初中数学九年级上册青岛版3.6 弧长及扇形面积的计算 课件(共40张PPT)

(共40张PPT)
第3章
对圆的进一步认识
3 . 6
弧长及扇形面积的计算
学习目标
1. 经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力．
2. 了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力．
新课导入
在生产和生活实际中，有时需要求一段弧的长度或一个扇形的面积.
我们过去学习过圆的周长公式和面积公式，怎样利用这两个公式分别推导出弧长及扇形的面积的计算公式呢
交流与发现
已知圆的半径为r. 思考下面的问题：
(1) 圆周上1°弧的长度是整个圆周长的多少 怎样用圆的半径r表示1°弧的长度呢
，
1°的圆心角所对的弧长为，即.
(2) 由(1)，怎样用圆的半径r表示 n°弧的长度l呢
与同学交流
l＝.
(3) 在⊙O中，圆心角为1°的扇形的面积是整个圆面积的多少 怎样用圆的半径下表示圆心角为1°的扇形的面积呢
，
圆心角是1°的扇形面积.
(4) 由 (3)，怎样用的半径r表示圆心角为n°的扇形面积S形呢
S扇形＝.
(5) 如果已知⊙O的半径r和扇形的弧长l，怎样用l与r表示这段弧所在的扇形的面积呢
因为扇形的弧长 l＝，所以 ＝lr .于是
S扇形＝.
例 1
如图3-50 所示为一段弯形管道，其中心线是一段圆弧 AB 已知AB 的圆心为O，半径OA ＝ 60 cm，∠AOB＝108°，求这段弯管的长度(精确到0.1 cm ).
解：由图3-50可知，n＝108°，r＝60 cm，代入弧长公式，得
l＝＝ ≈113.1 (cm)
所以，这段弯管的长度约为113.1 cm.
例 2
如图3-51，一把扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB与AC的夹角为 120°，AB的长为30 cm，竹条AB上贴纸部分BD的宽为20 cm.
求扇子的一面上贴纸部
分的面积(精确到0.1 cm2).
解：由图3-51可知，扇形的圆心为A，圆心角n＝120°，AB＝30 cm，BD＝20 cm，图上贴纸部分的面积等于两个扇形面积的差.由扇形的面积公式，贴纸部分的面积为
S扇形BAC－S扇形DAE
＝－
＝ －
＝π( 302 － 102) ≈837.8 (cm2)
所以，扇子的一面上贴纸部分的面积约为837.8 cm2.
挑战自我
已知扇形AOB的半径为r，∠AOB＝90°，以弦AB为直径作半圆，得到图 3-52. 你会求图中“新月形”(阴影部分)的面积吗 试一试.
会
智趣园
计算花瓶形的面积
4个半径为1 cm 的等圆的位置如图 3-53 所示，其中阴影部分酷似一个花瓶的纵断面(不妨称其为花瓶形 ).你会计算这个花瓶形的面积吗
方法一：将图3-54左图的花瓶形沿图中的虚线剪成四块，可以拼成右图的正方形.
因此，所求的花瓶形的面积等于所拼成的正方形的面积.因为正方形的边长等于等圆的半径的2倍，即2cm，所以这个花瓶形的面积为2×2＝4(cm2).
方法二：将图3-55 左图中的花瓶形沿图中的虚线剪成4块，也可以拼成右图的正方形，你能说出这时正方形的边长2是怎样求出的吗
方法三：将图3-56 左图的花瓶形沿图中的虚线剪成 3块，也能拼成右图的正方形，想一想，这时正方形的边长是怎样算出的
图 3-57 是另外一种计算方法的示意图，请按照图示求出花瓶形的面积.
除了上述四种方法外，你还能想出求花瓶形面积的其他方法吗
练 习
1. 如图，桥拱的形状是一段圆弧，桥拱 的度数是
90°，半径 OA为 30 m.
求桥拱 的长(精确到0.1m).
2. 如图，水平放置的排水管的横截面为圆形，圆的半径为10 cm水面宽度AB为 10 cm. 求截面中有水部分的面积(精确到0.1 cm2).
习题 3.6
复习与巩固
1. 如图，公路的拐弯处有一段弯道是圆弧形，道路长 12 m，孤所对的圆心角是 81°.求这段弧的半径r (精确到 0.1 m).
2. 扇形的弧长为3π cm，半径为8 cm. 求该扇形的面积.
3. 在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝. 以BC的中点E为圆
心画弧与AD相切，切点为P，点M，N分别在AB
与CD上. 求扇形EMN的面积.
4. 如图，从一张半圆形的铁片上剪下了一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，小亮在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径. 设这条切线交大圆于点A，B，量得AB的长是a，便可求出剩余部分的面积. 请你说出小亮是如何算出来的.
解：如图所示，过点O作OE⊥AB 于点E，连接OA则AE＝AB ＝ .
E
设大圆的半径为 R，小圆的半径为 r.
在Rt△AOE中， OA2 ＝ AE2 ＋ OE2，
∵ OA ＝ R，OE ＝ r，AE ＝ ，
∴ R2＝()2＋r2，
∴ R2－ r2 ＝ ()2 － .
故剩余部分的面积为 πR2－ πr2 ＝ (R2－r2)
＝× ＝ .
E
5. 如图，正方形的边长为a，分别以各边为直径在正方形内画半圆. 求阴影部分的面积.
拓展与延伸
解：如图所示，O为AC 的中点，
连接 AB，BO，
A
B
O
C
A
B
O
C
6. 如图，大圆⊙O的半径OA是小圆⊙O1，的直径，⊙O
的半径OC交⊙O1，于点B. 求证：与的长相等.
探索与创新
7. 如图，ABCD是边长为1的正方形，其中，，
的圆心依次是A，B，C .
(1) 求点D沿三条圆弧运动到
点 G所经过的路线长；
(2) 求图中阴影部分的面积.
本课结束
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