青海省西宁市2023学年高考冲刺数学模拟试题（PDF版含解析）

2023 学年高考数学模拟测试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的
位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数 f (x) 3cos x 4sin x在 x 时取得最小值，则cos （ ）
3 4 4 3
A． B． C． D．
5 5 5 5
2．已知向量 a 1,2 ，b x, x 1 ，若 b 2a / /a ，则x （ ）
1 2
A． B． C．1 D．3
3 3
3．函数 f x cos 2x x , 2 的图象与函数g x sin x的图象的交点横坐标的和为（ ）
5π 7
A． B．2 C． D．
3 6
4．已知正项等比数列 a
1 7
的前n项和为 S , S , S ，则 a a a 的最小值为（ ）
n n 2 9 3 27 1 2 n
4 4 4 4
A． ( )2 B． ( )3 C． ( )4 D． ( )5
27 27 27 27
5．设m 、n是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则m 的一个充分条件是（ ）
A． 且m B．m // n且 n C． 且m / / D．m n且 n / /

6．函数 f x x2 x 2 1 x2 4 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
7．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登
山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村
汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：
甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；
乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；
丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；
事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ）
A．甲走桃花峪登山线路 B．乙走红门盘道徒步线路
C．丙走桃花峪登山线路 D．甲走天烛峰登山线路
π
8．为得到函数 y cos 2x 的图像，只需将函数 y sin 2x 的图像（ ）
3
5π 5π
A．向右平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位
6 12
5π 5π
C．向左平移 个长度单位 D．向左平移 个长度单位
6 12
9．已知 A，B ，C ，D是球O的球面上四个不同的点，若 AB AC DB DC BC 2，且平面 DBC 平面 ABC，
则球O的表面积为（ ）
20 15
A． B． C．6 D．5
3 2
10．正三棱柱 ABC A B C 中， AA 2AB ， D是 BC 的中点，则异面直线 AD 与 A C 所成的角为（ ）
1 1 1 1 1

