初中数学九年级上册青岛版3.4 直线与圆的位置关系 课件(共90张PPT)

(共90张PPT)
第3章
对圆的进一步认识
3 . 4
直线与圆的位置关系
实验与探究
(1) 我们过去曾学习过点与圆的位置关系.回忆一下，在平面内一个点 P与⊙O的位置关系有几种 如果已知⊙O的半径为r，通过怎样的数量关系可以确定点P与⊙O的位置关系
(2) 在纸上画直线l与m，使m⊥l，垂足为点P. 取一张圆形的明纸片记圆心为O. 将⊙O放在纸上，使点O落在直线m上，沿m平移⊙O(图3-36)在平移过程中，观察直线l与⊙O的公共点的个数，你有什么发现
我发现，直线l与圆的公共点的个数与⊙O与直线l的位置有关，可以有两个，可以只有一个，也可以没有公共点.
当直线l与⊙O有两个公共点时(图3-36①)，叫做直线l与⊙O相交. 直线l叫做⊙O的割线，两个公共点叫做交点.
当直线l与⊙O有唯一的公共点时 (图3-36②)，叫做直线l与⊙O 相切.
直线l叫做⊙O的切线，唯一的公共点叫做切点.
当直线l与⊙O没有公共点时 (图3-36③)，叫做直线l与⊙O相离.
(3) 如图3-36，设⊙O的半径为r，圆心O到直线1的距离 OP为d，在平移⊙O的过程中，当直线l与⊙O相交时，d与r有怎样的大小关系 当直线l与⊙O相切或相离时呢 反过来，你能根据r与d的大小关系，判定⊙O与l的位置关系吗
当直线l与⊙O相交时，d＜r；反之，当d＜r 时，直线l与⊙O相交.
当直线l与⊙O相切时， ________；反之，当d＝r 时，直线l与⊙O________.
当直线l与⊙O相离时，_______；反之，当d＞r时，直线l与⊙O________.
d＝r
相切
d＞r
相离
例 1
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4cm. 以点C为圆心，r为半径画圆. 当r分别取下列各值时，斜边AB 所在的直线与⊙C具有怎样的位置关系
(1) r＝2 cm； (2) r＝2.4 cm； (3) r＝3cm .
解：如图3-37，经过点C作CD⊥AB，垂足为点D在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝＝5.
∵ Rt△ADC ∽ Rt△ACB，
∴ ＝.
∴ CD ＝ AC BC ＝ 3 × 4 ＝ 2.4.
即圆心C到AB的距离 d ＝ 2.4 cm.
(1) 当r ＝ 2cm时，d ＞ r，直线AB与OC相离；
(2)当r＝ 2.4 cm时，d＝r，直线AB与OC相切；
(3)当r＝3 cm时，d ＜ r，直线AB与OC相交.
练 习
1. 已知⊙O的半径为5 cm，点P在直线l上，若 OP＝5 cm，
则直线l与⊙O有怎样的位置关系 画图说明.
相切或相交
2. 已知等腰直角三角形的直角边长为2 cm，以直角顶点
为圆心，以r为半径画圆.当r在什么范围内取值时，所
画的圆与斜边相交
观察与思考
(1) 过⊙O的半径OA的外端点A作与半径OA垂直的直线l(图3-38)，你发现直线l与⊙O有怎样的位置关系 为什么
因为圆心O到直线l的距离等于⊙O的半径，所以直线l与⊙O相切.
切线的判定定理
过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.
(2) 利用上面的定理，过⊙O 上任意一点，你会用三角尺画⊙O的切线吗 试一试
设P是⊙O上的任意一点，将三角尺的直角顶点与P点重合，一条直角边过圆心 O，再沿另外一条直角边画直线，该直线便是⊙O的经过点P的切线.
例 2
如图3-39，以△ABC的边AB 为直径作⊙O，如果⊙O经过AC的中点D，然后过D作DE⊥BC，垂足为点E. DE是⊙O的切线吗 说明理由.
解：DE是⊙O的切线.
理由如下：
连接OD.
∵AB是⊙O的直径，
∴ AO＝OB.
