2023年安徽省宣城市十校联盟九年级数学下学期第二次月考试卷（含解析）

2023年宣城市十校联盟九年级数学下学期第二次月考试卷
一、单选题(共10题；共40分)
1．（4分）相反数为5的数是（　　）
A．-5 B．5 C．±5 D．
2．（4分）截至2022年10月，我国基本医疗保险参保人数已超过13.6亿人，其中数据13.6亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）下面计算正确的是（　　）
A．2x2+2x2＝4x4 B．（x﹣y）2＝x2﹣y2
C．﹣x2 （﹣x）2＝x4 D．（﹣2x2）3＝﹣8x6
4．（4分）如图所示的几何体，它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）如图将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是（　　）
A．43° B．45° C．47° D．57°
6．（4分）九（2）班开展“真爱阅读”活动，该班1月～7月全班同学阅读课外书数量的折线统计图如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．从2月份到6月份阅读课外书的本数逐月下降
B．每月阅读课外书本数的众数是45本
C．每月阅读课外书本数的中位数是58本
D．九（2）班全班4月份的课外书阅读量比5月份的课外书阅读量多
7．（4分）如图，有一斜坡，坡顶B离地面的高度为30m，若坡度，则此斜坡的水平距离为（　　）
A．75m B．50m C．45m D．30m
8．（4分）按一定规律排列的单项式：第n个单项式是（　　）
A． B．
C． D．
9．（4分）A，B两地相距，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发，甲，乙两人行驶路程，与行驶时间之间的函数关系如图所示，当乙追上甲时，则乙出发的时间是（ ）．
A． B． C． D．
10．（4分）如图，在正方形中，点E在边上，连接，的垂直平分线交于点M，交于点N，连接，过点E作的垂线交于点F，连接．下列结论：①；②平分；③；④的周长等于．其中结论正确的序号有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④
二、填空题(共4题；共20分)
11．（5分）　 　．
12．（5分）如图，课间小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两张凳子之间（凳子与地面垂直），已知，，则两张凳子的高度之和为　 　.
13．（5分）如图，点D为矩形的边的中点，反比例函数的图象经过点D，交边于点E，若的面积为，则k=　 　.
14．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连结EF．给出四种情况：
①若G为BD上任意一点，则AG=EF； ②若BG=AB，则∠DAG=22.5°；
③若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形； ④若DG：BG=1：3，则S△ADG=
则其中正确的是　 　.
三、解答题(共5题；共42分)
15．（8分）解不等式组，并在数轴上表示出其解集．
16．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）
（1）请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于原点对称，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出线段OB旋转到OB2扫过图形的面积．
17．（8分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某快递公司今年九月份与十一月份的投递总件数分别为10万件和12.1万件，该公司每月的投递总件数的增长率相同．求该快递公司投递总件数的月增长率．
18．（8分）我校七年级数学兴趣小组成员们自主开展数学微项目研究.结合本阶段学内容特点，他们决定研究数的一些“神秘”性质.
探索数的神秘性质
素材 尼科马霍斯是古希腊数学家，他的著作算术入门中记载了各种数分门别类的整理成果，其中任何一个整数的立方都可以写成个连续奇数之和. 举例论证： ；；； 请你按规律写出： .
规律总结 当是奇数7时，则等号右边式子中的中间数即第4个数为 ； 当为偶数10时，则等号右边式子中的中间两个数即第5和第6个数为 .
综合应用 利用上面结论计算：.
拓展延伸 我们还发现以下规律：已知，，且，均为正整数，如果将进行如图所示的“分解”： 若且，均为不大于的正整数的分解中有奇数31，则的值为 .
19．（10分）如图，线段是南北方向的一段码头，点和点分别是码头的两端，海里，某一时刻在点处测得货船位于其北偏东75°的方向上，同时测得灯塔A位于其南偏东30°方向上，在点处测得灯塔A位于其北偏东75°方向上，已知货船位于灯塔A北偏东30°方向上，求此时货船距灯塔A的距离的长（最终结果精确到0.1海里，参考数据：，，）．
四、综合题(共4题；共48分)
20．（10分）如图，在中，，以为直径的与交于点D，与边交于点E，过点D作的垂线，垂足为F．
（1）（5分）求证：为的切线；
（2）（5分）若，，求的半径及的值．
21．（12分）某校随机抽取部分学生，对学生的学习习惯进行问卷调查.设计的问题为：“你在学习新课之前是否有预习的习惯？”答案选项为：A.很少；B.有时；C.常常；D.总是.将调查结果的数据进行了整理，绘制成部分统计图：
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）（2分）填空：　 　，　 　；“常常”对应扇形的圆心角度数为　 　.
