3.1 圆的对称性 初中数学九年级上册青岛版课件(共67张PPT)

(共67张PPT)
第3章
对圆的进一步认识
3 . 1
圆的对称性
交流与发现
你还记得什么是圆吗 你学过哪些有关圆的知识
思考下面的问题，并与同学交流：
(1) 在一张半透明的纸片上画一个圆，标出它的圆心 O，再任意作出一条直径AB将O沿直径AB折叠，你发现了什么
(2) 再任意作一条直径，重复 (1)中的操作，还有同样的结论吗
由此得到
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴.
(3) 如图3-2，CD是⊙O的弦，AB是与CD垂直的直径，垂足为点 E. 将⊙O沿直径AB 折叠，你发现线段 CE 与DE有什么关系 与有什么关系 与有什么关系 为什么
连接OC，OD.
因为OC ＝ OD，OE ⊥ CD，
所以CE ＝ DE.
从而可知点 C与点D关于直线AB对称.
因为⊙O关于直线AB 成轴对称，
所以当⊙O沿直线AB折叠时，点 C与点D重合，与重合，与重合，
所以 ＝， ＝.
于是，便得到
*垂径定理
垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
例 1
如图3-4，以△OAB的顶点O为圆心的⊙O交AB于点 C，D，且AC＝BD.
求证：OA＝OB.
作OE⊥AB，垂足为点E .
E
E
由垂径定理，得 CE＝DE.
∵AC＝BD，
∴ AC＋CE＝BD＋DE，
即 AE＝BE.
∴ OE为线段AB的垂直平分线.
∴ OA＝OB .
例 2
1400多年前，我国隋朝时期建造的赵州石拱桥的桥拱近似于圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)为37.02 m，拱高(弧的中点到弦的距离，也叫叫弓形的高)为7.23 m求桥拱所在圆的半径(精确到0.1 m).
解：设桥拱所在圆的半径为R(m).
如图，用表示桥拱，的圆心为O. 经过点O作弦AB的垂线，垂足为点D，与交于点C.
∵ OC ⊥ AB，
∴ D是线段AB的中点，C是
的中点，CD就是拱高.
∵ AB＝37.02，CD＝7.23，
∴ AD＝AB＝×37.02 ＝ 18.51，
OD ＝ OC － CD ＝ R－7.23.
在Rt△ODA中，由勾股定理，得
OA2＝AD2＋OD2，
即 R2＝18.512＋(R－7.23)2.
解这个方程，得R≈27.3.
所以，赵州石拱桥桥拱所在圆的半径约为27.3 m.
连接OP，过点P作OP的垂线AB，交⊙O于A，B两点，则AB 就是所求作的⊙O的弦因为 OP⊥AB，根据垂径定理，得点P为AB的中点.
挑战自我
如图3-8，P为⊙O内一点，你能用尺规作⊙O的一条弦AB，使点P恰为AB的中点吗 说明你的理由.
能
练 习
1. 如图，AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB垂足为点M，
求证：∠ACD＝∠ADC.
2. 如图，⊙O是水平放置的输油管道的横
截面，其直径为 650 mm，油面的宽度
AB＝600 mm. 求油的最大深度.
F
E
解：如图，过点O作OF⊥AB 于点E，交⊙O 于点F，连接 OA，则 EF 的长就是油的最大深度.
∵OE⊥AB，
∴AE ＝ AB ＝ × 600 ＝ 300(mm)
F
E
观察与思考
任意画一个圆，思考下面的问题：
(1) 如图3-1，以圆心O为旋转中心，将这个圆旋转任意一个角度，你有什么发现 特别地，如果将⊙O绕圆心旋转 180°，直径AB 的两个端点的位置会发生什么变化
(2) 圆是中心对称图形吗 如果是，哪个点是它的对称中心
圆绕着它的圆心旋转 180°，能与原来的图形重合.所以，
圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.
如图3-9，在⊙O上任取两点A与B，连接OA，OB，得到∠AOB.
像∠AOB 这样，顶点在圆心的角叫做圆心角 .
实验与探究
(1) 如图，任意画一个⊙O，在⊙O内画圆心角∠AOB＝∠A′OB′. 连接AB，A′B′.
(2) 以点O为旋转中心，将圆心角 ∠AOB连同按逆时针方向旋转，旋转角为∠AOA′，则半径OA与OA′重合这时OB与OB′重合吗 为什么
(3) 这时，AB与A′B′重合吗 弦AB与A′B′重合吗 由此你能得到什么结论
事实上，由于∠AOA′＝∠AOB＋∠BOA′，
∠BOB′＝∠AOB′＋∠BOA′，
∠AOB ＝∠A′OB，
所以 ∠AOA′＝∠BOB′.
由于旋转后半径OA与OA′重合，于是半径OB与OB′也重合，从而点A与A′重合，点B与B′重合.
所以与重合，弦AB与A′B′重合，即 ＝ ，AB＝A′B′.
这就是说，在同圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等.
利用旋转的基本性质还可以得出：
在同圆中，如果＝，那么∠AOB＝∠A′OB′，弦AB＝A′B′；反之，如果弦AB ＝A′B′，那么∠AOB＝∠A′OB′， ＝ .
上面的结论在两个等圆中也成立.
这样，就得到下面的定理：
定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
例 3
如图，AB与DE是⊙O的两条直径，C是⊙O 上一点AC//DE. 求证：
(1) ＝；
(2) BE ＝EC.
(1) ＝；
连接OC.
∵AC//DE.
∴∠AOD＝∠OAC，∠COE ＝∠OCA.
∵ OA＝OC.
∴ ∠OAC＝∠OCA.
∴ ∠AOD＝∠COE.
∴ ＝.
(2) BE ＝EC.
