2023 年广州市普通高中毕业班冲刺训练题(三)
参考答案
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C A B D B B
二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
9. ABC 10. ACD 11. BD 12. BC
三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 8 14. x 2y 3 0 15. 5 3 16. 9920
四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.
17.(10 分)
(1)解: 由题意,设等差数列{a }公差为 d(d 0) ,则 n
2a1 4d 10
,
(a1 d)(a1 3d) 21
a1 9 a 1解得 (舍去),或
1
,
d 2 d 2
a 1 2(n 1) 2n 1. n
2log2 bn an 1 2n 1 1 2n 2,
,即b 2n 1 n 1 log b n 1 1 2 , n N *n . 2 n
故数列{b }是以 1 为首项,2 为公比的等比数列, n
1 2n
则 Sn 2
n 1.
1 2
(2)解法 1: 由(1),可知
T n nb1 (n 1)b2 bn b1 (b1 b2) (b1 b2 b3) (b1 b2 bn)
S S S S (2 1) (22 1) (23 1) (2n 1) 1 2 3 n
2 2n 12 3 n 1 (2 2 2 2n ) n n 2 n 2.
1 2
解法 2: (1)
2 (2)
1
(2)-(1)得: .
18.(12 分)
2
(1)解:由余弦定理得2c 2accosB(tan A tan B) ,
即c acosB(tan A tan B),
sin A sinB
由正弦定理得sinC sin AcosB(tan A tan B) sin AcosB( )
cosA cosB
sin(A B) sin AsinC
sin AcosB ,
cos AcosB cos A
sinC 0, sin A cosA,即 tan A 1,
A 0, , A .
2 4
2 2 2 2
(2)解:由余弦定理得:2 b c 2bc,则b c 2 2bc .
2 1 1 1
AD (AB AC)2 (c2 b2 2bc) (1 2bc) .
4 4 2
b c a
由正弦定理得 2
sin B sinC sin A
所以b 2sin B,c 2sinC,
3
bc 4sinBsinC 4sinBsin( B) 2(cos2B sin2B) 2
4
2sin(2B ) 2 ,
4
0 B 2
因为 ABC 是锐角三角形,所以 ,即 B ,
3 4 20 B
4 2
3 2
则 2B , sin(2B ) 1, bc (2 2,2 2 .
4 4 4 2 4
10 2 2
中线 AD 长的取值范围是 , .
2 2
19.(12 分)
(1)证明:如图,取 AC 的中点为O,连接 BO, PO .
∵ PA PC ,∴ PO AC .
∵ PA PC 6, APC 90 ,
2
1
∴ PO AC 3 2 ,同理 2 2 2BO 3 2 .又 PB 6,∴ PO OB PB ,
2
∴ PO OB .
∵ AC OB O , AC ,OB 平面 ABC ,
∴ PO 平面 ABC .
又 PO 平面 PAC ,
∴平面 PAC 平面 ABC .
(2)解:如图建立空间直角坐标系,根据边长关系可知, A 3 2,0,0 ,C 3 2,0,0 ,
B 0,3 2,0 , P 0,0,3 2 ,
∴CB 3 2,3 2,0 ,CP 3 2,0,3 2 .
∵三棱锥 P ACM 和 B ACM 的体积比为1: 2,
∴ PM : BM 1: 2,∴M 0, 2,2 2 ,
∴ AM 3 2, 2,2 2 .设平面 PBC 的法向量为n x, y, z ,
3 2x 3 2y 0
则 ,
3 2x 3 2z 0
令 x 1,得 n 1, 1, 1 .
设直线 AM 与平面 PBC 所成角为 ,
6 2 42
则 sin cos AM , n .
2 7 3 7
42
∴直线 AM 与平面 PBC 所成角的正弦值为 .
7
20.(12 分)
(1)解: ①甲在第一次中奖的概率为 p 5 1 .
1 15 3
乙在第二次中奖的概率为 p 10 8 16 .
2 15 13 39
②设甲参加抽奖活动的次数为 X,则X 1,2,3,
P(X 1) 5 1 ;P(X 2) 10 8 16 ;P(X 3) 10 5 1 10 ,
15 3 15 13 39 15 13 39
3
X 1 2 3
P 1 16 10
3 39 39
E(X) 1 1 2 16 3 10 25 .
