必刷03：高考热点填空题和双空题
一、填空题
1．身体质量指数，也就是BMI指数，简称体质指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．某校为了解该校学生的身体健康情况，从某班随机抽取20名学生进行调查，得到这20名学生的BMI指数分别是15，15.3，15.6，15.9，16.2，16.6，17.5，17.8，18.2，18.7，19.3，19.5，20.3，21.1，21.5，22.7，22.9，23.1，23.4，23.5，则这组数据的第65百分位数是_______________．
【答案】
【分析】根据百分位数的定义即可求解.
【详解】因为，所以这组数据的第65百分位数是．
故答案为：20.7.
2．函数的最小值为___________.
【答案】1
【分析】先求定义域,再利用复合函数单调性即可判断出单调区间,进而求解最小值.
【详解】函数的定义域为.
由复合函数的单调性可知,在上单调递减,在上单调递增.
而.所以,函数的最小值为1.
故答案为:1.
3．在长方形中，，，为边的中点，分别为边上的动点，且，则的取值范围是_______________．
【答案】
【分析】画出图形，用三角函数的性质表示出，在根据辅助角公式化简，换元法后利用函数单调性求解即可.
【详解】如图，
设，
则，，，
，
令，则，
所以．
易得，所以，，
因为函数在上单调递增，
所以，
所以．
故答案为：
4．的展开式的常数项是___________．
【答案】70
【分析】利用通项公式求解，常数项由三种情况合并而成，分别求解即可.
【详解】的通项公式为；
当时，中的常数项为；
当时，中的常数项为；
当时，；
所以的展开式的常数项为；
故答案为：70.
5．已知点，，若线段与圆存在公共点，则的取值范围为_________.
【答案】
【分析】通过图像可得当圆和线段AB相切时，圆的半径最小，当圆过B点时，圆的半径最大，据此可得的取值范围.
【详解】如图：当圆和线段AB相切时，圆的半径最小，当圆过B点时，圆的半径最大.
圆的圆心为，半径为，，
当圆和线段AB相切时，
，即，
，得，
当圆过B点时，
，得.
故答案为：.
6．某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为________．
【答案】96
【分析】利用分步加法和分类乘法原理，先安排4名同学的2名选择数学竞赛，在安排剩下的2名同学到其他竞赛课程中即可.
【详解】由题知先安排甲、乙、丙、丁四位同学的2名选择数学竞赛课程，
则有：种情况，
剩下2名同学在选择物理、化学、生物、信息学四个学科竞赛课程时有：
①2名同学选择1个学科竞赛则有：种情况，
②2名同学各选择1个学科竞赛则有种情况，
所以恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为：
种情况，
故答案为：96.
7．已知直线：过双曲线：的一个焦点，且与的一条渐近线平行，则的实轴长为______．
【答案】2
【分析】求出直线与轴的交点坐标和斜率，然后列方程组求得得实轴长．
【详解】直线与轴交点为，斜率为，
由题意，解得，
所以双曲线的实轴长为．
故答案为：2.
8．已知直线与圆交于A，两点，若是圆上的一动点，则面积的最大值是___________.
【答案】/
【分析】求出圆C圆心到弦AB的长度d，求出弦AB的长度，M到弦AB的最大距离为d＋r(r为圆C半径)，根据三角形面积公式即可求出答案．
【详解】，则圆C的圆心为，半径为，
圆心C到直线l（弦AB）的距离为，
则，
则到弦AB的距离的最大值为，
则面积的最大值是.
故答案为：
9．已知的展开式的各二项式系数的和为64，则常数项为___________.（用数字作答）
【答案】
【分析】利用二项式系数的性质及二项式定理展开式的通项公式即可求解.
【详解】由题意可得，解得，.
设展开式中的第项为，
令，解得.
所以该展开式的常数项为.
故答案为：.
10．已知抛物线与轴的交点分别为,点的坐标为,若过三点的圆与轴的另一个交点为,则___________.
