初中数学九年级上册青岛版3.3圆周角 课件(共82张PPT)

(共82张PPT)
第3章
对圆的进一步认识
3 . 3
圆周角
回顾旧知
请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？
顶点在圆心的角叫圆心角.
A
B
O
观察与思考
(1) 如图3-22，点A，B，C是⊙O上的三个点. 以A为端点作射线AB，AC，得到了一个怎样的角
(2) (1)中的∠BAC有什么特征
∠BAC 的顶点在圆上，并且它的两边在圆内的部分是圆的两条弦，像这样的角叫做圆周角 .
(3) 圆周角与心角有什么不同
圆周角与圆心角的区别：
①顶点的位置不同：圆周角的顶点在圆上，圆心角的顶点在圆心；
②角的两边是圆的不同元素：圆周角的两边在圆内的部分都是圆的弦，圆心角的两边在圆内的部分都是圆的半径.
(4) 观察图3-23 中的各角，其中哪些是圆周角 哪此是圆心角
④中的∠A 是圆周角，⑤中的∠A，∠B，∠C 是圆周角，⑥中的∠A 是圆周角，④中的∠BOC 是圆心角，⑤中的∠AOB 是圆心角，⑥中的∠BOC，∠AOC，∠AOB 是圆心角.
实验与探究
任意画一个⊙O，在圆上任意取三个点A，B，C，连接AB，AC.
(1) 圆心O与∠BAC有几种可能的位置关系
与同学交流.
圆心与同圆上的圆周角的位置关系有三种情况：
圆心在周角的一边上(图3-24①)，
圆心在圆周角的内部(图3-24②)，
圆心在周角的外部(图3-24 ③)
(2) 在图3-24①中，AB是⊙O的直径，连接OC，你发现∠BOC与∠BAC有什么位置关系和数量关系
在图3-24①中∠BAC是所对的圆周角，∠BOC是所对的圆心角，同时∠BOC又是等腰三角形AOC的外角.因此可以推出，此时∠BAC＝∠BOC.
(3) 能将问题(2)中的结论推广到图 3-24②③吗 由此你猜想圆周角与它所对弧上的心角有怎样的数量关系 怎样证明你的结论
在图3-24②③中作出圆心角∠BOC及过A点的直径，可利用图3-24①中的结论，发现∠BAC与∠BOC之间有同样的关系.
已知：如图3-25，A，B，C是⊙O上的任意三点.
求证： ∠BAC＝∠BOC.
证明：(1) 当圆心O在∠BAC的一条边上时(图3-25①).
在△OAB中，
∵ OA＝OB，
∴ ∠BAO＝∠OBA.
∵∠BOC＝∠BAO＋∠OBA.
∴∠BOC＝2∠BAO.
∴∠BAC＝∠BOC.
加油站
对于②③两种情况，通过作直径AD，原来的圆周角就转化为圆心 O在其一边上的两个圆周角的和或差，利用(1)的结论，就能推出 (2)和(3)的结论.
(2) 当圆心O在∠BAC的内部时，作直径AD(图3-25②).
由(1)的结论，得
∠BAD＝ ∠BOD，∠DAC ＝ ∠DOC，
∴ ∠BAD＋∠DAC＝ ∠BOD＋ ∠DOC.
∵ ∠BAD ＋ ∠DAC ＝ ∠BAC，
∠BOD＋ ∠DOC
＝ (∠BOD＋∠DOC ) ＝ ∠BOC，
∴ ∠BAC ＝ ∠BOC.
(3) 当圆心O在∠BAC的外部时(图3-25 ③)，你能给出证明吗 试一试，与同学交流.
归纳以上三种情况的结论，就得到
圆周角定理 圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半.
因为圆心角与它所对弧的度数相等，因而由圆周角定理可以直接得到
推论1
圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.
例 1
如图3-26，在⊙O中，∠AOB ＝110，点C在上求∠ACB的度数.
解：点C在AB的位置有两种情况：
(1) 当点 C在劣弧 AB 上时(图3-26①)，
∵ ∠AOB ＝ 110°，
∴ 的度数 ＝110°.
∴ 的度数＝360°－110°
＝250° .
∴∠ACB ＝ × 250° ＝ 125°.
(2) 当点C在优弧 上时(图3-26②)，
∵∠AOB＝ 110°，
∴∠ACB ＝ ∠AOB
＝ × 110°＝ 55°.
练 习
1. 如图，在⊙O中，∠AOB＝70°，OB⊥AC，垂足为点D，求∠OBC的度数.
2. 已知△ABC内接于O，AB＝AC，且的度数为130°，求∠A的度数.
观察与思考
(1) 如图3-27①，在⊙O中，∠C1，∠C2，∠C3；都是 所对的圆周角它们的大小有什么关系 由此你能得到什么结论
因为∠C1，∠C2，∠C3 的度数都等于 度数的一半，所以∠C1＝∠C2＝∠C3. 由此可得同弧上的圆周角相等.