3 39 39 13
(2)证明:丙在第奇数次中奖的概率为 1 ,在第偶数次中奖的概率为 1 .
5 4
n n
设丙参加抽奖活动的次数为 , 丙中奖 为事件 ,则P(A) 1 4 3 1 3Y “ ” A
,
5 4 5
m 1
令m n ,m N*,则丙在第2m 1 次中奖的概率P(Y 2m 1) 3 1
5 5
m 1 m 1
2m 3 4 1 3 在第 次中奖的概率P(Y 2m) 1 ,
5 5 4 5 5
m 1
即P(Y 2m 1) P(Y 2m) 3 1 ,
5 5
m 1
1 3
5 5
在丙中奖的条件下,在第2m 1,2m次中奖的概率为 ,
P(A)
则丙参加活动次数的均值为
2 n 1
E(Y) 1 (1 2) 3 (3 4) 3 3
(5 6) (2n 1 2n) 5P(A) 5 5 5
2 n 1
S 3 3 3设 3 7 11 (4n 1)
,
5 5 5
2 n 1 n
3 S 3 3 7 3则 (4n 5)
3
(4n 1)
3
,
5 5 5 5 5
2 n 1 n
2 S 3 4 3 3 3
(4n 1)
3 ,
5 5 5 5 5
n 1
S 45 12n 27 3 ,
2 2 5
n 1 n n n
45 12n 27 3 45 3 3 3
2 2 5 1 10n 2n2 5 5 E(Y ) 9 5 9所以 n n n .
3 3 2 25 1 5 1 1 3
5
5 5
21.(12 分)
f x ex 1(1)解: 由题知 ax a , f x 的定义域为R ,
4
∴ f x ex 1 a .
当a 0时, f x 0在R 上恒成立,故 f x 在R 上是增函数;
当 a 0 时,令 f x 0得 x ln a 1,
在 , ln a 1 上有 f x 0,在 ln a 1, 上有 f x 0,
∴ f x 在 , ln a 1 上是减函数,在 ln a 1, 上是增函数.
(2)解: 当 x 0 时, f x 1 ln x 1 1 x,即 e ax ln x 1 1 0 (*).
g x ex
1
令 ax ln x 1 1 x 0 则 g x ex a x 0 .
x 1
x 1
①若a 2,由(1)知,当a 1时, f x e x 1在 1, 上是增函数
1 1
故有 f x f 1 e 1 1 1.
即 f x ex 1 x 1 1,得ex 1 x 1 1,故有ex 1 x .
∴函数 g x 在区间 0, 上单调递增,∴ g x g 0 0,∴(*)式成立.
1
②若a 2,令 x ex a
x 1
2
1 x 1 ex 1
则 x ex 02 2 ,当且仅当 x 0时等号成立.
x 1 x 1
∴函数 x 在区间 0, 上单调递增.
1 1 1
∵ 0 2 a 0 , a e a a 1 a a 1 0 .
1 a 1 a 1 a
∴ x0 0, a ,使得 x0 0 ,则当0 x x0 时, x x0 0,即 g x 0.
∴函数 g x 在区间 0, x0 上单调递减.
∴ g x0 g 0 0,即(*)式不恒成立.
综上所述,实数 a 的取值范围是 2, .
22.(12 分)
CI CA CB CA CB
(1)解: 据题意, 2,
ID AD BD AD BD
5
从而可得 CA CB 4 2,
由椭圆定义知道,C 的轨迹为以 A、B为焦点的椭圆,
x2 y2
所以所求的椭圆 的方程为 1(y 0) .
4 3
(2)解: ①设切点坐标为 P(x1, y1),Q(x2 , y2 ) ,直线 l 上的点M 的坐标 4, t ,
x1x y1y x x y y则切线方程分别为 1, 2 2 1,
4 3 4 3
t t
又两切线均过点M ,即 x1 y1 1, x y 1, 2 2
3 3
t
从而点 P,Q的坐标都适合方程 x y 1 ,
3
t
而两点之间确定唯一的一条直线,故直线 PQ的方程是 x y 1 ,
3
显然对任意实数 t ,点 1,0 都适合这个方程,故直线 PQ恒过定点 N 1,0 .
