2023届广东省广州市普通高中毕业班冲刺训练题(二)数学试题(5月)(PDF版含答案)

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名称 2023届广东省广州市普通高中毕业班冲刺训练题(二)数学试题(5月)(PDF版含答案)
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资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2023-05-16 13:12:00

文档简介

2023 年广州市普通高中毕业班冲刺训练题(二)
试题参考答案
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B C D B C A
二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
9. BCD 10. BCD 11. ACD 12. ABD
三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
*
13. 5或者4k 1 k N 3 14. 2 1 15. 2 5 16.
140
四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.
17.(10 分)
2 2
(1)解: 由题意知,a 1 2a S 2a , 1 1 1 1
又a 0,得 a1 1 . 1
2
当n 2 a2时,由 1 2a S ,得 Sn Sn 1 1 2 Sn n n n Sn 1 Sn,
2 2
得 S S 1 . n n 1
2 2
则数列 Sn 是首项为 S 1,公差为1的等差数列. 1
2
所以 Sn 1 n 1 n .
又 Sn 0,则 Sn n .
当n 2时,an Sn Sn 1 n n 1,
又a1 1满足上式,
所以an n n 1 .
a n 1 n n n 1
(2)证明: 由于 n 1 1,
an n n 1 n 1 n
又 an 0,
所以an 1 an .
1
18. (12 分)
(1)证明:取 PD中点 F ,连结CF,EF .
1
因为点 E 为 PA 的中点,所以 EF //AD且 EF= AD,
2
1
又因为 BC//AD且 BC= AD ,所以 EF //BC且EF=BC,
2
所以四边形BCFE 为平行四边形.
所以 BE//CF .
又 BE 平面PCD,CF 平面PCD,所以BE// 平面PCD.
(2)在平面 ABCD中,过D 作DG AD,在平面PAD 中,过D 作DH AD .
因为平面 PAD 平面 ABCD,平面PAD 平面 ABCD AD,
所以DG 平面 PAD .
所以DG DH ,所以DA,DG,DH 两两互相垂直.

以 D 为原点,向量 DA, DG , DH 的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直
角坐标系D xyz (如图),则 A 4,0,0 ,C(1, 3,0), P 2,0,2 3 , D 0,0,0 ,

所以 AC ( 3, 3,0), AP 6,0,2 3 , DC 1, 3,0 ,
z
P
设n x, y, z 是平面PAC 的一个法向量,

n AC 0, 3x 3y 0,
H
则 即 E
n AP 0, 6x 2 3z 0,
F
取 x 1,得n (1, 3, 3).
A
x D
设直线CD与平面PAC 所成角为 .
B C G
y
1 3 0 2 7
则 sin cos n, DC ,
4 7 7
2 7
所以直线CD与平面PAC 所成角的正弦值为 .
7
19.(12 分)
(1)解:设事件 A 为“从被访问的100人中随机抽取 2 名,所抽取的都是女性顾客且使用
2 2
该软件”,从被访问的100人中随机抽取 2 名,共有C 个基本事件,事件 A 共有C 个基100 40
本事件,
2
C2 26
则P A 40 .
C2100 165
60 3
(2)解:由题意, X 服从二项分布,且使用该软件的概率为 ,
100 5
3
则 X B 10, .
5
k 10 k
k 3 2
所以 P X k C10 (k 0,1, 2 , ,10) .
5 5
k 10 k
k 3 2 C
P X k 10 5 5 3 11 k
设 t (k 0,1, 2 , ,10) .
P X k 1 k 1 11 k 2k
Ck 1
3 2
10
5 5
若 t 1,则 k 6.6, P X k P X k 1 ;
若 t 1,则 k 6.6, P X k P X k 1 .
所以 k 6时, P X 最大.
20. (12 分)
A C B A C B B B
(1)证明:由cos 2sin ,得cos cos 2sin cos ,
2 2 2 2 2 2
B A C A C
由于 A B C ,则 cos cos sin .
2 2 2 2
A C A C B B
故cos sin 2sin cos sin B .
2 2 2 2
1
所以 sin A sinC sin B ,即sin A sinC 2sin B .
2
由正弦定理得a c 2b .
(2)解:由(1)得a c 2b,
2 2 2 2a c b a c 2ac b2
则cos B
2ac 2ac
3b2
1
2ac
3b2
1
2
a c
2
2
3
1
.
2
当且仅当a c b时,等号成立.
π 3
由于0 B π,则0 B , sin B .
3 2
2
1 1 a c
acsin B
S
sin B
2 2 2 sin B 3 所以 .
b2 b2 b2 2 4
S 3
所以 的最大值为 .
b2 4
另法: 由(1)得a c 2b,
2 2a c2 b2 a c 2ac b2
则cos B
2ac 2ac
3b2
1
2ac
3b2
1
2
a c
2
2
1
.
2
当且仅当a c b时,等号成立.
π B 3
由于0 B π,则0 B , tan .
3 2 3
3b2 2 2ac
由cos B 1,得b 1 cos B .
2ac 3
1 B B
acsin B 2sin cos
S 3 sin B 3 3 B 3
所以 2 2 2 tan .
b2 b2 4 1 cos B 4 B 4 2 4
2cos2
2
S 3
所以 的最大值为 .
b2 4
21. (12 分)
(1)解:由 F 4, 0 , 设M (x1, y1), N (x2 , y2 ) ,直线MN : x ty 4,
4
代入3x2 y2 12 2 2,整理得: (3t 1)y 24ty 36 0 ,
0 3 3
由 解得: t ,
y1y2 3 3
24t 36
由韦达定理: y1 y2 , y1y2 ,
3t2 1 3t2 1
由 MF (x 4)2 y 2 2ty 6, 1 1 1
同理, NF 2ty2 6 .
1 1 1 1

