2.2 30°，45°，60°角的三角比 初中数学九年级上册青岛版课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
第2章
解直角三角形
2 . 2
30°，45°，60° 角的三角比
学习目标
1. 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，
并能根据这些值说出对应锐角度数；
2. 能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的
运算式.
新课导入
在一副三角尺中，除了直角以外，还含有30°，45°，60°的锐角，怎样求出这些锐角的三角比呢
实验与探究
(1)要想求出 45°角的正弦、余弦和正切的值，可以考察含 45°锐角的直角三角形.
含 45°角的直角三角形是等腰直角三角形，利用已有的知识，如果已知它的一条直角边，另外两边都可求出，进而可求出45°角的三角比.
作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°(图2－5).
设a＝1，那么b＝1.
由勾股定理，c＝ ＝ ＝.
于是 sin45° ＝＝ ＝；
cos45° ＝＝ ＝；
tan45° ＝＝ ＝1.
(2) 怎样才能求出30°角的各三角比的值呢
含30°角的直角三角形中，目前还不能直接找到三条边之间的关系，能把问题转化为等边三角形吗
取两个含 30°角的大小相等的三角尺，按图 2－6 的方式拼在一起，得到的△ABC是怎样的三角形 为什么
因为∠A＝∠B＝60°，
所以△ABC是等边三角形，且CD是AB边上的高，AD＝BD.
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠ACD＝30°.
设 AC＝1，那么AD＝AB ＝ ，
CD ＝ ＝ ＝ .
于是 sin30° ＝＝ ÷1 ＝；
cos30° ＝＝÷1＝；
tan30° ＝＝ ÷ ＝ × ＝ ＝ .
(3) 利用图2－6，你会求出60°角的正弦、余弦和正切的值吗 与同学交流.
观察与思考
把30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切的值填入下表：
∠α 三角比 30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα
从填写的表格中，你发现了哪些规律 与同学交流.
sinA＝cos(90°－∠A)；
一个锐角的正弦值等于这个角余角的余弦值.
cosA＝sin(90°－∠A)；
一个锐角的余弦值等于这个角余角的正弦值.
tanA·tan(90°－∠A) ＝1.
一个锐角的正切值与这个角余角的正切值互为倒数.
加油站
当A，B都是锐角时，如果 sinA ＝ sinB 或 cosA ＝ cosB 或 tanA ＝ tanB，那么A ＝ B.利用这个结论，知道一个锐角的三角比，可以反过来求这个锐角.
例 1
求下列各式的值：
sin 30°· cos 45°；
(2) tan 45°－ cos 60°.
＝ × ＝
＝1 － ＝
例 2
在Rt△ABC中，已知sinA＝ ，求锐角A的度数.
因为A是锐角，并且 sinA ＝ ，由于sin60° ＝ ，所以∠A ＝ 60°.
挑战自我
如图，作等腰直角三角形ABC，∠C＝ 90°延长边CA到D，使AD ＝ AB，连接DB你能利用图求出22.5°角的正切的值吗 试一试.
能
练 习
1. 求下列各式的值:
(1) sin30° ＋ cos 60°； (2) tan 30°· tan 60°；
(3) 2sin 60° － tan 30°；
(4) sin 45°·cos 45°＋tan 45°.
2. 已知α是锐角. 当α ＝______时，tan α ＝1，这时
cos α ＝________.
45°
习题 2.2
复习与巩固
1. 求下列各式的值：
(1) sin 60°－3tan30°＋2cos 45° ；
(2) tan 60°＋9tan 30°－tan 45°＋sin 30°；
(3) cos 60°＋sin45°＋tan30° · cos 30° ；
(4) sin 60°·cos 60°＋sin 45°·cos 45°－sin30·cos30°
2. 求下列各式中锐角A的值：
(1) cosA ＝ ；
(2) cosA ＝；
(3) tanA ＝；
(4) sinA ＝.
3. 已知α是锐角.当α ＝ ________时，cos α ＝ ，
这时 tan α ＝_________.
30°
拓展与延伸
4. 在Rt△ABC中，∠C ＝ 90°，a ＝ 5，b ＝ 15，
求∠A，∠B的度数.
探索与创新
5. 利用类似于本节“挑战自我”中的方法，构造一个图
形，然后利用这个图形求15°及75°角的正切的值.
解：如图所示，在Rt△ABC中∠ABC＝30°，∠C＝90°，延长CB到点D，使 BD＝AB，连接AD.
本课结束
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