【答案】
【分析】设过三点的圆的方程为,分别令,,得到关于的二元一次方程,根据韦达定理求解即可.
【详解】由题意可得,点在抛物线上,所以点在轴上方,即.
设过三点的圆的方程为,
令,则有;
令,则有,
设的横坐标分别为,
则也为方程的根,
由韦达定理可得,;
同理,为方程的根,
由韦达定理可得,
因此,,
即.
故答案为:.
11．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为______cm.
【答案】
【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为，根据题意得到点的坐标，代入求出参数的值，即可得解.
【详解】如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，依题意可得的坐标为，
设抛物线的标准方程为，则，解得.
故该抛物线的焦点到准线的距离为cm.
故答案为：
12．已知是等比数列的前n项和，若，，则_________.
【答案】64
【分析】根据等比数列基本量的计算以及性质即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，
则，，故，
又，所以，
所以，
故答案为：64.
13．如图为三棱锥的平面展开图，其中，，垂足为，则该三棱锥的体积为______．
【答案】
【分析】根据几何体平面展开图得到其直观图，再根据锥体的体积公式计算可得.
【详解】由三棱锥的平面展开图可得其直观图如下：
其中，，，，
又，平面，所以平面，
所以，
故答案为：
14．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为，若序列的所有项都是2，且，，则__________．
【答案】
【分析】根据题意得到，进而依次求解出.
【详解】的第项为，故，即
因为，，所以，，.
故答案为：
15．过点的弦将圆的圆周分成两段圆弧，要使这两段弧长之差最大，则__________．
【答案】
【分析】因为弦将圆分成两段弧长之差最大，此时垂直，由此求解即可.
【详解】因为弦将圆分成两段弧长之差最大，此时垂直，
由圆的半径为，由勾股定理得．
故答案为：.
16．函数的非负零点按照从小到大的顺序分别记为，．，若，则的值可以是__________．（写出符合条件的一个值即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】先计算出最小正周期，从而求出，整体法求出零点，得到答案.
【详解】由题意得，
，
∵，
∴，
，
令，即，
，
对取特殊值即可，取，得；取，得（答案不唯一）．
故答案为：
17．已知实数，满足，则的最小值是______.
【答案】9
【分析】将已知条件通过恒等变形，再利用基本不等式即可求解.
【详解】由已知条件得，
∵，∴，
又∵，，∴，
∴，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：9.
18．的展开式中项的系数为______ .
【答案】
【分析】根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
【详解】的展开式通项公式为，
令，解得，
令，解得，
故的展开式中项的系数为
故答案为：
19．已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆C上，且，则的最大值为______ .
【答案】/
【分析】由题意画出图形，结合椭圆定义可得，再由三角形两边之差小于第三边求解．
【详解】由椭圆方程可得，，则，
如图，连接并延长，交椭圆于P，
则，
(当且仅当点三点共线时，且点位于第三象限时取等号)
此时取最大值为
故答案为：
20．已知，则___________.
【答案】/
【分析】利用诱导公式、二倍角正弦公式找到目标式与已知函数的关系，应用同角三角函数关系求得，即可求值.
【详解】由.
由，则，故，
所以.
故答案为：
21．已知椭圆的左 右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，且，则椭圆的离心率为___________.
【答案】/
【分析】由题设、椭圆定义知且，令结合，应用勾股定理列方程求及，即可求离心率.
【详解】由题设，，且，
令，则，，所以，，
又，则，
整理得，即或（舍），
又，即，
当时，，此时；
综上，椭圆离心率为.
故答案为：
22．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为棱上任意一点（不包括端点），为棱上任意一点（不包括端点），且．已知，，当三棱锥的体积取得最大值时，与底面所成角的正切值为__________．
【答案】
【分析】根据平行关系可得边的长度的关系，由体积公式表达体积，结合二次函数的性质求解最值，由线面角的定义即可求解.