又∵AD＝DC，
∴ OD是△ABC的中位线
从而OD//BC
∵ DE⊥BC，
∴ DE⊥OD，
∴ DE是⊙O的切线.
连接OD后，把证明DE与⊙O相切转化为证明 DE⊥OD了.
在例2中，你还能由已知探索出哪些结论 说明你的理由，并与同学交流.
挑战自我
已知⊙O和圆上一点 P，你会用尺规过点 P作⊙O的切线吗 说出你的作法和作图的道理.
作法：连接 OP，过点 P作OP 的垂线l.
直线 l 就是所求作的切线.
作图的道理：过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.
练 习
1. 如图，直线AB经过⊙O上的点 C，
并且OA＝OB，CA＝ CB. AB是
⊙O的切线吗 为什么
解：AB 是⊙O的切线.
2. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，
AB为⊙O的直径，∠CAE＝∠B. AE
与⊙O相切吗 为什么
你能说出切线的判定定理的逆命题吗 这个逆命题是真命题还是假命题 如果是真命题，你能给出证明吗
逆命题是“圆的切线垂直于经过切点的半径”.
不好直接证明，用反证法能行吗
已知：如图3-40，直线l与O相切于点A.
求证：OA⊥l.
证明：如图3-40，假设l与半径 OA不
垂直. 过点O作OB⊥直线l，垂足为点B.
在l上取BA′＝ BA，且使B点在A与A′之间，连接OA'于是OB垂直平分AA′，OA＝OA′.
∵点A是切点，OA是⊙O的半径，
∴ OA′也是⊙O的半径.
这就是说，直线l与⊙O有两个公共点，即l与⊙O相交，这与已知条件“直线l与⊙O相切于点A”矛盾，所以 OA⊥l.
由此得到
切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径.
例 3
A，B，C是⊙O上的三点，经过点A，点B分别作⊙O的切线，两切线相交于点P，如果∠P ＝42°，求∠ACB的度数.
(1) 如图3-41，当点C在 上时，连接OA，OB.
∵ PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，
∴∠OAP ＝ ∠OBP ＝ 90°.
在四边形OAPB中，
∵ ∠P ＝ 42°，
∴∠AOB ＝ 360° － ∠OAP － ∠OBP － ∠P
＝ 360°－90°－90°－42° ＝ 138°.
∴ ∠ACB ＝∠AOB ＝ × 138° ＝ 69°.
在解决有关圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径.因为切点 A，B把⊙O分成了一条优弧和一条劣弧，所以本题应分两种情况讨论.
(2) 如图3-42，当点 C在劣弧 上时，在优弧 上任取一点 C′，连接AC′，BC′.
由(1)知，∠ACB ＝ 69°，
在圆内接四边形ACBC′中.
∵ ∠ACB ＋ ∠AC′B ＝ 180°.
∴∠ACB ＝ 180° － ∠ACB
＝ 180° － 69° ＝ 111°.
练 习
1. 如图，△ABC 内接于⊙O，AB 为
直径，直线 BE切⊙O于点 B.
求证：∠A＝∠CBE .
2. 如图，AB是⊙O的弦，A的延长线交过点B的⊙O的切
线于C，如果∠A＝20°，求∠C的度数.
过圆上一点能画且只能画一条圆的切线，过圆外一点能画圆的几条切线
实验与探究
(1) 在透明纸上画出O，在O 上取一点 A过点A 画出⊙O的切线，在过点A的切线上任取一点 P(图3-43).
(2) 把你画出的图形沿直线 PO 对折，你发现点A关于PO的对称点 B在⊙O上吗 由此你能发现哪些结论 与同学交流.
点A关于PO的对称点B在⊙O上.连接PB，则PB与⊙O相切，点B是切点，由于PA与PB关于PO成轴对称，可以发现经过圆外一点可以画圆的两条切线PA，PB，并且PA＝PB.
(3) 能证明你的结论是正确的吗
如图 3-43，已知P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线.
过切点A作 PO的重线，垂足为点 C，交⊙O于点B，连接PB，OA，OB (图3-44 ).
