第九章 10.1 10.1.3
A组·素养自测
一、选择题
1．下列不是古典概型的是( )
A．从10名同学中，选出3人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小
B．同时掷两颗质地均匀的骰子，点数和大于7的概率
C．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
D．8个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
2．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
A． B．
C． D．
3．(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )
A． B．
C． D．
4.2022年北京冬奥会圆满结束，学校要求出一期有关于冬奥会的主题黑板报，小亮在书写本届冬奥会的主题“Together for a Shared Future”时，只记得Future包含的字母，忘记了正确拼写顺序，请问，小亮乱写，只有两个字母位置不对的概率是( )
A． B．
C． D．
5．(多选题)下列关于古典概型的说法中正确的是( )
A．试验中所有可能出现的样本点只有有限个
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个样本点出现的可能性相等
D．样本点的总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则P(A)＝
二、填空题
6．如图，从正方形ABCD的四个顶点及其中心O这5个点中，任取两点观察取点的情况，设事件A为“这两点的距离不大于该正方形的边长”，则事件A包含的样本点为____．
7．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为____．
8．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是____．
三、解答题
9．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，构成有序数对(x，y)，其中x为第一次取到的小球上的数字，y为第二次取到的小球上的数字．将两个红球编号为1,2，三个黄球编号为3,4,5，求下列事件的概率：
(1)A＝“第一次摸到红球”；
(2)B＝“第二次摸到红球”；
(3)AB＝“两次都摸到红球”．
10．甲、乙两组各4名同学参加学校组织的“抗日战争历史知识知多少”抢答比赛，他们答对的题目个数用茎叶图表示，如图，中间一列的数字表示答对题目个数的十位数，两边的数字表示答对题目个数的个位数．
(1)求甲组同学答对题目个数的平均数和方差；
(2)分别从甲、乙两组中各抽取一名同学，求这两名同学答对题目个数之和为20的概率．
B组·素养提升
一、选择题
1．一种计算机芯片可以正常使用的概率为0.994，则它不能正常使用的概率是( )
A．0.994 B．0.006
C．0 D．1
2．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A． B．
C． D．
3．A，B，C三人同时参加一场活动，活动前A，B，C三人都把手机放在了A的包里．活动结束后B，C两人去拿手机，发现三人手机外观看上去都一样，于是这两人每人随机拿出一部，则这两人中只有一人拿到自己手机的概率是( )
A． B．
C． D．
4．《周髀算经》中对圆周率π有“径一而周三”的记载，已知圆周率π小数点后20位数字分别为14159 26535 89793 23846．若从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字均为奇数的概率为( )
A． B．
C． D．
二、填空题
5．一袋中装有除颜色外完全相同的3个黑球和2个白球，先后两次从袋中不放回的各取一球．则第一次取出的是白球，且第二次取出的是黑球的概率为___．
6．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选1人表演节目，若选到男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有____人．
三、解答题
7．从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件．
(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
8．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18．现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6．现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有可能的结果；
②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．
1第九章 10.1 10.1.3
A组·素养自测
一、选择题
1．下列不是古典概型的是( C )
A．从10名同学中，选出3人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小
B．同时掷两颗质地均匀的骰子，点数和大于7的概率
C．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
D．8个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
[解析] C不满足等可能性．
2．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率P＝＝．故选C．
3．(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有21种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有：(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,6)，(4,6)，(4,8)，(6,8)，共7种，
故所求概率P＝＝．
故选D．
4.2022年北京冬奥会圆满结束，学校要求出一期有关于冬奥会的主题黑板报，小亮在书写本届冬奥会的主题“Together for a Shared Future”时，只记得Future包含的字母，忘记了正确拼写顺序，请问，小亮乱写，只有两个字母位置不对的概率是( C )
A． B．
C． D．
[解析] 小亮乱写，共有360种写法，其中从F，t，r，e中任选两个位置不对的有6个，从F，t，r，e中选一个，从两个u中任选一个位置不对的有8种，所以只有两个字母位置不对的有6＋8＝14种，所以小亮乱写，只有两个字母位置不对的概率是＝．故选C．
5．(多选题)下列关于古典概型的说法中正确的是( ACD )
A．试验中所有可能出现的样本点只有有限个
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个样本点出现的可能性相等
D．样本点的总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则P(A)＝
[解析] 根据古典概型的特征与公式进行判断，A、C、D正确，B不正确，故选ACD．
二、填空题
6．如图，从正方形ABCD的四个顶点及其中心O这5个点中，任取两点观察取点的情况，设事件A为“这两点的距离不大于该正方形的边长”，则事件A包含的样本点为__OC，OA，OB，OD，AB，BC，CD，DA__．
[解析] 两点距离不大于正方形的边长的线段有：OC，OA，OB，OD，AB，BC，CD，DA．
7．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为____．
[解析] 设数学书为A、B，语文书为C，则不同的排法共有(A，B，C)，(A，C，B)，(B，C，A)，(B，A，C)，(C，A，B)，(C，B，A)共6种排列方法，其中2本数学书相邻的情况有4种情况，故所求概率为P＝＝．
8．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是____．