【详解】如图，在上取点，使得．
由，设，，其中．
由，，平面，可得，，，．
∵，平面，∴平面,
连接，则为与平面所成的角，
在中，有，可得，∴可得．
的面积为．
，
可得当时，三棱锥的体积取得最大值．
当三棱锥的体积取得最大值时，为的中点，为的中点．
，，．
故答案为：
23．已知是函数在定义域上的导函数，且，，若函数在区间内存在零点，则实数m的最小值为________．
【答案】1
【分析】（1）首先根据条件等式，变形得到函数，再变形得到，通过构造函数得到，参变分离后，转化为求函数的值域，即可求的取值范围.
【详解】在中，，
∴，
∴
∴（c为常数），
由，解得：，
∴，
若在区间内存在零点，
整理可得：，
设，，
令，得，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以当时，函数取得最小值，，
所以，当时，等号成立，
所以
当且仅当时，上式取等号
即存在，使，
设，，
令，得，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以当时，函数取得最小值，，
所以，故m最小值为1,
故答案为：1
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，零点，不等式的综合问题，本题的关键一是利用导数的等式，通过构造得到函数的解析式，关键二是利用同构得到等式，再构造函数求得，参变分离后即可求解.
24．若数列满足且，其中为数列的前n项和．请写出一个满足上述条件的数列通项______．
【答案】(答案不唯一)
【分析】根据题意，分析可得数列为各项为负的递增的数列，结合数列的函数特性分析可得答案.
【详解】根据题意，数列满足，则有，
又由数列满足，故数列为各项为负的递增数列，
其通项公式可以为：，
故答案为：(答案不唯一)
25．已知椭圆的左 右焦点分别为，过点作直线交椭圆于两点，若，则椭圆的离心率为___________.
【答案】
【分析】由条件推出，设，根据线段的比例关系表示出相关线段的长，解三角形求得，在中，再由余弦定理求得的关系，即可求得答案.
【详解】如图，由，可得，
又由，即可知，，
故，且，
设，则，而，于是，
由椭圆的定义可知，，即，
延长交椭圆于点，连接，则由椭圆的对称性可知，.
又，故，即为等腰三角形，
于是，，
在中，设，由余弦定理得，
即，
所以，椭圆的离心率为，
故答案为：
26．莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算将所求式子表示为，再利用三角形的几何意义求解即可.
【详解】设为的中点，为的中点，如图所示，
则
，
在正三角形中，，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以的最小值为：
.
故答案为：.
27．在排球比赛的小组循环赛中，每场比赛采用五局三胜制．甲、乙两队小组赛中相见，积分规则如下：以或获胜的球队积3分，落败的球队积0分；以获胜的球队积2分，落败的球队积1分．若甲队每局比赛获胜的概率为0.6，则在甲队本场比赛所得积分为3分的条件下，甲队前2局比赛都获胜的概率是________．(用分数表示)
【答案】
【分析】设“甲队本场比赛所得积分为3分”为事件，“甲队前2局比赛都获胜”为事件，分甲队以或获胜，求得，再由条件概率公式求解即可.
【详解】甲队以获胜，即三局都是甲胜，概率是，
甲队以获胜，即前三局有两局甲胜，第四局甲胜，概率是，
设“甲队本场比赛所得积分为3分”为事件，“甲队前2局比赛都获胜”为事件，
甲队以获胜，即前2局都是甲胜，第4局甲胜，概率是，
则，，
则在甲队本场比赛所得积分为3分的条件下，
甲队前2局比赛都获胜的概率.
故答案为：.
28．已知函数，若将的图象向左平行移动个单位长度后得到的图象，则把的图象向右至少平行移动________个单位可得到的图象．
【答案】/
【分析】根据辅助角公式结合图象平移可得，根据题意结合图象平移分析可得，运算求解即可.
【详解】∵，
将的图象向左平行移动个单位长度后得到，
把的图象向右平行移动个单位，可得，
由题意可得，故，
解得，
注意到，可得当时，取到最小值.
