初中数学九年级上册青岛版4.6 一元二次方程根与系数的关系 课件(共40张PPT)

(共40张PPT)
第4章
一元二次方程
*4 . 6
一元二次方程根与系数的关系
学习目标
1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系.
2.灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题．
3. 提高学生综合运用基础知识分析解决较为复杂问题的
能力．
实验与探究
(1) 解下面的一元二次方程：
① x2＋3x＋2＝0， ② x2－5x＋6＝0
③ 3x2＋x－2＝0， ④ 2x2－4x＋1＝0
(2) 根据(1)中所求出的每个方程的根，分别计算两根之和与两根之积并把结果填入下表：
一元二次方程 x1 x2 x1＋x2 x1x2
① x2＋3x＋2＝0 －2 －1 －3 2
② x2－5x＋6＝0 2 3 5 6
③ 3x2＋x－2＝0 －1 － －
④ 2x2－4x＋1＝0 2
(3) 观察上表，你发现在上面的四个方程中，两根之和与两根之积的值分别与相应的方程的系数之间有怎样的关系
我发现方程①②的二次项系数为1时，一元二次方程的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项.
方程③④的二次项系数不是1时，化成二次项系数是 1的情况后，可把小亮的发现进一步推广.
(4) 由此你猜想一元二次方程 ax2＋bx＋c ＝0 的两个根 x1，x2 与方程的系数 a，b，c 之间有什么关系 能证明你的猜想是正确的吗 与同学交流.
当 b2－4ac≥0时，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个实数根是
x1 ＝ ，x2＝ .
于是，两个根的和为
x1＋x2 ＝ ＋
＝
＝－
两个根的积为
x1x2 ＝
＝
＝
所以，一元二次方程的根与系数有以下的关系：
如果一元二次方程 ax2＋bx＋c ＝0 的两个根是 x1，x2，那么
x1＋x2＝－ ， x1x2＝.
例 1
关于x的方程 3x2＋mx－4＝0有一个根是2，求另一个根及m的值.
解：设方程的另一个根为x，则由一元二次方程根与系数的关系，得
x1＋2＝－， ①
2x1＝－ . ②
由②，得 x1 ＝－ .
代入①，得 －＋ 2 ＝ －，
解得 m＝－4.
所以，方程的另一个根是－，m的值是－4.
x1＋2＝－， ①
2x1＝－ . ②
对于例1，你还有其他的解法吗
有.
把x＝2代入 3x2＋mx－4＝0，得
12＋2m－4＝0，
解得 m＝－4.
设方程的另一个根为 x1，
则 2＋x1＝－ ＝ ，
解得 x1 ＝－.
所以方程的另一个根是－，m的值是－4.
例 2
设 x1，x2 是方程 2x2＋5x＋1＝0 的两个根，求下列各式的值：
(1) (x1＋1)(x2＋1)； (2) ＋.
解：由一元二次方程根与系数的关系，得
x1＋x2＝－ ，x1x2＝.
(1) (x1＋1)(x2＋1) ＝ x1x2 ＋ () ＋ 1
＝ － ＋ 1 ＝ － 1；
(2) ＋＝ ＝(－ ) ÷() ＝ －1.
史海漫游
一元二次方程与韦达定理
人类对一元二次方程的认识和研究的历史可以追溯到四千年以前，早在公元前 18世纪，巴比伦人就在泥板上记载了这样的问题：“已知正方形的面积与边长的差为 870，求正方形的边长”.
这相当于求方程 x2－px＝q (此时p＝1，q＝870)的正根.巴比伦人是通过计算 ＋ 求得该方程的解为 30. 可以看出，该计算方法正是一元次方程求根公式的特殊情况.
到了公元 820 年左右，阿拉伯数学家花拉子米在他的名著《代数学》中，系统地讲述了解一次、二次方程的一般原理，给出了一元二次方程的一般解法，强调了判别式非负才有解. 该书在欧洲作为标准数学课本使用了几个世纪，至今被认为是近代意义下代数学的真正创始之作.
法国数学家韦达致力于代数学的研究，写过许多代数学著作. 他在 1615年出版的著作《论方程的识别与订正》中改进了三次、四次方程的解法，建立了一元二次、三次方程的根与系数的关系.后人就把方程的根与系数的关系称之为韦达定理.
练 习
1. 不解方程，说出下列一元二次方程两个根的和与积：
(1) x2－3x＋1＝0； (2) 2x2＋3x ＝0.
(1) x1＋x2＝3，x1x2＝1.
(2) x1＋x2＝－， x1x2＝0.
2. 已知方程 5y2 ＋ ky － 6 ＝ 0 的一个根是2，求它的另
一个根和k的值.
解：设方程的另一个根为 1，则由一元二次方程根与系数的关系，得
y1＋2 ＝ － ，①
2y1＝ － . ②
由②，得 y1＝ － .
