3.2 确定圆的条件 -初中数学九年级上册青岛版课件(共48张PPT)

(共48张PPT)
第3章
对圆的进一步认识
3 . 2
确定圆的条件
学习目标
1. 掌握确定圆的条件.
2. 掌握三角形的外接圆、外心、内接三角形等概念，知道不同三角形外心的位置.
实验与探究
(1) 已知点A，经过点A作圆，你能作出多少个圆 这些圆的圆心和半径能确定吗
(2) 已知点A，B，经过这两点作圆，你能作出多少个圆 这此圆的圆心的位置有什么特点 这些圆的半径能确定吗
经过一点作圆，可作无数个圆；
经过两点作圆，也可作无数个圆，这些圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上 .
在这两种情况下，所作的圆的圆心和半径都不能确定.
(3) 已知A，B，C是不在同一条直线上的三个点，经过这三点能作圆吗 如果能，怎样作出过这三点的圆
到点A，B，C距离相等的点既在线段 AB的垂直平分线上，也在线段BC的垂直平分线上，因此这个点是这两条垂直平分线的交点.
已知：如图3-18，A，B，C是不在同一条直线上的三个点.
求作：⊙O，使A，B，C三点都在⊙O上.
作法：(1) 连接AB，BC；
(2) 分别作线段AB与BC的垂直平分线，
l与相交于点O；
(3) 以点O为圆心，以OA为半径作O.
A
B
C
l1
l2
O
⊙O就是所求作的经过A，B，C三点的圆.
A
B
C
l1
l2
O
在以上作图的过程中，因为A，B，C三点不在同一条直线上，从而直线l1与l2，有且只有一个交点 O，所以，圆心 O的位置唯一确定.
由于点O到A，B，C三点的距离相等，于是点B，C都在以O为圆心，OA为半径的圆上，这就是说，⊙O的半径也就确定了.
所以过A，B，C三个点能作且只能作一个圆. 这样，就得到
不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
由此可知，三角形三个顶点确定一个圆. 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
在图3-18中，如果连接AC，那么⊙O是△ABC的外接圆，或者说△ABC内接于圆O. O是△ABC的外心.
三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等.任何一个三角形都有且只有一个外心.
小资料
(4) 分别作一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，再作出每个三角形的外接圆.它们外心的位置与所在的三角形分别有怎样的关系
锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点钝角三角形的外心在三角形的外部.
练 习
1. 如图，已知直线a和直线外的两点 A，B(直线AB 与a不平行也不垂直). 求作经过点A，B的圆，并使它的圆心在直线a上.
解：如图，连接 AB，作线段 AB 的垂直平分线交直线a于点O，以点 O 为圆心，以 OA 的长为半径作圆，⊙O就是所求作的圆.
2. 如图，是一块出土的残破的古代
铜镜片.怎样测出它的半径呢
解：在镜片的弧上任取不同的三点 A，B，C，连接 AB，BC，分别作线段 AB，BC 的垂直平分线交于点 O，连接OA，则 OA 便是⊙O的半径(图略).测量 OA 的长即得古代铜镜片的半径.
实验与探究
我们知道，不在同一条直线上的三点确定一个圆.思考下面的问题：
(1) 如果 A，B，C 三点在同一条直线上，经过点 A，B，C能作出一个圆吗 试一试.
过同一条直线上的三点不能作圆.
(2) 为什么过同一条直线上的三点不能作圆 怎样证明这个结论呢 与同学交流.
已知：A，B，C是直线l上的三点.
求证：过A，B，C三点不能作圆.
证明：假设过A，B，C三点可以作圆，设这个圆的圆心为O.
因为OA＝OB＝OC，所以点O既在线段AB的直平分线l1上，也在线段 BC的垂直平分线l2上，因此点O为l1与l2的交点(图3-19 ). 这与基本事实“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.
这说明过同一条直线上的三点 A，B，C 可以作圆的假设是不对的，所以过同一条直线上的三点 A，B，C不能作圆.
这种证明方法与我们以前学过的证明方法不同，它不是由已知条件出发直接证明命题的结论，而是先提出与命题的结论相反的假设，推出矛盾，从而证明命题成立这种证明的方法叫做反证法.
当一个命题不易用直接证法证明时，可以考虑用反证法.
用反证法证明一个命题，一般有三个步骤：
(1) 否定结论——假设命题的结论不成立；
(2) 推出矛盾——从假设出发，根据已知条件，经过推理论证，得出一个与命题的条件或已知的定义、基本事实、定理等相矛盾的结果；
(3) 肯定结论——由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
例 1
证明平行线的性质定理1： 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
已知：如图3-20，直线AB//CD，直
线EF与AB，CD分别相交于点 G，H.
求证：∠1＝∠2.
证明：假设∠1≠∠2.
过点 G作直线A′B′，使∠EGB′＝∠2. 根据基本事实“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行”，可得A′B′//CD. 这样，过点G就有两条直线AB与A′B′与直线CD平行这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾.
这说明∠1头∠2的假设是不对的，所以∠1＝∠2.