故答案为：
29．如图，已知椭圆的焦点为、，点为椭圆上任意一点，过作的外角平分线的垂线，垂足为点.过点作轴的垂线，垂足为，若线段的中点为，则点的轨迹方程为______.
【答案】
【分析】根据题意，利用椭圆定义，求得长度，即可容易求得点的轨迹方程.
【详解】延长交的延长线于点，连接，作图如下：
容易知点关于的对称点为，
故可得，
又因为分别为的中点，
故可得，
不妨设点的坐标为，故可得点的坐标为，
则，
整理得.
故答案为：.
【点睛】本题考查椭圆的定义，以及椭圆中动点轨迹方程的求解，属中档题.
30．若m，n是函数的两个不同零点，且m，n，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则__________.
【答案】
【分析】由题可确认m，n同为正数，则成等比数列，又不妨设，则成等差数列，即可得答案.
【详解】由题可得，
则成等比数列，得.
又不妨设，则成等差数列，得.
结合，可得，解得或（舍去），即.
故答案为：
31．已知椭圆的左，右焦点分别为，，椭圆C在第一象限存在点M，使得，直线与y轴交于点A，且是的角平分线，则椭圆C的离心率为_________.
【答案】
【分析】首先设，再根据题意和椭圆的定义求得，转化为关于的等式，进而求得椭圆的离心率.
【详解】由题意得，
又由椭圆的定义得，
记，则，，
则，所以，
故，
则，则，即
等价于，得：或（舍）
故答案为：
32．已知函数则当时，的展开式中的系数为_________．
【答案】270
【分析】由分段函数解析式可得，应用二项式定理求出的系数即可.
【详解】时，，，
展开式第项，故时，，
∴的系数270．
故答案为：270
33．如图，在直三棱柱中，，点E，F分别是棱，AB上的动点，当最小时，三棱锥外接球的表面积为___.
【答案】10π
【分析】把平面沿展开到与平面共面的的位置，确定当，，，四点共线时，的长度最小，求出此时的线段的长度，的外接圆是以的中点为圆心，为半径的圆，的外接圆是以的中点为圆心，为半径的圆，即可得外接球的球心与半径，由球的表面积公式求解即可．
【详解】把平面沿展开到与平面共面的的位置，
延长到，使得，连结，如图1所示，
则，要使得的长度最小，则需，，，四点共线，
此时，
因为，，，
所以，
所以，，
故，，
所以，，，，
所以的外接圆是以的中点为圆心，为半径的圆
如图2，连接，
由于，所以，又
所以，
所以的外接圆是以的中点为圆心，为半径的圆
所以三棱锥外接球的球心为，半径为，故外接球的表面积为．
故答案为：．
34．音乐是由不同频率的声音组成的．若音1（do）的音阶频率为f，则简谱中七个音1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（so），6（la），7（si）组成的音阶频率分别是f，，，，，，，其中后一个音阶频率与前一个音阶频率的比是相邻两个音的台阶．上述七个音的台阶只有两个不同的值，记为，，称为全音，称为半音，则______．
【答案】0
【分析】根据条件求出和，再求的值.
【详解】相邻两个音的频率比分别为，，，，，，
由题意，，，
.
故答案为：0.
35．已知函数，，若，则的最小值是______.
【答案】
【分析】依题意可得，则，令，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，即可得解.
【详解】因为，所以，即，，
令，，所以，令，解得，
当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，，
所以的最小值是.
故答案为：
36．已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，离心率为，过作渐近线的垂线交C于A，B两点，点A在第一象限，若，则的周长为______.
【答案】18
【分析】根据离心率求出a,b关系，用m表示双曲线方程，设直线方程，与双曲线方程联立，利用弦长求出m，然后利用双曲线定义即可求解
【详解】因为，所以，所以，
则渐近线，不妨设，，，
则双曲线的方程，
设，，所以AB：，
联立，得，
所以，，
所以，所以，
所以，
所以，所以，所以.