代入①，得－ ＋ 2 ＝ － ，
解得 k ＝ － 7.
所以方程的另一个根是－ ， k的值是－ 7.
3. 设y1与y2是方程 2y2－4y＋1 ＝ 0 的两个实数根.不解
方程，求下列各式的值：
(1) y12 ＋ y1y2＋y22； (2) ＝ .
解：由一元二次方程根与系数的关系，得
y1 ＋ y2 ＝－ ＝ 2，y1y2 ＝ .
(1) y12 ＋ y1y2＋y22 ＝ y12 ＋ 2y1y2＋y22 －y1y2
＝ (y1＋y2)2－y1y2
＝22 －
＝4 － ＝ .
(2) ＝ ＝
＝
＝＝6.
习题 4.6
复习与巩固
1. 选择题：下列方程中两个实根的和等于2的方程是
( ).
(A) 2y2－4y＋3＝0 (B) 2y2－2y－3＝0
(C) 2x2＋4x－3＝0 (D) 2t2－4t－3＝0
D
2. 利用一元二次方程根与系数的关系，判断下列方程
后面括号内的两个数是否同为该方程的根：
(1) 2x2＋3x－2＝0，(－4，)；
解：设方程的两根为 x1，x2.
∵ －4 × ＝ －10， x1x2 ＝ ＝ －1，
∴ x1x2 ≠ －4 × ，
∴ －4， 不同为该方程的根.
(2) x2 － 6x ＋ 2 ＝ 0，(3＋，3－ ).
解：设方程的两根为 x1，x2.
∵ 3＋＋3－＝ 6，x1＋x2＝6，
(3＋) ＋(3－)＝32－()2 ＝9－7＝2，
x1x2＝2，
∴ 3＋，3－ 同为该方程的根.
3. 已知方程 2x2＋(m＋1)x＋m＋2＝0 的一个根是－，
求它的另一个根.
解：把 x＝ － 代入方程
2x2 ＋(m＋1)x＋m＋2＝0，
得 2×(－ )2 － (m＋1)＋m＋2 ＝ 0，
解得 m ＝ － 4.
设方程的另一个根为x1，
∵ － ＋ x1 ＝ ＝ ，
∴ x1 ＝ 2.
∴ 方程的另一个根是 2.
4. 已知关于x的方程 x2－3x＋a ＝ 0 的一个实根是另一
个实根的2倍，求a的值.
解：设方程的一个实根为x1，则另一个实根为 2x1.
x1＋2x1 ＝ 3，即 3x ＝ 3，
∴ x1 ＝ 1，另一个实根为 2.
∵ 1 × 2 ＝ a，
∴ a 的值为 2.
拓展与延伸
5. 已知关于x的方程 2x2－(4m－3)x＋m2－2＝0，根据下
列条件分别求出m的值：
解：设方程的两根为 x1，x2，由一元二次方程根与系数的关系，得 x1＋x2 ＝ ， x1x2 ＝.
(1)方程的两根互为相反数；
(2) 方程的两根互为倒数.
∵方程的两根互为相反数，
∴ x1＋x2＝0，即＝0，解得 m ＝.
∵方程的两根互为倒数，
∴ x1x2 ＝ 1，即 ＝ 1，解得 m ＝ ± 2.
6. 求一个一元二次方程，使它的两根是4， － 7.
解：∵4 ＋(－ 7) ＝ － 3，4 ×(－ 7) ＝ － 28，
∴ 以4， －7 为根的一元二次方程为
x2＋3x－28 ＝ 0.
(答案不唯一)
7. 方程 ax2＋bx＋10 ＝ 0(a ≠ 0)的两根之和与两根之积
都等于10，求 a，b 的值.
解：∵方程的两根之积为 10，
∴ x1x2 ＝ ＝ 10，
∴a ＝1.
∵ 方程的两根之和为 10，
∴ x1 ＋ x2 ＝ －＝ － ＝10，
∴b＝－10.
探索与创新
8. 已知方程 x2－2mx＋(m2＋m)＝0 的两根的平方和为4，
求m的值
解：由一元二次方程根与系数的关系，得
x1＋x2＝2m，x1x2＝m2＋m.
∵ 两根的平方和为 4，
∴ x12＋x22＝4.
∴ (x1＋x2)2－2x1x2＝4，
∴ (2m)2－2(m2＋m) ＝4，即m2－m－2＝0.
解得 m1＝2，m2＝－1.
当m＝2时，方程为 x2－4x＋6＝0.
∵ ＝b2－4ac＝16－24＝－8＜0，
∴m＝2 不符合题意，舍去.
当m＝－1时，方程为x2＋2x＝0.
∴ ＝b2－4ac＝4－0＝4＞0，
∴ m 的值为－1.
本课结束
This lesson is over
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