A． B． C． D．
6 4 3 2
2
11．已知 F , F 是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是它们的-一个公共点，且 F PF ，设椭圆和双曲线的离心率
1 2 1 2 3
分别为 e ,e ，则e ,e 的关系为（ ）
1 2 1 2
3 1
4 1A． 4 B． e 2 e 2 4
e 2 e 2 3 1 3 2
1 2
1 3
C． 4 D． e 2 3e 2 4
e 2 e 2 1 2
1 2
12．已知三棱柱
ABC A B C的6个顶点都在球O的球面上.若AB 3，AC 4，AB AC , AA 12，则球O的半径为 ( )
1 1 1 1
3 17 13
A． B． 2 10 C． D．3 10
2 2
二、填空题：本题共4小题，每小题 5分，共 20 分。
b 2 a 13．已知非零向量 a ，b 满足 ，且 b a a ，则a 与b 的夹角为____________.
x2 y2
14．已知双曲线 1 a 0,b 0 的左右焦点分别为 F , F ，过 F 的直线与双曲线左支交于 A, B两点，
a2 b2 1 2 1
7
AF B 90 ， AF B 的内切圆的圆心的纵坐标为 a ，则双曲线的离心率为________.
2 2 2
8 1
15．已知 x，y＞0，且 1，则 x+y 的最小值为_____．
x2 y
16．某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有 7 人用时为 6 分钟，有 14 人用时 7 分钟，有 15 人用时为
8 分钟，还有 4 人用时为 10 分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为____分钟.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
a
17．（12 分）已知函数 f x xlnx x2 x,a R,e 2.71828 是自然对数的底数.
2
（1）若 a e ，讨论 f x 的单调性；
（2）若 f x 有两个极值点 x , x ，求 a 的取值范围，并证明: x x x x .
1 2 1 2 1 2
18．（12 分）已知如图 1，在 Rt△ ABC 中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D 为 AC 中点，AE BD 于 E，延长 AE 交
BC 于 F，将△ ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD 平面 BCD，如图 2 所示。
（Ⅰ）求证：AE 平面 BCD；
（Ⅱ）求二面角 A-DC-B 的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥 B-AEF 与四棱锥 A-FEDC 的体积的比（只需写出结果，不要求过程）．
19．（12 分）设数列
a
a 的前列项和为 S ，已知 a 1, a n 1 (n 2) .
n n 1 n 2 a
n 1
（1）求数列 a 的通项公式；
n
3 1 11
（2）求证： S .
2 2n n 6
20．（12 分）已知函数 f (x) 16 2x 1．
（1）解不等式 f (x) x 2 ；
（2）若函数 y f (x) a存在零点，求 a 的求值范围．
21．（12 分）在三棱锥 S ABC 中， ABC 是边长为 2 3 的正三角形，平面 SAC 平面 ABC ， SA SC 2，M、
N 分别为 AB 、 SB 的中点 .
（1）证明： AC SB ；
（2）求三棱锥 B CMN 的体积 .
22．（10 分）设等差数列 a 的首项为 0，公差为 a，a N ；等差数列 b 的首项为 0，公差为 b，b N .由数列 a
n n n
和 b 构造数表 M，与数表 M ；
n
记数表 M 中位于第 i 行第 j 列的元素为 c ，其中c a b ，（i，j=1，2，3，…）.
ij ij i j
记数表 M 中位于第 i 行第 j 列的元素为 d ，其中d a b （1 i b， i N ， j N ）.如： c a b ，
ij ij i j 1 1,2 1 2
d a b .
1,2 1 3
（1）设a 5，b 9，请计算 c ，c ，d ；
2,6 396,6 2,6
（2）设 a 6，b 7，试求 c ， d 的表达式（用 i，j 表示），并证明：对于整数 t，若 t 不属于数表 M，则 t 属于数
ij ij
表 M ；
（3）设a 6，b 7，对于整数 t，t 不属于数表 M，求 t 的最大值.
2023 学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【答案解析】
利用辅助角公式化简 f (x) 的解析式，再根据正弦函数的最值，求得 f (x) 在 x 函数取得最小值时cos 的值．
【题目详解】
3 4 3 4
解： f (x) 3cos x 4sin x 5 cos x sin x 5sin(x )，其中，sin ， cos ，
5 5 5 5

故当 2k (k Z)，即 2k (k Z )时，函数取最小值 f 5，
2 2
3
所以 cos cos(2k ) cos( ) sin ，
2 2 5
故选：D
【答案点睛】
本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题．
2、A
【答案解析】
利用平面向量平行的坐标条件得到参数 x的值.
【题目详解】
由题意得， b 2a 2 x, x 5 ，
b 2a / /a，
2 2 x x 5 0，
1
解得 x .
3
故选 A.
【答案点睛】
本题考查向量平行定理，考查向量的坐标运算，属于基础题.
3、B
【答案解析】
根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可.
【题目详解】
1
令 sin x cos2x ，有sin x 1 2sin 2 x，所以sin x 1或 sin x .又 x 3 ,2 ，所以x 或 x 或
2 2 2
5
x 或 x ，所以函数f x cos 2x x , 2 的图象与函数 g x sin x的图象交点的横坐标的和
6 6
3 5
s 2 ，故选 B.
2 2 6 6
【答案点睛】
本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.
4、D
【答案解析】
1 7 2n 1由 S , S ，可求出等比数列 a 的通项公式 a ，进而可知当1 n 5时，a 1；当 n 6时，a 1，
2 9 3 27 n n 27 n n
从而可知a a a 的最小值为 a a a a a ，求解即可.
1 2 n 1 2 3 4 5
【题目详解】
设等比数列 a 的公比为q，则 q 0，
n
4
a q2 1 27
1
4 1 a
由题意得， a S S ，得 a a q ，解得 1 27 ，
3 3 2 27 1 1 9 q 2 q 0

