初中数学九年级上册青岛版 4.2 用配方法解一元二次方程课件（54张PPT）

(共54张PPT)
第4章
一元二次方程
4 . 2
用配方法解一元二次方程
学习目标
1. 理解配方法；知道“配方”是一种常用的数学方法.
2.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
3.能说出用配方法解一元二次方程的基本步骤.
4.通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们的数学应用意识和能力.
温故知新
1. 如果一个数的平方等于9，则这个数是__________ ，
若一个数的平方等于7，则这个数是__________.
一个正数有几个平方根？它们具有怎样的关系？
±3
±
两个平方根，它们互为相反数.
2. 平方根的意义
3. 用字母表示完全平方公式.
a2 ±2ab ＋ b2 ＝(a±b)2
如果 x2＝a，a≥0 那么x＝±.
4. 用估算法求方程 x2－4x＋2＝0 的解，你能设法求出其精确解吗？
观察与思考
观察下面的三个一元二次方程：
(x＋5)2＝9， ①
x2＋10x＋25＝9，②
x2＋10x ＝－16. ③
(1) 根据平方根的意义，你会解方程
①吗 方程①有几个根
会.
(x＋5)2＝9，x＋5＝±3，
∴ x1＝－2，x2＝－8.
方程①有两个根.
(2)比较方程②与方程①，你发现它
们有什么联系 根据这种联系，你
会解方程②吗
把方程②的左边分解因式得到方程①.
x2＋10x＋25＝9，
即 (x＋5)2＝9，
由(1)可知 x1＝－2，x2＝－8.
(3) 比较方程②与③，你发现它们有
哪些相同和不同 对于解方程③由
此能得到什么启示
方程 ③与方程②的二次项和一次项都相同，如果在方程③的两边都加上25，便可把方程图转化成方程②.
对于方程③，小莹的解法是：
在方程③的两边都加上25，得
x2＋10x＋25＝9.
即 (x＋5)2＝9.
由平方根的意义，得 x＋5＝±3.
所以，x1＝－5＋3＝－2，
x2＝－5－3＝－8.
加油站
与一元一次方程不同，由于正数开平方时，有两个互为相反数的平方根，所以一元二次方程可以有两个实数根.通常用 x1，x2 分别表示未知数为 x 的一元二次方程的两个根,
你同意小莹的解法吗
在小莹的解法中，有两步非常关键，第一步是利用等式的基本性质两边同加 25，使方程的左边成为一个完全平方式，第二步是通过开平方，将一元二次方程转化为一元一次方程.
(4) 想一想，为什么在方程③的两边都
加上25 之后，方程③的左边就成为
一个完全平方式 与同学交流.
因为二次项的系数为1，且25等于一次项系数10的一半的平方.
当二次项的系数为 1时，可先把常数项移到方程的右边，然后在方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，就把方程的左边配成了一个完全平方式，从而可以由平方根的意义求解方程.
这种解一元二次方程的方法叫做配方法 .
例 1
解方程：
(1) x2＋4x＝12；
配方，方程两边都加4，得 x2＋4x＋4＝16，
即 (x＋2)2＝16.
由平方根的意义，得 x＋2＝±4，
所以 x1＝2，x2＝－6.
(2) x2－3x＋2 ＝0.
移项，得 x2－3x ＝－2.
配方，方程两边都加上(－ )2，得
x2－3x＋(－ )2 ＝ －2＋(－ )2，
即 (x－)2 ＝ .
由平方根的意义，得 x － ＝ ± .
所以 x1＝2，x2＝1.
挑战自我
你会用配方法解方程 (x＋1)2＋2(x＋1) ＝8 吗 你能找到几种解法
会. 方法一：(x＋1)2＋2(x＋1) ＝8，
配方，得(x＋1)2＋2(x＋1) ＋1＝9，即(x＋1＋1)2＝9.
由平方根的意义，得 x＋2＝±3.
∴ x1＝1，x2＝－5.
方法二：(x＋1)2＋2(x＋1) ＝8，
整理，得 x2＋4x＝5.
配方，得 x2＋4x＋4＝5＋4，
即 (x＋2)2＝9.
由平方根的意义，得 x＋2＝±3.
∴x1＝1，x2＝－5.
练 习
1. 在下面的横线上各填上一个数，使各式成为完全平方式：
(1) x2＋14x＋________＝ (x＋________)2；
(2) x2－20x＋________＝ (x＋________)2；
(3) x2＋x＋_______＝ (x＋_______)2；
(4) x2－0.2x＋_______＝ (x＋________)2.
49
7
100
－10
0.01
－ 0.1
2. 用配方法解下列方程：
(1) x2＋4x ＝－3；
解：配方，得 x2＋4x＋4 ＝ －3＋4，
即 (x＋2)2－1.
由平方根的意义，得 x＋2 ＝±1.
∴x1＝－1，x2 ＝－3.
(2) x2 －6x－7＝0；
解：移项，得 x2－6x＝7.
配方，得 x2－6x＋9＝7＋9，
即(x－3)2＝16.
由平方根的意义，得 x－3＝±4.
∴ x1＝7，x2＝－1.
(3) y2 ＝8 －2y；
解：移项，得 y2＋2y＝8.
配方，得 y2＋2y＋1＝8＋1，
即 ( y＋1)2＝9.
由平方根的意义，得 y＋1＝±3.
∴ y1＝2，y2＝－4.
(4) t2＋8 ＝6t .
解：移项，得 t2－6t＝－8.
配方，得 t2－6t＋9＝－8＋9，
即 (t－3)2＝1.
由平方根的意义，得 t－3＝±1.
∴ t1＝4，t2＝2.
例 2
解4.1节问题(3)中的方程
x2＋x－1＝0(精确到0.001).
移项，得 x2＋x＝1.
两边都加上()2，得
x2＋x＋()2 ＝ 1＋()2，
(x＋ )2 ＝.
由平方根的意义，得
x＋ ＝ ± .
所以 x1＝ ≈ 0.618，x2＝ － ≈ －1.618.
在4.1节问题(3)中，x为线段AC与AB的比，必须满足x ＞0. 所以x2不合题意，应当舍去，问题(3) 的答案是： 的值约为0.618.
例 3
解方程
2x2＋3x－1＝0.
如果一元二次方程的二次项系数不是1，为了便于配方，可以利用等式的基本性质，先把方程的二次项系数化为1.
解：方程两边同除以2，得：
x2＋x － ＝0.
移项，得：
x2＋x ＝.
两边都加上()2，得：
x2＋x＋()2 ＝ ＋()2 .
即 (x ＋)2 ＝.
由平方根的意义，得：
x ＋＝ ±.
所以 x1＝，
x2 ＝.
挑战自我
如果p与q 都是常数，且 p2 ≥ 4q，你会用配方法解关于x 的一元二次方程 x2＋px ＋q＝0吗 试一试
练 习
1. 用配方法解下列方程：
(1) 3x2－6x＝0；
(2) 2x2－4x－3＝0；
(3) 2x2－7x＋3＝0；
(4) 4x2－7x－2＝0.
习题 4.2
复习与巩固
1. 用配方法解下列方程：
(1) x2＋8x＝9；
解：配方，得 x2＋8x＋16 ＝ 9＋16，
即 (x＋4)2 ＝ 25.
由平方根的意义，得 x＋4 ＝ ± 5.
∴ x1＝1，x2＝－9.
(2) x2－3x ＝ 0 ；
解：配方，得 x2－3x＋ ＝ ，
即( x－ )2＝ .
由平方根的意义，得 x－ ＝ ± .
∴ x1 ＝0，x2＝3.
(3) x2＋4x ＝－3；
解：配方，得 x2＋4x＋4 ＝ －3＋4，
即 (x＋2)2 ＝ 1.
由平方根的意义，得 x＋2＝ ±1.
∴ x1＝－1，x2 ＝－3.
(4) x2－18x＋31＝0 .
解：移项、配方，得 x2－18x＋(－9)2 ＝－31＋81，
即(x－9)2 ＝ 50.
由平方根的意义，得 x－9＝±5.
∴ x1＝9 ＋ 5， x2＝9 － 5.
2. 用配方法解下列方程：
(1) x2－6x－3＝0；
(2) －x2＋4x＝3；
(3) 2x2－3x－ 2＝0；
(4) 3x2－6x－1＝0.
3. 解答下列问题：
(1) 当x为何值时，代数式 x2－15x＋45的值等于－5
解：由题意，得 x2－15x＋45 ＝ －5.
解得 x1 ＝ 10，x2 ＝ 5.
所以 当 x＝10 或 x＝5 时，
代数式 x2－15x＋45的值等于－5.
(2)当x为何值时，代数式 x2－13x＋40与x－5的值相等
解：由题意，得 x2－13x＋40 ＝ x－5.
解得 x1＝5，x2＝9.
所以当 x＝5或 x＝9 时，
代数式 x2－13x＋40与x－5 的值相等.
4. (中国古代数学问题) 有一个矩形，面积为 864平方步，
它的宽比长少 12 步. 求这个矩形的长和宽.
小资料
步是我国古代的长度单位，1步约等于1.67 米. 亩、分、平方步都是面积单位，它们的关系是：
1亩＝10分；
1分＝24平方步.
拓展与延伸
5. 用配方法证明，无论x取何实数，代数式2x2－8x＋18 的值不小于10.
6. 用配方法解方程 x2＋(x＋7)2＝112，然后借助计算器求解的近似值(精确到 0.1)，并将得出的近似值与4.1节“实验与探究”中的估计值进行比较.
7. 右图是一张月历表. 在此月历表上可以用一个矩形任意圈出2×2个位置上相邻的数 (如2，3，9，10 ). 如果圈出的 4 个数中最大数与最小数的积为 128，求这4个数中最小的数.
解：设最小的数为 x，
则最大的数为 x＋8.
根据题意，得 x(x＋8) ＝ 128.
解得 x1＝－16，x2 ＝－8.
当 x＝－16 时，不合题意，舍去，
所以 x ＝ 8.
答：这 4个数中最小的数是 8.
探索与创新
8. 关于x的二次方程 4x2＋4kx＋k2＝1的一个根是－2，
求 k 的值和另一个根.
解：把 x＝－2代入 4x2＋4kx＋k－1，得16－8k＋k2＝1.
即 k2－8k＋15＝0，
解得 k1＝3，k2＝－5.
当k＝3 时，方程为 4x2＋12x＋8＝0，
解得另一根为 x＝－1；
当 k＝5时，方程为 4x2＋20x＋24＝0.
解得另一根为 x＝－3.
本课结束
This lesson is over
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