）
参考数据：
A. 2.438 B. 19.9 C. 22.3 D. 24.3
6. 学校音乐团共有10人,其中4人只会弹吉他,2人只会打鼓,3人只会唱歌,另有1人既能弹吉他又会打鼓.现需要1名主唱,2名吉他手和1名鼓手组成一个乐队,则不同组合方案共有( )
A. 36种 B. 78种 C. 87种 D. 90种
7. 已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. 在的二项展开式中，下列说法正确的有（ ）
A. 常数项为第三项
B. 展开式的二项式系数和为729
C. 展开式系数最大项为第三项
D. 展开式中系数最大项的系数为240
10．下列问题是排列问题的是( )
A.把5本不同的书分给5个学生，每人一本
B.从7本不同的书中取出5本给某个同学
C.10个人相互发一微信，共发几次微信
D.10个人互相通一次电话，共通了几次电话
11. 已知函数，其中且，则下列说法正确的有（ ）
A. 的对称中心为
B. 恰有两个零点
C. 若方程有三个不等的实根，则
D. 若方程的三个不等实根分别为，则
12. 建筑师高迪曾经说：直线属于人类，而曲线属于上帝，一切灵感来源于自然和幻想，灵活生动的曲线和简洁干练的直线，在生活中处处体现了几何艺术美感，我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由在点处的切线写出不等式，进而用替换x得到一系列不等式，叠加后有．这些不等式同样体现数学之美．运用类似方法推导，下面的不等式正确的有（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、…，则= ________， =________.
14、已知函数在R上有两个极值点，则实数的取值范围是 .
15、现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有________种.（结果用数字表示）
16 、8张椅子排成一排,有4个人就座,每人1个座位,恰有3个连续空位的坐法共有多少种 _______
四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程
18．(本小题满分12分)
在二次项 (a＞0,b＞0,m,n≠0)中有2m+n＝0，如果它的展开式中系数最大的项恰是常数项，求它是第几项
19.(本小题满分12分)
从2，3，4，7，9这五个数字任取3个，组成没有重复数字的三位数
（1）这样的三位数一共有多少个？
（2）所有这些三位数的个位上的数字之和是多少？
（3）所有这些三位数的和是多少？
20．(本小题满分12分)
已知二项式 的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为128.
（1）求 的展开式中的常数项；
（2）在 (1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋ 的展开式中，求项的系数.(结果用数字作答)
21．(本小题满分12分)
已知是函数的一个极值点，其中，
（1）求与的关系式；
（2）求的单调区间；
（3）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围.
22．(本小题满分12分)
已知函数为自然对数的底数）
（1）求的单调区间，若有最值，请求出最值；
（2）是否存在正常数，使的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由。高二数学期中考试答案
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】A
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】CD
【10题答案】
【答案】AC
【11题答案】
【答案】ABD
【12题答案】
【答案】BC
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13、-2，-154
14、a<0
15、336
16、480
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
解：设切点为，函数的导数为
切线的斜率，得，代入到
得，即，
18．(本小题满分12分)
解：(1)Tr+1＝C12ra12-rx12m-mrbrxnr＝C12ra12-rbrx12m-mr+nr.
令 ∴r＝4 系数最大项为第5项
19.(本小题满分12分)
从2，
解、（1）60
（2）300
（3）300×（100+10+1）=33300
1
0 0
调调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
20．(本小题满分12分)
（1）解： 所有奇数项的二项式系数之和为128，
，解得 .
的第 项为
，
令 ，得 ，
则常数项为 ；
（2）解：
展开式中 的系数为：
.
21．(本小题满分12分)
解(1)因为是函数的一个极值点,
所以,即，所以
（2）由（1）知，=
当时，有，当变化时，与的变化如下表：
故有上表知，当时，在单调递减，
在单调递增，在上单调递减.
（3）由已知得，即
又所以即①
设，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
所以解之得
又
所以
即的取值范围为
22．(本小题满分12分)
解：（1）
①当恒成立
上是增函数，F只有一个单调递增区间（0，-∞），没有最值……3分
②当时，，
若，则上单调递减；
若，则上单调递增，
时，有极小值，也是最小值，
即…………6分
所以当时，的单调递减区间为
单调递增区间为，最小值为，无最大值…………7分
（2）方法一，若与的图象有且只有一个公共点，
则方程有且只有一解，所以函数有且只有一个零点…………
由（1）的结论可知…………10分
此时，
的图象的唯一公共点坐标为
又的图象在点处有共同的切线，
其方程为，即…………13分
综上所述，存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该点处的公切线方程为…………14分
方法二：设图象的公共点坐标为，
根据题意得即
由②得，代入①得 从而…………10分
此时由（1）可知 时，
因此除外，再没有其它，使…………13分
故存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得公共点坐标为，公切线方程为…………14分