2
t t
②将直线 PQ的方程 x y 1,代入椭圆方程,得3 y 1 4y
2 12 0,
3 3
t2
即 4 y
2 2ty 9 0 ,
3
6t 27
y 1 y2 , y1 y2
t2 12 t2 12
2
2 t 9
不妨设 y1 0, y2 0 , PN x1 1 y
2
1 y1 ,
3
t 2 9
同理 QN y2 .
3
1 1 3 1 1 3 y
所以 2
y1
PN QN t2 9 2 y1 y2 t 9 y1y2
2
6t 108
2 2 2
3 y2 y1 3 t 12 t 12 1 144t 2 9 144 4
t 2 9 y1y t
2
2 9 27 t
2
9
9 3
t 2 12
4
故存在实数 ,使得 PN QN PN QN .
3
62023年广州市普通高中毕业班冲刺训练题(三)
数 学
本试卷共 5 页,22 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的
答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能
答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目
指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答
案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1
A x 2x 1
1.已知集合 N 8 ,B x x2 4x m 0 ,若1 A B,则 A B=
2
A. {1,2,3} B. {1,2,3,4} C. {0,1,2} D. {0,1,3}
2 2 1 1
2.下列关于某个复数 z 的说法中,① z z ② R ③ z i ④ z R 有且只有一
z 2
个说法是错误的,则错误的是
A. ① B. ② C. ③ D. ④
3.已知 a ,b R,则a b 0是a a b b 0的
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
π π
4. 已知cos cos 1,则 cos 2
3 3
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 3 3
a2 1 *
5.已知数列 a nn 的各项均为正数,记数列 an 的前 n 项和 Sn ,且满足2Sn n N ,
an
则下列说法正确的是
1 1 1
A. a n1 2 B. a2021 a2022 1 C. Sn n D. a1 a2 an
第 1 页(共 5 页)
6. “总把新桃换旧符”(王安石)、“灯前小草写桃符”(陆游),春节是中华民族的传统节
日,在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸,而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂
灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿,某商家在春节前开展商品促销活动,顾客凡购物金额
满 80 元,则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件,若有 5 名顾客都
领取一件礼品,则他们中恰有 3 人领取的礼品种类相同的概率是
140 40 20 40
A. B. C. D.
243 243 81 81
7.设 P 为多面体 M 的一个顶点,定义多面体 M 在 P 处的离散曲率为
1
1 Q1PQ2 Q2PQ3 Qk PQ1 其中Qi i 1.2,3, ,k 3 为多面体 M 的所
2π
有与点 P 相邻的顶点,且平面Q1PQ2 ,Q 2PQ3 , ,Qk PQ1遍及多面体 M 的所有以 P 为公
共点的面。如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体,若它们在各顶点处的离
散曲率分别是 a,b,c,d,则 a,b,c,d 的大小关系是
A.a b c d B.a b d c
C.b a d c D.c >d >b>a
对于任意 x 0都有 xx8. ax ln x 0 ,则 a 的取值范围为
1 11 1
A. [0,e] B. e
e ,e C. , e
e
[e, ) D. ( ,e]
二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合
题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.
9. 已知a 3, 1 ,b 1, 2 ,则下列结论中正确的是
π
A.a b 5 B. a b 5 C. a,b D.a 与b 平行
4
sin BsinC cos A cosC
10. 在锐角△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边为 a,b,c,若 ,
3sin A a c
3 c
2
且 S ABC a2 b2 c2 ,则 的可能取值为
4 a b
14 3 10
A. 3 B.2 C. D.
2 5
第 2 页(共 5 页)
y2
11. 已知双曲线 x2 1(b 0)的左,右焦点分别为F1( c,0),F2(c,0) ,直线
b2
3
y (x c) 与双曲线左,右两支分别交于 A, B两点,M 为线段 AB 的中点,且 AB 4 ,
3
则下列说法正确的是
2 3
A. 双曲线的离心率为 B. F F
3 2 1
F2M F2A F2M
C. D. F1M F AF F F M F F FM 22 1 2 1 2 1
2x 2, 2 x 1,
12. 已知函数 f x 若关于 x 的方程 f x m恰有两个不同解
ln x 1, 1 x e,
x1, x2 x1 x2 ,则 x2 x1 f x2 的取值可能是
A. 3 B. 1 C. 0 D. 2
三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
n
2
13. 若 n Z ,且3 n 6 ,则 x 的展开式中的常数项为______.
x3
14. 已知 A, B为抛物线C : x
2 4y 上的两点,M ( 1,2),若 AM MB,
则直线 AB 的方程为_________.