MF NF 2ty1 6 2ty2 6
48t 2
2t(y 122
1
y2 ) 12 3t 1
4t2 y1y
2 2
2 12t(y1 y2 ) 36 144t 288t 36
3t 2 1 3t 2 1
12t2 12 1
为定值.
36t2 36 3
另法: 由 MF (x1 4)
2 y 21 t
2 1 y , 1
同理, NF t 2 1 y . 2
由于 y1y2 0 ,不妨设 y1 0, y2 0 ,
1 1 1 1 1 1 y2 y则 1 .
MF NF t2 1 y
2
1 y2 t 1 y1y2
2 2
2 2 24t 4 36 144 t 1
由 y2 y1 y y , 1 2 4y1y2
3t2

1 3t
2
1 3t2 1
12 t 2 1
得 y y . 2 1
3t 2 1
12 t 2 1
1 1 1 y2 y1 1
2 1
所以 3t 1 为定值.
MF NF t 2 1 y1y
2 36
2 t 1 3
3t 2 1
x x 2 2
(2)由题意:圆的方程为 (x 1 2 )2
y1 y2 2 (x1 x ) (y y ) (y ) 2 1 2
2 2 4
5
x2即 y
2 (x1 x2)x (y1 y2)y x1x2 y1y2 0
由对称性可知:若存在定点,则必在 x 轴上
2
令 y 0,有 x (x1 x2)x x1x2 y1y2 0
8
由(1)可知 x1 x2 t(y1 y2) 8 ,
3t2 1
2 36t
2 96t2 12t2 16
x1x2 (ty1 4)(ty2 4) t y1y2 4t(y1 y2) 16 16
3t2 1 3t2 1 3t2 1
2 8 20 12t
2
代入方程后有: x x 0,
3t2 1 3t2 1
8
即 (x
2 4) (x 2) 0,
3t2 1
x 2 0
令 即 x 2. 故圆过定点 ( 2,0) . 2
x 4 0
22.(12 分)
1 1 1 ln x
(1)解:当 a 时, f x 1 (x 1)
2
, f x 的定义域是 0, ,
2 2 2 2 x x
1 1 2ln x 2ln x
则 f ' x 2(x 1) 2(x 1) .
x3 x3 x3
当0 x 1时, f ' x 0;当 x 1时, f ' x 0,
故 f x 的单调递减区间为 0,1 上,单调递增区间为 1, .
1 1
(2)证法 1:当 0 a 时, 1 1,
2 a
由于 y (x 1)2 在 1, 上单调递增,
1 2 2 1 则 x 1, 时,有 (x 1) 2 .
a a
2
1 2 1
要证 f x 2 ,只要证 f x (x 1) , x 1, ,
a a
1 ln x 1
只要证a 1 0, x 1, ,
x
2 2
x a
2 1
只要证 a x 1 ln x 0, x 1, ,(*)
a
6
g(x) a x2
1
设 1 ln x , x 1, ,
a
1
2a( 1)2 1
1 2ax2 1 2a2 5a 2 (a 2)(2a 1)
g '(x) 2ax a 0
x x x ax ax
1
g x 在 1, 上单调递增,
a
1 1 1 1 1 1 1
g(x) g( 1) a 2 ( 1) 1 ln( 1) 2 ln( 1) ( 1) 1 ln( 1)
a a a a a a a
1
令 1 t, t 1,下面证明 t 1 ln t 0,(t 1),
a
设h(t) t 1 ln t,(t 1),
1 t 1
则h '(t) 1 0,(t 1), ,
t t
h t 在 1, 上单调递增.
h(t) h(1) 0,则 t 1 ln t 0,(t 1) .
1 1
∴ ( 1) 1 ln( 1) 0 .
a a
g(x) a x2 1 ln x 0 ,(*)式成立,命题得证.
1 1
证法 2:当 0 a 时, 1 1,
2 a
由于 y (x 1)2 在 1, 上单调递增,
2
1 1
则 x 1,