2n 1
得 a .
n 27
当1 n 5时， a 1；当n 6时， a 1，
n n
4
则 a a a 的最小值为a a a a a (a )5 ( )5 .
1 2 n 1 2 3 4 5 3 27
故选：D.
【答案点睛】
本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
5、B
【答案解析】
由m / /n且 n 可得m ，故选 B.
6、A
【答案解析】
先判断函数 y f x 的奇偶性，以及该函数在区间 0,1 上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.
【题目详解】
函数 y f x 的定义域为 R， f x x 2 x 2 1 x
2 4 x

2 x 1 x 4 2 2 f x ，该函数为偶
函数，排除 B、D选项；
f x x x 1 当0 x 1时， 2 2 x2 4 0，排除C选项.
故选：A.
【答案点睛】
本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，结合
排除法得出结果，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
7、D
【答案解析】
甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.
【题目详解】
若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红
门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.
故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中
“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.
综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路
故选：D
【答案点睛】
本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.
8、D
【答案解析】
5 5
y cos(2x ) sin(2x ) sin(2x ) sin 2(x )，所以要的函数 y cos(2x )的图象，只需将
3 3 2 6 12 3
5
函数 y sin 2x的图象向左平移 个长度单位得到，故选 D
12
9、A
【答案解析】
由题意画出图形，求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案．
【题目详解】
如图，
取 BC中点 G，连接 AG，DG，则AG BC，DG BC，
分别取 ABC与 DBC 的外心 E，F，分别过 E，F作平面 ABC与平面 DBC的垂线，相交于 O，
则 O为四面体A BCD的球心，
3 6
由AB AC DB DC BC 2，得正方形 OEGF的边长为 ，则OG ，
3 3
6 5
四面体A BCD的外接球的半径R OG 2 BG 2 ( )2 12 ，
3 3
5 20π
球 O的表面积为 4π ( )2 ．
3 3
故选 A．
【答案点睛】
本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
10、C
【答案解析】
取 B C 中点 E，连接 A E，CE，根据正棱柱的结构性质，得出 A E // AD，则 CA E即为异面直线AD与 A C所
1 1 1 1 1 1
CE
成角，求出 tan CA E ，即可得出结果.
1 A E
1
【题目详解】
解：如图，取 B C 中点 E，连接 A E，CE，
1 1 1
由于正三棱柱 ABC A B C ，则 BB 底面 A B C ，
1 1 1 1 1 1 1
而 A E 底面 A B C ，所以 BB A E，
1 1 1 1 1 1
由正三棱柱的性质可知，△ A B C 为等边三角形，
1 1 1
所以 A E B C ，且 A E B C E ,
1 1 1 1 1 1
所以 A E 平面BB C C，
1 1 1
而 EC 平面 BB C C，则 A E EC，
1 1 1
则 A E // AD， A EC 90 ，
1 1
∴ CA E即为异面直线AD与 A C所成角，
1 1
设 AB 2，则 AA 2 2， A E 3，CE 3，
1 1
CE 3
则 tan CA E 3，
1 A E 3
1
π
∴ CA E .
1 3
故选：C.
【答案点睛】
本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.
11、A
【答案解析】
PF PF 2a
设椭圆的半长轴长为 a ，双曲线的半长轴长为a ，根据椭圆和双曲线的定义得： 1 2 1 ，解得
1 2 PF PF 2a
1 2 2
PF a a
1 1 2 △F PF
PF a
，然后在 中，由余弦定理得：
a 1 2
2 1 2
2 4c2 a a 2 a a 2 2 a a a a cos，化简求解.
1 2 1 2 1 2 1 2 3
【题目详解】
设椭圆的长半轴长为 a ，双曲线的长半轴长为 a ，
1 2
PF PF 2a
由椭圆和双曲线的定义得： 1 2 1 ，
PF PF 2a
1 2 2
PF a a 2
解得 1 1 2 ，设 F F 2c, F PF ，
PF a a 1 2 1 2 3
2 1 2
2
在△F PF 2 2 中，由余弦定理得： 4c2 a a a a 2a a a a cos，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3
化简得3a2 a2 4c2，
1 2
3 1
即 4 .
e 2 e 2
1 2
故选：A
【答案点睛】
本题主要考查椭圆，双曲线的定义和性质以及余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
12、C
【答案解析】
因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA ＝12，AB⊥AC，所以 BC＝5，且 BC 为过底面 ABC 的截面圆的直径．取 BC
1
中点 D，则 OD⊥底面 ABC，则 O 在侧面 BCC B 内，矩形 BCC B 的对角线长即为球直径，所以 2R＝ 122 52 ＝
1 1 1 1
13
13，即 R＝
2
二、填空题：本题共4小题，每小题 5分，共 20 分。

