2.1 锐角三角比 初中数学九年级上册青岛版课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
第2章
解直角三角形
2 . 1
锐角三角比
学习目标
1. 经历锐角三角比的概念的探究.
2. 正确理解三角比符号的含义，掌握锐角三角比的
表示方法.
3. 能根据定义求锐角的三角比.
实验与探究
(1)有一块长2.00 m的平滑木板AB，小亮将它的一端B架高1m，另一端A放在平地上(图2-1)，在木板上分别取点 B1，B2，B3，B4，分别量得它们到A点的距离 AB1，AB2，AB3，AB4，以及它们距地面的高度 B1C1，B2C2，B3C3，B4C4，数据如下表所示:
木板上的点 到A点的距离/m 距地面的高度/m
B1 1.50 0.75
B2 1.20 0.60
B3 1.00 0.50
B4 0.80 0.40
利用上述数据，分别计算比值，，，，，你有什么发现
(2) 如图①，∠A是锐角，在∠A的一边上任意取两个点B，B′，经过这两个点分别向∠A的另一边作垂线，垂足分别为点C，C′，由(1)你猜测
比值 与 相等吗 能证明你的
结论是正确的吗
因为∠A＝∠A′，∠BCA＝∠B′C′A＝90°，
所以 Rt△ABC∽Rt△AB′C′，
因此 ＝ .
(3) 如果设比值 ＝ k，由 (2)你发现当锐角A的大小确定后，k的大小与点B′在AB边上的位置有关吗
无关
(4) 如图②，以4为端点，在锐角A的内部(或外部)作一条射线在这条射线上取点B′′，使AB′′＝AB，这样又得到了一个锐角∠B′′AC过B′′作 B′′C′′⊥AC，垂足为点C′′. 比值 与k相等吗 为什么 由此你得到怎样的结论
对于确定的锐角A来说，比值k与点B在AB边上的位置无关，只与锐角A的大小有关.
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≠k，假设 ＝ ，由AB′′＝AB′，可得B′′C′′ ＝ B′C′. 因为∠AC′B′ ＝ ∠AC′′B′′ ＝ 90°，于是Rt△AB′C′ ≌ Rt△AB′′C′′，则∠B′AC′＝ ∠B′′AC′′但这与∠B′AC′ ≠ ∠B′′AC′′矛盾.
由上面的探索，我们可以利用 Rt△ABC (图2－3)把比值k记作 ，当锐角A的大小确定后，不论以∠A 为锐角的直角三角形的大小如何，这个比值也就随之确定，
我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine)，记作sinA，即
sinA＝
类似地，当锐角A的大小确定后，比值和比值也随之确定. 我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦 (cosine )，记作cosA，即
cosA＝
把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切 (tangent)，记作tan A，即
tanA＝
锐角A的正弦、余弦、正切统称锐角A的三角比.
tanA＝
cosA＝
sinA＝
小资料
在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果用a，b分别表示∠A的对边和邻边，c 表示斜边.那么sinA＝，cosA＝，tanA＝ .
sinA，cosA，tanA 分别是一个完整的记号.当角只用一个大写字母或小写字母表示时，习惯上在记号中省去角的符号“∠”，不能理解成 sin·A，cos·A，tan·A.
在图中，把∠A的对边记作a，∠B的对边记作b，∠C的对边记作c，你能分别用a，b，c表示∠A和∠B的正弦、余弦和正切吗
例 1
如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，a＝2，b＝4. 求∠A的正弦、余弦、正切的值.
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
∵ a＝2，b＝4，
∴ c＝＝＝ 2.
sinA＝，
cosA＝ ＝ ，
tanA＝＝ .
练 习
1. 如果Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′，∠C ＝ ∠C′ ＝ 90°，
sinA 等于sinA′ 吗 为什么 cosA 与cosA′ 呢
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝3，a＝2，
求∠A的正弦、余弦、正切的值.
习题 2.1
复习与巩固
l. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件求出 ∠A和∠B的正弦、余弦的值：
(1) a＝1，b＝；
(2) b＝，c＝4.
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，求cosB 和
tanA 的值.
3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，sinA＝，求
cosA和tanB的值.
拓展与延伸
4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，点D，E
在BC上，BD＝5，DE＝2，EC＝3.
设∠ABC＝α ，∠ADC＝ β ，∠AEC＝ γ ，
求tanα ，cosβ ，sinγ 的值.
5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，求AC∶BC∶AB
的值.
探索与创新
6. 已知等腰三角形中，两边的长分别为 10 cm和16 cm，
求它的底角的正弦、余弦和正切的值.
本课结束
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