时,有 (x 1)
2 2 .
a a
2
1 2 1
要证 f x 2 ,只要证 f x (x 1) , x 1, ,
a a
1 ln x 1
只要证a 1 0, x 1, ,
x2 x2 a
1
只要证 a x2 1 ln x 0, x 1, ,(*)
a
可证 x 1 ln x,(x 1),证明如下:
7
设h(x) x 1 ln x(x 1),
1 x 1
则h '(x) 1 0(x 1),,
x x
h x 在 1, 上单调递增.
h(x) h(1) 0,则 x 1 ln x(x 1) ,
2 1
要证(*)成立,只要证a x 1 x 1, x 1, ,
a
只要证a x 1 1 .
1
显然a x 1 a( 1 1) 1,命题得证.
a
82023 年广州市普通高中毕业班冲刺训练题(二)
数 学
本试卷共 5 页,22 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室
号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡的相
应位置上,并在答题卡相应位置上填涂考生号。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的
答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能
答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目
指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答
案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
3
1 i
1. 复数
2i
A. 1 i B. 1 i C. 1 i D. 1 i
2. 已知集合 A x, y x y 1 0 ,B x, y x2 y2 1 ,则集合 A B的子集个
数为
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
3.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图池盆几何体是
一个刍童,其上,下底面都为正方形,边长分别为6 和 2 ,侧面是全等的等腰梯形,梯形
的高为2 2 ,若盆中积水深为池盆高度的一半,则该盆中积水的体积为
14 2 28 28 2 52
A. B. C. D.
3 3 3 3
4. 已知以F1( 2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x y 4 0有且仅有一个公共点,
则椭圆的长轴长为
A.3 2 B. 2 6 C. 2 10 D. 4 2
1
5. 在△ ABC 中,M 是 AC 边上一点,且 AM MC , N 是 BM 上一点,若
2
1
AN AC mBC ,则实数m 的值为
9
第 1 页(共 5 页)
1 1 1 1
A. B. C. D.
3 6 6 3
6. 欧拉函数 n n N * ) 的函数值等于所有不超过正整数 n ,且与 n 互素的正整数的个
m
数,例如, 1 1, 4 2 . 若m N * ,且 2i 13,则 m
i 1
A.3 B. 4 C.5 D.6
1 2
7. 已知正实数 x, y 满足 1,则2xy 2x y 的最小值为
x y
A. 2 B. 4 C. 8 D. 9
ex ln x 1 1, x 0

8. 已知函数 f x x 1 ,若 f e 2 f e2x 0,则实数 x 的取
1 lnx 1 x , x 0
e
值范围为
A. , 0 B. 0, C. ln 2,0 D. , ln 2
二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合
题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.
9. 为了加强疫情防控,某中学要求学生在校时每天都要进行体温检测. 某班级体温检测员对
一周内甲乙两名同学的体温进行了统计,其结果如图所示,则下列结论正确的是
A.乙同学体温的极差为 0.3℃
B.甲同学体温的中位数与平均数相等
C.乙同学体温的方差比甲同学体温的方差小
D.甲同学体温的第 60 百分位数为 36.5℃