例 2
证明：平行于同一条直线的两条直线平行.
已知：如图3-21，直线a//c，b//c.
求证：a//b.
证明：假设直线a，b不平行，那么它们相交，设交点为P.
由已知a//c，b//c，这样过点P就有两条直线a，b与直线c平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾.
这说明a，b不平行的假
设是不对的，所以a//b.
史海漫游
一个闪耀着智慧光辉的推理典范
关于不同重量的物体从同一高度下落的速度，古希腊学者亚里士多德 (Aristotle.公元前 384—公元前322年) 曾断言：“快慢与其重量成正比”，这就是说，重的物体要比轻的物体下落得快一些.
长期以来，这个论断一直统治着人们的头脑.直到 1590 年意大利物理学家伽利略(Galileo 1564 － 1642)才给予推翻.伽利略认为：在真空中，轻重物体应同时落地.他除了在比萨斜塔通过著名的实验来验证以外，还给出一个十分简单的推理证法，使反对者不得不接受事实：
伽利略
设物体A比B 重，按照亚里士多德的说法，A 应比 B 先落地.现在把 A与B捆在一起成为物体A＋B.一方面，因A＋B比A重，它应比A先落地；另一方面，由于A比B 落得快，B应减慢A 的下落速度，所以A＋B又应比A后落地. 这样便得到了自相矛盾的结论：A＋B既应比 A 先落地，又应比 A 后落地这个矛盾来源于亚里士多德的错误论断.因此，重的物体应当和轻的物体同时落地.
请看，1 800 多年的错误论断竟被如此简单的推理所揭露，人们不能不佩服伽利略的思想是何等敏锐，推理的威力是多么强大啊!
练 习
用反证法证明下列命题：
1. 一个三角形中不能有两个角是钝角.
2. 在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等
1. 一个三角形中不能有两个角是钝角.
证明：假设 ∠A，∠B，∠C 中有两个角是钝角.
设 90°＜∠A＜180°，90°＜∠B＜180°，
则∠A＋∠B＋∠C ＞ 180°.
这与三角形内角和定理相矛盾，这说明∠A，∠B，
∠C中能有两个角是钟角的假设是不对的，
所以∠A，∠B， ∠C 中不能有两个角是钝角.
2. 在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等
证明：假设 AC＝BC根据“等边对等角”得∠A＝∠B，
这与已知∠A≠∠B相矛盾。
这说明 AC＝BC 的假设是不对的，
所以 AC≠BC.
习题 3.2
复习与巩固
1. 判断下列命题是真命题还是假命题：
(1) 经过任意两点可以作无数个圆；
(2)任意一个三角形都有且只有一个外接圆；
(3) 任意一个圆都有且只有一个内接三角形；
(4)三角形任意两边的垂直平分线的交点是三角形的外心；
(5)三角形的外心到三角形各边的距离相等.
真命题
真命题
假命题
真命题
假命题
2. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧
，用尺规确定 的圆心.
(1)在上任取点 C(不同于点 A，B)；
(2)连接AC，作AC的垂直平分线；
(3)连接 BC，作 BC的垂直平分线与AC的垂直平分线交于点O，点O就是所在圆的圆心.如图所示.
3. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5.
求△ABC的外接圆的半径.
4. 用反证法证明：三角形的三个内角中，至少有一个内
角不小于60°.
拓展与延伸
5. 已知线段 PQ ＝ 5cm，以3 cm长的线段为半径画圆，使它经过点P和Q. 这样的圆能画几个 如果PQ＝6cm呢
解：当PQ＝5 cm时，能画2个.
当PQ＝6 cm时，能画1个.
6. 用反证法证明： 在△ABC中，如果D，E分别是边AB，
AC上的点，那么BE，CD不能互相平分.
证明：假设BE，CD能互相平分.
连接 DE(图略)，则四边形 DBCE 是平行四边形，所以DB//EC，即AB//AC，这与 AB与AC 相交于点A矛盾.
这说明 BE，CD 能互相平分的假设不对，所以 BE，CD不能互相平分
探索与创新
7. 在直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(4，4)和C(6，2).
(1)点A，B，C能确定一个圆吗 说明理由；
解：点A，B，C能确定一个圆.
理由如下：
因为点 A，B，C 不在同一条直线上，
所以能确定一个圆.
(2) 如果能，用尺规作图的方法，作出过这三点的圆的圆心P；
如图，点 P 即为过 A，B，C 三点的圆的圆心.
(3)写出圆心P的坐标，并求出⊙P的半径.
8. 用反证法证明：圆内不是直径的两条弦相交，不能互相平分.
解：已知：如图，AB，CD 是⊙O的两条弦，交点为 E.
求证：AB，CD 不互相平分
证明：假设⊙O的两条不是直径的弦AB，
CD 互相平分，那么它们的交点 E 为两弦的中点.
因为AB，CD不是直径，所以点 E 不是圆心连接OE(图略)，由垂径定理知OE⊥AB，OE⊥CD，这与基本事实“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.
所以 AB，CD 不能互相平分.
本课结束
This lesson is over
THANKS!