故答案为：18.
37．已知，则_______.
【答案】
【分析】利用辅助角公式求得，根据倍角公式和诱导公式化简目标式，即可求得结果.
【详解】因为，故可得，
则
故答案为：.
38．已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N．若直线MN在y轴上的截距为3，且，则椭圆C的标准方程为______．
【答案】
【分析】根据给定条件，借助几何图形及比例式求出点M，N的坐标，再代入椭圆方程求解作答.
【详解】由对称性不妨令点M在第一象限，令直线交y轴于点A，过N作轴于B，令，
因为轴，则，而O为的中点，又A为中点，而，
于是，由知，，显然，
因此，于是，又，
则，解得，而，则，
所以椭圆C的标准方程为.
故答案为：
39．已知为坐标原点，椭圆的右焦点为，上顶点为，线段的中垂线交于、两点，交轴于点，，的周长为16，则椭圆的标准方程为_________.
【答案】
【分析】由及勾股定理可得，再证明过椭圆的另一个焦点，从而求出的周长，又由的周长等于的周长，解得，即可求出椭圆的标准方程.
【详解】如图，
由题意可得 ，可得 ，
连接，在中，由勾股定理得，
所以，整理得，
所以即，
所以椭圆的离心率.
在中 ，所以.
设直线交轴于点，交于点，
在中，有，所以为椭圆的左焦点.
又，所以的周长等于的周长.
又的周长为，所以.解得.
所以，.
故答案为：
40．已知定义在R上的偶函数满足，，若，则不等式的解集为______.
【答案】
【分析】根据题设条件可得为周期为4的偶函数，进而有，目标不等式化为，构造并利用导数研究其单调性，即可求解集.
【详解】由为偶函数知：，又，
所以，即，故为周期为4的偶函数，
所以，
由可化为，
令，则，故在R上递减，又即，
所以，可得解集为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：首先要推出为周期为4的偶函数，再将不等式化为，构造函数研究单调性为关键.
41．已知向量、不共线，夹角为，且，，，若，则的最小值为________．
【答案】
【分析】依题意作出如下图形，令，，根据平面向量线性运算法则及椭圆的定义得到点的轨迹，求出其轨迹方程，由的取值范围，得到时，的值最小，此时点的坐标为，再代入椭圆方程计算可得.
【详解】如图及为平行四边形，，，
令，，则，，
因为，即，
由椭圆的定义可知点的轨迹是以，为焦点的椭圆其中、，
所以其轨迹方程为，
因为，所以当，即时，的值最小，
此时点的坐标为，
将点的坐标代人椭圆得，
解得．
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是结合平面向量线性运算法则及椭圆的定义将问题转化，再结合同角三角函数的基本关系计算..
42．已知点在线段上，是的角平分线，为上一点，且满足，设则在上的投影向量为__________．（结果用表示）．
【答案】/
【分析】由可设，结合双曲线的定义可得点的轨迹，再根据内心的向量性质可得为的内心，进而根据双曲线焦点三角形内心的性质求解即可.
【详解】由，可设，由，
得点的轨迹是以为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（不含右顶点）.
因为是的角平分线，且
故也为的角平分线，为的内心.
如图，设，，
则由双曲线与内切圆的性质可得，，
又，所以，，在上的投影长为，
则在上的投影向量为．
故答案为：
43．已知，若过点恰能作两条直线与曲线相切，且这两条切线关于直线对称，则的一个可能值为______．
【答案】（或或或）
【分析】设切点坐标为，利用导数求出切线方程，将点的方程代入切线方程，可得出，设过点且与曲线相切的切线的切点的横坐标分别为、，易知、关于的方程的两个根，且，利用三次方程根与系数的关系可求得实数的值.