(2) 如图3-27②，在⊙O中，如果 ＝ ，那么它们所对的圆周角∠ACB与∠DFE 相等吗 反之如果 ∠ACB与∠DFE 都是⊙O的圆周角，并且∠ACB＝∠DFE，那么 与 相等吗 由此你能得到什么结论 如果在等圆中呢
因为 ＝，∠ACB，∠DFE 的度数分别与 ， 的度数的一半相等，
所以∠ACB＝∠DFE，由此可得等弧上的圆周角相等，反之亦然.
于是，便得到圆周角定理的另一个推论:
推论2
同弧或等弧上的圆周角相等;
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
(3) 如图 3-28，在⊙O中，AB 是圆的直径，C是圆上异于A，B 的一点. ∠ACB的度数是多少 为什么
反过来，如果 ∠ACB是⊙O的圆周角，∠ACB＝ 90°，那么它所对的弦经过圆心吗 为什么
于是，得到圆周角定理的第3个推论：
推论3
直径所对的圆周角是直角;
90°的圆周角所对的弦是直径.
例 2
如图 3-29，△ABC内接于⊙O，A为劣弧的中点，∠BAC＝120°.过点B作⊙O的直径BD，连接AD. 若AD＝6，求AC的长.
解：∵ A是劣弧BC的中点，
∴ ＝ .
∴ ∠ABC＝∠ACB.
在△BAC中，∠BAC ＝120°.
∴∠ACB＝ (180°－120°) ＝30°.
∴∠D＝30°.
∵ BD是⊙O的直径，
∴∠DAB ＝90°.
在Rt△DAB中，AD＝6，
∴ AB ＝AD tanD ＝ 6×＝2.
∴ AC＝AB ＝2.
例 3
如图3-30，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径，点O为圆心. △ADC与△ABE相似吗 说明理由
解：△ADC∽△ABE.
理由如下：
∵AE为⊙O的直径
∴∠ABE＝90°.
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，∠ADC＝∠ABE.
∵∠ACD ＝∠AEB，
∴ △ADC∽△ABE.
挑战自我
如图3-31，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，C是 的中点. CD⊥AB，垂足为点 D. AE交CD于点F，连接AC.
求证：AF＝CF.
M
如图，延长 CD交 ⊙O 于点M.
M
练 习
1. 如图，在⊙O中，弦AB//CD.
(1) 与相等吗 为什么
解：相等.
∵AB//CD，∴∠5＝∠1，
∴＝.
(2) 你能找出图中所有相等的圆周角吗
解：∠1＝∠4＝∠5＝∠8，
∠2＝∠7，
∠3＝∠6，
∠ADC＝∠BCD，
∠ABC＝∠BAD.
2. 某种工件有一个凹面，凹面的横截面为半圆时为合格
品. 利用一个角尺可以检验制作的工件是否合格. 下列
四种情况中，合格的工件是________，为什么
(3)
因为只有(3)符合 90°的圆周角所对的弦是直径.
观察与思考
(1) 如图3-32，四边形ABCD的顶点与⊙O具有怎样的关系
像这样，所有顶点都在同一个圆上的多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
在图3-32 中，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆.
(2) ∠A与∠C是四边形ABCD 的一组对角，也都是⊙O的圆周角，它们在⊙O中所对的分别是哪两条弧 这两条弧有什么关系 从而∠A与∠C具有怎样的数量关系 ∠B与∠D也具有这样的数量关系吗
因为与的度数之和为360°，由圆周角定理可知，∠A＋∠C＝180°.
同理，∠B＋∠D＝180°.
于是，得到圆周角定理的第4个推论：
推论4
圆内接四边形的对角互补.
例 4
如图，四边形ABCD 内接于⊙O，已知∠BOD＝140°，求∠C的度数.
解：∵四边形ABCD内接于⊙O.
∴∠A＋∠C＝180°，
∵∠BOD＝140°，
∴ ∠A＝∠BOD
＝× 140° ＝ 70°.
∴ ∠C＝180°－∠A
＝180°－70°＝110°.
例 5
如图3-34，△ABC内接于⊙ O，D，F分别是 与 上的点＝ . 连接AF并延长交CB的延长线于点E，连接AD，CD.
求证：∠CAD ＝ ∠E.
证明：∵ BF＝DA，
∴∠BAE＝∠ACD.
∴四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC＋∠D＝180°.
∵∠ABC＋∠ABE＝180°，
∴ ∠ABE ＝∠D.
∴ △CDA∽△ABE.
∴∠CAD ＝∠E.
挑战自我
如图3-35，在圆内接四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，AB＝2，CD＝1，求BC的长.
如图，设圆心为O，延长 AD，BC 交于点E.
O
E
O
E
∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠B＝90°，
∴∠ADC＝180°－∠B＝90°.
∴∠CDE＝90°.
∵∠A＝60°，
∴∠E＝30°.
O
E
在Rt△ECD 中，∠E＝30°，CD＝1，
∴CE＝2.
在Rt△ABE 中，BE＝AB·tan 60°＝2，
∴BC＝BE－CE＝2－2.
练 习
1. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝ 98°，求∠A与∠C的度数.