13、 （或写成 60 ）
3
【答案解析】

设 a 与b 的夹角为 ，通过 b a a ，可得 b a a=0，化简整理可求出cos ，从而得到答案.
【题目详解】
设 a 与b 的夹角为

b a a

可得 b a a=0，
a 2b a =0
故 a
2
b cos a =0，将 b 2 a 代入可得
1
得到cos ，
2

于是 a 与b 的夹角为 .
3

故答案为： .
3
【答案点睛】
本题主要考查向量的数量积运算，向量垂直转化为数量积为 0 是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，分析能
力及计算能力.
14、2
【答案解析】
由题意画出图形，设内切圆的圆心为M (x, y)，圆M 分别切 AF , BF , AB于 S ,T ,Q，可得四边形 SF TM 为正方形,
1 2 2
再由圆的切线的性质结台双曲线的定义，求得 AF B的内切圆的圆心的纵坐标,结合已知列式，即可求得双曲线的离
2
心率.
【题目详解】
设内切圆的圆心为M (x, y)，圆M 分别切 AF , BF , AB于 S ,T ,Q，连接MS,MT,MQ ，
1 2
则 F T F S ，故四边形SF TM 为正方形，边长为圆M 的半径，
2 2 2
由 | AS | | AQ |， | BT | | BQ |，得 AF | AQ | SF TF BF | BQ |，
2 2 2 2
Q与 F重合，
1
SF AF AF 2a， MF 2a，即 (x c)2 y2 4a2——①
2 2 1 1
MF 2 2a， (x c)2 y2 8a2——②
2
a2 b4
联立①②解得： x , y2 4a2 ，
c c2
7
又因圆心的纵坐标为 a，
2
7a2 b4 c
4a2 e 2 .
4 c2 a
故答案为：2
【答案点睛】
本题考查双曲线的几何性质，考查数形结合思想与运算求解能力,属于中档题.
15、1
【答案解析】
8 1 8 x
处理变形 x+y＝x（ ）+y y 结合均值不等式求解最值.
x2 y x y
【题目详解】
8 1
x，y＞0，且 1，
x2 y
8 1 8 x
则 x+y＝x（ ）+y y 33 8 1，
x2 y x y
8 x
当且仅当 y 时取等号，此时 x＝4，y＝2，取得最小值 1．
x y
故答案为：1
【答案点睛】
此题考查利用均值不等式求解最值，关键在于熟练掌握均值不等式的适用条件，注意考虑等号成立的条件.
16、7.5
【答案解析】
分别求出所有人用时总和再除以总人数即可得到平均数.
【题目详解】
7 6+14 7+15 8 4 10
7.5
7 14 15 4
故答案为：7.5
【答案点睛】
此题考查求平均数，关键在于准确计算出所有数据之和，易错点在于概念辨析不清导致计算出错.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1 1 1
17、（1）减区间是 0, ，增区间是 , ；（2） 0, ，证明见解析. e e e
【答案解析】
（1）当 a e 时，求得函数 f x 的导函数 f ' x 以及二阶导函数 f '' x ，由此求得 f x 的单调区间.
ln x ln x
（2）令 f ' x 0求得 a ，构造函数 g x ，利用导数求得 g x 的单调区间、极值和最值，结合 f x
x x
ln x x ln x ln x x
有两个极值点，求得 a的取值范围.将 x , x 代入 f x lnx ax列方程组，由 1 2 2 a 1 2 证得
1 2 x x x x x
1 2 2 1 2
x x x x .
1 2 1 2
【题目详解】
（1） f ' x lnx ax lnx ex，
1
f 0，
e
1又 f " x e 0，所以 f ' x 在 (0， )单增，
x
1
从而当 x 0, 时， f ' x 0, f x 递减，
e
1
当 x ,

