2022-2023学年第二学期浙江省名校联盟期中联考高二数学试题（含解析）

2022-2023学年第二学期浙江省名校联盟期中联考高二数学
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则( )
A. B. C. D.
3. 已知指数函数的图象与直线相切于点，则的解析式可能是( )
A. B. C. D.
4. 已知等差数列的前项和为，，，则使得取最大值时的值为( )
A. 或 B. C. D. 或
5. 在直棱柱中，，，，，，，则直线与平面所成角的正弦值为．( )
A. B. C. D.
6. 已知函数的图像与直线有个不同的交点，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7. 设，是双曲线的左，右焦点，点在上，若，且为坐标原点，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
8. 已知．，，，则，，的大小顺序为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 函数在区间上．( )
A. 有最大值，无最小值 B. 有最小值，无最大值
C. 函数存在唯一的零点 D. 函数存在唯一的极值点
10. 已知是数列的前项和，下列结论正确的是( )
A. 若是等差数列，则 B. 若是等比数列，则
C. 若是等比数列，则公比一定为 D. 若是等比数列，则公比是或
11. 如图，正方体的棱长为，则下列命题正确的是( )
A. 两条异面直线和所成的角为
B. 若分别是的中点，过三点的平面与正方体的下底面相交于直线，且，则
C. 若平面，则平面截此正方体所得截面面积最大值为
D. 若用一张正方形的纸把此正方体完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是
12. 已知顶点为原点的抛物线，过抛物线焦点的动直线交抛物线于、两点，当直线垂直于轴时，面积为下列结论正确的是( )
A. 抛物线方程为
B. 若，则的中点到轴距离为
C. 有可能为直角三角形
D. 的最小值为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 徐悲鸿的马独步画坛，无人能与之相颉顽八骏图是徐悲鸿最著名的作品之一，画中刚劲矫健、剽悍的骏马，在人们心中是自由和力量的象征，鼓舞人们积极向上现有匹善于奔跑的马，它们奔跑的速度各有差异已知第匹马的最长日行路程是第匹马最长日行路程的倍，且第匹马的最长日行路程为里，则这匹马的最长日行路程之和为 里取．
14. 如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，，与，的夹角都是，若是的中点，则直线与所成角的余弦值为 ．
15. 已知椭圆和双曲线的焦点相同，，分别为左、右焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点已知，双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为 ．
16. 若函数极值点为，则的值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知的展开式中各项的二项式系数之和为．
求的值及展开式中项的系数
求的展开式中的常数项．
18. 本小题分
从，，，中任取个数字，从，，中任取个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？
由数字，，，，，，可以组成多少个没有重复数字，并且比大的正整数？
19. 本小题分
已知数列的前项之积为，且，．
求的通项公式
求数列的前项和．
20. 本小题分
如图，在棱长为的正方体中，点在线段上运动不与端点重合，
证明：平面平面；
是否存在正实数，使得平面 与平面夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
21. 本小题分
已知双曲线的离心率为，点是双曲线上一点．
求双曲线的方程．
设点，为双曲线上一点，为关于原点的对称点，直线，与双曲线分别交于异于，的两点，试问：直线是否过定点，若是，请求出定点的坐标若不是，请说明理由．
22. 本小题分
已知函数
判断函数在其定义域上的单调性
若恒成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数列的通项与前项和的关系，属于基础题．
【解答】
解：，当时，，
当时，，
时，也适合此式，．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，直线与直线的平行，属于基础题．
先根据平行关系设切线方程，再根据圆心到切线距离等于半径列式解得结果．
【解答】
解：因为切线与直线平行，所以切线方程可设为，，
因为切线过点，所以，则，
由，得，
因为直线与圆相切，圆心坐标为，半径为，
所以，解得，符合题意．
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查导数的几何意义与函数图象的关系 ，属于基础题；
由导数的几何意义即可求解
【解答】
解：由题意，设，切点，则，
，则
当时，显然方程无解，所以选项不满足题意；
当时，方程，无解，所以选项不满足题意；
当时，解得所以选项满足题意；
当时，方程可为显然无解，所以选项不满足题意；
所以．
故选C．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等差数列的前项和的最值，考查数列的通项，属中档题．
由题意可得数列的公差和首项，进而可得通项公式，可得等差数列的前项为正数，第项为，从第项开始为负数，可得所求．
【解答】
解：设等差数列的公差为，
则，，
联立两式解得，，
，
令可得，
等差数列的前项为正数，第项为，从第项开始为负数，
当或时，取最大值．
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与平面所成角的向量求法，属于中档题．
由题意，以为坐标原点，建立空间直线坐标系，求出和平面的法向量，利用向量法求解即可．
【解答】