【详解】设切点坐标为，因为，则，切线斜率为，
所以，曲线在处的切线方程为
将点的坐标代入切线方程可得，
设过点且与曲线相切的切线的切点的横坐标分别为、，且，
因为这两条切线关于直线对称，则，
所以，，
易知、关于的方程的两个根，设该方程的第三个根为，
则，
则，
所以，，
因为过点恰能作两条直线与曲线相切，
则关于的方程只有两个不等的实根，不妨设，
则，
若，则，可得，解得；
若，则，所以，，可得，，
所以，，解得.
综上所述，或.
故答案为：（或或或）.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用过曲线外一点作曲线的切线求参数的值，解题的关键在于写出切线方程后，将切点坐标转化为三次方程的根，结合三次方程根与系数的关系求解.
44．某校高三年级有个班，每个班均有人，第（）个班中有个女生，余下的为男生.在这n个班中任取一个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出的人恰为男生的概率是，则_________.
【答案】
【分析】根据题设，第个班中，取三次的方法有种，再求第三次取出的人为男生的方法数，进而求出第个班中第三次取出的人为男生的概率，再由即可求参数.
【详解】每个班被取出的概率为，取第个班中取三次的方法有种；
第三次取出的人为男生的方法，如下四种情况：
男男男：种；
女男男：种；
男女男：种；
女女男：种；
所以，第三次取出为男生的方法数：
，
综上，第个班中第三次取出的人为男生的概率，
所以，任选一个班第三次取出的人恰为男生的概率，
则，即，可得.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：首先求出第个班中，取三次的方法数和第三次取出的人为男生的方法数，进而得到第个班中第三次取出的人为男生的概率为关键.
二、双空题
45．若函数在上具有单调性，且为的一个零点，则在上单调递__________（填增或减），函数的零点个数为__________．
【答案】 增 9
【分析】根据函数在上具有单调性，限定周期的范围，得出的范围，再由函数的零点得出关于的等式，结合这两个条件求出的值，再数形结合得出结果.
【详解】因为在上具有单调性，
所以，即，．
又因为，
所以，即，
只有，符合要求，此时．
当时，，
所以在上单调递增．
因为的最大值为1，而，，
作出函数与的图象，由图可知，这两个函数的图像共有9个交点，所以函数的零点个数为9．
故答案为：增；9.
46．已知四棱锥的外接球O的表面积为，四边形ABCD为矩形，M是线段SB的中点，N在平面SCD上，若，，，则球O的体积为______ ，MN的最小值为______ .
【答案】
【分析】设球O的半径为R，由已知可得R，进而可得球的体积，又可得平面ABCD，过A作于G，取AS的中点F，连接MF，求得F到平面SCD的距离即为MN的最小值．
【详解】设球O的半径为R，则，解得，故球O的体积为，
，，，
又，，平面ABCD, 平面ABCD，
故平面ABCD，
因为底面ABCD为矩形，故侧棱SC为球O的直径，又，
解得，过A作于G，
M是线段SB的中点，N在平面SCD上，M到平面SCD的距离即为MN的最小值,取AS的中点F，
连接MF，则平面SCD，M到平面SCD的距离即为F到平面SCD的距离,平面ABCD，CD，
四边形ABCD为矩形, ,平面ASD，平面ASD，,平面ASD，则，
从而平面SCD，则等面积法，，
则F到平面SCD的距离为
故答案为：；
47．正方体的棱长为2，，分别为棱，的中点，过，，做该正方体的截面，则截面形状为______，周长为______．
【答案】 五边形
【分析】根据点、线、面的位置关系及平面性质作出截面图形，再利用三角形相似等知识点则可求出相关线段长，即可求出周长.
【详解】连接EF并延长交DC的延长线于N，连接交于Q，连接QF，
延长FE交DA的延长线于M，连接交于P，连接EP，顺次连接，
则五边形即为平面截正方体的截面多边形，如图：
由题意，正方体的棱长为2，则，，
则为等腰直角三角形，则，根据∽得，，
则，则，，
同理可得，，而，则五边形的周长为.
故答案为：五边形，.