时， f x 递增.
e
（2） f x lnx ax .令 f ' x ln x 0 a ，
x
ln x 1 ln x令 g x ，则 g x
x x2
故 g x 在 0,e 递增，在 (e, )递减，
所以 g x g e
1
.注意到当 x 1时 g x 0，
max e
所以当 a 0时， f x 有一个极值点，
1
当0 a 时， f x 有两个极值点，
e
1
当 a 时， f x 没有极值点，
e
1
综上 a 0,
e
因为 x , x 是 f x 的两个极值点，
1 2
ln x ax 0 ln x ax
所以 1 1 1 1
ln x ax 0 ln x ax
2 2 2 2
不妨设 x x ，得1 x e x ，
1 2 1 2
因为 g x 在 (e, )递减，且 x x x ，
1 2 2
ln x x ln x ln x x
所以 1 2 2 1 2 a
x x x x x
1 2 2 1 2
ln x x
又 ln x ln x a x x a 1 2
1 2 1 2 x x
1 2
ln x x ln x x
所以 1 2 1 2 x x x x
x x x x 1 2 1 2
1 2 1 2
【答案点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究函数的极值点，考查利用导数证明不等式，考查化
归与转化的数学思想方法，属于难题.
5
18、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）1:5
5
【答案解析】
（Ⅰ）由平面 ABD⊥平面 BCD，交线为 BD，AE⊥BD于 E，能证明 AE⊥平面 BCD;
（Ⅱ）以 E为坐标原点，分别以 EF、ED、EA所在直线为 x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系 E-xyz，利用向量
法求出二面角 A-DC-B的余弦值;
（Ⅲ）利用体积公式分别求出三棱锥 B-AEF与四棱锥 A-FEDC的体积，再作比写出答案即可．
【题目详解】
（Ⅰ）证明：∵平面 ABD⊥平面 BCD，交线为 BD，
又在△ ABD中，AE⊥BD于 E，AE 平面 ABD，
∴AE⊥平面 BCD．
（Ⅱ）由（1）知 AE⊥平面 BCD，∴AE⊥EF，
由题意知 EF⊥BD，又 AE⊥BD，
如图，以 E为坐标原点，分别以 EF、ED、EA所在直线为 x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系 E-xyz，
设 AB=BD=DC=AD=2，
3
则 BE=ED=1，∴AE= 3，BC=2 3，BF= ，
3
则 E（0，0，0），D（0，1，0），B（0，-1，0），A（0，0， 3），
3
F（ ，0，0），C（ 3，2，0），
3
DC 3,1,0 ， AD 0,1, 3 ，

