辽宁省锦州市辽西育明高级中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（含答案）

辽西育明高级中学2022-2023学年高一下学期期中考试
数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
考生请注意：
Ⅰ.考试时间120分钟。满分150分；
Ⅱ.只交答题纸，在卷上作答无效。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
（本卷共12小题，其中1-8题为单选题，9-12题为多选题）
一、单选题：（每题5分，共40分）
1.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
2.（ ）
A.0 B. C. D.1
3.已知平面向量，，则与夹角的大小为（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
4.如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知是第二象限角，则点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.计算的值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：（共20分，每题全部选对得5分，部分选对得2分）
9.已知，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
10.在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，以下能独立说明为等腰三角形的是（ ）
A. B. C. D.
11.函数（，，）在一个周期内的图像如图所示，则（ ）
A.的最小正周期是
B.图像的一个对称中心为
C.把函数的图像先向左平移个单位长度，再将曲线上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到的图像
D.的单调递增区间为
12.在中，，，，点为线段上靠近A端的三等分点，为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.与的夹角的余弦值为
C. D.的面积为8
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.，若，则______.
14.若角终边上一点的坐标为，则的最小值为______.
15.若，，则______.
16.若，，与的夹角为45°，则向量在上的投影向量为______.
四、解答题：（本题共六道大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
已知两个非零向量与不共线，
（1）试确定实数，使得与共线；
（2）若，，，且，求实数的值.
18.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值以及相应的取值；
（3）若为锐角，，求的值.
19.（本小题满分12分）
已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）已知，，，，，求的值.
20.（本小题满分12分）
在中，以a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，，求的面积；
（3）若，，求边上中线长.
21.（本小题满分12分）
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角的大小；
（2）已知，若为锐角三角形，求的取值范围.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）常数，若函数的最小正周期是，求的值.
（2）若，且方程在上有实数解，求实数的取值范围.
2022-2023学年度第二学期期中考试
高一数学试题答案
1.B 2.A 3.B 4.C 5.D 6.B 7.B 8.A
9.ACD 10.AC 11.ACD 12.AC
13.【答案】0
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.（1）若与共线，则，
解得 ..................................................................................5分
（2）得
由，知，解得.........10分
18.（1）由已知......2分
令，解得
故函数的单调递增区间为.........................................................4分
（2）由，可得
所以，故，
所以函数在区间上的最大值为2，此时，即，...........6分
函数在区间上的最小值为-1，此时，即，...........8分
（3）由，可得，.....................................9分
因为，可得，...........................................................................10分
.................................................................................11分
.......12分
19.（1）
........................................................2分
即......................................4分
（2）..........................................6分
，且①.......................................8分
，且②.......................................10分
................................................11分
由①②知...........................................12分
20.（1）因为，所以，..........................1分
由余弦定理可得，.............................................................2分
因为，所以............................................................................................4分
（2）因为，且，
所以，解得或（舍去），.....................................................6分
所以...........................................................................7分
（3）因为，由正弦定理可得，..................................8分
即，因为，所以，则，
所以或，即或，..............................................................10分
当时为等边三角形，所以边上中线长为；...........11分
当时，则，所以为直角三角形，又，
由正弦定理，即，所以 ，，
所以边上中线长为................................................12分
21.（1）解：在中， ，
所以,.......................................................................2分
因为，
所以，即，...............................................3分
则；.........................................................................................................4分
（2）由（1）知：，..................................................................5分
所以，
，
，
，.................................................................................................8分
因为为锐角三角形，
所以
所以，则，解得，...........................9分
所以，则，..............................................10分
所以，
所以的取值范围是......................................................................12分
22.（1），
............................................................................2分
的最小正周期为，
所以，
所以.................................................................................................................4分
（2）,
在上有实数解,
即在上有实数解,
即在上有实数解,...................................5分
令， .....................................................................................................6分
所以，.由，
所以，
所以，
所以，
同时，
所以，...................................................................................................7分
所以在上有实数解等价于在上有解，............................................................................................8分
即在上有解，
①时，无解；........................................................................................9分
②时，有解，
即在有解，
即在有解，
令，
所以的值域为，....................................................11分
所以在有解等价于....................................12分