2023 年广州市普通高中毕业班冲刺训练题（一）
试题参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C C A C D C
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
9. AB 10. ABD 11. BC 12. ACD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
3
13. 6x 2y 3 10 0 14. 35 5 15. 16. 0 , 2e
4
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．
17.（10 分）
（1）解: 因为 f (x) cos x 3cos x
12 2 12
sin x 3cos x 2sin x
12 12 4
当 2 ，所以 f (x) 2sin 2x
4
所以 f 2sin 2 sin cos cos sin
6 3 4 3 4 3 4
6 2 6 2
2
4 4
2
π
（2）解：由（1）知 f x 2sin x ，
4
π π π π π π π
当 x 时， x ，
4 2 4 4 4 2 4
π π
kπ
π π
4 4
要使 g x 在 , 上无零点，则 ， k Z .
4 2 π π k 1 π
2 4
5 5 3
4k 1≤ ≤2k ， k Z， 0，4k 1≤2k k ≤ ，
2 2 4
5 1 1
当 k 0时，1 ；当 k 1时， 3≤ ≤ 0 ≤ ，
2 2 2
当 k 2时， 0舍去．
1
1 5
综上： 的取值范围为 0, 1, ．
2 2
18. (12 分)
（1）解：选条件①：
数列 Sn a1 为等比数列，
2
S2 a1 S1 a1 S3 a1 ，
2
即 2a1 a2 2a1 2a1 a2 a3 ，
a1 1，且设等比数列 an 的公比为 q ，
2
2 q 2 2 q q2 ，解得q 2或 q 0（舍），
a a qn 1 2n 1n 1 ，
选条件②：
2n a 2n 11 a2 2an nan 1 ①，
2n 1a1 2
n 2 a2 2an 1 n 1 an n 2 ，
2n a 2n 1即 1 a2 2
2 an 1 2 n 1 an n 2 ②，
由①②两式相减得： 2an nan 1 2 n 1 an n 2 ，
即 an 1 2an n 2 ，
令 2n a n 11 2 a2 2an nan 1中n 1得出 a2 2a1也符合上式，
故数列 a an 为首项 1 1，公比q 2的等比数列，
则an a q
n 1 2n 11 .
（2）解：由第一问可知，不论条件为①还是②，都有数列 a 为首项 a1 1n ，公比q 2的
n 1
等比数列，即an 2 ，
则b1 a2 2，b2 a3 4，
4Tn bn bn 1 ③，
4Tn 1 bn 1 bn n 2 ④，
2
由③④两式相减得：4 Tn Tn 1 bn bn 1 bn 1 bn n 2 ，
即 4bn bn bn 1 bn 1 n 2 ，
数列 bn 为正项数列，则bn 1 bn 1 4 n 2 ，
则数列 bn 的奇数项、偶数项分别都成公差为 4 的等差数列，
2n 2n
i i ( 1) b ibi 1 4 ( 1) T i 4 T1 T2 T3 T4 T2n 1 T2n ，
i 1 i 1
2n
即 ( 1)
i b ibi 1 4 b2 b4 b6 b2n ，
i 1
n n 1
数列 bn 前 2n项中的全部偶数项之和为：4n 4 2n2 2n，
2
2n
则 ( 1)
i bb 2i i 1 8n 8n
i 1
19.（12 分）
（1）证明：设 AC,BE 的交点为O，连接 FO，已知O为△ABD的重心，
AO 1
所以 ，
OC 2
因为 PC / / 平面 BEF ，平面PAC 与平面 BEF 的交线为OF ，
所以 FO / /PC
AF AO 1
所以 .
AP AC 3
（2）解：因为 BCD 60
,所以△DCB为等边三角形，
所以DC DB，又因为 PDC PDB，
所以 PDB PDC ，所以 PB PC ，
取BC的中点M ，连接 PM ， DM ，所以BC ⊥PM ，BC⊥ DM ，
所以BC⊥平面 PMD，
过 P 做 PH DM ，交直线 DM 于点 H ，所以 PDH 45 ，
3
因为 PD 6 ，所以 PH DH 3 ，
又因为 DM 3 ，所以 H 与M 重合
以 H 为坐标原点， HD,HB,HP为 x, y, z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以
P 0,0, 3 , B 0,1,0 , A 3,2,0 , D 3,0,0 , E 3,1,0 ，
2 3 4 3
因为 AP 3AF ，所以 F , , ，
3 3 3
3 1 3
EF , , , BE 3,0,0 ，
3 3 3
设m x2 , y2 , z2 平面 BEF ，
3x 0 m BE 0
2
3 1 3 ，令 y2 3, x ， 2 0, z2 1
m EF 0 x2 y2 z2 0
3 3 3
所以m 0, 3, 1 ，
n BE 0 3x 0
设 PBE 的一法向量n x, y, z ,则 ，
n PB 0 y 3z 0
令 z 1，则n 0, 3,1 ，
m n 1
所以 cos m,n
m n 2
1
所以求平面 PBE 与平面 BEF 夹角的余弦值为 .