由 AE⊥平面 BCD知平面 BCD的一个法向量为 EA 0,0, 3 ，
设平面 ADC的一个法向量 n (x, y, z)，
n DC 3x y 0
则 ，取 x=1，得 n (1, 3, 1)，
n AD y 3z 0
n EA 5
∴ cos＜n, EA＞ = ，
n EA 5
5
∴二面角 A-DC-B的平面角为锐角，故余弦值为 ．
5
（Ⅲ）三棱锥 B-AEF与四棱锥 A-FEDC的体积的比为：1:5.
【答案点睛】
本题考查线面垂直的证明、几何体体积计算、二面角有关的立体几何综合题，属于中等题.
1
19、（1） a （2）证明见解析
n 2n 1
【答案解析】
1 2
（1）由已知可得 1，构造等比数列即可求出通项公式；
a a
n n 1
1 3 1 2 1 11
（2）当 n 2时，由 a ，可求 S ，n 3时，由a ，可证 S n N* ，验证 n 1, 2
n 2n 2 2n n n 2n 2n 1 n 6
时，不等式也成立，即可得证.
【题目详解】
a 1 2
（1）由 a n 1 (n 2)可得， 1 ， n 2 a a a
n 1 n n 1
1 1
即 1 2 1 ， (n 2)
a a
n n 1
1
所以 1 2n，
a
n
1
解得 a ，
n 2n 1
（2）当n 1时， S a 1，
1 1
S 1,
n
1
当 n 2时， a ，
n 2n
1 1

1 1 1 n 1 3 1
S 1 1 4 2
n 22 23 2n 1 2 2n1
2
3 1
综上 S n N* ，
n 2 2n
由 a 0可得 S 递增，
n n
1 2 1
a 1,a ，n 3时 a
1 2 3 n 2n 2n 1
1 1

1 1 1 1 4
1 4 2n
4 1 1 11 1 11
S ；
n 3 22 23 2n 1 3 1
1 3 2 2n 1 6 2n 1 6
2
11
所以 S S S ，
1 2 3 6
11
综上： S n N *
n 6
3 1 11
S 故 n N * .
2 2n n 6
【答案点睛】
本题主要考查了递推数列求通项公式，利用放缩法证明不等式，涉及等比数列的求和公式，属于难题.
17
20、（1）{x | x 或 x 5} ；（2） a 16．
3
【答案解析】
（1）通过讨论 x的范围，将绝对值符号去掉，转化为求不等式组的解集，之后取并集，得到原不等式的解集；
（2）将函数零点问题转化为曲线交点问题解决，数形结合得到结果.
【题目详解】
（1）有题不等式可化为 x 2 2x 1 16，
17
当 x≤ 2时，原不等式可化为 x 2 2x 1 16，解得 x ；
3
1
当 2 x 时，原不等式可化为 x 2 2x 1 16，解得 x 13，不满足，舍去；
2
1
当 x 时，原不等式可化为 x 2 2x 1 16，解得 x≥5，
2
17
所以不等式的解集为 x | x