证明：∵∠AOD ＝∠BOE.
∴∠BOE＝∠COE.
∴ BE＝CE
挑战自我
如图，在⊙O中，＝ 2，试判断AB与2CD的大小关系，并说明理由.
AB ＜ 2CD.
理由如下：如图，取的中点E，连接 AE，BE.
E
E
∵＝2，
∴＝ ＝.
∴AE＝BE＝CD.
在△AEB 中，AB＜AE＋BE，
∴AB＜2CD.
练 习
1. 下面的说法正确吗 为什么
如图是两个同心圆，大圆的半径 OA，OB，分别交小圆于点 A′，B′. 因为∠AOB＝∠A′OB′，所以 ＝.
解：说法不正确.
因为和不是在同圆或等圆中，虽然它们所对的圆心角相等，但是它们对应的半径不相等，因此不相等.
2. 如图，AB是⊙O的直径，AC与AD是⊙O的弦，
AC＝AD. 求证：＝.
3. 如图，点A，B，C，D在⊙ O上，＝ . AC与DB
相等吗 为什么
观察与思考
(1) 把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份圆心角的度数是多少
1°
(2) 把顶点在圆心的周角等分为 360 份时，整个被分成了多少份 每份的弧是否相等 为什么
360 份，相等.
在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等.
整个圆的叫做 1°的弧. 因此，1°的圆心角所对的弧是1°的弧；反之，1°的弧所对的圆心角是1°的角.
O
1°圆心角
1°弧
一般地，n°的圆心角所对的弧是n°的弧；反之，n°的弧所对的圆心角是n°的角.
O
1°圆心角
1°弧
A
B
n°圆心角
n°弧
由此可见，圆心角与它所对的弧有以下关系：
圆心角的度数与它所对弧的度数相等.
O
1°圆心角
1°弧
A
B
n°圆心角
n°弧
例 4
如图，OA，OC是⊙O中两条垂直的半径，D是⊙O上的一点连接AD并延长与OC的延长线相交于点B，∠B＝25°.求，的度数.
解：连接OD. 由已知∠AOB ＝ 90°，∠B ＝ 25°，
则 ∠A＝ 65°.
∵ OA ＝OD，
∴∠ODA＝∠A＝ 65°.
于是 ∠DOA＝180°－ (∠ODA＋∠A)
＝180°－ (65°＋65°)
＝50°.
∴ 的度数为50°.
∵ 的度数为90°，
∴ 的度数＝ 的度数－ 的度数
＝ 90° － 50° ＝ 40°.
例 5
如图3-15，在⊙O中，弦AB 所对的劣弧为圆的，圆的半径为2cm，求AB的长.
解：连接OA，OB.由题意可知， 的度数为
×360°＝120°，
∴ ∠AOB ＝ 120°.
作OC⊥AB，垂足为点C，由OA＝OB，
所以∠AOC＝60，AC＝BC .
在Rt△AOC中，
AC＝OA sin∠AOC＝2· sin60°＝2× ＝ .
∴ AB＝2AC＝2(cm).
练 习
1. 判断下列命题是真命题还是假命题：
(1) 度数相等的弧所对的圆心角相等；
(2) 相等的圆心角所对弧的度数相等；
(3) 如果两条弧的度数相等，那么这两条弧也相等；
(4) 长度相等的弧的度数相等.
真命题
真命题
假命题
假命题
2. 如图，在⊙O中，∠B＝ 37°，
劣弧 的度数是多少
解：如图，连接 OA.
3. 在⊙O中，已知 的度数为120°，C为 的中点.
求证：四边形OACB是菱形.
习题 3.1
复习与巩固
1. 如图，⊙O的半径OA与弦BC垂直，
AD＝2cm，BC＝8cm.求⊙O的半径.
2. 如图，P是⊙O的弦BA延长线上的一点，
BA＝AP＝2，OP＝5. 求⊙O的半径.
E
3. 如图，在⊙O中，＝ ，M与N分
别是OA与OB的中点. 求证：MC＝NC.
4. 如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是
互相垂直的两条弦，垂足为点P. 已知
AB＝CD＝8，求OP的长.
F
E
F
E
5. ⊙O上的两点A，B将圆分成度数比为1∶3的两条弧，
且点O到AB的距离等于1. 求⊙O的半径.
6. 如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，弦CE//AB，
的度数为80°.求 的度数.
拓展与延伸
7. 如图，有一块半圆形木板，AB 为半圆的直径，点O为圆心.小亮要从这块木板上截出一块三角形木板，使三角形的两个顶点分别为A，B，另一个顶点在 上.怎样截才能使三角形木板的面积最大 说明你的理由.
解：当另一个顶点在的中点处时，三角形木板的面积最大.
理由如下：三角形的底边长为 AB 的长，当另一个顶点在 的中点时，三角形的高最长，所以三角形木板的面积最大
8. 如图，AB为半圆的直径，点O是圆心，E与F分别是OA，OB的中点.过点E，F作ME⊥AB，NF⊥AB，分别与半圆交于点M，N，垂足为点E，F.
求证： ＝＝.
证明：如图，连接 OM，AM，ON.
9. 如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于E点，与的度数相等.线段AE与线段DE相等吗 证明你的结论.
探索与创新
10. 如图，在⊙O中，AB与CD是两 条
弦，OE⊥AB，OF ⊥CD，垂足分
别是点E，F，OE，OF分别叫做弦
AB，CD的弦心距.
(1)已知∠AOB＝∠COD，求证： OE＝OF；
(2) 已知OE＝OF，求证：AB＝CD，
＝，∠AOB＝∠COD；
(3) 你能用文字语言把上述结论表述出来吗
解：结论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦的弦心距中有一组量等量，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
本课结束
This lesson is over
THANKS!