初中数学九年级上册青岛版4.7 一元二次方程的应用 课件(共45张PPT)

(共45张PPT)
第4章
一元二次方程
4 . 7
一元二次方程的应用
学习目标
1. 使学生会用列一元二次方程的方法解有关面积、体
积方面的应用问题．
2. 进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分
析问题解决问题的能力，培养用数学的意识．
交流与发现
与我们学过的一元一次方程、二元一次方程组和分式方程一样，一元二次方程也是刻画现实生活与生产中数量关系的有效模型.
例 1
将一根长为 64 cm的铁丝剪成两段，再将每段分别围成正方形(图4－2)，如果两个正方形的面积的和等于160 cm2，求两个正方形的边长.
首先要找出问题中的已知量、未知量和等量关系，把其中的一个未知量用x表示，根据等量关系，列出方程.
解：设其中一个正方形的边长为 x cm，那么该正方形的周长为 4x cm ，另一个正方形的边长为即(16－x)cm.
根据题意，得
x2＋(16－x)2 ＝ 160.
整理，得
x2 － 16x ＋ 48 ＝ 0.
解这个方程，得
x1 ＝ 12，x2 ＝ 4.
当 x1 ＝ 12时，16 － x ＝ 4；
当 x2 ＝ 4 时，16 － x ＝ 12；
经检验，当两个正方形的边长分别是 12 cm 和4cm 时，两个正方形的周长之和为64 cm，面积之和为160 cm. 这就是说，x＝12 cm 或 x＝4cm 均符合题意.
所以，两个正方形的边长分别为4 cm和12 cm.
列一元二次方程解应用题时，必须检验方程的
根是否符合题意，以决定取舍.
例 2
某花圃用花盆培育某种花卉，经市场调查发现，出售一盆花的盈利与该盆中花的棵数有关. 当每盆栽种3棵时，平均每棵盈利3元. 以同样的栽培条件，每盆增加1棵，平均每棵盈利将减少0.5元. 要使每盆的盈利达到 10元，每盆应当种植该种花卉多少棵
解：设每盆增加种植x棵，则每盆种花 (3＋x)棵，平均每棵盈利为(3－0.5x) 元.
根据题意，得(3－0.5x)(3＋x) ＝10.
整理，得 x2－3x＋2＝0.
解这个方程，得 x1＝1，x2＝2.
经检验，x1＝1或x2＝2 均符合题意所以，每盆应种植该种花卉4棵或 5棵.
圆中正方形
我国古代数学家经常用诗歌的形式编写数学题，称为诗题. 清代数学家梅 (jue)成(1681－1763 ) 对明代数学家程大位的《算法统宗》进行修改补充，编著了《增删算法统宗》一书. 在该书第11卷的众多诗题中，有一首“圆中正方形”：
智趣园
今有圆田一块，中间有个方池.
量田特待耕犁，恰好三分在记.
池面至周有数，每边三步无疑.
内方圆径若有知，堪作算中第一.
大意是：有一块圆形的田地，中间有一个正方形水池.量得水池外圆内田地的面积，恰好是 3 分. 从水池的每条边到圆周，最远都是 3 步 (图4－3 ).如果你能求出正方形的边长和圆的直径，那么你的运算能力就数第一了.
本题可以通过列一元二次方程解决. 设正方形的边长为x步，则圆的半径为(＋3)步. 在古代，一般取 π≈3.于是，水池外圆内田地的面积为
3(＋3)2－x2 ＝ 3×24.
整理，得
x2－36x＋180 ＝ 0
练 习
1. 天泉村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室. 要求长宽的比为 3∶1. 在温室内，沿前后两侧内墙各留 3 m 宽的空地放置工具，其他两侧内墙各留 1 m 宽的通道当矩形温室的长与宽多少时，蔬菜种植区的面积是 300 m2
解：设矩形温室的宽是 x m，则长是 3x m.
根据题意，得(3x－6)(x－2) ＝300.
整理，得 x2－4x－96＝0.
解得 x1＝12，x2＝－8.
由题意，知 x2＝－8 不符合题意，舍去.
所以 x＝12，3x＝3×12＝36.
所以矩形温室的长是36 m，宽是12m时，蔬菜种植区的面积是 300m2.
2. 如图，矩形ABCD的边AB ＝200 cm，O为AB的中点.
OE⊥AB交CD于点E. 质点P从点A出发，以2 cm/s的速度沿AB向点B运动； 另一质点Q同时从点O出发，以 3cm/s的速度沿 OE 向点E运动. 经过多少秒时，△POQ 的面积为 1800 cm2
解：设经过 t s 时，△POQ的面积为 1800 cm2.