或x 5 ．
3
1
17 2x, x 2
（2）因为 f x ，
115 2x, x
2
所以若函数 y f x a存在零点则可转化为函数 y f x 与 y a的图像存在交点，
1 1 1
函数 f (x)在 ( , ]上单调增，在[ , )上单调递减，且 f ( ) 16 .
2 2 2
数形结合可知 a 16．
【答案点睛】
该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有分类讨论求绝对值不等式的解集，将零点问题转化为曲线交点的
问题来解决，数形结合思想的应用，属于简单题目.
3
21、（1）证明见解析；（2） .
4
【答案解析】
（1）取 AC 中点D，连接 SD，DB，证明 AC 平面 SDB，由线面垂直的性质可得 AC SB；
（2）由V V ，即可求得三棱锥 B CMN 的体积．
B CMN N CMB
【题目详解】
解：（1）证明：取 AC中点 D，连接 SD，DB .
因为 SA SC， AB BC，所以 AC SD且 AC BD，
因为 SD BD D， SD 平面 SDB，BD 平面 SDB，所以 AC 平面 SDB .
又 SB 平面 SDB，所以 AC SB；
（2）解：因为 AC 平面 SDB， AC 平面 ABC，所以平面 SDC 平面 ABC，
过 N作NE BD于 E，则 NE 平面 ABC，
因为平面 SAC 平面 ABC， SD AC，平面 SAC 平面 ABC AC， SD 平面 SAC ，所以 SD 平面 ABC，
又因为 NE 平面 ABC，所以 NE //SD，
由于 SN NB，所以 NE SD
3 3
所以 S CM BM ，
CMB 2
1 3 3 1 3
所以V V S NE .
B CMN N CMB CMB 3 2 2 4
【答案点睛】
本题考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，解题的关键是掌握线面垂直的判定与性质，属于中档题．
22、（1）50,2020, 49（2）详见解析（3）29
【答案解析】
（1）将a 5，b 9代入，可求出 a ，b ，可代入求 c ， d ，可求结果．
n n i , j i , j
（2）可求 c ， d ，通过反证法证明，
i , j i , j
（3）可推出 t M ， t M *， t的最大值，就是集合M *中元素的最大值，求出．
【题目详解】
（1）由题意知等差数列{a }的通项公式为： a 5n 5；
n n
等差数列{b }的通项公式为：b 9n 9，
n n
得 c a b (5i 5) (9i 9) 5i 9 j 14，
i, j i j
则 c 50， c 2020，
2,6 396,6
得 d a b (5i 5) [9( j 1) 9] 5i 9 j 5，
i , j i j 1
故 d 49．
2,6
（2）证明：已知 a 6．b 7，由题意知等差数列{a }的通项公式为： a 6n 6；
n n
等差数列{b }的通项公式为：b 7n 7，
n n
得 c a b (6i 6) (7i 7) 6i 7 j 13， (i N *， j N*)．
i , j i j
得 d a b (6i 6) [7( j 1) 7] 6i 7 j 6，1 i 7， i N*， j N*)．
i , j i j 1
所以若 t M ，则存在u N， v N，使 t 6u 7v，
若 t M *，则存在u N，u 6， v N *，使 t 6u 7v，
因此，对于正整数 t，考虑集合M {x | x t 6u，u N，u 6}，
0
即{t， t 6， t 12， t 18， t 24， t 30， t 36}．
下面证明：集合 M 中至少有一元素是 7的倍数．
0
反证法：假设集合M 中任何一个元素，都不是 7的倍数，则集合M 中每一元素关于 7的余数可以为 1，2，3，4，5，
0 0
6，
又因为集合M 中共有 7个元素，所以集合M 中至少存在两个元素关于 7的余数相同，
0 0
不妨设为 t 6u ，t u ，其中u ，u N ，u u 6．则这两个元素的差为 7的倍数，即 (t u ) (t 6u ) 6(u u )，
1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
所以 u u 0，与 u u 矛盾，所以假设不成立，即原命题成立．
1 2 1 2
即集合M 中至少有一元素是 7的倍数，不妨设该元素为 t 6u ，u 6，u N ，
0 0 0 0
则存在 s Z ，使 t 6u 7s， u N ，u 6，即 t 6u 7s，u N ， s Z ，
0 0 0 0 0
由已证可知，若 t M ，则存在u N， v N，使 t 6u 7v，而 t M ，所以 S 为负整数，
设V s，则 v N *，且 t 6u 7v， u N ，u 6， v N *，
0 0 0
所以，当a 6，b 7时，对于整数 t，若 t M ，则 t M *成立．
（3）下面用反证法证明：若对于整数 t， t M *，则 t M ，假设命题不成立，即 t M *，且 t M ．
则对于整数 t，存在 n N，m N ，u N，u 6， v N *，使 t 6u 7v 6n 7m成立，
整理，得 6(u n) 7(m v)，
又因为m N ， v N *，
7
所以 u n (m v) 0且 u n是 7的倍数，
6
因为 u N，u 6，所以 u n 6，所以矛盾，即假设不成立．
所以对于整数 t，若 t M *，则 t M ，
又由第二问，对于整数 t M ，则 t M *，
所以 t的最大值，就是集合M *中元素的最大值，
又因为 t 6u 7v，u N， v N *，u 6，
所以 t (M*) 6 6 7 1 29．
max max
【答案点睛】
本题考查数列的综合应用，以及反证法，求最值，属于难题．