2
20. （12 分）
1 k 3 k k 1 1 （1）解：由题意得， X ~ B 3, ，则P X k C 1 ，其中 k 0,1,2,3，
2
3
2 2
则 X 的分布列为：
X 0 1 2 3
1 3 3 1
P
8 8 8 8
1 3
则E X 3 .
2 2
4
（2）设事件 Ai 为“乙在第 i 次挑战中成功”，其中 i 1,2,3．
（ⅰ）设事件 B 为“乙在前两次挑战中，恰好成功一次”，则B A1 A2 A1A2 ，
则P B P A1 A2 P A1A2 P A1 P A2 A1 P A1 P A2 A1
0.5 1 0.6 1 0.5 0.4 0.4．
即乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概为0.4 ．
（ⅱ）因为P A2 P A1A2 A1A2 P A1 P A2 A1 P A1 P A2 A1
0.5 0.6 0.5 0.4 0.5，
且P A2 A3 P A1A2A3 A1A2A3 P A1A2A3 P A1A2A3
0.5 0.6 0.7 0.5 0.4 0.5 0.31，
P A A
2 3
0.31
所以P A3 A2 0.62．
P A2 0.5
即乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率为0.62 ．
21. （12 分）
（1）设 P x0 , y y y k x x
2 2
0 ，切线 0 0 ，则 x0 y0 5
x2
y2 1 2 2 2
由 4 得 1 4k x 8k y0 kx0 x 4 y0 kx0 4 0
y y0 k x x0
2 2 2
由 0得 4 x0 k 2x0 y0k 1 y0 0
设切线PA, PB的斜率分别为 k1, k2
1 y 2 2
k k 0
1 y
0则 1 2 12 2 4 x0 4 5 y0
1
又直线 PA的斜率为 2 ，则直线 PB的斜率为
2
（2）当切线PA, PB的斜率都存在时，设 A x1, y1 , B x2, y2 ，
切线PA, PB方程为 y yi ki x xi ,i 1,2
并由（1）得 4 x2i k 2 2xi yik 2i 1 yi 0,i 1,2（*）
x2
由点 A ， B 在椭圆上，得 i y2i 1,i 1,2 代入（*）
4
5
2
x x
得 2y k i
=0 ，即 ki
i ,i 1,2
i i
2 4yi
x x
切线PA, PB的方程为 i yi y 1,i 1,2
4
x x
由于点 P 在切线PA, PB上，则 i 0 yi y0 1,i 1,2
4
x x
所以直线 AB 方程为 0 y0 y 1，
4
4y0
由 PQ AB得直线 PQ方程为 y y0 x x0
x0
x x
联立直线 AB 方程 0 y0 y 1，
4
4x0 1 3y20 4 y0 1 3y20 1
解得 xQ x ， y y
x2
0 Q 0
0 16y
2
0 5 x
2
0 16y
2
0 5
由 x 2 y 2
5
Q 2 20 0 5得 点轨迹方程为 x 5y 1，且焦点恰为 F1, F2
16
当切线PA, PB的斜率有一个不存在时，如 PB斜率不存在，则B(2,0)， P(2,1)， A(0,1)，
1 8 1
直线 AB 方程为 y x 1， PQ方程为 y 1 2(x 2)，可解得Q( , )，
2 5 5
5
Q点也在椭圆 x
2 5y2 1上，
16
若B( 2,0)，同理可得.
5 2 2
因此，点Q的轨迹为椭圆 x 5y 1，
16
1 1 5 15
所以, S ， QF F = |F1F2| |yQ | 2 3 =1 2 2 2 5 5
5 2 2
当且仅当点Q在椭圆 x 5y 1的短轴端点时取到等号.