（2）（2分）请你补全条形统计图.
（3）（4分）为了共同进步，李老师从被调查的A类和D类学生中各选出两人，再从两组中分别选取一位学生进行“一帮一”互助学习，请用列表或画树形图的方法求出所选两位同学恰好组合成功（即选择“很少”和“总是”的两人为一组）的概率.
22．（12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：
单价（元/件） 30 34 38 40 42
销量（件） 40 32 24 20 16
（1）（4分）计算这5天销售额的平均数（销售额=单价销量）
（2）（4分）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量（件）与单价（元/件）之间存在一次函数关系，求关于的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）；
（3）（4分）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（2）中的关系，且该产品的成本是20元/件．为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？
23．（14分）在中，，，是的角平分线，于点．
（1）（4分）如图1，连接，求证：是等边三角形；
（2）（4分）点是线段上的一点（不与点，重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点．请你在图2中画出完整图形，并直接写出，与之间的数量关系；
（3）（6分）如图3，点是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点．试探究，与数量之间的关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：相反数为－5.
故答案为：A.
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此解答即可.
2．【答案】B
【解析】【解答】13.6亿，
故答案为：B．
【分析】 把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数)，这种计数法叫做科学记数法。根据科学记数法的定义计算求解即可。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A、2x2+2x2＝4x2，原式计算错误，故答案为：不符合题意；
B、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，原式计算错误，故答案为：不符合题意；
C、﹣x2 （﹣x）2＝﹣x2 x2＝﹣x4，原式计算错误，故答案为：不符合题意；
D、（﹣2x2）3＝﹣8x6，原式计算正确，故答案为：符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项、完全平方公式、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方分别计算，再判断即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：从上面看，得到的图形是
故答案为：C
【分析】结合所给的几何体，再根据俯视图的定义求解即可。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过点A作AB∥CD，
∵CD∥EF，
∴CD∥EF∥AB，
∴∠1=∠α＝43， ∠β=∠2，
∵∠1+∠2=90°，
∴ ∠β=∠2=47°.
故答案为：C.
【分析】过点A作AB∥CD，由平行于同一直线的两条直线互相平行得CD∥EF∥AB，由二直线平行，同位角相等得∠1=∠α＝43， ∠β=∠2，进而结合∠1+∠2=90°，即可算出答案.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：A、从2月份到4月份阅读课外书的本数逐月下降，故此选项错误；
B、每月阅读课外书本数的众数是58本，故此选项错误；
C、每月阅读课外书本数的中位数是58本，故此选项正确；
D、九（2）班全班4月份的课外书阅读量比5月份的课外书阅读量少，故此选项错误.
故答案为：C.
【分析】由图象可得：从2月份到4月份阅读课外书的本数逐月下降，九（2）班全班4月份的课外书阅读量比5月份的课外书阅读量少，据此判断A、D；找出出现次数最多的数据即为众数，据此判断B；将阅读本数按照由小到大的顺序进行排列，找出最中间的数据即为中位数，据此判断C.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵斜坡的坡度，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据斜坡AB的坡度为1：2.5可得BC：AC=1：2.5，结合BC的值可求出AC的值.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴第n个单项式为：，
故答案为：A．
【分析】正负交替得出，根据指数均为2的倍数即可得出结论。
9．【答案】C
【解析】【解答】解：甲的速度为：，
可得与之间的函数解析式为；
设与之间的函数解析式为，根据题意得：
，
解得，
；
根据题意，得，
解得，
当乙追上甲时，则乙出发的时间为，
故答案为：C
【分析】根据题意先求出，再求出，最后计算求解即可。
10．【答案】D
【解析】【解答】解：过点C作交的延长线于点G，
∵四边形是正方形，
，，，
∴四边形是平行四边形，
，，
又，且，
，，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
，故①符合题意；
过点C作于点H，
∵垂直且平分，
，，
，
，
又，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
平分，故②符合题意；
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
又，
，故③符合题意；
，，，
，，
，
的周长为：
，故④符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用正方形的性质，结合三角形全等的判定与性质计算求解即可。
11．【答案】17
【解析】【解答】解：．
故答案为：17．
【分析】利用零指数幂及负整数指数幂的性质先计算，再计算加法即可.
