1.2 怎样判定三角形相似 初中数学九年级上册青岛版课件(共70张PPT)

(共70张PPT)
1 . 2
怎样判定三角形相似
学习目标
1、理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。
2、通过应用，培养识图能力和推理论证能力。
3、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。
复习提问
1、什么是成比例线段？
2、你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得
这两部分的比是2∶3吗？
实验与探究
(1) 如图1-4，直线 l1，l2 被平行直线 l3，l4 所截，交点分别为 A，B，C，D . 过线段AB 的中点 E，作直线l5//l4，交l2于点F. F是线段DC的中点吗 如果是，证明你的结论.
图1－ 4
要证明DF＝FC，如果能把它们放在两个全等三角形中就好办了.
过D作DG//l1，交l5于点G，过F作FH//l1，交l4于点H，由已知AE＝EB，可推出DG＝FH.再设法证明△DGF≌△FHC(AAS)，便能推出 DF＝FC.
图1－ 4
上面的结论还可以说成：直线 l1，l2 被三条平行直线 l3，l4，l5 所截，如果在l1上截得的两条线段的比等于 1∶1，那么在 l2 上截得的两条线段的比也等于1∶1，也就是说这时截得的四条线段成比例.
图1－ 4
如果 l1 被 l3，l4，l5；所截得的线段不相等，上面的结论能进一步推广吗
图1－ 4
(2) 在图中，如果再取AE 的中点 P，过点 P作直线 l6//l3 交l2于点Q，此时对应线段AP，PB，DQ，QC成比例吗 为什么
l6
Q
P
如果取EB的中点 P1，过点 P1 作直线 l1//l2，交l2于点Q1(图1-5②).你发现 l1，l2，被平行线 l3，l7，l4截得的对应线段AP1，P1B，DQ1，Q1C
成比例吗(图1-5②)
l6
Q
P
l7
Q1
P1
l6
Q
P
在图①中，由E是AB的中点，P是AE的中点，可得
AE＝EB＝AB，AP ＝PE＝AE ＝AB，
PB ＝PE ＋EB ＝AB ＋AB ＝AB .
∴ ＝ ＝.
l6
Q
P
另一方面，由 l6//l3//l5//14，利用 (1) 的结论，可知
DF＝FC，DQ＝QF，
于是 DQ＝QF＝ DC，
QC＝ QF＋FC＝DC .
∴ ＝.
∴ ＝.
l6
Q
P
l7
Q1
P1
在图②中，类似地可以得到
＝，
即AP1，P1B，DQ1，Q1C是成比例线段.
(3) 在图①中，再继续取 AP 的中点P2，或PE的中点P3，或PB的中点 P4，或 AP4的中点 P5，分别过这些点作 l3 的平行线，重复 (2)中的推理过程，
还可得到
l6
Q
P
l8
Q2
P2
l9
Q3
P3
＝ ( i ＝1，2，3，···).
(4) 一般地，如果任意两条直线11，l2，被一组平行直线l3，l4，l5 所截，交点分别是点A，B，C；D，E，F. 都有 ＝ .
(5) 在图中，利用比例的基本性质，你能得到有 ＝ ， ＝ 吗 你还可以得到哪些比例式
在本书中，把下面的命题作为第9个基本事实:
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
(6) 特别地，在△ABC中，DE//BC线段AD，AB，AE，AC成比例吗 线段AD，AB，DE，BC呢
过点A作直线 l // BC(图1－7)，则l // DE，于是 ＝ (基本事实9)
过D作DF//AC，交BC于点F(图1－8)，则 ＝ (基本事实9)
∵ DE//BC，DF//AC，
∴四边形DFCE是平行四边形.
∴ DE ＝CF.
∴ ＝ .
从而 ＝＝ .
于是，就得到基本事实9的一个推论:
推论 平行于三角形的一边，并且与其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
练 习
1. 如图，已知直线 l1//l2//l3，AB＝3 cm，BC＝5 cm，DE＝2.4 cm，求DF的长.
实验与探究
(1) 相似三角形是最简单、最常见的相似多边形你能根据相似多边形的定义说出两个怎样的三角形是相似三角形吗 怎样判定两个三角形是相似三角形呢
利用定义判定两个三角形相似太不方便了。能否适当减少其中的某些条件，建立简便一些的判定方法呢
(2) 我们知道，两个三角形有6 对元素，只要其中的3 对元素符合下面的种情况，就可以判定这两个三角形全等：
①两角及其夹边分别相等；
②两角及其中一组等角的对边分别相等；
③两边其夹角分别相等；
④三边分别相等.