48．若数列从第二项起，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为二阶等差数列.某数学小组在数学探究课上，用剪刀沿直线剪一圆形纸片，将剪刀最多可以将圆形纸片分成的块数记为，经实际操作可得，，，，…，根据这一规律，得到二阶等差数列，则________；若将圆形纸片最多分成1276块，则_________.
【答案】 37 50
【分析】由二阶等差数列的定义结合所给条件求出数列的通项公式，再由通项公式求和所对应的项数.
【详解】因为数列为二阶等差数列，
所以数列为等差数列，
由，，，，
可得，
所以数列为首项为，公差为的等差数列，
所以，
所以当时，，
将以上各式相加可得，，又，
所以，其中，经验证也满足该关系，
所以，
所以，
令，则，
解得.
故答案为：；.
49．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，点E在BC边上，且，则_________；若，则_________.
【答案】 1
【分析】已知，，在直角三角形中把角的正弦值化为边的比，利用三角形面积公式化简，可求得边；，由余弦定理和三角形面积公式，结合辅助角公式，求得，可求的值.
【详解】如图所示，记边为，
由，中，；中，，
又，得，
则有，即，解得，即；
，，
，由余弦定理，，
即，
可得，即，
由，有，
.
故答案为：1；
50．已知函数
①若的最大值为，则a的一个取值为_________．
②记函数的最大值为，则的值域为_________．
【答案】
【分析】根据解析式可画出函数和的函数图象，图象以为分界，左取图象，右取图象，根据值不同，可得不同图象，以此判断出的最大值变化与不同取值之间的关系，即可得到答案.
【详解】由解析式可知是定义域为R的奇函数，且当时，，当且仅当时等号成立；
，两函数如下图所示：
由图可知，当时，的最大值为，
当时，的最大值为在区间的最大值，即为，
当时，的最大值为；
①若满足，当时，，不符题意；
当时，，解得或（舍去）
当时，，不符题意；
②综上所述，根据函数图象可知函数的最大值为.
故答案为：①；②必刷03：高考热点填空题和双空题
一、填空题
1．身体质量指数，也就是BMI指数，简称体质指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．某校为了解该校学生的身体健康情况，从某班随机抽取20名学生进行调查，得到这20名学生的BMI指数分别是15，15.3，15.6，15.9，16.2，16.6，17.5，17.8，18.2，18.7，19.3，19.5，20.3，21.1，21.5，22.7，22.9，23.1，23.4，23.5，则这组数据的第65百分位数是_______________．
2．函数的最小值为___________.
3．在长方形中，，，为边的中点，分别为边上的动点，且，则的取值范围是_______________．
4．的展开式的常数项是___________．
5．已知点，，若线段与圆存在公共点，则的取值范围为_________.
6．某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为________．
7．已知直线：过双曲线：的一个焦点，且与的一条渐近线平行，则的实轴长为______．
8．已知直线与圆交于A，两点，若是圆上的一动点，则面积的最大值是___________.
9．已知的展开式的各二项式系数的和为64，则常数项为___________.（用数字作答）
10．已知抛物线与轴的交点分别为,点的坐标为,若过三点的圆与轴的另一个交点为,则___________.
11．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为______cm.
12．已知是等比数列的前n项和，若，，则_________.
13．如图为三棱锥的平面展开图，其中，，垂足为，则该三棱锥的体积为______．
14．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为，若序列的所有项都是2，且，，则__________．
15．过点的弦将圆的圆周分成两段圆弧，要使这两段弧长之差最大，则__________．
16．函数的非负零点按照从小到大的顺序分别记为，．，若，则的值可以是__________．（写出符合条件的一个值即可）
17．已知实数，满足，则的最小值是______.
18．的展开式中项的系数为______ .
19．已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆C上，且，则的最大值为______ .
20．已知，则___________.
21．已知椭圆的左 右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，且，则椭圆的离心率为___________.