根据题意，得 (100－2t) ×3t＝1 800
或 (2t － 100) × 3t ＝ 1800.
整理，得 t2－50t＋600＝0或 t2－50t － 600 ＝ 0.
解得 t1＝ 20，t2 ＝ 30，t3＝ 60，t4＝－10.
经检验 t＝－10 不符合题意，舍去.
t＝20 或 t＝30 或 t＝60 均符合题意.
所以经过 20 s，30 s或60 s 时，△POQ 的面积为1 800 cm2.
例 3
某养殖场2010年的产值为 500 万元，2012年的产值为605 万元求2010~2012年该养殖场产值的年平均增长率.
解：设该场2010~2012年产值的年平均增长率为x，那么2011 年的产值为500＋500x ＝500(1＋x)，2012年的产值为
500 (1＋x) ＋500 (1＋x) x＝500 (1＋x)2
根据题意，得 500 (1＋x)2＝605.
解这个方程，得 x1＝0.1，x2＝－2.1.
根据题意，605万元 ＞ 500万元，故年增长率 x＞0，而x2＝－2.1＜0，因此x2＝－2.1不符合题意，应当舍去，x1＝0.1 符合题意.
所以，该养殖场2010~2012年产值的年平均增长率为0.1，即10%.
例 4
某种药品经过两次降价后，每盒售价为原售价的 64%，求该药品平均每次的降价率.
解：设该药品平均每次的降价率为x，那么第1次降价后该药品每盒的售价为原售价的(1－x)，第2次降价后该药品每盒的售价为原售价的 (1－x)2.
根据问题中的等量关系，得
(1－x)2＝64%.
解这个方程，得
x1＝0.2，x2＝1.8.
根据题意，降价率应满足 0＜x＜1，因而 x2＝1.8 不符合题意，应当舍去而 x1＝0.2 符合题意.
所以，该药品平均每次的降价率为0.2，即20%.
挑战自我
例3与例4都是增长率(包括负增长)问题，你能把这类问题中的基本数量关系用公式表示出来吗
例3与例4 这类问题中的基本数量关系可用一元二次方程表示为 a(1±x)2 ＝ b，其中 a 表示起始量， 表示平均增长(或降低)率, 表示增长(或降低)后的终止量，增长用“＋”，降低用“一”.
练 习
1. 某农机厂1月份生产联合收割机300 台，为了满足夏收季节市场的需求，3月份比1月份多生产132台. 求2月、3 月两个月的平均月增长率.
解：设2月3月两个月的平均月增长率为z根据题意，得：
300(1＋x)2 ＝ 300+132
整理，得 25x2 ＋ 50x － 11 ＝ 0.
解得 x1 ＝ 0.2，x2 ＝ － 2.2.
根据题意，知 x ＞ 0，故 x ＝ － 2.2 舍去.
答：2月、3月两个月的平均月增长率为 20%.
2. 某玩具厂今年每个月的产量都比上个月环比增长同样的百分数，已知该厂今年 4月份的玩具产量为5万件，6月份比5月份多生产了 12 000件.求今年产量的月增长率.
解：设今年产量的月增长率为x. 根据题意，得
5(1＋x)2－5(1＋x)＋1.2.
整理，得 25x2＋25x－6 ＝ 0.
解得 x1＝0.2，x2＝－1.2.
经检验 x2＝－ 1.2不符合题意，舍去.
答：今年产量的月增长率为 20%.
习题 4.7
复习与巩固
1. 两个实数的和是10，积是－75. 求这两个数.
解：设其中一个数为 x，则另一个数为 10－x.
根据题意，得 x(10－x)＝－ 75.
整理，得 x2－10x－75＝0.
解得 x1＝15，x2＝ － 5；
当x ＝ 15 时，10 － 15 ＝ － 5；
当x＝－5时，10 －(－5) ＝ 15.
答：这两个数是 15 和－ 5.
2. 如图，在宽为 20 m、长为36 m 的矩形草地上修建两条同样宽且互相垂直的道路，剩余草地的面积是 540 m2. 求道路的宽 (精确到0.1m ).
解：设道路的宽为 x m.
根据题意，得
(20－x)(36－x)＝540.
整理，得 x2－56x＋180＝0.
解得 x ＝
＝＝28±2.
所以 x1≈3.4，x2≈52.6.
当 x≈52.6时，不符合题意，舍去.
答：道路的宽约为 3.4 m.
3. 如图，AB与BC分别是东西方向和南北方向的道路，AB ＝1000 m.晨练时，小莹从点A出发，以每分钟150 m的速度向东跑； 小亮同时从点B出发，以每分钟200 m的速度向北跑，经过几分钟时，
他们之间的直线距离仍然是
1000 m
解：设经过 x min时，他们之间的直线距离仍然是1000m.
