2023年高考数学考前高分冲刺模拟卷8高三数学试题（PDF版含解析）

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2023 年高考数学考前冲刺模拟试卷 08 7．某圆锥母线长为 2，底面半径为 3 ，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（　　）
A. 2 B. 3 C. 2 D. 1
数学
x 1 2
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 8．已知函数 f x e x ax a R 有两个极值点，则实数 a的取值范围（ ）2
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填 A. ,1 B. 0,1 C. 0,1 D. 1,
写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 要求的．全部选对得 5 分，有选错得 0 分，部分选对得 3 分．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 9．如图，在平行四边形 ABCD中，已知 F，E分别是靠近 C，D的四等分点，则下列结论正确的是( ▲ )
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1 3
A．EF＝ ABⅠ B．
AF＝－ AB＋AD
第 卷 2 4
3 2 9
一、单项选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 C．BE＝－ AB＋AD D．BE·AF＝(\o\ac(\S\UP7(→),AD)) － (AB)2
4 16
要求的.
A x∣x2 4x 0 , B {x∣ 1 x 2}
1．已知集合 ，则 A B （ ）
A. {x∣ 1 x 4} B. {x∣0 x 2}
C. {x∣ 1 x 0} D. {x∣2 x 4}
10．已知经过点 P 2,4 的圆 C的圆心坐标为 0, t (t为整数)，且与直线 l： 3x y 0 相切，直线 m：
2．已知复数 z 满足 2z 3 i 3z ，则 z （ ）
6 9 6 9 6 9 6 9 ax y 2a 0与圆 C相交于 A、B两点，下列说法正确的是（ ）
A． i B． i C． i D． i
13 13 13 13 13 13 13 13
2 2
3．已知向量 a ，b 满足 a b 1， a 2b 3
A. 圆 C的标准方程为 x y 4 4
，则向量 a ，b 的夹角为（ ）
B. 若 PA PB ，则实数 a的值为 2
A. 30 B. 60 C. 120 D. 150
C. 若 AB 2 2 ，则直线 m的方程为 x y 2 0 或7x y 14 0
4．已知 a log 33 4,b log 4 3,c 3
0.1
4 ，则（ ）
A．bC． c a b D． a b c
11．提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在 1766年由德国的一位中
f x cos x ( 0) π T 4π π 3π5．记函数 的最小正周期为 T．若 ，且点 ,02 和直线 x 分别 a 2 学老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列 n ：0.4，0.7，1，
1.6，2.8，5.2，10，19.6，…，表示的是太阳系第 n 颗行星与太阳的平均距离(以天文单位A.U.为单位).现
是 y f x 图像的对称中心和对称轴，则 T＝（ ）
将数列 an 的各项乘以 10后再减4，得到数列 bn ，可以发现数列 bn 从第 3项起，每项是前一项的 2倍，
4π 5π 8π 10π
A. B. C. D. 则下列说法正确的是（ ）
3 3 3 3
A. 数列 b 的通项公式为b 3 2n 2n n
6．已知一组数据 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 的平均数是 2，方差是 3，则对于以下数据： 2x1 1 ， 2x2 1， 2x3 +1，
B. 数列 a 2020n 的第 2021项为 0.3 2 0.4
2x4 +1， 2x5 +1，1，2，3，4，5下列选项正确的是（ ）
C. 数列 a n 1n 的前 n 项和 Sn 0.4n 0.3 2 0.3
A. 平均数是 3，方差是 7 B. 平均数是 4，方差是 7
C. 平均数是 3，方差是 8 D. 平均数是 4，方差是 8 D. 数列 nbn 的前 n 项和Tn 3 n 1 2n 1
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12．如图，正方体 ABCD A B C D 的棱长为 3，点M 是侧面 ADD A 上的一个动点（含边界），点 P 在棱CC
19．在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，侧面 ACC1A1 是菱形， A1AC 60 ， AA1 2， AC A1B .
上，且 PC 1，则下列结论正确的有（ ）
（1）求证： BA BC ；
A. 沿正方体的表面从点A 到点 P 的最短路程为 2 10
（2）已知 AB 2 ， A1B 2，求直线 A1B 与平面 A1B1C 所成角的正弦值.
B. 保持 PM 与 BD 垂直时，点M 的运动轨迹长度为 2 2
20．随着人脸识别技术的发展，“刷脸支付”成为了一种便捷的支付方式，但是这种支付方式也带来了一些
PM 13 4 π 安全性问题．为了调查不同年龄层的人对“刷脸支付”所持的态度，研究人员随机抽取了 300人，并将所得C. 若保持 ，则点M 的运动轨迹长度为
3 结果统计如下表所示．
99
D. 当M 在 D 点时，三棱锥 B MAP 的外接球表面积为 π
4 年龄 20,30 30,40 40,50 50,60 60,70
三．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．某地有 9个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为 360，284，290，300，402，188，240，260， 频数 30 75 105 60 30
288，则这组数据的第 72百分位数为______．
持支持态度 24 66 90 42 18
14.已知圆锥侧面展开图的周长为 4 2 ，面积为2 ，则该圆锥的体积为______．
x2 y2
15.在平面直角坐标系 xoy中， F1, F2 分别是双曲线 C： 2 2 1(a 0,b 0) 的左，右焦点，过 F 的直线 la b 1 (1)完成下列 2×2列联表，并判断是否有 99.9％的把握认为年龄与所持态度具有相关性；
年龄在 50周岁以上（含 50周岁） 年龄在 50周岁以下 总计
与双曲线的左，右两支分别交于点 A, B ，点T 在 x 轴上，满足 BT 3AF2 ，且 BF2 经过 BF1T 的内切圆圆
持支持态度
心，则双曲线C 的离心率为______．
a 不持支持态度
16．若函数 y ex 与 y e (ln x a) 的图像有两个不同的公共点，则 a的取值范围为____________.
总计
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17 ． 在 ① a c sin2B bsinA csinB ② 4cosAcosC 1 2sinAsinC 1
1
③ (2)以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在 50周岁以上（含 50周岁）的人中随机抽取 4人，记
tan A tan C X为 4人中持支持态度的人数，求 X的分布列以及数学期望；
(3)已知某地区“万嘉”连锁超市在安装了“刷脸支付”仪器后，使用“刷脸支付”的人数 y与第 x天之间
2a b c
这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题，已知△ABC的内角 的关系统计如下表所示，且数据的散点图呈现出很强的线性相关的特征，请根据表中的数据用最小二乘法求
cos C cos B cos C
y与 x的回归直线方程 y b x a ．
A、B、C所对的边分别为 a，b，c满足___________.
（1）求角 B的大小； i 1 2 3 4 5 6 7
（2）若 asinB 12sinA,求△ABC面积的最大值.
18．已知数列 an ，
x
bn 的前 n项和分别为 Sn ，Tn ，且 Sn 2an 2 b a log a i 2 4 8 12 22 26 38， n n 2 n ． 第 天
(1)求数列 an 的通项公式； y使用人数 i y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7
(2)求证：当 n 2时，Tn Sn 4 ．
7 7
参考数据： xi yi 5588， yi 294．
i 1 i 1
P K 2 k 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
n
2 xi x y yn ad bc i
参考公式：K 2 ，b i 1 ， a y b x ．
a b c d a c b d n xi x 2
i 1
21．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线C : y2 2x ． A1， A2为 C上两点，且 A1， A2分别在第一、四象限．直
线 A1A2 与 x正半轴交于 A3，与 y负半轴交于 A4 ．
(1)若 A1OA2 90 ，求 A3横坐标的取值范围；
(2)记 A1OA2 的重心为 G，直线 A1A2 ， A3G 的斜率分别为 k1， k2 ，且 k2 2k1．若 | A1A2 | λ | A3 A4 |，证明：λ为
定值．
a 0 f x x222．已知 ，函数 3alnx，g x 2ax alnx．
（1）若 f x 和 g x 的最小值相等，求 a的值；
（2）若方程 f x g x 恰有一个实根，求 a的值．关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
2023 年高考数学考前冲刺模拟试卷 08
全解全析
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
A x∣x2 4x 0 , B {x∣ 1 x 2}
1．已知集合 ，则 A B （ ）
A. {x∣ 1 x 4} B. {x∣0 x 2}
C. {x∣ 1 x 0} D. {x∣2 x 4}
【答案】B
A x∣x2【解析】 4x 0 {x∣0 x 4}， B {x∣ 1 x 2}，
A B {x 0 x 2}，
故选：B.
2．已知复数 z 满足 2z 3 i 3z ，则 z （ ）
6 9 6 9 6 9 6 9
A． i B． i C． i D． i
13 13 13 13 13 13 13 13
【答案】A
【解析】因为 2z 3 i 3z ，2zi 3i 3z， 3 2i z 3i，
3i 3i 3 2iz 6 9i 6 9 6 9所以 i3 2i 3 2i z i3 2i 13 13 13 ，所以 .13 13
故选：A

3．已知向量 a ，b 满足 a b 1， a 2b 3 ，则向量 a ，b 的夹角为（ ）
A. 30 B. 60 C. 120 D. 150
【答案】C
2 2 2
【解析】 a 2b a 4 b 4 a b cos 3，
即5 4cos 3，则 cos
1
， 0 180 ， 120 .2
故选：C.
4．已知 a log 33 4,b log 44 3,c 3
0.1 ，则（ ）
A．bC． c a b D． a b c
【答案】B
【解析】 30.1 30 1 c 1，
1 1
log 33 27 log
3
3 4, log
3 3 1
3 4 log3 4 log3 4
1 log 3 1 3 ，即 a 1，3 3 3 3
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1
b log 4 3 log 34 1 log 3 1 log 4 1 4 4 4 4 ，4 4 4
因此b a c，
故选：B
5．记函数 f x cos x ( 0) π 3π的最小正周期为 T．若 π T 4π ，且点 ,0 和直线 x 分
2 2
别是 y f x 图像的对称中心和对称轴，则 T＝（ ）
4π 5π 8π 10π
A. B. C. D.
3 3 3 3
【答案】A
【解析】由题意
在 f x cos x ( 0) 中，
设对称点和与对称轴在 x 轴上的交点间的距离为 x
π
对称中心： x1 kπ k Z 2
对称轴： x2 kπ k Z
由几何知识得， x x1 x2
解得： x T T K （ K 为属于N 的参数）
4 2
π 3π
∵ π T 4π ，且点 ,0 和直线 x 分别是 y f x 图像的对称中心和对称轴
2 2
x T∴ K T 3π π π
4 2 2 2
4π
解得：T K N 2K 1
∵ π T 4π
4π
∴ K 1,T
3
故选：A.
6．已知一组数据 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 的平均数是 2，方差是 3，则对于以下数据： 2x1 1 ， 2x2 1， 2x3 +1，
2x4 +1， 2x5 +1，1，2，3，4，5下列选项正确的是（ ）
A. 平均数是 3，方差是 7 B. 平均数是 4，方差是 7
C. 平均数是 3，方差是 8 D. 平均数是 4，方差是 8
【答案】D
【解析】由题可知
x x x 2 2 2 2 21 2 3 x4 x5 2 5 10， x1 2 x2 2 x3 2 x4 2 x5 2 3 5 15
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所以有
2x1 1 2x2 1 2x3 1 2x4 1 2x5 1 1 2 3 4 5
2 x1 x2 x3 x3 x5 20 2 10 20 40
1
，所以其平均数为 40 4 ；
10
s2 1 2x1 3
2 2x 22 3 2x3 3
2 2x 24 3 2x5 3
2 32 22 12 0 12
10
1
4 x1 2
2 4x1 4 x2 2
2 4x2 4 x3 2
2 4x3 4 x
2
4 2 4x4 4 x5 2
2 4x
10 5
20
1
4 x1 2 2 x2 2 2 x3 2 2 x4 2 2 x5 2 2 4 x1 x2 x3 x10 4 x5 20
1
4 15 4 10 20 8
10
故选：D
7．某圆锥母线长为 2，底面半径为 3 ，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（　　）
A. 2 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】
如图所示，截面为 SMN ，P为 MN的中点，设OP x(0 x 3)
SB 2,OB 3, SO 1, SP x2 1, MN 2 3 x2
S 1 1VSMN gMNgSP g x
2 1g2 3 x2 (x2 1)2 4
2 2
当 x 1时， SVSMN 2，此时截面面积最大.
故选：A
x 1 2
8．已知函数 f x e x ax a R 有两个极值点，则实数 a的取值范围（ ）
2
A. ,1 B. 0,1
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C. 0,1 D. 1,
【答案】D
x
【解析】 f x 的定义域是R ， f x e x a ，
令 h x ex x a, h x ex 1，
所以 h x 在区间 ,0 ,h x 0, h x 递减；在区间 0, ,h x 0,h x 递增.
要使 f x 有两个极值点，则 f 0 h 0 1 a 0,a 1，
a a
此时 f a e a a e 0，
构造函数 g x x ln 2x x 1 , g x 1 x 1 1 ，
x x
所以 g x 在 1, 上递增，所以 g x 1 ln 2 0，
所以 f ln 2a eln 2a ln 2a a a ln 2a 0，
所以实数 a的取值范围 1, .
故选：D
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．如图，在平行四边形 ABCD中，已知 F，E分别是靠近 C，D的四等分点，则下列结论正确的是( ▲ )
1 3
A．EF＝ AB B．AF＝－ AB＋AD
2 4
3 2 9
C．BE＝－ AB＋AD D．BE·AF＝(\o\ac(\S\UP7(→),AD)) － (AB)2
4 16
【答案】AD
【解析】因为在平行四边形 ABCD中，已知 F , E 分别是靠近C, D 的四等分点，
1 EF DC 1

由 AB ，所以 A正确；
2 2
3
由 AF AD AB
3
AB AD ，所以 B不正确；
4 4
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由 BE BC CE BC
3
DC 3 AB AD ，所以 C不正确；
4 4

BE AF ( 3
3 2 9 2
由 AB AD) ( AB AD) AD AB ，所以 D正确.4 4 16
故选：AD.
10．已知经过点 P 2,4 的圆 C的圆心坐标为 0, t (t为整数)，且与直线 l： 3x y 0 相切，直线
m： ax y 2a 0与圆 C相交于 A、B两点，下列说法正确的是（ ）
A. 圆 C的标准方程为 x2 y 4 2 4
B. 若 PA PB ，则实数 a的值为 2
C. 若 AB 2 2 ，则直线 m的方程为 x y 2 0 或7x y 14 0
2 2
D. 弦 AB的中点 M的轨迹方程为 x 1 y 2 5
【答案】BC
2
【解析】对于 A，设圆 C的半径为 r，由题意可得圆 C的方程为 x2 y t r 2 (t为整数)，
根据点 P 2, 4 是圆 C上的点，且圆 C与直线 l： 3x y 0 相切，
22 4 t 2 r 2 20
t 4
t
3
得 t ，解得 ，或 （舍去），
r r 2 r 10 2 3
2
则圆 C的标准方程为 x2 y 4 4，故 A正确；
2
对于 B，由选项 A知圆 C的标准方程为 x2 y 4 4，圆心C 0,4 ，
点 P 2, 4 在圆 C上，且 PA PB ，
线段 AB为圆 C的直径，
直线 m： ax y 2a 0与圆 C相交于 A、B两点，
圆心C 0,4 在直线 m上，
4 2a 0，解得 a 2 ，故 B正确；
对于 C，由选项 A知圆 C的半径为 2，圆心C 0,4 ，
4 2a
则圆心 C到直线 m的距离 d ，
1 a2
2 2
AB 2 2 2 2 d r ，即 d
2 22 ，解得
2 d 2
，
2
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4 2a
2 ，整理得 a2 ，解得 a 1或 a 7 ，
1 a2
8a 7 0
则直线 m的方程为 x y 2 0 或7x y 14 0 ，故 C正确；
对于 D，直线 m的方程可化为 y a x 2 ，过定点 N 2,0 ，
由圆的性质可得CM MN ，
点 M的轨迹是以线段 CN为直径的圆，
则此圆圆心为线段 CN的中点，其坐标为( - 1, 2) 1，半径为 CN 5 ，2
2 2
则该圆的方程为 x 1 y 2 5，
x 1
2 y 2 2 5 6 12
由 2 ，得两圆的交点坐标为 2,4 与 , ，2
x y 4

4 5 5
6
故弦 AB的中点 M的轨迹方程为 x 1 2 y 2 2 5 2 x ， ，故 D错误；
5
故选：BC.
11．提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在 1766年由德国的一位
中学老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列 an ：0.4，
0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…，表示的是太阳系第 n 颗行星与太阳的平均距离(以天文单位A.U.
为单位).现将数列 an 的各项乘以 10后再减4，得到数列 bn ，可以发现数列 bn 从第 3项起，每项是
前一项的 2倍，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列 b 的通项公式为b 3 2n 2n n
B. 数列 an 的第 2021项为 0.3 22020 0.4
C. 数列 an 的前 n 项和 Sn 0.4n 0.3 2n 1 0.3
nb n T 3 n 1 2n 1D. 数列 n 的前 项和 n
【答案】CD
【解析】数列 an 各项乘以 10再减 4得到数列 bn : 0,3,6,12,24,48,96,192, ,
0, n 1,
故该数列从第 2项起构成公比为 2的等比数列，所以bn 3 2n 2
故 A错误；
,n… 2,
a bn 4
0.4,n 1,
a 0.3 22019从而 ;n 所以 0.4,故 B错误10 0.3 2
n 2 0.4,n… 2, 2021
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当 n 1时 , S1 a1 0.4；
当 n… 2 时 , Sn a1 a2 an 0.4 0.3 20 21 2n 2 0.4 n 1
n 1
0.4n 0.3 1 2 0.4n 0.3 2n 1 0.3.
1 2
当 n 1时 , S1 0.4 也符合上式，所以 Sn 0.4n 0.3 2n 1 0.3,故 C正确 ;
0,n 1,
因为 nbn n 2 所以当 n 1时 ,T b 0,
3n 2 ,n… 2,
1 1
当 n… 2时 ,Tn b1 2b2 3b
0 1 2
3 nbn 0 3 2 2 3 2 4 2 n 2n 2 ，
2Tn 3 2 21 3 22 4 23 n 2n 1 ,
所以 Tn 0 3(2 2
1 22 2n 2 n 2n 1
2 2n 1
3 2 n 2n 1 3 1 n 2n 1, T 3 n 1 2n 1 所以 n .
1 2
又当 n 1时 ,T1 也满足上式，所以T n 1n 3 n 1 2 ，故 D正确.
故选：CD.
12．如图，正方体 ABCD A B C D 的棱长为 3，点M 是侧面 ADD A 上的一个动点（含边界），点 P
在棱CC 上，且 PC 1，则下列结论正确的有（ ）
A. 沿正方体的表面从点A 到点 P 的最短路程为 2 10
B. 保持 PM 与 BD 垂直时，点M 的运动轨迹长度为 2 2
C. 若保持 PM 13 4，则点M 的运动轨迹长度为 π
3
99
D. 当M 在 D 点时，三棱锥 B MAP 的外接球表面积为 π
4
【答案】BCD
【解析】对于A ，将正方体的下面和侧面展开可得如图图形，
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连接 AP ，则 AP AB2 BP2 34 2 10 ，故A 错误；
对于B ，因为 DD 平面 ABCD， AC 平面 ABCD， DD AC ，又 AC BD ，
DD BD D, DD , BD 平面 DD B ，
所以 AC 平面 DD B ， BD 平面 DD B ，
所以 AC BD ，同理可得 BD AB ， AC AB A, AC, AB 平面 ACB ，
所以 BD 平面 ACB ，
所以过点 P 作 PG / /C D 交CD 交于G ，过G 作GF / / AC 交 AD 交于 F ，
由 AB / /C D ，可得 PG / / AB ， PG 平面 ACB ， AB 平面 ACB ，
所以 PG / / 平面 ACB ，同理可得GF / / 平面 ACB ， PG GF G ，
则平面 PGF / / 平面 ACB ，
设平面 PEF 交平面 ADD A 于 EF ，则M 的运动轨迹为线段 EF ，
由点 P 在棱CC 上，且 PC 1，可得 DG DF A E 1，
2
所以 EF A D 2 2 ，故 B正确；
3
对于C ，若 PM 13 ，则M 在以 P 为球心， 13 为半径的球面上，
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过点 P 作 PQ 平面 ADD A ，则 DQ 1，此时 QM PM 2 PQ2 2，
2
所以点M 在以Q为圆心，2为半径的圆弧上，此时圆心角为 π ，
3
2 4
点M 的运动轨迹长度为 π 2 π ，故C 正确；
3 3
对于 D，以D为坐标原点， DA, DC, DD 所在直线分别为 x, y, z 轴建系，
则M 0,0,3 , P 0,3, 2 , B 3,3,3 , A 3,0,0 ，设三棱锥 B MAP 的外接球球心为 N x, y, z ，由
2
| NM |2 | NP |2 NB | NA |2 得，
x2 y2 (z 3)2 x2 (y 3)2 (z 2)2 (x 3)2 (y 3)2 (z 3)2 (x 3)2 y2 z2 ，
7 5
解得： x z , y ，
4 4
7 2 5 2 7 2B MAP R 3 3 11所以三棱锥 的外接球半径 ，
4 4 4 4
99
所以三棱锥 B MAP 2的外接球表面积为 S 4πR π ，D正确.
4
故选：BCD.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．某地有 9个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为 360，284，290，300，402，188，240，
260，288，则这组数据的第 72百分位数为______．
【答案】300
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【解析】将这组数据按照从小到大的顺序排列得 188，240，260，284，288，290，300，360，402，
因为9 0.72 6.48，所以这组数据的第 72百分位数为 300.
故答案为：300
14.已知圆锥侧面展开图的周长为 4 2 ，面积为2 ，则该圆锥的体积为______．
3 4 π4 4
【答案】 π 或
3 3π2
【解析】设圆锥的底面圆半径为 r ，母线长 l，则圆锥侧面展开图扇形弧长为 2πr ，
2πr 2l 4 2π πr l 2 π r 1 r
2

依题意， ，即 ，解得 或 π ，
πrl 2π

πrl 2π l 2 l π
r 1 1 3
当 时，圆锥的高l 2 h l
2 r 2 3 ，体积为V πr 2h π，
3 3
r 2 42 2 1 4 1 4 π 4
当 π 时，圆锥的高 h l r π 4 ，体积为V πr 2h ，
2 l π
π 3 3π
3 4 π4 4
所以该圆锥的体积为 π 或 .
3 3π2
3 4 π4 4
故答案为： π 或
3 3π2
x2 y2
15.在平面直角坐标系 xoy中， F1, F2 分别是双曲线 C： Fa2 b2
1(a 0,b 0) 的左，右焦点，过 1的直线

l与双曲线的左，右两支分别交于点 A, B ，点T 在 x 轴上，满足 BT 3AF2 ，且 BF2 经过 BF1T 的内切圆
圆心，则双曲线C 的离心率为______．
【答案】 7

【解析】 BT 3AF2 ，∴ AF2∥BT ，∴ AF2B TBF2 , AB 2AF1，
∵ BF2 经过 BF1T 内切圆圆心，∴ BF2 为 F1BT 的角平分线，
∴ F1BF2 TBF2 ．∴ ABF2 BF2 A，∴ AB AF2 ，
2a AF2 AF1 AB AF1 AF1， AF1 2a, AF2 4a，
2a BF1 BF2 3AF1 BF2 6a BF2 ∴ BF2 4a，于是 AB AF2 BF2 4a ，
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∴△ABF2 为正三角形， F
2
1AF2 ．3
F AF 2 21 2 中，由余弦定理， 4c 4a 16a
2 2 2a 4a 1 ∴2 e 7
.

故答案为： 7
a
16．若函数 y ex 与 y e (ln x a) 的图像有两个不同的公共点，则 a的取值范围为____________.
【答案】 (1, )
【解析】令 f x ex ea (ln x a), x 0，
函数 y ex 与 y ea (ln x a) 的图像有两个不同的公共点，
等价于 f x 在 0, 有两个零点，
a
f x ex e , x 0 ，
x
令 f x 0，则 xex ea 0，
令 g x xex ea , x 0， g x ex xex , x 0 ，易得 g x 0恒成立，
故 g x 在 0, 单调递增，易得 lim g x 0, lim g x 0x 0 x ，
x a
故存在 x0 0, ，使得 g x0 0，即 f x0 0，即 x 00e e ，
当 x 0, x0 时， g x 0 ，等价于 f x 0，则 f x 在 0, x0 上单调递减，
当 x x0 , 时， g x 0，等价于 f ( x) >0，则 f x 在 x0 , 上单调递减，
故 f x0 为极小值，因为 f x 在 0, 有两个零点，
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x a
则 f x 00 0，即 e e (ln x0 a) 0 ，
因为 x ex0 a a x00 e ，则 x0 e , ln x0 a x0 ，
1
则 ex0 x0e
x0 (2a x0 ) 0，即 x0 2ax ，解得1 a0
故答案为： (1, ) .
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在① a c sin2B bsinA 1 csinB ② 4cosAcosC 1 2sinAsinC 1 2a b c ③
tan A tan C cos C cos B cos C
这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题，已知△ABC的内角 A、B、C所对的边分别为
a，b，c满足___________.
（1）求角 B的大小；
（2）若 asinB 12sinA,求△ABC面积的最大值.
π
【答案】（1） B （2）
3 36 3
【解析】（1）若选①，则由 a c sin2B bsinA csinB 得 a c 2sin B cos B bsinA csinB ，由
正弦定理得 a c 2bcos B 1 b a c cos B ,由于 B 0, π π，故 B ，
2 3
若选②，由 4cosAcosC 1 2sinAsinC
1 1

tan A tan C
得

4cosAcosC 1 2sinAsinC 2cos AcosC 2cos A C 1 cos A C 1 ,
2
进而得 cos B 1 , 由于 B 0, π π，故 B ，
2 3
2a b c 2a c b
若选③，由 得 2a c cos B bcosC ,由正弦定理得
cos C cos B cos C cosC cos B
2sin Acos B sin C cos B sin B cosC 2sin Acos B sin C B sin A , 进而得 cos B 1 , 由
2
于 B 0, π π，故 B ，
3
（2）由 asinB 12sinA以及正弦定理得 ab 12a b 12 ，
由余弦定理得144 a2 c2 2ac cos B ,进而144 ac a2 c2 ，由均值不等式可得
144 ac a2 c2 2ac ，进而 ac 144 ，当且仅当 a c 时取等号，故 ac 的最大值为 144，
S 1 ABC ac sin B
1 144 3 36 3 ,
2 2 2
故面积的最大值为36 3
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18．已知数列 an ， bn 的前 n项和分别为 Sn ，Tn ，且 Sn 2an 2，bn an log2 an ．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)求证：当 n 2时，Tn Sn 4 ．
【答案】（1） a 2nn ,（2）证明见解析
【解析】（1）因为 Sn 2an 2，所以 a1 2a1 2，则 a1 2，
当 n 2时， Sn 1 2an 1 2，
所以 an Sn Sn 1 2an 2an 1，化简得 an 2an 1，
所以数列 an 是以 2为首项，2为公比的等比数列，因此 an 2n
2 1 2n
（2） S n n nn 2
n 1 2，bn an log2 an 2 log2 2 n 2 ，
1 2
则Tn 1 2 2 2
2 … … n 2n ，
2T 1 22 2 23 n 1所以 n … … n 2 ，
2 3 n
两式相减得Tn 1 2 2 2 … … 2 n 2n 1 ，
2 1 2n
即Tn 2 22 23 … … 2n n 2n 1 n 2n 1，1 2
故Tn n 1 2n 1 2 .
所以当 n 2时，Tn Sn n 1 2n 1 2 2n 1 2 n 2 2n 1 4 4，
所以Tn Sn 4 ．
19．在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，侧面 ACC1A1 是菱形， A1AC 60 ， AA1 2， AC A1B .
（1）求证： BA BC ；
（2）已知 AB 2 ， A1B 2，求直线 A1B 与平面 A1B1C 所成角的正弦值.
21
【答案】（1）证明见解析 （2）
7
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【解析】（1）取 AC 中点为O ,连接 A1O, BO，
在三棱柱 ABC - A 1B1C1 中，侧面 ACC1A1 是菱形， A1AC 60 ，
则△AA1C 为正三角形，取 AC 中点为O，则 AC A1O ，
又 AC A1B, A1B A1O A1, A1B, A1O 平面 A1BO ，
所以 AC 平面 A1BO ，
因为 BO 平面 A1BO ，所以 AC BO ，
因为O是 AC 中点，所以 AB BC .
（2）在边长为 2的正△AA1C 中， A1O 3 ，
在 ABC 中， AB BC 2, AC 2 ，则 BO 1，又 A1B 2，
2 2
所以 A1O BO A
2
1B ，所以 A1O BO，
所以OA1,OB,OC 两两垂直.
以O为原点，OB,OC,OA1分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系O xyz .
则 A 0, 1,0 , B 1,0,0 ,C 0,1,0 , A1 0,0, 3 ，
A1B 1,0, 3 , A1C 0,1, 3 , A1B1 AB 1,1,0 ，
r
设平面 A1B1C 的法向量为 n x, y, z ，则
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A1B·n x y 0
，令 z 1，则 n 3, 3,1
A1C·n y 3z 0
设直线 A1B 与平面 A1B1C 所成角为 ，

则 sin cos A1B,n
A
1 B n 21 ，
A B | n 1 | 7
所以，直线 A1B 与平面 A1B
21
1C 所成角的正弦值为
7
20．随着人脸识别技术的发展，“刷脸支付”成为了一种便捷的支付方式，但是这种支付方式也带来了一
些安全性问题．为了调查不同年龄层的人对“刷脸支付”所持的态度，研究人员随机抽取了 300人，并将
所得结果统计如下表所示．
年龄 20,30 30,40 40,50 50,60 60,70
频数 30 75 105 60 30
持支持态度 24 66 90 42 18
(1)完成下列 2×2列联表，并判断是否有 99.9％的把握认为年龄与所持态度具有相关性；
年龄在 50周岁以上（含 50周岁） 年龄在 50周岁以下 总计
持支持态度
不持支持态度
总计
(2)以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在 50周岁以上（含 50周岁）的人中随机抽取 4人，
记 X为 4人中持支持态度的人数，求 X的分布列以及数学期望；
(3)已知某地区“万嘉”连锁超市在安装了“刷脸支付”仪器后，使用“刷脸支付”的人数 y与第 x天之
间的关系统计如下表所示，且数据的散点图呈现出很强的线性相关的特征，请根据表中的数据用最小二乘
法求 y与 x的回归直线方程 y b x a ．
i 1 2 3 4 5 6 7
x
第 i 天 2 4 8 12 22 26 38
y
使用人数 i y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7
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7 7
参考数据： xi yi 5588， yi 294．
i 1 i 1
P K 2 k 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
n
n ad bc 2 xi x yi y
参考公式：K 2 ，b i 1 ， a y b x ．
a b c d a c b d n xi x 2
i 1
8
【答案】（1）表格见解析，有（2）分布列见解析， 3 （3） y 0.85x 28.4．
【解析】（1）完成列联表如下：
年龄在 50周岁以上（含 50周岁） 年龄在 50周岁以下 总计
持支持态度 60 180 240
不持支持态度 30 30 60
总计 90 210 300
300 60 30 180 30k
2
100
2 0 14.286 10.828
故本次实验中K 的观测值 240 60 90 210 7 ，
故有 99.9％的把握认为年龄与所持态度具有相关性；
X B 4, 2
（2）依题意， 3 ，
4 3
P X 0 1 1 P X 1 C1
1 2 8 4
故 3 81， 3 3 81，
2 2 3
P X 2 C2 1 2 244 P X 3 C3
1 2 32
3 3 4

81 ， 3

3 81 ，
4
P X 4 2 16
3 81；
故 X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
1 8 24 32 16
P
81 81 81 81 81
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E X 2 8 4
故 3 3 ；
7
xi 7
x 2
7
i 1 16 xi 2832 yi 294
（3）依题意， 7 ， i 1 ，由 i 1 得 y 42 ，
7 7
xi x yi y xi yi 7xy
b i 1 i 1 5588 16 2947 7 2 0.85
x x 2i x2i 7x 2 2832 7 16
i 1 i 1 ，

所以 a y bx 42 0.85 16 28.4 ．
故 y关于 x的线性回归方程是 y 0.85x 28.4．
21．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线C : y2 2x ． A1， A2为 C上两点，且 A1， A2分别在第一、四象
限．直线 A1A2 与 x正半轴交于 A3，与 y负半轴交于 A4 ．
(1)若 A1OA2 90 ，求 A3横坐标的取值范围；
(2)记 A1OA2 的重心为 G，直线 A1A2 ， A3G 的斜率分别为 k1， k2 ，且 k2 2k1．若 | A1A2 | λ | A3 A4 |，证明：λ
为定值．
0,2
【答案】（1） ；（2）证明见解析
y2 2 2 2A 1

1 , y1 , A
y
22 , y
y3
2 , A3 , y
y4
2 3
, A4 , y4
【解析】（1）设 2 2 2 ，
y2 y21
A OA 90 OA OA 0
2 y y
1 2
0
1 2 1 2 4 y y 0∵ ，∴ ，即 2 2 ，∴ 1 2 ，
y y y1 y2
2
1 2 2 x
y
1
y 1 y 2 2 A A
直线 1 2 的方程为： 2 2 ，
y 2 x y1 y 2 y1y2
y y y y x3 0,2整理可得， 1 2 1 2 ，令 y 0