16
22.（12 分）
2x x
（1）解：由 f (x) 2ax 2aex 1 x x e e
讨论：
① a 0 时，由 2aex 1 0，令 f (x) 0 ，解得 x 0 ，
所以 x 0 时， f (x) 0 ； x 0 时， f (x) 0 ；，
则 f (x) 在 ( ,0)单调递增，在 (0， )单调递减；
2ax x 1
② a 0 时，由 f (x) e ，
ex 2a
1
i a 时，因为 x e x 1 0，则 f (x) 0 ， f (x) 在 ( , ) 单调递增，
2
6
1 1
ii a 0， 时， f (x) 0 ，解得 x 0 或 x ln 0，
2 2a
1 1
所以 x ,0
ln , 时， f (x) 0 ； x 0，ln 时， f (x) 0 ，
2a 2a
1 1
则 f (x) 在 ,0 ln , 单调递增，在 0，ln 单调递减；
2a 2a
1 1
iii a ， 时，由 x ln 0 ，
2 2a
1 1
所以 x , ln 0, 时， f (x) 0 ； x ln ，0 时， f (x) 0 ，
2a 2a
1 1
则 f (x) 在 , ln 0, 单调递增，在 ln ，0 单调递减；
2a 2a
综上： a 0 时， f (x) 的单调递增区间为 ( ,0)，单调递减区间为 (0， )；
1 1 1
a 0， 时， f (x) 的单调递增区间为 ,0 和 ln , ，单调递减区间为 0，ln ；
2 2a 2a
1
a 时， f (x) 的单调递增区间为 ( , ) ；
2
1 1 1
a ， 时，f (x) 的单调递增区间为 , ln 和 0, ，单调递减区间为 ln ，0 ；
2 2a 2a
1 1
（2）根据题意结合（1）可知 a 0， ， 时， f (x) 存在两个极值点，
2 2
由 x1为 f (x) 的零点，则
x1 1 2 x 1 2 ax 0 11 ，则 ax1 0 ，故 x1 , 1 x x ，
e 1 e 1
讨论：
1
若 a 0， ，由（1）可知 x0 0，则 x0 x1 0 1 1 ln 2；
2
1 1
若 a ， ，则 x0 ln ，故
2 2a
7
x 1 x 11 2 1
ax 0
a
x
1 2 x
e 1 x 1 1 x 1
，化简得 1
e 1
，即 x0 2 ， 1 2e
x
x e 1 x 1e 0 1
a 2a
x
2e 0
2
x x x 1 1
故 2e 0 1 1 x1 1 2 2 x1 1 2 4 ，（ x 1
1 0）
x1 1 x1 1 x1 1
即 x xe 0 1 2，
x1 2
故 x0 x1 ln 2，当且仅当 e2 时取等号，
a
4
综上， x0 x1 ln 2恒成立.
82023 年广州市普通高中毕业班冲刺训练题（一）
数 学
本试卷共 6 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室
号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相
应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的
答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能
答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目
指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答
案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
2
1．设集合M x | x 4x 3 0 ， N x log2 x 1 ，则集合M N
A． ,1 B． 0,1 C． 1,2 D． , 0
1 3
2．已知 z i ，且 z2 az b 0，其中 a，b 为实数，则
2 2
A．a 1,b 0 B．a 1,b 0 C．a 1,b 1 D．a 1,b 1
3. 已知向量a , b，满足a b =10，且a 3,4 ，则b 在a 上的投影向量为
6 8 6 8
A． 6,8 B． 6, 8 C． , D． ,
5 5 5 5
4. 大约公元前 300 年，欧几里得在他所著《几何原本》中证明了算术基本定理：每一个比 1
大的数（每个比 1 大的正整数）要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，
如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的，即任何一个大于 1
a a a
的自然数 N （ N 不为素数）能唯一地写成 N p 1 p 2 k p a1 2 pk （其中 i 是素数， i 是正整
数，1 i k ， p1 p2 pk ），将上式称为自然数 N 的标准分解式，且 N 的标准分解
式中有a1 a2 ak 个素数．从 360 的标准分解式中任取 3 个素数，则一共可以组成不
同的三位数的个数为
A．6 B．13 C．19 D．60
1 1
5．已知 , 0,π ，则“ sin sin ”是“sin ”的
3 3
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
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6. 斐波那契数列 an 满足a1 a2 1，an an 1 an 2 n 3 ，其每一项称为“斐波那契数”.
如图，在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中，利用下列各图中的面积关系，推
a2 a21 2 a
2
2023
出 是斐波那契数列的第（ ）项.