根据题意得
(1 000 － 150x)2 ＋(200x)2 ＝ 1 0002.
整理，得 5x2－24x ＝ 0.
解得 x1＝0，x2＝.
经检验 x1＝0 不符合题意，舍去.
答：经过台min时，他们之间的直线距离仍然是1000m.
4. 一本书的长为26 cm，宽为 18.5 cm，厚为1cm.小莹准备用一张面积为1260 cm2的矩形纸包这本书的书皮(如图). 若书皮四周折进的宽度一样，折叠进去的宽度应为多少
解：设折叠进去的宽度为 x cm，
根据题意，得
(18.5×2＋1＋2x)(26＋2x) ＝ 1 260.
整理，得 x2 ＋ 32x － 68 ＝ 0.
解得 x1＝－34，x2＝2.
经检验 x＝－ 34 不符合题意，舍去.
答：折叠进去的宽度应为 2 cm.
5. 某种品牌汽车的售价为每辆 10 万元，使用两年后其价
值为 7.225 万元. 求该汽车这两年的年平均折旧率.
解：设该汽车这两年的年平均折旧率为x.
根据题意，得10(1 － x)2 ＝ 7.225，
解得 x1＝ 1.85，x2 ＝ 0.15.
由题意，知 x1 ＝ 1.85 不符合题意，舍去.
答：该汽车这两年的年平均折旧率为 15%.
6. 解决本章“情境导航”中的问题(精确到0.1%).
解：(1) 设年平均增长率是 x .
根据题意，得 216.5(1 ＋ x)2 － 267.4.
解得 x1≈0.111，x2≈－2.111.
经检验 x2≈－2.111 不符合题意，舍去.
答：从2000 年到 2002 年的两年间，我国荒漠化、沙化土地面积的年平均增长率是 11.1%.
(2) 设年平均降低率为 y.
根据题意，得 267.4(1 － y)2 ＝ 263.6.
解得 y1≈0.007，y2≈1.993.
经检验 y2≈1.993 不符合题意，舍去.
答：从 2002 年到 2004 年的两年间,我国荒漠化、沙化土地的面积亚均每年降低 0.7%.
7. 山青农场去年种了10亩地的南瓜，平均亩产量为
2 000 kg. 根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种了高产的新品种南瓜. 已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为 60 000 kg. 求南瓜亩产量的增长率.
解：设南瓜亩产量的增长率为，则种植面积的增长率为 2x，根据题意，得
10(1＋ 2x)[2 000(1 ＋ x)] ＝ 60 000.
整理，得 2x2＋3x－2 ＝ 0.
解得 x1＝0.5，x2＝ －2.
经检验 x2＝ －2 不符合题意，舍去.
答：南瓜亩产量的增长率是 50%.
拓展与延伸
8. 一个两位数，十位数字与个位数字的和为5，把十位数字与个位数字互换后得到的两位数与原数的积为 736. 求原两位数.
解：设原两位数的十位数字为 x，则个位数字为 5－x .
根据题意，得
[10x ＋(5 － x)][10(5 － x) ＋ x] ＝ 736.
整理，得 x2 － 5x ＋ 6 ＝ 0.
解得 x1＝2，x2＝3.
当x＝2时，原两位数是 23；当x＝3时，原两位数是 32.
答：原两位数是23或32.
9. 某化肥厂4月份生产某种化肥 500吨，5月份因部分设备检修，产量比4 月份减少了10%. 从6月份起产量逐月上升，7月份达到648吨. 该厂6，7两个月产量的平均月增长率是多少
解：设该厂6，7 两个月产量的平均月增长率是 x .
根据题意，得500(1－10%)(1＋x)2＝648.
解得 x1＝0.2，x2＝－2.2.
经检验 x2＝－2.2 不符合题意，舍去.
答：该厂6，7 两个月产量的平均月增长率是 20%.
探索与创新
10. 一个容积为1 000 ml的容器里盛满浓度为 80% 的酒精. 第一次倒出若干毫升后，用水加满：第二次又倒出同样毫升数的溶液，再用水加满，这时容器内的酒精的浓度为20%. 求每次倒出溶液多少毫升.
解：设每次倒出溶液 x 毫升.
根据题意，得
1000×80%－1 000×20%＝80%x＋x.
整理，得 x2－2 000x＋750 000＝0.
解得 x1＝500，x2＝1500.
经检验 x＝1 500不符合题意，舍去.
答：每次倒出溶液 500 毫升
本课结束
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