[解析] 方法1：设3名男同学分别为A，B，C,2名女同学分别为a，b，则所有等可能事件分别为AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件分别为Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7个，故所求概率为．
方法2：同方法1，得所有等可能事件共10个，选出的2名同学中没有女同学包含的基本事件分别为AB，AC，BC，共3个，故所求概率为1－＝．
三、解答题
9．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，构成有序数对(x，y)，其中x为第一次取到的小球上的数字，y为第二次取到的小球上的数字．将两个红球编号为1,2，三个黄球编号为3,4,5，求下列事件的概率：
(1)A＝“第一次摸到红球”；
(2)B＝“第二次摸到红球”；
(3)AB＝“两次都摸到红球”．
[解析] (1)摸出球的情况如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共20种情况，其中事件A包含(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，有8种情况，故P(A)＝＝．
(2)事件B包含(1,2)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，有8种情况，所以P(B)＝＝．
(3)事件AB包含(1,2)，(2,1)，有2种情况，
所以P(AB)＝＝．
10．甲、乙两组各4名同学参加学校组织的“抗日战争历史知识知多少”抢答比赛，他们答对的题目个数用茎叶图表示，如图，中间一列的数字表示答对题目个数的十位数，两边的数字表示答对题目个数的个位数．
(1)求甲组同学答对题目个数的平均数和方差；
(2)分别从甲、乙两组中各抽取一名同学，求这两名同学答对题目个数之和为20的概率．
[解析] (1)由题图可得，甲组同学答对题目的个数分别为：8,9,11,12，
∴甲＝＝10，
s＝×[(8－10)2＋(9－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2]＝．
(2)由题图可得，乙组同学答对题目的个数分别为：8,8,9,11．分别从甲、乙两组中各抽取一名同学，设“这两名同学答对题目个数之和为20”为事件A，以(x，y)记录甲、乙两组同学答对题目的个数，基本事件有：(8,8)，(8,8)，(8,9)，(8,11)，(9,8)，(9,8)，(9,9)，(9,11)，(11,8)，(11,8)，(11,9)，(11,11)，(12,8)，(12,8)，(12,9)，(12,11)，共16个．
事件A包含的基本事件有：(9,11)，(11,9)，(12,8)，(12,8)，共4个．故P(A)＝＝．
B组·素养提升
一、选择题
1．一种计算机芯片可以正常使用的概率为0.994，则它不能正常使用的概率是( B )
A．0.994 B．0.006
C．0 D．1
[解析] 设事件A为“计算机芯片可以正常使用”，事件B为“计算机芯片不能正常使用”，则事件A与B互为对立事件，所以P(B)＝1－P(A)＝1－0.994＝0.006．
2．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( A )
A． B．
C． D．
[解析] 记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．
记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个，因此P(A)＝＝．
3．A，B，C三人同时参加一场活动，活动前A，B，C三人都把手机放在了A的包里．活动结束后B，C两人去拿手机，发现三人手机外观看上去都一样，于是这两人每人随机拿出一部，则这两人中只有一人拿到自己手机的概率是( B )
A． B．
C． D．
[解析] 设A，B，C三人的手机分别为A′，B′，C′，则B，C两人拿到的手机的可能情况为(B－A′，C－B′)，(B－A′，C－C′)，(B－B′，C－A′)，(B－B′，C－C′)，(B－C′，C－A′)，(B－C′，C－B′)，共6种．这两人中只有一人拿到自己手机的情况有(B－A′，C－C′)，(B－B′，C－A′)，共2种．故所求概率为＝，故选B．
4．《周髀算经》中对圆周率π有“径一而周三”的记载，已知圆周率π小数点后20位数字分别为14159 26535 89793 23846．若从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字均为奇数的概率为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 因为从这20个数字的前10个数字中有7个奇数，后10个数字中有5个奇数，所以从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，这两个数字均为奇数的概率为P＝＝．故选D．
二、填空题
5．一袋中装有除颜色外完全相同的3个黑球和2个白球，先后两次从袋中不放回的各取一球．则第一次取出的是白球，且第二次取出的是黑球的概率为____．
[解析] 设三个黑球编号分别为A1，A2，A3，两个白球编号分别为B1，B2，先后两次从袋中不放回的各取一球．基本情况有：
(A1A2)，(A1A3)，(A1B1)，(A1B2)，(A2A3)，(A2B1)，(A2B2)，(A3B1)，(A3B2)，(B1B2)，(A2A1)，(A3A1)，(B1A1)，(B2A1)，(A3A2)，(B1A2)，(B2A2)，(B1A3)，(B2A3)，(B2B1)，共20种；
其中，第一次取出的是白球，且第二次取出的是黑球的情况有6种；
故所求概率P＝＝．
6．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选1人表演节目，若选到男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有__120__人．
[解析] 设参加联欢会的男教师有n人，则女教师有(n＋12)人，依题意有＝，解得n＝54．因此参加联欢会的教师共有120人．
三、解答题
7．从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件．
(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
[解析] (1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本点有6个，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些样本点是等可能的．
设事件A＝“取出的两件中恰有一件次品”，所以A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}，所以n(A)＝4，
从而P(A)＝＝＝．
(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共9个样本点组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些样本点的出现是等可能的．设事件B＝“恰有一件次品”，则B＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}，所以n(B)＝4，从而P(B)＝＝．
8．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18．现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6．现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有可能的结果；
②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．
[解析] (1)抽样比为＝，所以应从甲、乙、丙这三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2．
(2)①从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛，所有可能的结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
②编号为A5，A6的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种，所以事件A发生的概率P(A)＝＝．
1
