双鸭山市尖山区2022-2023学年高二下学期期中考试
数学
一、单选题
1．已知等比数列的前n项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知r1表示变量X与Y之间的线性相关系数，r2表示变量U与V之间的线性相关系数，且r1＝0.837，r2＝﹣0.957，则（ ）
A．变量X与Y之间呈正相关关系，且X与Y之间的相关性强于U与V之间的相关性
B．变量X与Y之间呈负相关关系，且X与Y之间的相关性强于U与V之间的相关性
C．变量U与V之间呈负相关关系，且X与Y之间的相关性弱于U与V之间的相关性
D．变量U与V之间呈正相关关系，且X与Y之间的相关性弱于U与V之间的相关性
3．已知，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．现有甲、乙等5名医务人员参加某小区社区志愿服务活动，他们被分派到核酸检验和扫码两个小组，且这两个组都至少需要2名医务人员，则甲、乙两名医务人员不在同一组的分配方案有（ ）
A．8种 B．10种 C．12种 D．14种
5．已知变量的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据如下．由最小二乘法可得线性回归方程，则（ ）
x 1 2 3 4 5
z 2 4 5 10 14
A． B． C． D．
6．下列说法中正确的是（ ）
①设随机变量服从二项分布，则
②已知随机变量服从正态分布且，则
③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；
④；.
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②
7．已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8. 在数列中给定，且函数的导函数有唯一零点，函数且，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9．下列命题，错误的是（ ）
A．若随机变量X服从正态分布，且，则
B．100件产品中包含10件次品，从中不放回地随机抽取6件，则取出的次品数X服从二项分布
C．将随机变量进行平移或伸缩后，其均值与方差都不会变化
D．在一元线性回归模型分析中，决定系数用来刻画两个模型拟合的效果．若越小，则模型的拟合效果越好
10．2022年4月15日，因疫情原因，市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：
价格x 9 9.5 10 10.5 11
销售量y 11 10 8 6 5
按公式计算，y与x的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．变量x，y线性负相关且相关性较强
C．相应于点(9.5,10)的残差约为-0.4 D．当x=8时，y的估计值为14.4
11．若过轴上一点最多可作出条直线与函数的图象相切，则（ ）
A．可以取到3 B．
C．当时，的取值范围是 D．当时，存在唯一的值
12．已知，，随机变量，的分布列如下表所示：
0 1 0 1
下列说法中正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三、填空题
13．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有一高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第100项为_______.
14．已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数X服从正态分布，且，现从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量Y，则Y的方差为_________．
15．深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2．当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为_______.
16．已知函数，数列的首项，点在函数图象上，若，则整数____.
四、解答题
17．（10分）溺水、校园欺凌、食品卫生、消防安全、道路交通等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视．学校安全工作事关学生的健康成长，关系到千万个家庭的幸福和安宁，关系到整个社会的和谐稳定．为了普及安全教育，某市准备组织一次安全知识竞赛．某学校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得到如下表格：
性别 了解安全知识的程度
得分不超过85分的人数 得分超过85分的人数
男生 20 100
女生 30 50
(1)现从得分超过85分的学生中根据性别采用分层随机抽样抽取6名学生进行安全知识培训，再从这6名学生中随机抽取3名学生去市里参加竞赛，求这3名学生中有至少一名女生的概率；
(2)根据小概率值的独立性检验，能否推断该校男生和女生在了解安全知识的程度与性别有关？
附：参考公式，其中．
下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值
a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18．（12分）受社会对高素质人才不断扩大的需求和就业形势等多方面因素的影响，我国本科毕业生中考研人数在不断攀升，2021年考研人数是377万人，2022年考研人数为457万人，比上年增加80万人，有关机构估计2023年研究生报名人数将突破500万人．某省统计了该省五所大学2022年的本（专）科大学毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：
A大学 B大学 C大学 D大学 E大学
2022年毕业人数x（千人） 7.8 6.2 4.6 3.4 3
2022年考研人数y（千人） 0.5 0.4 0.3 0.2 0.2
(1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；
(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放0.6万元的补贴．若A大学的2022年的毕业生中小常、小郭选择考研的概率分别为p、，该省对小常、小郭两人的考研补贴总金额的期望不超过0.96万元，求p的取值范围．
参考公式：，．
19. （12分） 文具盒里装有7支规格一致的圆珠笔，其中4支黑笔，3支红笔. 市第一中学甲、乙、丙三位数学教师共需取出3支红笔批阅试卷，每次从文具盒中随机取出一支笔，若取出的是红笔，则不放回；若取出的是黑笔，则放回文具盒，继续抽取，直至将3支红笔全部抽出.
(1)在第2次取出黑笔的前提下，求第1次取出红笔的概率；
(2)抽取3次后，记取出红笔的数量为，求随机变量的分布列.
20．（12分）已知正项数列的前n项和为，满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列为等比数列，数列满足，若，，
求证：.
21．（12分）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若对任意的恒成立，求的取值范围.