12．【答案】140
【解析】【解答】解：由题意得∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
又∵∠ADC=∠CEB=90°，
AC=CB，
∴△ACD≌△CBE（AAS）
∴AD=CE=80，BE=CD=60，
∴两张凳子的高度之和为AD+BE=140
故答案为：140.
【分析】根据同角的余角相等得∠DAC=∠BCE，从而利用AAS判断出△ACD≌△CBE，根据全等三角形对应边相等得AD=CE=80，BE=CD=60，据此就和算出答案了.
13．【答案】12
【解析】【解答】解：设，则，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：12.
【分析】设，则，，根据△BDE的面积=，据此求出k值.
14．【答案】①②③④
【解析】【解答】解：连接AC交BD于O，连接CG，
∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABG=∠CBG，∠BCD=90°，
在△ABG和△CBG中
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴AG=CG，
∵GF⊥BC，GE⊥DC，
∴∠GFC=∠GEC=∠DCB=90°，
∴四边形EGFC是矩形，
∴CG=EF，
∴AG=EF，故①正确；
∵AB=BG，
∴∠BAG=∠BGA=（180°-∠ABD）=（180°-45°）=67.5°，
∴∠DAG=90°-67.5°=22.5°，故②正确；
∵点G为BD的中点，GE∥BC，
∴点E为DC的中点，
∴DE=CE，
∴△DGE是等腰直角三角形，
∴DE=GE=EC，
∵四边形CEGF是矩形，
∴四边形CEGF是正方形，故③正确；
连接AC，
∵正方形ABCD，
∴AC=BD=2AO，AC⊥BD，
在Rt△ABD中，2AB2=BD2=8，
解之：，
∴；
∵
∴，
解之：，
∴，故④正确；
∴正确结论的序号为①②③④.
故答案为：①②③④
【分析】连接CG，利用正方形的性质可证得AB=BC，∠ABG=∠CBG，∠BCD=90°，利用SAS证明△ABG≌△CBG，利用全等三角形的性质可证得AG=CG，再证明四边形EGFC是矩形，利用矩形的对角线相等，可证得CG=EF，据此可对①作出判断；利用等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠BAG的度数，即可得到∠DAG的度数，可对②作出判断；利用点G为BD的中点，GE∥BC，可证得DE=CE，可推出△DGE是等腰直角三角形，可知DE=GE=EC；再利用有一组邻边相等的矩形是正方形，可对③作出判断；连接AC，利用正方形的性质可证得AC=BD=2AO，AC⊥BD，利用勾股定理求出BD的长，可得到OA的长，再根据DG：BG=1：3，可求出DG的长，然后利用三角形的面积公式求出△ADG的面积，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
15．【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴不等式组的解集为：，
在数轴上表示如下：
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求解并在数轴上画出解集即可。
16．【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求；A1（-1，-4）B1（-4，-2）C1（-3，-5）．
（2）如图所示，△A2B2C2为所求；
∵OB=
∴线段OB旋转到OB2扫过图形的面积为=．
【解析】【分析】（1）根据关于原点对称的点坐标的特征求出点A、B、C的对应点，再连接并直接求出点坐标即可；
（2）根据旋转的性质可得点A、B、C的对应点，再连接，然后利用扇形面积公式求解即可。
17．【答案】解：设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得，
解得，（不合题意舍去）．
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%．
【解析】【分析】根据题意设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，列出方程求解即可。
18．【答案】解：素材：13+15+17+19；
规律总结：49；99，101；
综合应用：
=1+（3+5）+（7+9+11）+……+（111+113+115+117+119+121+123+125+127+129+131）
=×66×（1+131）
=4356
拓展延伸：64或216
【解析】【解答】解：素材：设，
解得：，
；
故答案为：；
规律总结：设，
解得：，
当时，，，
故答案为：49，99，101；
拓展延伸：当时，，
解得：，
此时的值为64，
当时，，
解得，
此时的值为216.