图 3－43
图 3－44
图 3－44
∵ OA＝OB，OP⊥AB，
∴ ∠AOP＝∠BOP.
∵ OP＝OP，
∴ △OPA≌ △OPB (SAS).
∵ ∠OAP＝90°，
∴ ∠OBP＝∠OAP＝90°.
∴ PB是⊙O的切线，且PA ＝ PB.
这就是说，经过圆外一点可以画圆的两条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
这样，就得到了
* 切线长定理
过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.
例 4
如图3-45，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，BC是⊙O的直径.
(1) 求证：AC//OP；
证明：连接OA，AB，AB交PO于点D.
∵PA，PB分别切O于A，B两点.
∴ OA＝OB，PA＝PB，OP ＝OP，△AOP≌△BOP
∴ ∠OPA＝∠OPB，OP平分∠APB.
∴ PD⊥AB，∠PDA＝90°
又∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝90°
∴AC // OP.
(2) 如果∠APB ＝70°，求的度数.
∵PA＝PB，
∴∠PAB ＝∠PBA.
∵∠APB ＝70°，
∴∠PBA＝ (180°－∠APB)
＝ (180° － 70°) ＝ 55°.
∵ BC是⊙O的直径，
∴ ∠CBP ＝ 90°.
∴∠ABC ＝ ∠CBP － ∠PBA
＝ 90° － 55°＝35°.
∴ 的度数＝ 2×∠ABC的度数
＝ 2 × 35°
＝ 70°.
挑战自我
如图 3-46①，是一个用来测量
球形物体直径的V型架，图3-46②是它抽象出的几何图形，其中PA与PB 是经过圆外一点 P的⊙O的两条切线，切点分别是A，B. ∠P ＝60°，如果一个乒乓球放入V型架上，量得 PA＝4.5 cm，怎样求出乒乓球的直径(精确到0.1cm)
练 习
1. 如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，OP交⊙O于点C，PA＝4cm，PC＝2 cm.求∠APB的大小.
解：如图所示，连接 OA，OB.
∵PA，PB 分别切⊙O于点A，B两点，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，OA＝OB，PA＝PB，OP＝OP，
∴△AOP≌△BOP，
∴∠OPA＝∠OPB.
设⊙O的半径为x cm，则
OP＝(x＋2)2cm.
由勾股定理，得 42＋x2＝ (x＋2)2，
解得x＝3，
∴ OP＝5 cm，
∴sin∠APO＝＝.
∴∠APO ≈ 36.87°，
∴∠APB≈36.87°×2＝73.74°.
2.如图，在直角坐标系中，OM与x轴，y轴分别相切于点A，B，已知点 B的坐标为(0，3)，求点M的坐标及点M到弦AB的距离.
解：如图所示，连接 MB，MA，过点 M作MN⊥AB 于点N·
∵⊙M与轴y轴分别相切于点 A，B，
∴ ∠MBO＝∠MAO＝90°.
N
N
又∵∠BOA＝90°，
∴四边形 AOBM 是矩形.
∵ MB＝MA ，
∴矩形 AOBM 是正方形，
∴MA＝MB＝OB＝3.
∴点M的坐标是(－3，3)，∠MBA＝45°.
∴点M 到弦AB的距离为MN＝BM·sin45°＝3×＝ .
习题 3.4
复习与巩固
1. 如图，⊙A的半径为2，点A (a，0) 在x轴上移动.
(1)当⊙A与y轴相离时，a的取值范围是_____________；
(2)当⊙A与y轴相切时，a的取值
是___________；
(3)当OA与y轴相交时，a的取值
范围是_____________.
a＞2或a＜－2
a＝±2
－2＜ a＜2
2. 如图，正方形ABCD的边长为a，AC与BD交于点E，过点E作FG//AB，分别交AD，BC于点F，G.试判断以点B为圆心，以a为半径的圆与直线AC，FG，DC 的位置关系.
3. 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
⊙O与AB相切于点D. ⊙O与AC相切吗 说明理由.
E
理由如下：如图所示，
连接 OD，过点 O作OE⊥AC 于点E.