22．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为棱上任意一点（不包括端点），为棱上任意一点（不包括端点），且．已知，，当三棱锥的体积取得最大值时，与底面所成角的正切值为__________．
23．已知是函数在定义域上的导函数，且，，若函数在区间内存在零点，则实数m的最小值为________．
24．若数列满足且，其中为数列的前n项和．请写出一个满足上述条件的数列通项______．
25．已知椭圆的左 右焦点分别为，过点作直线交椭圆于两点，若，则椭圆的离心率为___________.
26．莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为______．
27．在排球比赛的小组循环赛中，每场比赛采用五局三胜制．甲、乙两队小组赛中相见，积分规则如下：以或获胜的球队积3分，落败的球队积0分；以获胜的球队积2分，落败的球队积1分．若甲队每局比赛获胜的概率为0.6，则在甲队本场比赛所得积分为3分的条件下，甲队前2局比赛都获胜的概率是________．(用分数表示)
28．已知函数，若将的图象向左平行移动个单位长度后得到的图象，则把的图象向右至少平行移动________个单位可得到的图象．
29．如图，已知椭圆的焦点为、，点为椭圆上任意一点，过作的外角平分线的垂线，垂足为点.过点作轴的垂线，垂足为，若线段的中点为，则点的轨迹方程为______.
30．若m，n是函数的两个不同零点，且m，n，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则__________.
31．已知椭圆的左，右焦点分别为，，椭圆C在第一象限存在点M，使得，直线与y轴交于点A，且是的角平分线，则椭圆C的离心率为_________.
32．已知函数则当时，的展开式中的系数为_________．
33．如图，在直三棱柱中，，点E，F分别是棱，AB上的动点，当最小时，三棱锥外接球的表面积为___.
34．音乐是由不同频率的声音组成的．若音1（do）的音阶频率为f，则简谱中七个音1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（so），6（la），7（si）组成的音阶频率分别是f，，，，，，，其中后一个音阶频率与前一个音阶频率的比是相邻两个音的台阶．上述七个音的台阶只有两个不同的值，记为，，称为全音，称为半音，则______．
35．已知函数，，若，则的最小值是______.
36．已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，离心率为，过作渐近线的垂线交C于A，B两点，点A在第一象限，若，则的周长为______.
37．已知，则_______.
38．已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N．若直线MN在y轴上的截距为3，且，则椭圆C的标准方程为______．
39．已知为坐标原点，椭圆的右焦点为，上顶点为，线段的中垂线交于、两点，交轴于点，，的周长为16，则椭圆的标准方程为_________.
40．已知定义在R上的偶函数满足，，若，则不等式的解集为______.
41．已知向量、不共线，夹角为，且，，，若，则的最小值为________．
42．已知点在线段上，是的角平分线，为上一点，且满足，设则在上的投影向量为__________．（结果用表示）．
43．已知，若过点恰能作两条直线与曲线相切，且这两条切线关于直线对称，则的一个可能值为______．
44．某校高三年级有个班，每个班均有人，第（）个班中有个女生，余下的为男生.在这n个班中任取一个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出的人恰为男生的概率是，则_________.
二、双空题
45．若函数在上具有单调性，且为的一个零点，则在上单调递__________（填增或减），函数的零点个数为__________．
46．已知四棱锥的外接球O的表面积为，四边形ABCD为矩形，M是线段SB的中点，N在平面SCD上，若，，，则球O的体积为______ ，MN的最小值为______ .
47．正方体的棱长为2，，分别为棱，的中点，过，，做该正方体的截面，则截面形状为______，周长为______．
48．若数列从第二项起，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为二阶等差数列.某数学小组在数学探究课上，用剪刀沿直线剪一圆形纸片，将剪刀最多可以将圆形纸片分成的块数记为，经实际操作可得，，，，…，根据这一规律，得到二阶等差数列，则________；若将圆形纸片最多分成1276块，则_________.
49．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，点E在BC边上，且，则_________；若，则_________.
50．已知函数
①若的最大值为，则a的一个取值为_________．
②记函数的最大值为，则的值域为_________．