解：∵∠A ＝∠BOD，∠BOD ＝ 98°，
∴∠A ＝ 49°.
∵∠A ＋ ∠C ＝ 180°，
∴∠C ＝ 180° － 49° ＝ 131°.
2. 如图，在圆内接四边形ABCD中，AC平分BD，并且 AC ⊥BD，∠BAD＝70°，求四边形ABCD其余各角的大小.
解：∵AC 平分BD，AC⊥BD，
∴AC 是弦 BD 的垂直平分线.
∴AC是⊙O 的直径.
∴∠CBA ＝ ∠CDA ＝ 90°.
∵∠BAD＋∠BCD＝180°， ∠BAD＝70°，
∴∠BCD＝110°.
习题 3.3
复习与巩固
1. 如图，A，B，C是⊙O上的三个点，∠ACB＝30°，
求∠BAO的度数.
2. 如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P.
求证： ∠P的度数等于与度数的差的一半.
3. 如图，在方格纸上有一个圆.你能用不带刻度的直尺
确定它的圆心吗 说明确定圆心的方法和理由.
解：能.
方法：作两个 90°的圆周角所对的弦，使它们交于一点，这个交点就是圆心.
理由如下：90°的圆周角所对的弦是圆的直径.
4. 如图，等边三角形ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径.
求∠ADB和∠CBD的度数.
5. 如图，C是⊙O的直径AB上一点，过点C作弦DE，使
CD＝CO. 若的度数为40°，求的度数.
6. 如图，D是△ABC的外接圆上的一点.
AD平分△ABC的外角∠EAC，
求证：BD＝CD.
拓展与延伸
7. 已知⊙O是△ABC的外接圆，且BC＝， ⊙O的半
径为1，求∠A的度数.
解：分两种情况：
8. △ABC中，已知∠B＝ 60°，AC ＝ 3，求△ABC的
外接圆的半径.
解：如图，连接 AO并延长交⊙O 于点B′，连接 B′C.
∵AB′是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°
9. 如图，在⊙O中，与的中点分别为点E与F，弦
EF与AB，AC分别相交于点P，Q. 试判断△APQ的形
状，并证明你的结论.
1
2
解：△APQ 是等腰三角形.
证明如下：
连接 AE，AF，如图所示.
1
2
∵AB与AC的中点分别为点 E与F，
∴＝ ， ＝ .
∴∠F＝∠1，∠E＝∠2.
∵∠APQ＝∠1＋∠E，
∠AQP＝∠2＋∠F
∴∠APQ＝∠AQP.
∴△APQ 是等腰三角形.
10. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E.点F是上的任意一点，延长AF交DC的延长线于点G，连接FC，FD.
求证：∠GFC＝∠AFD.
证明：如图，连接AD.
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴＝ .
∴∠ADC＝∠AFD.
∵四边形ADCF是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC＝∠GFC.
∴∠GFC＝∠AFD.
探索与创新
11. 如图，BC是半圆O的直径，D，E是的三等分点，
BD，CE的延长线交于点A.
(1) 判断△ADE与△DOE的形状；
解：△ADE 与△DOE 是等边三角形.
∵D，E 是的三等分点，
∴ ＝＝.
∴∠BOD＝∠DOE＝∠EOC＝60°.
∵OD＝OE，
∴△DOE 是等边三角形，
∴∠ODE － ∠DEO ＝ 60°.
同理∠BDO＝60°，∠CEO＝60°.
∴∠ADE＝∠AED＝60°，
∴△ADE 是等边三角形.
(2) 如果∠A的度数不变，D，E在上移动，△ADE与
△DOE的形状是否也随之改变 说明你的理由,
解：△ADE 的形状改变，
△DOE 的形状不变.
理由如下：∵∠A＝60°，
∴ D，E 在上移动时，始终有∠B ＋∠C ＝ 120°.
∵∠BDO＝∠B，∠CEO＝∠C，
∴∠B＋∠BDO＋∠C＋∠CEO＝240°.
∵∠B＋∠BDO＋∠BOD＋∠C＋∠CEO＋∠EOC＝360°，
∴∠BOD＋∠EOC＝120°，
∴∠DOE＝60°，
∴△DOE 是等边三角形.
∵∠B＋∠DEC＝180°，∠DEC＋∠AED＝180°，
∴∠AED＝∠B，
同理 ∠ADE＝∠C.
而∠B与∠C 都不一定为 60°，
∴ ∠AED 与∠ ADE 都不一定等于 60°，
∴△ADF 不一定是等边二角形
12. 正方形ABCD内接于⊙O.
(1) 如图，在上取一点E，连接DE，AE，BE.在DE上截取点F，使DF＝BE. 在图中找出与△ADF全等的三角形，并证明你的结论.
解：△ABE≌△ADF.
证明如下：
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB＝AD.
∵∠ABE＝∠ADF，BE＝DF.
∴△ABE≌△ADF(SAS)
(2) 在(1)的条件下，小莹还发现 DE，BE，AE 之间满足
下列关系：DE－BE ＝ AE. 请你说明理由
本课结束
This lesson is over
THANKS!