22. （12分）冰雪运动是深受学生喜爱的一项户外运动，为了研究性别与学生是否喜爱冰雪运动之间的关系，从某高校男、女生中各随机抽取100名进行问卷调查，得到如下列联表．
喜爱 不喜爱
男生
女生
(1)当时，从样本中不喜爱冰雪运动的学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人调研不喜爱的原因，记这3人中女生的人数为，求的分布列与数学期望．
(2)定义，其中为列联表中第行第列的实际数据，为列联表中第行与第列的总频率之积再乘以列联表的总额数得到的理论频数，如，．基于小概率值的检验规则：首先提出零假设（变量X，Y相互独立），然后计算的值，当时，我们推断不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过；否则，我们没有充分证据推断不成立，可以认为X和Y独立．根据的计算公式，求解下面问题：
①当时，依据小概率值的独立性检验，分析性别与是否喜爱冰雪运动有关？
②当时，依据小概率值的独立性检验，若认为性别与是否喜爱冰雪运动有关，则至少有多少名男生喜爱冰雪运动？
附：
0.1 0.025 0.005
2.706 5.024 7.879双鸭山市尖山区2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试题参考答案
1．D 2．C 3．B 4．C 5．B 6．A
7．D
提示：函数有两个不同的零点，则有两个解，
令，则与有2个交点，
，
当时，单调递减，当时，单调递增，
由得单调递增，
图象如下，
当与相切时，设切点为，，
同时，得，即，
，又，，
所以，此时，所以，
当时，可看作的图象向右平移，此时与必有2个交点，当时，图象向左平移二者必然无交点，
综上.
故选：D.
8．C
提示：因为有唯一的零点，为偶函数，
则，可得，，所以数列为等差数列．
则，所以数列是公差为2的等差数列.
又，
令，则为奇函数，
因为，所以在上单调递增，
由题意得，则，
∵数列是公差为2的等差数列，其中，
则，假设，
因为是奇函数且在上单调递增，则在上单调递增，
所以，
∵，
∴，与已知矛盾，故不成立；
假设，同理可得，与已知矛盾，故不成立；
综上，．
故选：C.
9．BCD 10．ABD
11．ABD
提示：设切点为，，则，∴
令，易得在上单调递增，在上单调递减.
极大值为：，且，如下图所示，
显然当时，有三个解，即有三条切线，；
当时，有一个解，即仅有一条切线，；
当时，无解，即不存在切线，不符合题意；
当时，有两个解，即有两条切线，；
当时，有一个解，即有一条切线，；
所以选项A、B、D正确，选项C错误.
故选：ABD.
12．AC
13．4951
14．2.1
15．0.68
16．7
提示：因为点在函数图像上，所有，
得，所以，，
，，故恒成立；
，故，所以，，
所以，所以. 故答案为：
17．【解】（1）200名学生中得分超过85分的人数为150人，其中男生人数为100人，女生人数为50人，
因此按性别进行分层抽样得：
样本中男生人数为：人，
样本中女生人数为：人，
设这3名学生中有至少一名女生为事件，则
；
（2）零假设H0: 性别与了解安全知识的程度无关
根据列联表可：，
根据小概率值的独立性检验，我们认为H0不成立，即认为性别与了解安全知识的程度有关，此推断犯错误的概率不大于0.001．
18．【解】（1）解：由题意得，
，
又，
，
所以，，
所以，
所以，故得y关于x的线性回归方程为．
（2）解：设小常、小郭两人中选择考研的人数为，则的可能值为0、1、2，
，
，
，
所以．
设补贴为万元，则，
所以，
所以，
又因为，解得，
综上，p的取值范围为．
19．【解】（1）根据题意，记事件A：第1次取出红笔；事件B：第2次取出黑笔，
则，
所以在第2次取出黑笔的前提下，第1次取出红笔的概率为.
（2）解：由题意，随机变量可能取值为，
可得，，
，，
所以随机变量分布列为：
0 1 2 3
20．【解】（1）因为，则，
累乘可得，，
所以，又符合式子，
所以，
当时，，
所以两式相减可得，，
又符合上式，所以，
（2）因为数列为等比数列，，且，
设数列的公比为，则，即，
所以，则
所以，
即
21．【解】（1）当时，，
则，，又，
在处的切线方程为：.
（2），
令，则，
令，则，
在上单调递增，，即；
当时，，，，
，，
即，在上单调递增，即在上单调递增；
；
①当，即时，，在上单调递增，
，满足题意；
②当，即时，；
令，则，
在上单调递增，，即，
又，，使得，
当时，，则在上单调递减，此时，不合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
22．【解】（1）当时，用分层抽样的方法抽取的不喜爱冰雪运动的6人中，男生有2人，女生有4人，
由题意可知，的可能取值为1，2，3．
，，，
的分布列为
1 2 3
P
．
（2）①零假设为：性别与是否喜爱冰雪运动独立，即性别与是否喜爱冰雪运动无关联．
当时，，，，，
，，，，
．
∵，
∴根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与是否喜爱冰雪运动有关联，此推断犯错误的概率不超过0.005．
②，
由题意可知，，整理得．
又，，∴，的最大值为4．
又，
∴至少有76名男生喜爱冰雪运动．
试卷第4页，总5页