故答案为：64或216.
【分析】素材：设43=(a-2)+a+(a+2)+(a+4)，求出a的值，进而可得43的值；
规律总结：设73=(a-6)+(a-4)+(a-2)+a+(a+2)+(a+4)+(a+6)，求出a的值，据此解答；
综合应用：13+23+33+……+93+103+113=1+(3+5)+(7+9+11)+……+(111+113+115+117+119+121+123+125+127+129+131)=×66×(1+131)，计算即可；
拓展延伸：当m=2时，2n-1-1=31，求出n的值，进而可得mn的值，同理可得m=6对应的值.
19．【答案】解：在中，，
∴，
∴（海里）.
在中，.
∵，
∴，
∴，
∴.
过点作于点.
在中，，
∴海里，
∴海里=3海里
在中，，则海里.
∴（海里）．
答：此时货船距灯塔的距离约为4.7海里．
【解析】【分析】先求出 ， 再结合图形，利用锐角三角函数计算求解即可。
20．【答案】（1）证明：连接，，
∵是的直径，
∴．
∵，
∴点D是的中点．
∵点O是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴是的半径；
（2）解：连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴的半径是；
∵，，
∴，
∴，
即，
∴（负值舍去）．
在中，，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）连接OD、AD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，由等腰三角形的性质可得点D为BC的中点，进而推出OD是△ABC的中位线，得到OD∥AC，由平行线的性质可得∠ODF=∠AFD=90°，据此证明；
（2）连接DE，根据圆内接四边形的性质可得∠B+∠AED=180°，结合邻补角的性质可得∠DEC=∠B，由等腰三角形的性质可得∠B=∠C，推出EF=CF=1，则AC=AE+EF+CF=5，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△CDF∽△CAD，根据相似三角形的性质可得CD，由勾股定理可求出AD的值，然后根据三角函数的概念进行计算.
21．【答案】（1）12；36；
（2）解：选择“常常”的人数有：（人）.
补全条形统计图如图所示.
（3）解：画图如下：
一共有12种等可能的结果，其中所选两位同学恰好组合成功的有8种，
则所选两位同学恰好组合成功（即“很少”和“总是”的两人为一组）的概率是.
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：调查的总人数为人，
∴；
；
“常常”对应扇形的圆心角度数为；
故答案为：12，36，.
【分析】（1）根据百分比之和为1可求出很少、有时、总是所占的比例之和，利用对应的人数除以所占的比例可得总人数，根据很少的人数除以总人数，然后乘以100%可得a的值，同理可得b的值，利用常常所占的比例乘以360°即可得到所占扇形圆心角的度数；
（2）利用常常所占的比例乘以总人数可得对应的人数，进而可补全条形统计图；
（3）画出树状图，找出总情况数以及所选两位同学恰好组合成功的情况数，然后根据概率公式进行计算.
22．【答案】（1）解：．
（2）解：设所求一次函数关系式为，
将代入，得
解得
∴
（3）解：设利润为元，产品的单价为元/件，根据题意，得
==
∴当=35元/件时，工厂获得最大利润450元．
【解析】【分析】（1）结合表格中的数据，利用平均数的定义计算求解即可；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）利用利润公式求出函数解析式，再根据二次函数的性质计算求解即可。
23．【答案】（1）证明：如图1所示：
在中，，，
，，
平分，
，
，
于点，
，
，
是等边三角形
（2）解：如图：
；
结论：．
（3）解：结论：．
证明：如图3所示，延长至，使得，
由（1）得，，
于点，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
，
．
【解析】【解答】（2）证明：如图2所示：延长使得，连接，
，，是的角平分线，于点，
，，
又，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
．
【分析】（1）先求出DA=DB，再求出BC=BE，最后证明即可；
（2）先求出MW=DM，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（3）根据题意先求出∠H=∠2，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。