解：由题意，以为坐标原点，射线的方向为轴的正方向，射线的方向为轴的正方向，射线的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：
由题可知，，，．
于是，，．
设为平面的法向量，
则，即．
令，可得．
设直线与平面所成的角为，
则．
故选C．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，函数图象交点与方程的实数根的关系．
通过导数研究函数 的单调性与极值，在同一坐标系中画出函数 与的图象，数形结合即可得到结果．
【解答】
解： ，
，
时， ， 或 时， ，
所以函数 在 上递增， 上递减， 上递增，
在时，函数 取极大值，
在时，函数 取极小值，
则 的图象如图所示：
与 的图象有相异的三个公共点时，可得．
故选B．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的定义和性质，平面向量基本定理的应用以及余弦定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
设，，由平面向量基本定理结合余弦定理，得到，的关系，进而得到，再求出双曲线的渐近线方程．
【解答】
解：设，，由双曲线的定义可得，
因为为的中线，所以，
两边平方，得，
即为，解得，
在中，，
所以，所以，
所以双曲线的渐近线方程为．
故选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数判断函数的单调性、比较大小，属于较难题．
构造函数，，，利用导数判断出单调性，即可比较大小．
【解答】
解：设，
则，
当时，，函数单调递增，
所以，
所以当时，，
所以，，
所以，
设，，
则，
当时，，函数单调递增，
所以当时，，
所以当时，，
所以，
所以
故选A．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，最值与极值，也考查了函数零点的判断，属于基础题．
先求出导函数，根据导数与单调性的关系，即可判断函数的最值、极值点及零点问题．
【解答】
解：由，，得，
则在区间单调递减，在区间单调递增，
所以在存在唯一的极值点，又，且，，
函数图象不间断，所以存在唯一的零点，函数有最小值，无最大值．
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等差数列、等比数列的性质，为中档题．
对于，若数列为等差数列，则有成等差数列，即可求出答案；
对于，若是等比数列，则有成等比数列，即可求出答案；
对于和，由，得到，计算出即可判断．
【解答】
解：
若数列为等差数列，其中有成等差数列，
，则有，又，得，故A正确
若是等比数列，其中有成等比数列，，
则有，又，得，故B正确；
显然，，，
，
则有，即，
则，或，故C错误，D错误．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查异面直线所成角，空间几何体的截面问题，正方体的结构特征，属于较难题．
选项，找到异面直线所成的角，并求出角度；选项，画出图形，找到直线和点，求出的长；选项，画出平面截此正方体所得面积最大的截面，求出面积；选项，画出图形，找到所需纸的面积最小的图形，求出面积．
【解答】
解：对于选项A：连接，，，
，或其补角为异面直线和所成的角，
又，
是等边三角形，
，故A不正确；
对于选项B：连接并延长，与的延长线交于点，直线即为直线，即，
由和全等，得，
为的中点，
又 ，
，
，故B正确；
对于选项C：如图，
取的中点，并依次连接，
得到正六边形，此时可证明出平面，且平面截此正方体所得正六边形截面面积最大，此时，故C正确；
对于选项D：如图为棱长为的正方体，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图图中数字“”表示正方体的个侧面所示，由图知正方形的边长为，其面积为，故D正确．
故选BCD．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的标准方程及直线与抛物线位置关系的应用，抛物线的定义，属于中档题．
当直线垂直于轴时，求出，根据三角形的面积求出，即可判定；取的中点，过作准线于，过作准线于，过作准线于，根据梯形的中位线定理，结合抛物线的定义即可判定；设的方程联立抛物线方程，利用向量的数量积，结合根与系数的关系即可判定；利用基本不等式，结合根与系数的关系即可判定．
【解答】
解：易知抛物线的焦点为，
当直线垂直于轴时，将代入，得，
则，
所以面积为，解得负值舍去，故A正确
则抛物线，，准线为，
取中点，过作垂直准线于，过作垂直准线于，过作垂直准线于，
由抛物线的定义知，
由梯形中位线定理，得，
则中点到轴距离为，故B正确
由题意知直线的斜率存在，
设直线，，，、，
联立，可得，则，
所以，
则，
则，且，不共线，
所以，则一定是钝角三角形，故C错误
，当且仅当时等号成立，故D正确．
故选ABD．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等比数列的应用，考查抽象概括能力．
将问题抽象成等比数列求和问题即可．
【解答】
解：依题意可得，第匹马、第匹马、、第匹马的最长日行路程里数依次成等比数列，
且首项为，公比为，
故这匹马的最长日行路程之和为里．
故答案为：．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的线性运算、向量的数量积及利用空间向量求线线的夹角，属于中档题．
先利用向量数量积得到，，再把向量用向量表示，最后利用向量法求线线角．
【解答】
解：设，，，
，
，
，
，，
是的中点，
，
，，
，
所以，
，
，
，
，
设与所成角为，，
与所成角的余弦值为．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，考查解三角形的余弦定理，属于中档题．
利用椭圆与双曲线的定义，求解得到，利用余弦定理，整理得到，化简即为，即可求出．
【解答】
解：设焦距为，椭圆和双曲线的离心率分别为，，
可知，
解得，
根据余弦定理，可知：
，
整理得，
可得，
即为，
由，可得，

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数极值点的求解及函数值的求解，为中档题．
【解答】
解：
令，，故定义域上单调递增，，故使得，即，
函数在上递增，在上递减，为极大值点．
得，则有．

17.【答案】解：由已知可得，
因为的展开式的通项公式为：，
令，
所以项的系数为；
求的展开式中的常数项，
则或，
所以或，
故常数项为．

【解析】本题考查二项展开式及其通项，属于中档题．
首先根据二项式系数之和得到，再利用通项求解即可；
根据题意得到或，从而得到或，即可得解．
18.【答案】解：如果有，从，，中任取个数字，有种取法，从，，中任取个数字，有种取法，从后四位取一个位置放，其他数字进行全排列，；如果无，同上，总共有；一共可以组成没有重复数字的五位数的个数为．
要比大，只需百万位大于等于即可．
因此构成百万位的可以是也可以是，可分两类：
第一类是以开头的有个，第二类是以开头的有个，
根据分类加法计数原理得，比大的正整数共有个．
【解析】本题考查排列组合及简单的计数问题，先选后排是解决问题的关键，属中档题分有无，两种情况，可先选后排，共有种方法，计算即可，要比大，构成百万位的可以是也可以是，可分两类，总共有，计算即可．
19.【答案】解：由题意得，，．
所以，故是以为首项，为公差的等差数列，则
当时，由，得，则，此式对也成立，
故．
由可知，，
所以，
即数列的前项和

【解析】本题考查等差数列的判定及通项公式，裂项相消法求和，数列的前项和与其通项的关系，属于中档题．
20.【答案】 解：以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，，
，，，
，
，
则，，
又，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
可知平面的一个法向量为，
设又，则，得，
则，
设平面 的一个法向量为，
则，即，取，，，
即，
于是，解得或，
即存在正实数，使得平面 与平面夹角的余弦值为
【解析】本题考查了面面垂直的判定，求两个平面所成角，属于中档题．
建立空间直角坐标系，先证明平面，从而证明平面平面；
利用空间向量得平面的一个法向量，平面 的一个法向量，利用公式建立方程即可得解．
21.【答案】解：由题意得，故，
点是双曲线上一点，
．
由可得，．
双曲线的方程为．
设，，
设，，，，
则，，
将点的坐标代入双曲线的方程有，
与联立得，
所以，
同理可得，．
，．
由对称性知过轴上的定点，
设，则，
即．
，
．
．
直线过定点．
【解析】本题考查双曲线的标准方程以及直线与双曲线的位置关系以及定点问题，属于中档题．
由题意和双曲线的基本量运算，易得方程；
由题意得出相关点的坐标，进而由对称性可得直线所过定点．
22.【答案】解：由题意得，，，
由，得，，得，
所以函数在上单调递增；
在上单调递减，
由题意得，，
即对任意成立，
令，则，
当时，单调递减，，
当时，，则恒成立，
为增函数，
当时，，，
存在唯一的，使，且时，，单调递减，
，与矛盾，舍去．
综上所述，实数的取值范围是
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性和导数中的恒成立问题，属于中档题．
求导，根据导函数的正负可判断函数的单调性；
问题转化为对任意成立，令，结合函数的单调性求出最值，即可求解．
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