广东省佛山市南海区2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

佛山市南海区2022-2023学年高二下学期期中考试
数学
（全卷共4页，时间：120分钟）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.有4名同学参加跑步、跳远、跳高三个项目，每人限报1项，共有（ ）种报名方法.
A.64种 B.81种 C.32种 D.12种
2.已知实数列-1、x、y、z、-2成等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
3.在数列中，，，则（ ）
A. B. C. D.
4.在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2023年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底街缴房租800元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2023年小王的农产品加工厂的年利润为（ ）（取，）
A.25000元 B.26000元 C.32000元 D.36000元
5.已知函数在处有极大值、则的值为（ ）
A.6 B.6或2 C.2 D.4或2
6.记数列的前项和为，满足，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知数列的前项和为，且，，则（ ）
A.55 B.50 C.110 D.210
8.设，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分.有选错的得0分.
9.某居委会举办的文苕汇演共6个节目，其中歌唱类节目3个，舞蹈类节目2个，语言类节目1个，则下列说法正确的是（ ）
A.若以歌唱类节目开场，则有360种不同的出场顺序
B.若舞蹈类节目相邻，则有120种出场顺序
C.若舞蹈类节目不相邻，则有40种不同的出场顺序
D.从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节，则有11种不同的选法
10.已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A.函数存在极大值和极小值
B.
C.函数只有1个零点
D.对于任意实数，方程最多有4个实数解
11.在的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为，下列说法正确的有（ ）.
A. B.有理项有3项
C.系数最大项为第6项 D.第3项是二项式系数最大的项
12.定义：设是的导函数，是函数的导数。若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）A. ，
B.函数有三个零点
C.过可以作两条直线与图像相切
D.若函数在区间上有最大值，则
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13.已知，则__________.
14.南海中学环保小组共有6名成员，该环保小组计划前往佛山市4个不圆的景区开展环保活动，要求每个景区至少有1人，且每个人只能去一个景区，则不同的分配方案有__________.
15.若直线与曲线相切，则_________.
l6.高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：，.已知数列满足，，，若，为数列的前项和，则_________.
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）在各项均为正数的等差数列中，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，，证明：.
18.（12分）如图，圆台上底面半径为1，下底面半径为，AB为圆台下底面的一条直径，圆上点C满足，是圆台上底面的一条半径，点P，C在平面的同侧，且.
（1）证明：平面PAC；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成的正弦值.
条件①：三棱锥的体积为；条件②：与圆台底面的夹角的正切值为.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
19.（12分）已知数列的前项和为，且.
（1）求及数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前项和.
20.（12分）已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求证：.
21.（12分）西樵镇举办花市，如图，有一块半径为20米，圆心角的扇形展示台，展示台分成了四个区域：
三角形OCD摆放菊花“泥金香”，弓形CMD摆放菊花“紫龙卧雪”，扇形AOC和扇形BOD（其中）摆放菊花“朱砂红霜”.
预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：泥金香50元/米2，紫龙卧雪30元/米2，朱砂红霜40元/米2.
（1）设，试建立日效益总量关于的函数关系式；
（2）试探求为何值时，日效益总量达到最大值.
22.（12分）已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若，且，证明：.
佛山市南海区2022-2023学年高二下学期期中考试
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D B C A C D A AD BCD AC ACD
13 14 15 16
0 1560 2
8.【答案】A【解析】令，，令，解得：；令，解得：；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，由可知，设，则在区间上是减函数.且.所以函数在区间上是增函数.所以，即.即：.故选：A.
11.【答案】AC【解析】由题意知：，则第3项的系数为，倒数第3项的系数为，则有即，∴.A选项正确；
可得，当时所有的有理项为，，，，即，，，.B选项错误；
设展开式中第项的系数最大，则，∴，故系数最大项为，系数最大项为第6项.C选项正确；
，第4项和第5项是二项式系数最大的项，D错误.故选：AC.
15.【答案】2【解析】设切点为，，则，解得.
令，则，所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增.所以，所以方程的根为.
16.【答案】【解析】由，得.又，所以数列构成以2为首项，2为公比的等比数列，所以.又，累加得，即，所以.又因为满足上式，所以.
所以.因为，所以，
即，所以.故.
所以.
17.【解析】（1）设等差数列的公差为，由已知得，
即，
又，
解得（舍负），则，所以.
（2）结合（1）得，
则，
所以
.
18.【解析】（1）取AC中点M，连接，，如图，
由题意，，
又，.又，，
故，，
所以四边形为平行四边形，
则，又面，平面，故平面
（2）选①：，又平面ABC，
所以三棱锥体积.所以.
选②：因为平面，所以为与底面所成的角，所以，又，所以；
以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系.
则有，，，，，
故，，
设平面的法向量，故
令，解得，得，
设所求角的大小为，则.
所以直线与平面PBC所成角的正弦值为.
19.【解析】（1）由题意，当时，，解得，
当时，，即，解得，
当时，由，可得，两式相减，可得，
整理，得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴，.
（2）由（1）可得，，，在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，则有，∴，∴，
∴，
，
两式相减得，
∴.
20.【解析】（1），
当时，，，所以在上递增，在上递减
当时，或，，
此时在，上递增，在上递减；
当时，，所以在上递增；
当时，或，，
此时在，上递增，在上递减；
（2）当，，要证，只需证，令
则，，故在上递减，
又，，故存在，使得，即，即
且，，故在上递增，在上递减，
所以，
又，所以，所以，所以，
所以，所以时，.
【备注】此题可以使用切线放缩，即证明不等式.
21.【解析】（1）依题意得，，
则
，
其中，.
（2），令，得，
当，，函数递增，当时，，函数递减.
所以，是函数的极大值点，且唯一；从而当时，日效益总量可取得最大值.
22.【解析】（1），，
由得，当时，；当时，
∴在上单调递增，在上单调递减.
（2）∵，且，
∴由（1）知，不妨设.
要证，只需证明，而，在上单调递减，
故只需证明；又，
∴只需证明.
令函数，
则
.
当时，，，故，
∴在上单调递增，
故在上，
∴成立，故成立.
【极值点偏移·知识链接】①函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则
必为的极值点.
如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.
②若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同.
故单峰函数定义域内任意不同的实数，满足，则与极值点必有确定的大小关系：
若，则称为极值点左偏.
若，则称为极值点右偏.
如：的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏.