初中数学九年级上册青岛版4.4 用因式分解法解一元二次方程 课件(共43张PPT)

(共43张PPT)
第4章
一元二次方程
4 . 4
用因式分解法解一元二次方程
学习目标
1.了解因式分解法解一元二次方程的概念，并会用分解因式法解某些一元二次方程.
2.通过因式分解法解一元二次方程的学习，树立转化的思想.
温故知新
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法
直接开平方法
配方法
x2＝a (a≥0)
(x＋m)2＝n (n≥0)
公式法
x＝ (a≠0， b2－4ac≥0).
观察与思考
对于一元二次方程 x2＋7x＝0，用配方法和公式法都可以求出它的解. 还有更简便的求解方法吗
思考下面的问题：
(1) 这个方程的两边有什么特征
方程的右边为 0. 左边可以分解成两个一次因式的积.
x2＋7x＝0
当一元二次方程的一边是0，另一边可以分解为两个一次因式的积时，可分别令两个一次因式为
0，得到两个一元一次方程.
这两个一元一次方程的根都是原一元二次方程
的根.
加油站
(2)小莹的解法是：
x2＋7x＝0
把方程左边的多项式进行因式分解，得
x(x＋7) ＝0.
从而 x＝0，或 x＋7＝0.
所以 x1＝0，x2＝－7.
你同意小莹的解法吗 这种解法的根据是什么 分别用配方法和公式法解原方程，验证用三种方法求得的根都是一致的.
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
例 1
用因式分解法解方程：
(1) 15x2＋6x＝0；
解：把方程的左边进行因式分解，得
3x(5x＋2) ＝0.
从而 x＝0，或 5x＋2＝0.
所以 x1＝0， x2＝－.
(2) 4x2－9＝0.
解：把方程的左边进行因式分解，得
(2x ＋ 3)(2x － 3) ＝ 0，
从而 2x＋3 ＝ 0，或 2x－3 ＝0.
所以 x1＝－ ，x2＝ .
运用因式分解法，通过降低未知数的次数，便把解一元二次方程的问题转化为解两个元一次方程的问题.
例 2
用因式分解法解方程：
(2x ＋1)2＝ (x－3)2.
解：移项，得 (2x＋1)2－(x－3)2＝0.
把方程的左边进行因式分解，得
(2x＋1＋x－3)(2x＋1－x＋3) ＝0.
即 (3x－2)(x＋4) ＝0.
从而 3x－2＝0，或 x＋4＝0
所以 x1＝，
x2＝－4.
对于例2，你还有其他的求解方法吗
例2 还可以根据平方根的意义求解.
根据平方根的意义，得
2x＋1＝± (x－3)，
∴ 2x＋1＝x－3，或 2x＋1＝－ (x－3)，
∴ x1＝－4，x2＝.
挑战自我
(1)对于本节开始给出的方程 x2＋7x＝0，小亮是这样解的：
把方程两边同除以x，得
x＋7 ＝ 0 .
所以 x ＝ － 7.
怎么少了一个根 你知道小亮的解法错在什么地方吗
本题中的 x可以是0，因此方程两边不能同时除以 x.
(2) 对于例2，大刚想到的解法是：
把原方程两边开平方，得
2x ＋ 1 ＝ x－3
所以 x ＝ －4.
怎么也少了一个根 你知道大刚的解法错在什么地方吗
一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，大刚的解法错在忽略了另一种情况.
练 习
1. 用因式分解法解下列方程：
(1) 3x2 ＋ x ＝ 0；
解：把方程的左边进行因式分解，得 x(3x＋1) ＝0，
从而x＝0，或 3x＋1＝0，
∴ x1＝0，x2＝－.
(2) 3y2＋2y ＝ 0；
解：把方程的左边进行因式分解，得y(y＋2) ＝ 0，
从而y ＝ 0，或 y＋2＝0，
∴ y1＝0，y2＝ － 2.
(3) 4x2 － 81 ＝ 0；
解：把方程的左边进行因式分解，得
(2x＋ 9)(2x－9) ＝ 0，
从而 2x＋9＝0，或 2x－9 ＝ 0，
∴ x1 ＝ －， x2 ＝ .
(4) 9(x＋5)2＝1.
解：原方程变形为 (x＋5)2 － ()2 ＝ 0.
把方程的左边进行因式分解，得
(x＋5＋ )(x＋5－ ) ＝ 0.
从而x＋5＋ ＝ 0，或x＋5－ ＝ 0，
∴ x1 ＝ － ， x2 ＝ － .
2. 当 x为何值时，分式没有意义
习题 4.4
复习与巩固
1. 用因式分解法解下列方程：
(1) 9x2－25＝0；
解：把方程的左边进行因式分解，得
(3x＋5)(3x－5)＝0.
从而 3x＋5＝0，或 3x－5＝0，
∴ x1 ＝ － ， x2 ＝ .
(2) 16x2＋10x＝0；
解：把方程的左边进行因式分解，得
2x(8x ＋ 5) ＝ 0.
从而 2x ＝ 0，或 8x＋5＝0，
∴ x1 ＝ 0， x2 ＝ －.
(3) 2y2－4y ＝0；
解：把方程的左边进行因式分解，得
2y(y－2)＝0
从而 2y ＝ 0，或 y－2＝ 0，
∴ y1 ＝ 0，y2＝ 2.
(4) (x－1)x＝2(x－1).
解：方程变形为(x－1)x－2(x－1)＝0.
方程左边因式分解，得
(x － 1)(x － 2) ＝ 0.
从而 x－1＝ 0，或 x－2 ＝ 0，
∴ x1 ＝ 1，x2 ＝ 2.
2. 用因式分解法解下列方程：
(1) (2x＋1)2－x2＝0；
解：把方程的左边进行因式分解，得
(2x＋1＋x)(2x＋1－x)＝0.
从而 2x＋1＋x＝0，或 2x＋1－x＝0.
∴ x1＝－，x2＝－1.
(2) 16(3x＋1)2＝9(x＋2)2；
解：方程变形为 16(3x＋1)2－9(x＋2)2＝0.
把方程的左边进行因式分解，得
[4(3x＋1)－3(x＋2)][4(3x＋1)＋3(x＋2)]＝0.
从而 4(3x＋1)－3(x＋2) ＝0，
或4(3x＋1)＋3(x＋2) ＝0，
∴ x1＝， x2＝－.
(3) 2(x＋2)2＝3(x＋2)；
解：方程变形为 2(x＋2)2－3(x＋2)＝0.
把方程的左边进行因式分解，得
(x＋2)[2(x＋2)－3]＝0.
从而 x＋2＝0，或 2(x＋2)－3＝0，
∴ x1＝ －2， x2＝－.
(4) (x－2)(2x＋1) ＝1＋2x.
解：方程变形为 (x－2)(2x＋1) －(2x＋1) ＝0.
把方程的左边进行因式分解，得
(2x＋1) (x－2 －1) ＝ 0.
从而 2x＋1＝0，或 x－2－1 ＝ 0，
∴ x1＝－，x2＝ 3.
3. 当x取何值时，代数式 (3x－2)2与2(2－3x) 的值相等
解：若代数式 (3x－2)2 与 2(2－3x) 的值相等，
则(3x－2)2 ＝ 2(2－3x)，
∴ (3x－2)2－2(2－3x)＝0，
∴(3x－2)(3x－2＋2)＝0，
从而 3x－2＝0，或 3x ＝ 0，
∴ x1＝，x2＝ 0.
即当x的值为或0时，代数式(3x－2)2与2(2－3x) 的值相等.
拓展与延伸
4. 用因式分解法解下列方程：
(1) 5x(x－2) －x＋2＝0；
解：方程变形为 5x(x－2)－(x－2) ＝ 0.
把方程的左边进行因式分解，得
(x－2)(5x－1)＝0.
从而 x－2＝0，或 5x－1＝0， ∴ x1＝ 2，x2＝.
(2) x2－ (x－3) ＝9.
解：方程变形为 x2－3－(x－3) ＝0，
∴(x＋3)(x－3)－(x－3) ＝0.
把方程的左边进行因式分解，得
(x－3)(x＋3－1) ＝0，
从而 x－3＝0，或x＋2＝0，
∴ x1＝3，x2＝－2.
5. 填空：
关于x的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根为 x1 ＝1，x2＝2，则二次三项式ax2 ＋bx＋c可分解因式为_______________________.
a(x－1)(x－2)
探索与创新
6. x为何值时，分式有意义
解：要使分式有意义，
则有 2(x－1)2－x＋1≠0，
即 2(x－1)2 －(x－1)≠0，
∴ (x－1)[2(x－1)－1]≠0，
∴ x－1≠0且 2x－3≠0，
∴ x≠1且 x≠ ，
∴当x≠1且 x≠时，分式有意义.
7. 对于一元二次方程 (2x－5)2 ＝ (x－2)2，你有几种不同
的解法 你认为哪种方法最简便
解：
方法一：由平方根的意义，得2x－5＝± (x－2)，
∴x1＝3，x2＝.
方法二：移项，得(2x－5)－(x－2)2 ＝ 0.
把方程的左边进行因式分解，得
[(2x－5)－(x－2)][(2x－5) ＋(x－2)] ＝ 0，
从而 x－3＝0，或 3x－7＝0，
∴ x1＝3，x2＝.
方法三：将原方程变形为 3x2 － 16x ＋ 21 ＝ 0，
这里 a＝3，b＝ － 16，c＝21，
∵ b2 － 4ac ＝(－16)2 － 4×3×21 ＝ 4 ＞ 0，
∴ x ＝ ＝ ，
即 x1＝3，x2＝.
方法四：将原方程变形为 3x2－16x＋21＝0.
系数化为1，得 x2－x＋7＝0.
移项、配方，得 x2－x＋()2＝ －7＋()2 ，
即(x－)2 ＝ .
由平方根的意义，得x－ ＝ ± ，
∴ x1＝3，x2＝
方法一最简便.
本课结束
This lesson is over
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