在①和②两种情况中，都包含三个条件：两角相等及其中某一边分别相等，由于相似三角形对应边的长可以不相等，如果把其中一边相等的条件去掉，仅保留两角分别相等的条件，能判定这两个三角形相似吗
(3) 任意画△ABC，然后再作一个△A′B′C′，使∠A＝∠A′，∠B＝∠B′ (图1－9)，观察这两个三角形，它们的形状相同吗 怎样判定它们相似呢
如果将△A′B′C′放到 △ABC上面，使A′与A重合. A′B′落到AB上，由∠A＝∠A′，那么A′C′落到AC上. 因为∠B＝∠B′，所以 B′C′//BC，于是△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，且∠C＝∠C′，所以△ABC∽△A′B′C′.
(4) 小莹利用实验的方法探索发现了命题“两角分别相等的三角形是相似三角形”.你能在她的思路的基础上，完成这一命题的证明吗
*证明 在AB边(当AB＜A′B′时，在其延长线)上截取AD＝A′B′，过点D作DE//BC，交AC于点E.
则∠ADE ＝∠B，∠AED ＝∠C.
在△ADE和△A′B′C′中，
∵AD＝AB，∠A＝∠A′
又∵∠B＝∠B′，
∴∠ADE＝∠B′.
∴ △ADE ≌△A′B′C′(ASA)
∴ ∠AED＝∠C′，∠C＝∠C′.
由基本事实9的推论可知：
＝.
∵ AE＝A′C′，DE＝B′C′.
∴ ＝.
根据相似三角形的意义，△ABC∽△A′B′C′
于是，便得到：
相似三角形的判定定理1
两角分别相等的两个三角形相似
例 1
如图，已知点 B，D 分别是∠A的两边AC，AE 上的点，连接BE，CD，相交于点O，如果∠1＝∠2，图中有哪几对相似三角形 说明理由.
解：△DOE∽△BOC，△ABE∽△ADC.
理由是：
因为∠1＝∠2，∠DOE ＝∠BOC，
由判定定理1，
所以△DOE∽△BOC.
同理，由∠E＝∠C，∠A＝∠A，
所以 △ABE∽△ADC.
挑战自我
如图. B，C 分别是∠A两边上的任意一点. 过点B作BD⊥AC，垂足为点D. 过点C作CE⊥AB，垂足为点E. BD，CE 相交于点F. 图中共有哪几对相似三角形 说明理由.
图中的相似三角形有 6 对：△ABD∽△ACE，△ABD∽△FBE，△ABD∽△FCD，△FBE∽△ACE，△FBE∽△FCD，△ACE∽△FCD.
理由如下：
练 习
1. 在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝68°，∠B＝40°，∠A′＝68°，∠C′＝72°，△ABC和△A′B′C′是否相似 为什么
相似
2. 如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高.
(1)△ABC与△ACD相似吗 为什么
(2) 图中还有哪几对相似三角形 说明理由
观察与思考
(1) 我们知道，两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.如果把其中两边相等的条件改为：“两个三角形的两边成比例”，保留“夹角相等”的条件，这两个三角形相似吗
(2) 如图，已知△ABC作∠A′＝∠A，然后将△ABC中∠A的两边按一定的比例同时缩小(或放大)得到△A′B′C′，这时∠A与∠A′的两边的关系满足 ＝. 观察所得到的△A′B′C′，它与△ABC相似吗 怎样才能证明你的结论呢
由已知∠A＝∠A′，能仿照判定定理1的证明思路，在△ABC上截得一个与△A′B′C′全等且与△ABC相似的三角形吗
证明：如图，在AB(或它的延长线)上截取
AD ＝A′B′，过点D作DE//BC，交
AC于点E. 于是
∠B＝∠ADE 且 ＝
(基本事实9的推论).①
∵ ＝ ，②
AD ＝ A′B′，比较2两式左边和右边，
∴ .
∴ AE ＝A′C′.
∵ ∠A ＝ ∠A′，
∴ △ADE ≌ △A′B′C′( SAS)
∴ ∠ADE ＝ ∠B′，∠B ＝ ∠B′.
∴ △A′B′C′ ∽ △ABC(相似三角形的判定定理1).
于是，便得到：
相似三角形的判定定理2
两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似.
例 2
如图，AD＝3，AE＝4，BE＝5，CD＝9. △ADE与△ABC相似吗 说明理由.