15. 将一个半径为 5cm的水晶球 O 放在如图所示的工艺架上,
支架是由三根金属杆 PA PB PC 组成,它们两两成 60°角.
则水晶球的球心到支架 P 的距离是___________cm .
16. 某牧场今年初牛的存栏数为 1200,预计以后每年存栏数的增长率为 5%,且在每年年底
卖出 100 头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为数列 c1,c2 ,c3 , , 且满足递推
公式: cn 1 k r(cn k), S 为数列 c 的前 n 项和,则 S10 =n n ______. (1.0510 1.63 ,
答案精确到 1)
四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10 分)
已知递增等差数列{a }满足n a1 a5 10,a a ,数列 满足 ,n N *. 2 4 21 {bn} 2log2 bn an 1
(1)求{b }的前 n 项和n S ; n
(2)若T nb ,求数列 的通项公式. n 1 (n 1)b2 bn {Tn}
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18.(12 分)
在锐角 ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为a,b,c ,
2 2
且2c (a c
2 b2 )(tan A tan B) .
(1)求角 A 的大小;
(2)若边a 2 ,边 BC 的中点为D,求中线 AD 长的取值范围.
19.(12 分)
如图甲是由正方形 ABCD,等边△ABE 和等边△BCF 组成的一个平面图形,其中
AB 6,将其沿 AB , BC , AC 折起得三棱锥P ABC ,如图乙.
(1)求证:平面 PAC 平面 ABC ;
(2)过棱 AC 作平面 ACM 交棱 PB 于点M ,
且三棱锥 P ACM 和B ACM 的体积比为1: 2,
求直线 AM 与平面 PBC 所成角的正弦值.
20.(12 分)
随着5G 商用进程的不断加快,手机厂商之间围绕5G 用户的争夺越来越激烈,5G 手机也频
频降价飞入寻常百姓家.某科技公司为了打开市场,计划先在公司进行“抽奖免费送5G 手机”
优惠活动方案的内部测试,测试成功后将在全市进行推广.
(1)公司内部测试的活动方案设置了第 i i N 次抽奖中奖的名额为 3i 2,抽中的用户
退出活动,同时补充新的用户,补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少 2 个.若某次
抽奖,剩余全部用户均中奖,则活动结束. 参加本次内部测试第一次抽奖的有 15 人,甲、
乙均在其中.
①请分别求出甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率;
②请求出甲参加抽奖活动次数的分布列和期望.
(2)由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利,现将在全市进行推广. 报名参加第一次
9 ( 1)i
抽奖活动的有 20 万用户,该公司设置了第 i i N 次抽奖中奖的概率为P ,每 i 40
*
次中奖的用户退出活动,同时补充相同人数的新用户,抽奖活动共进行2n (n N ) 次,已
知用户丙参加了第一次抽奖,并在这2n次抽奖活动中中奖了,在此条件下,求证:用户丙
9
参加抽奖活动次数的均值小于 .
2
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21.(12 分)
已知函数 f x ex 1 ax a a R .
(1)讨论 f x 的单调性;
(2)当 x 0 时, f x 1 ln x 1 1,求实数 a 的取值范围.
22.(12 分)
如图,在△ ABC 中,点 A 1,0 , B 1,0 .圆 I 是△ ABC 的内切圆,且CI 延长线交 AB 于
点 D ,若CI 2ID .
(1)求点C 的轨迹 的方程;
x2 y2 x x y y
(2)若椭圆 1(a b 0) 上点 x0 , y0 处的切线方程是
0 0 1,
2 2 a2 2a b b
①过直线 l : x 4上一点M 引 的两条切线,切点分别是 P、Q,
求证:直线 PQ恒过定点 N ;
②是否存在实数 ,使得 PN QN PN QN ,若存在,求出 的值,若不存在,
说明理由.
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