a2023
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
7．已知圆台O O 的上、下底面半径分别为 r，R，高为 h，平面 1 经过圆台O1O 的两条母线，
设 截此圆台所得的截面面积为 S，则
A．当h R r 时，S 的最大值为 R 2r h
R r
2
h2 R r
B．当h R r 时，S 的最大值为
2 R r
C．当h R r 时，S 的最大值为 R 2r h
2
R r h2 R r
D．当h R r 时，S 的最大值为
2 R r
x2 y2
8．设双曲线E : 1 a 0,b 0 的右焦点为F ，M 0,3b ，若直线 l 与 E 的右支交于
a2 b2
A ， B 两点，且F 为△MAB 的重心，则直线 l 斜率的取值范围为
13 2 13
A． , 3 3, B． , 3 3,
3 9
2 13
2 13
C． , 6 6, D． , 6 6,
9 3
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9．总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和.它反映
的是一名妇女在每年都按照该年龄别现有生育率生育的假设下，在育龄期间生育的子女总
数.为了了解中国人均 GDP x（单位：万元）和总和生育率 y 以及女性平均受教育年限 z （单
位：年）的关系，采用 2012~2022 近十年来的数据 xi , yi , zi (i 1,2, ,10)绘制了散点图，
并得到经验回归方程 z 7.54 0.33x， y 2.88 0.41x，
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2 2
对应的决定系数分别为 R1 ， R2 ，则
A．人均 GDP 和女性平均受教育年限正相关
B．女性平均受教育年限和总和生育率负相关
2 2
C．R1 R2
D．未来三年总和生育率将继续降低
10. 在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点M ， N 分别是棱 A1D1 ， AB 的中点，则
2
A．异面直线MD 与CN 所成角的余弦值为
5
B．MC1 D1N
5
C．点 N 到平面 A1C1D 的距离为
3
D．平面MNC 截正方体所得的截面是五边形
11．已知曲线C 是平面内到定点F(0,1)和定直线 l : y 1的距离之和等于 4 的点的轨迹，若
P x0 , y0 在曲线C 上，则下列结论正确的是
A．曲线C 关于 x 轴对称
B．曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过 13
C．曲线C 及其内部共包含了 19 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
3 9
D．点 P x0 , y0 到点Q 1, 和点F(0,1)的距离之和最小为
2 2
12. 已知 1， a1， a2 ，…， an ，2 为等差数列，记 Sn a1 a2 an，Tn a1a2 an ，则
S
A． n 为常数 B． n Tn 为常数
n
C． Sn 随着 n 的增大而增大 D．Tn 随着 n 的增大而增大
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
π
13．已知函数 f (x) 5sinx 3cosx，则曲线 y f x 在点 ,5 处的切线方程为______．
2
第 3 页（共 6 页）
14．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，
我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径 A，B 两点间的距离，
现在珊瑚群岛上取两点 C，D，测得CD 35m，
ADB 135 ， BDC DCA 15 ， ACB 120 ，
则 A、B 两点的距离为___________m．
15. 在平面直角坐标系 xOy中，圆C 的方程为 x2 y2 8x 15 0，若直线 y kx 2上至少
存在一点，使得以该点为圆心，3为半径的圆与圆C 有公共点，则 k 的最小值为_________．
．已知函数 f (x) a ln x 2x a 0 ，若不等式 xa 2e2x f (x) e2x16 cos( f (x)) 对 x 0恒成立，
则实数 a 的取值范围为__________.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10 分）
5π π
若函数 f (x) cos x 3 cos x ,其中 0 .
12 12
（1）若 2，求 f ；
6
π π
（2）若 f (x)在区间 , 上没有零点，求 的取值范围.
4 2
18．（12 分）
记数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a1 1，______. 给出下列两个条件：
条件①：数列 an 和数列 Sn a1 均为等比数列；
n n 1
条件②：2 a1 2 a2 2an nan 1 .
试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答.
（1）求数列 an 的通项公式；
2n
（2）记正项数列 b 的前 n 项和为T ，b1 a2 ，b2 a3 ，4Tn bn n bn 1，求 ( 1)
i bb n i i 1 .
i 1
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
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19．（12 分）
已知四棱锥P ABCD的底面 ABCD是棱长为 2 的菱形， BAD 60 ， PD 6,
若 PDC PDB，且 PD与平面 ABCD所成的角为45 ， E 为 AD 的中点，点 F 在线
段 PA 上，且PC ∥平面BEF .
AF
（1）求 ；
AP
（2）求平面 PBE 与平面BEF 夹角的余弦值.
20.（12 分）
甲、乙是北京 2022 冬奥会单板滑雪坡面障碍技巧项目的参赛选手，二人在练习赛中均需
要挑战 3 次某高难度动作，每次挑战的结果只有成功和失败两种．
1
（1）甲在每次挑战中，成功的概率都为 ．设 X 为甲在 3 次挑战中成功的次数，求 X 的分
2
布列和数学期望；
（2）乙在第一次挑战时，成功的概率为 0.5，受心理因素影响，从第二次开始，每次成功的
概率会发生改变其规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加 0.1；
若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率减少 0.1．
（ⅰ）求乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概率；
（ⅱ）求乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率．
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21．（12 分）
x2
已知圆O : x2 y2 5，椭圆 : y2 1的左右焦点为 F1, F2 ，如图 P 为圆上任意一点，
4
过 P 分别作椭圆两条切线切椭圆于 A ， B 两点．
（1）若直线 PA 的斜率为 2，求直线 PB 的斜率；
（2）作PQ AB于点Q，判断点 P 在运动的过程中， QF1F2 的面积是否存在最大值，
如果存在，求出最大值，如果不存在，说明理由.
22.（12 分）
x 1
设函数 f (x) ax
2
，其中 a R.
ex
（1）讨论 f (x)的单调性；
（2）若 f (x)存在两个极值点，设极大值点为 x0 ，x1 为 f (x)的零点，求证：x0 x1 ln 2 .
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