△ADE∽△ABC
由 ＝ ＝，
＝ ＝，
可以得到 ＝ .
∵ ∠EAD ＝ ∠CAB，
∴ △ADE ∽ △ABC (相似三角形的判定定理2).
挑战自我
如图，ABCD，CDEF，EFGH是三个相连的正方形，连接AC，AF，AG . 你能证明∠FAC＝∠AGC 吗 试一试.
能
证明如下：
练 习
1. 选择题：如图，△ACD与△ABC相似的条件是 ( )
(A) AC∶CD ＝AB∶BC
(B) CD∶AD ＝AB∶AC
(C) AC2 ＝AD·AB
(D) CD′＝AD·DB
C
2. 在△ABC和△A′B′C′中.∠B＝∠B′，AD，A′D′分别是
△ABC，△A′B′C′的角平分线， . △ABC
与△A′B′C′相似吗 说明你的理由.
观察与思考
(1) 我们知道，三边分别相等的两个三角形全等.如果把条件“三边相等’改为“三条边成比例”，这两个三角形相似吗
(2) 如图，把△ABC 的三边按一定的比例缩小(或放大)后得到△A′B′C′，这时两个三角形三边之间的关系满足 ＝＝，观察所得到的△A′B′C′，它与△ABC相似吗 怎样才能证明你的结论呢
与证明相似三角形的判定定理 1，2 类似，如果能在△ABC中用平行于BC边的直线截得一个△ADE，使它与△A′B′C′全等，并与△ABC相似，问题就可以解决.
*证明：
如图，在 AB(或它的延长线)
上截取 AD＝A′B′ 过点D作
DE//BC，交AC于点E. 于是
＝＝
(基本事实9的推论).①
∵ ＝＝ ， ②
AD ＝ A′B′ .
∴ ＝.
比较①②图可得，
＝ ， ＝ .
∴ AE ＝ A′C′，DE ＝ B′C′，
∴ △ADE ≌ △A′B′C′(SSS)
∴ ∠A ＝∠A′.
∴ △ABC ∽ △A′B′C′
(相似三角形的判定定理2).
于是，便得到：
相似三角形的判定定理3
三边成比例的两个三角形相似.
例 3
如图，已知 . 不另外添加字母，写出图中相等的角，并说明理由.
要找出图中相等的角，先要根据已知条件，我出AB，BC，AC和AD，DE，AE 分别所在的三角形，再判定这两个三角形相似就可以找出相等的角了.
解 在△ABC与△ADE中，
∵ ，
∴△ABC ∽ △ADE.
(相似三角形的判定定理3)
∴ ∠BAC＝∠DAE，
∠ABC＝∠ADE，
∠C＝∠E.
由∠BAC＝∠DAE 还可推出∠BAD＝∠CAE.
练 习
1. 在如图所示的正方形网格中，各画有一个格点三角形.找出其中的相似三角形.
图①中的格点三角形与图③中的格点三角形相似.
2. 已知三角形三边的长分别为 4，5，6，画出与它相似
的另一个三角形，使它的一条边长为2.你能画出几种
符合要求的三角形 与同学交流.
如图 ，为了测量一座水塔的高度，在阳光下，小亮走进水塔的影子里，使自己的影子刚好被水
塔的影子遮住. 已知小亮的身高 BC＝1.6 m
此时，他的影子的长 AC＝1m，他距水塔
的底部E处11.5 m，水塔的顶部为点D.
根据以上数据，你能算出水塔的高度
DE是多少吗
例 4
解 如图，
∵∠BAC＝∠DAE，∠BCA＝∠DEA＝90°，
∴ △ABC∽△ADE
(相似三角形的判定定理1)
∴ ＝ .
∵ AC＝1m，CE＝11.5m，BC＝1.6m，
AE＝AC＋CE ＝1＋11.5＝12.5(m)，
∴ ＝
∴ DE＝20 (m) .
即水塔的高度为20m.
按照例4的方法，你会测量教室附近一根电线杆的高度吗 与同学一起试一试.
练 习
1. 如图，小亮要测量河流两岸 A，B 两点
间的距离.他先从 B处出发，沿与AB成90°角的方向向前走 50 m到C处，立一竹竿，然后继续按这个方向朝前走 10 m到D处转90°，沿DE方向再到E处，使A(目标)，C (竹竿)与E在同一条直线上，量得 DE＝17m，利用以上数据，他是怎样求出A，B两点间距离的呢
本课结束
This lesson is over
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