∵△ABC 为等腰三角形，
∴∠B＝∠C.
解： ⊙O与 AC 相切.
E
又∵O是BC 的中点，
∴BO＝CO·
∵⊙O与AB相切于点D.
∴OD⊥AB.
又∵OE⊥AC，
∴ ∠BDO＝∠CEO＝90°，
∴ △BOD≌△COE，
∴OD＝OE.
∴⊙O与AC 相切.
4.如图，在⊙O中，C是 的中点，过点C作直线 CD//AB.
判定CD与⊙O的位置关系，并说明理由.
解：CD与⊙O相切.
理由如下：如图所示，连接 OC.
∵C 是AB的中点，∴ OC⊥.
∵CD//AB，∴OC⊥CD，
∴ CD与⊙O相切.
5. 如图， ⊙O的半径OC＝ 5cm，直线l⊥OC，垂足为点
H，且l交⊙O于A，B两点AB ＝ 8cm. 将直线l向下平移
多少时，l能与⊙O相切
解：如图所示，连接 OB.
∵ l ⊥ OC，
∴ AH ＝ BH.
∵ AB ＝ 8 cm，
∴ AH＝BH＝4 cm.
∵ OB ＝ 5 cm，
∴ OH ＝ ＝ 3(cm)，
∴ CH＝5 － 3＝2(cm)，
∴ 将直线l向下平移2 cm时，
l能与⊙O相切.
6. 如图，AB是⊙O的弦，OC ⊥OA交AB于点C，过点B的直线交OC的延长线于点E. 当CE ＝ BE时，直线BE与⊙O有怎样的位置关系 并说明你的理由.
解：直线 BE与⊙O相切.
理由如下：如图所示，连接 OB.
∵CE＝BE，
∴∠EBC＝∠ECB.
∵∠A＋∠ACO＝90°，∠ACO＝∠ECB，
∴∠A＋∠EBC＝90°，
∴ OA＝OB，
∴∠A＝∠ABO，
∴∠OBE＝∠ABO＋∠EBC＝90°，
∴ BE与⊙O相切.
7. 如图，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相交，∠BAD的平分线交⊙O于点C，经过点C的切线交AD于点E. CE与AD垂直吗 说明理由.
解：CE与AD垂直.
如图所示，连接 OC.
∵CE与⊙O相切，
∴OC⊥EC.
∵ OC＝OA，
∴∠BAC＝∠ACO.
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴ AD//OC，
∴ CE⊥AD.
8. 如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，C是上任一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于点D，E. 若△PDE的周长为12，求PA的长.
解：∵PA与PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB.
∴ DA，DC是⊙O的切线，
∴DA＝DC.
同理，EC＝EB.
∵△PDE 的周长为12，
∴PD＋DC＋CE＋PE＝12.
∴PD＋DA＋EB＋PE＝12，
即 PA＋PB＝12，
∴ PA＝6.
拓展与延伸
9. 如图，AB是⊙O的直径，AC为⊙O的切线，BC交⊙O于点P，点Q是AC的中点. 求证：PQ是⊙O的切线.
证明：如图所示，连接 OP，AP.
∵AB 是⊙O的直径，
∴∠APB＝90°，∠APC＝90°.
∵Q是AC 的中点，
∴AQ＝PQ，
∴∠APQ＝∠PAQ.
∵OA＝OP，
∴∠OPA＝∠OAP.
∵AC是⊙O的切线，
∴∠BAC＝90°，
∴∠OAP＋∠PAQ＝90°，
∴∠OPA＋∠APQ＝90°，
∴∠OPQ＝90°，
∴PQ是⊙O的切线.
10. 如图，可以用刻度尺和一个锐角为 30°的三角尺测量计算圆形工件的直径，你能说明其中的道理吗 如果测得AB＝5cm，那么圆形工件的直径是多少
C
解：如图，由刻度尺可知AB 的长度，连接 OA，OB，OC.
E
∵BA，BC与⊙O相切，
∴BA＝BC.