10. 已知函数 f (x) cos( x ) 0, ,其图像上相邻的两个最高点之
2 6

间的距离为 π, f (x)在 , 上是单调函数,则下列说法不.正.确.的是
12 8
A.
π
的最大值为 B. f (x)在 0, 上的图像与直线 y 1没有交点
4

C. f (x)在 0, 上没有对称轴 D. f (x)在 , 上有一个零点
2 3 4


第 2 页(共 5 页)
3 2
11. 函数 f (x) x ax x 1,则下列结论正确的是
1 1 1
A. 若函数 f (x)在 , 上为减函数,则 1 a
2 3 4
3
B. 若函数 f (x)的对称中心为 1, 2 ,则a
2
9m 16
C. 当a 1时,若 f (x) m有三个根 x1, x2 , x3 ,且 x1 x2 x3 ,则 x1
16
64
D. 当a 1时,若过点 1,n 可作曲线 y f (x)的三条切线,则0 n
27
12. 已知正四面体P ABC 的棱长为 1,M , N, E分别为正四面体棱BC,AC,PA的中
点,F 为面 ABC 内任意一点,则下列结论正确的是

A. 平面EBC 截正四面体P ABC 的外接球所得截面的面积为
8
3
B. 若存在 , ,使得 PF PM PN ,则线段CF 长度的最小值为
4
C. 过点 P 作平面 // 平面EBC , 若平面 平面 ABC l1 ,平面 平面PAC l2,
3
则 l1, l2 所成角的正弦值为
3
3
D. 平面EMN 与平面 ABC 夹角的余弦值为
3
三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
n
2
13. 已知 n N * 且n 1,x x
3 的展开式中存在常数项,写出 n 的一个值为 .
x
14. 已知函数 f x sin 2x cos 2x,曲线 y f x 在点 x0 , f x0 处的切线与直线
1
x 2y 0垂直,则 tan x0 .
2
15. 已知点C 的坐标为 2,0 ,点 A , B 是圆O : x2 y2 10 上任意两个不同的点,且满

足 AC BC 0,设 P 为线段 AB 的中点,则 CP OP 的最大值为 .
16. 在1,2 ,…,50中随机选取三个数,能构成公差不小于5的等差数列的概率为 .
第 3 页(共 5 页)
四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10 分)
设 Sn 为数列 a
*
n 的前 n 项和,已知 n
2
N , an 0,an 1 2a S . n n
(1)求 an ;
(2)求证: an 1 an .
.
18. (12 分)
如图,在四棱锥P ABCD中,AD//BC,AB BC 2,AD PD 4 , BAD 60 ,
ADP 120 ,点 E 为 PA 的中点.
P
(1)求证:BE// 平面PCD;
(2)若平面PAD 平面 ABCD,
E
求直线CD与平面PAC 所成角的正弦值.
A D
B C
19.(12 分)
某款自营生活平台以及提供配送服务的生活类软件主要提供的产品有水产海鲜,水果,蔬
菜,食品,日常用品等. 某机构为调查顾客对该软件的使用情况,在某地区随机访问了100
人,访问结果如下表所示.
使用人数 未使用人数
女性顾客 40 20
男性顾客 20 20
(1)从被访问的100人中随机抽取 2 名,求所抽取的都是女性顾客且使用该软件的概率;
(2)用随机抽样的方法从该地区抽取10名市民,这10名市民中使用该软件的人数记为 X ,
问 k (k 0,1, 2 ,…,10) 为何值时, P X k 的值最大?
第 4 页(共 5 页)
20. (12 分)
A C B
记△ ABC 的内角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b , c ,已知cos 2sin .
2 2
(1)证明: a c 2b;
S
(2)若△ ABC 的面积为 S ,求 的最大值.
b2
21. (12 分)
x2 y2
已知双曲线C : 1 ,直线 l 过C 的右焦点 F 且与C 交于M,N 两点.
4 12
1 1
(1)若 M,N 两点均在双曲线C 的右支上,求证: 为定值;
MF NF
(2)试判断以 MN 为直径的圆是否过定点?若经过定点,求出定点坐标; 若不过定点,请
说明理由.
22. (12 分)
1 ln x
已知函数 f x a 1 (x 1)
2
.
x2 2 x
1
(1)当 a 时,求 f x 的单调区间;
2
2
1 1 1
(2)证明:当 0 a 时,对任意 x 1, ,总有 f x 22
.
a a
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