2.4 解直角三角形 -初中数学九年级上册青岛版课件(共39张PPT)

(共39张PPT)
第2章
解直角三角形
2 . 4
解直角三角形
观察与思考
(1) 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别是a，b，c. 除直角 C已知外，你会用含有这些字母的等式把其他5个元素之间的关系表示出来吗 与同学交流.
①角之间的关系： ∠A＋∠B ＝ 90°；
② 边之间的关系：a2＋b2＝ c2；
③角与边之间的关系：sinA ＝，cosA＝ ，tanA＝ .
(2) 观察上面的三组等式，你发现在直角三角形中，除直角以外，至少知道几个元素就可以求出其他的未知元素
除直角以外，如果再知道直角三角形的两个元素 (至少一个是边)，就可以求其他的元素了.
由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.
例 1
在 Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a＝17.5，c＝62.5. 解这个直角三角形.
这是已知直角三角形的斜边和一条直角边解直角三角形的问题.
解 ：∵a2＋b2＝c2，
∴ b＝＝ ＝ 60.
由sin A ＝ ＝ ＝0.28，得∠A≈16°15′37′′.
∴∠B＝90°－∠A
＝90°－16°15′37′′
＝ 73°44′23′′.
想一想，例1还有其他解法吗
如果已知直角三角形的两条直角边，如何解直角三角形呢 与同学交流.
方法：如果已知直角三角形的两条直角边，那么解直角三角形时，可以先根据勾股定理求出斜边，然后利用正弦或余弦或正切求出一个锐角的度数，再利用直角三角形中两锐角互余求出另一个锐角的度数.
例 2
在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，c＝128，∠B＝52°.解这个直角三角形(边长精确到0.01).
解：在Rt△ABC中，由∠C＝90°，∠B＝52°，得
∠A＝90°－∠B＝90°－52°＝38°.
由 sinB＝，得b＝c sinB＝128 sin 52°≈100.87；
cosB＝ ，得a＝c cosB＝128 cos 52°≈78.80.
想一想，如果已知直角三角形的一条直角边和一个锐角，如何解直角三角形呢
如果已知直角三角形的一条直角边和一个锐角，那么可以先利用两锐角互余求出另一个锐角的度数，然后利用正切求出另一条直角边，再利用正弦或余弦或勾股定理求出斜边。
由例1和例2，你能总结一下已知直角三角形的两边或已知直角三角形的一边及一个锐角解直角三角形的思路吗
练 习
1. 在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a＝12，b＝24，解
这个直角三角形.
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)已知 c＝15，∠B＝60，求a；
(2)已知∠A＝35°，a＝24，求b，c.
例 3
如图2－9，在△ABC中，已知∠A ＝60°，∠B＝45°，AC＝20，求AB的长.
△ABC不是直角三角形，怎么办
作AB边上的高，可把问题转化为解直角三角形的问题.
解 过点C作CD⊥AB，垂足为点D.
在Rt△ACD中，AC＝20，∠A＝60°.
由 sinA＝，得
CD＝AC sinA＝20 sin60°
＝ 20 × ＝ 10.
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由 cosA ＝ ，得
AD＝AC cosA＝20 cos60°＝ 20 × ＝ 10.
在Rt△BCD中，
由∠B＝45°，CD＝10，得
BD＝CD＝10.
所以 AB＝AD＋DB＝10＋10.
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挑战自我
在图2－9中，∠B＝45°，BC＝2，试用含∠A的三角比的式子表示AB的长.
如图，过点 C作CD⊥AB，垂足为点 D.
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练 习
1. 如图，在 Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂
足为点D，∠B＝60°，AD＝3，求BC的长.
2. 在等腰三角形ABC中，AB ＝AC，且一腰长与底边的
比是 5∶8，求 sinB，cosB 的值.
习题 2.4
复习与巩固
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件，解直角
三角形：
(1) AC＝ 2，BC＝6；
(2) ∠A＝22.5°，b＝12 .
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1) 已知c＝39，b＝36，求a和∠B(精确到1′)；
(2) 已知a＝22.5，b＝12，求∠A和∠B(精确到1′).
3. 在Rt△ABC中，斜边AB上的高CD＝21 m，AD＝18 cm，求∠B的度数和AB的长(边长精确到1cm，角度精确到1′).
4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，∠A＝2∠B，求
AB，BC的长.
5. 等腰三角形的顶角为120°，底边上的高为30 cm，求
这个三角形的周长.
拓展与延伸
6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝118°，BC＝4.
求AC边上的高.
解：如图，过点 B作BD⊥AC，交 AC 的延长线于点D.
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7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，∠B的平分线
BD交AC于点D，BD ＝ 16，求AB的长.
探索与创新
8. 如图，在△ABC中，∠C是锐角，BC ＝ a，AC ＝ b，
面积为S. 求证：S＝absinC .
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证明：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点 D.
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本课结束
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