，则 2 ，
0,2
即 A3横坐标的取值范围 ；
y2 y2
1 2
G 2 2 ,
y1 y 2
3 3 A y1 y 2 AOA 3 ,0
（2） 1 2 的重心为 ， 2 ，
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y1 y2
3 2 y yk 1 2 2 y2 y2 21 2 y1 y
2
2 3y1 y2
2 2 y1y 2 2 k1
∴ 3 2 ，又 y1 y2 k 2k，且 2 1，
2 y1 y2 4
2 y y2 3y y y y y2 2∴ 1 2 1 2 1 2 ，化简得， 1 y2 4y1y2 ，
A y1y2
y1y2
3 ,0 , A4 0,
| A A | λ | A A | 2 y1 y

∵ 1 2 3 4 ， 2
2
y2 y2 2 2 y y y1 y2
2 4
1 2 y1 y2 2 1 2 4
λ2 | A1A 2 |
2 2
| A 2 2 2

3 A4 | y y y y 2 y1 y
2 4
1 2 0 0 1 2
2
2 y y
y1 y2 4
∴ 1 2 y1 y
2
2 ，
y 21 y2 y1 y2
2 y2 2 21 2y1 y2 y2 y1 2y y y2 1 2 2 6y1 y2 2y 1 y2 12
y 2 2 21 y2 y1 y2 y1 y2 .
即 2 3 ，所以λ为定值．
22．已知 a 0，函数 f x x2 3alnx，g x 2ax alnx．
（1）若 f x 和 g x 的最小值相等，求 a的值；
（2）若方程 f x g x 恰有一个实根，求 a的值．
2 2 1 1
【答案】（1） a 2 3 e3 ； （2） a .
3 2
2
2
【解析】（1）因 f x x 3alnx f x 2x 3a 2x 3a，则 .
x x
f x 3a 0 x ，f x 0 3a 0 x .
2 2

f x 0, 3a
3a
则 在 上单调递减，在 , 上单调递增，
2 2

故 f x f 3a 3a 3a 3a l n .mi n 2 2 2 2
因 g x 2ax alnx g x 2a a 2ax a，则 .
x x
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g x 1 1 0 x ，g x 0 0 x .
2 2
则 g x 1 1 在 0, 上单调递减，在 , 上单调递增，
2 2
故 g x g 1 a a l n 2 .mi n 2
3 3
3a 3a 3a 1 3a 2
1 3a 2
令 l n a a l n 2 l n 2
e2 22 2 2 2
2 2
2 2 1 2 1
a 2 3 e3 .则若 f x 和 g x 2 的最小值相等， a 2 3 e3 .
3 3
（2）由 f x g x ，可得 x2 3alnx 2ax a ln x，
2
即 x 2a x ln x ，令 h x x2 2a x l n x ， x 0, .
则方程 f x g x 恰有一个实根，相当于 h x 恰有一个零点.
h x 2x 2a 2a 2则 x2 ax a .x x
h x 0 x a a
2 4a x a a
2 4a
或 （舍去）.
2 2
a a2 4a 2
令 x ，则 x0 a x 1 .
2 0
0
得 h x 在 0, x0 上单调递减，在 x0 , 上单调递增.
则 h x h x0 x20 2a x0 l n x0 a 1 x0 2 l n x0 .mi n
令m x 1 x 2 l n x，x 0, ，则m x 2 1 0，
x
得m x 在 0, 上单调递减，又m 1 0 ，则当 x0 0,1 时，m x0 0 ，
x0 1, 时，m x0 0 .
2
则当 x0 0,1 0 a a 4a 1时， 1 0 a ，
2 2
h x h x0 0 ，此时 h xmin 无零点，不合题意；
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当 x0 1时， h x 1 h 1 0 1 2a 0 a ，mi n 2
1
此时 h x 有唯一零点 1，则 a 满足条件；
2
a a2
当 x0 1, 4a时， 1 a 1 ，
2 2
h x h x 0，又 x 1 e ami n 0 0 ， 2a 1 e 2a .
2a 4a 2a 4a 2a
则 h e e 2a e 2a e 2a 2a e 0，
得 x1 e 2a , x0 ， h x1 0 .
n x 2x x x 1 2x又令 e ， , ， n x 2e 1 0 ，
2
n x 1 , 1得 在 上单调递增，又 a ，.则e2a a
1
e 2 0 .
2 2 2
h 2e2a 4e4a 2a 2e2a 2a l n 2 4e2a e2a a 4a2 l n 2 2a
8e2a 22a l n 2 2a .令m x ex x2，x 1, .
则m x ex 2x ，令 p x ex 2x，x 1, x， p x e 2 0.
得 p x 在 1, 上单调递增，则m x p x p 1 e 2 0，
得m x 在 1, 上单调递增，则m x m 1 e-1 0 .
2a 1 m 2a e2a 4a2 m 1 0 e2a又 ，则 4a2 .则
h 2e2a 2 8e2a 2a l n 2 2a 28a2 l n 2 2a 2a 14a l n 2 0 .
得 x2 x0, 2e2a 1， h x2 0 .则当 a 时， h x 有 2个零点，不合题意.2
1
综上，方程 f x g x 恰有一个实根时， a .
2
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