又∵BO＝BO，AO＝CO，
∴△ABO≌△CBO(SSS)，
∴∠ABO＝∠CBO.
∵∠DBE＝60°，
∴∠ABD ＝ 120°，
C
E
∴∠ABO ＝ 60°，
∴OA ＝ AB · tan∠ABO ＝ AB，
∴⊙O的直径为 2AB.
若AB＝ 5 cm，
则圆形工件的直径为
2×5＝10(cm).
C
E
11. 如图，PC是⊙O的切线，C是切点，PO交⊙O于点A，
过点A的切线交PC干点D，CD∶DP ＝ 1∶2，AD ＝
2cm.求⊙O的半径.
解：如图所示，连接 OC.
∵DC，DA 是⊙O的切线.
∴OC⊥PC，AD⊥OA，CD＝AD，
∴∠DAP＝∠OCP＝90°.
又∵∠P＝∠P，
∴ △DAP∽△OCP，
∴ ＝，
∴＝ ＝.
又∵AD ＝ 2 cm，
∴CD ＝ 2 cm ，DP ＝ 4 cm，
∴ PC＝CD＋DP＝6(cm).
设OC＝r，则OP＝2r.
在Rt△OCP 中，由勾股定理，得
OP2－OC2＝PC2，
即(2r)2－r2＝62，
解得 r＝2 (负值舍去).
∴ ⊙O的半径是 2 cm.
12. 如图，以Rt△ABC的直角边AC为直径作⊙O，交斜边AB于点D，DE切⊙O于点D，交BC于点E. 已知BC＝10，求DE的长.
解：如图所示，连接 CD.
∵AC 是⊙O的直径，
∴∠ADC ＝ 90°，
∴∠BDC ＝ 90°.
∵CE ⊥ AC，
∴CE是⊙O的切线
∵ED是⊙O的切线，
∴EC＝ED，
∴∠ECD＝∠EDC.
∵∠ECD＋∠B＝90°，
∠EDC＋∠EDB＝90°，
∴∠B＝∠EDB，
∴ED＝EB，
∴EC＝ED＝EB.
∵BC＝10，
∴DE＝×10＝5.
探索与创新
13. 如图，CD是⊙O的直径，直线AE切⊙O于点B，DC的延长线交AB于点A，∠A ＝ 20°.请根据题设，写出两个你认为正确的结论，并加以证明，
答案不唯一
14. 如图，有一张紧靠墙角 (成直角 )放置的圆桌，有一把长度略小于圆的直径的刻度尺，你能用这把刻度尺测量计算这张圆桌的直径吗 请设计两种不同的方案，并说明方案的可行性.
解：方法一：测量 AB 的长度，则圆桌的直径是 2AB.
如图(1)所示，连接 OC，OB.
∵AC，AB 是⊙O的切线，
∴OC⊥AC，OB⊥AB，
∴∠ABO＝∠ACO＝90°.
∵∠A＝90°，OC＝OB，
∴四边形 ABOC 是正方形，
∴OC＝AB，
∴圆桌的直径为 2OC＝2AB.
方法二：测量 BC 的长度，则圆桌的直径是BC.
如图(2)所示，连接 OB，OC，BC.
∵AC，AB是⊙O的切线，
∴AB ＝ AC，
∴∠ABC ＝ ∠ACB.
又∵∠A ＝ 90°，
∴∠ABC ＝ ∠ACB ＝ 45°.
∵sin∠ACB ＝ ，
∴AB ＝ BC·sin∠ACB
＝ BC·sin45°－BC.
∴圆的直径为2OC＝2AB＝2× BC
＝ BC.
15. 如图，在Rt△ABC中，∠C ＝ 90°.
(1) 利用尺规按下列要求作图，并在图中标注相应字母(不写作法，保留作图痕迹 )；
①作△ABC的外接圆，圆心为 O；
②以线段AC为一边，在AC的右侧作等
边三角形ACD；
③ 连接BD，交O于点E，连接AE.
略
(2) 在你作的图中，若AB＝4，BC ＝ 2.
① 判断AD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
② 求线段AE的长.
本课结束
This lesson is over
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